高一数学答案（2025.01）_2025年02月试卷_0226辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试_辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学（PDF版，含答案）

2025 年 1 月葫芦岛市普通高中期末考试 高一数学 参考答案及评分标准 一、单项选择题 1.C 2. A 3. C 4. D 5.B 6.D 7. B 8.B 二、多选选择题 9. AD 10.BD 11. ACD 三、填空题 12. 2 13 .33 14. (0,4] 四、解答题 15.(13分) (1) 由𝐴 ={𝑥|2𝑥2−5𝑥−3≤0}，得(2𝑥+1)(𝑥−3)≤0， 1 1 解得− ≤𝑥 ≤3，所以𝐴={𝑥|− ≤𝑥 ≤3}………………………………………………1分 2 2 当𝑚 =−1时，集合𝐵 =(𝑥−1)(𝑥+3)≤0， 即𝐵 ={𝑥|−3≤𝑥 ≤1}………………………………………………………………………2分 则𝐶 𝐵 ={𝑥|𝑥 <−3或𝑥 >1} ………………………………………………………………4分 𝑅 1 则𝐴∩𝐵 ={𝑥|− ≤𝑥 ≤1} …………………………………………………………………6分 2 (2)由(𝑥−𝑚2)(𝑥−𝑚+2)=0的两个根为𝑥 =𝑚2,𝑥 =𝑚−2，…………………7分 1 2 因为𝑚2−𝑚+2=(𝑚− 1 )2+ 7 >0 …………………………………………………9分 2 4 所以𝐵 ={𝑥|𝑚−2≤𝑥 ≤𝑚2} ， …………………………………………………………10分 1 𝑚−2≥− 又因为𝐵 ⊆𝐴，∴{ 2，……………………………………………………11分 𝑚2 ≤3 3 解得 ≤𝑚 ≤√3 2 3 所以实数𝑚的取值范围为[ ,√3]…………………………………………………………13分 2 16.（15分） （1）设点G(x,y),由中心坐标公式得： {#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}x= − 2 + 2 3 + − 6 = − 2 , ……………………………………………………………………2分 y= 3 + 7 3 + − 5 = 5 3 ,…………………………………………………………………………4分 又B(2,7), 16 所以，BG=(-4,- ), …………………………………………………………………5分 3 20 故 BG = ………………………………………………………………………………7分 3 法二： 根据题意： B A = ( − 4 ， − 4 ) ， B C = ( − 8 ， − 1 2 ) ，……………………………………2分 B G = 1 (B⃗⃗⃗⃗A⃗ +B⃗⃗⃗⃗C⃗ )=（-4，- 3 1 6 3 ）……………………………………………………………5分 所以， B G = 2 3 0 …………………………………………………………………………7分 （2）由B⃗⃗⃗⃗E⃗ =λB⃗⃗⃗⃗A⃗ ,B⃗⃗⃗⃗F =μB⃗⃗⃗⃗⃗C , 得B⃗⃗⃗⃗A⃗ = 1 B⃗⃗⃗⃗E⃗ ，B⃗⃗⃗⃗⃗C = 1 B⃗⃗⃗⃗F ， ………………………………………………………………9分 λ μ 所以 B G = 1 (B⃗⃗⃗⃗A⃗ +B⃗⃗⃗⃗C⃗ )= 1 ( 1 B⃗⃗⃗⃗E⃗ + 1 B⃗⃗⃗⃗F )= 1 B⃗⃗⃗⃗E⃗ + 1 B⃗⃗⃗⃗F …………………………………11分 3 3 λ μ 3λ 3μ 因为E,F,G三点共线, 1 1 所以 + =1. 3λ 3μ 1 1 10 8μ 2λ 10 8μ 2λ 则2λ+8μ=(2λ+8μ)( + )= + + ≥ +2√ ∙ =6, ………13分 3λ 3μ 3 3λ 3μ 3 3λ 3μ 8μ 2λ 1 当且仅当 = ，即λ=1，μ= 时等号成立， 3λ 3μ 2 所以2λ+8μ的最小值为6.………………………………………………………………15分 17（15分） 𝑎⋅2𝑥−2+𝑎 （1）因为𝑓(𝑥)= 的定义域为R且函数为奇函数， 2𝑥+1 𝑎⋅1−2+𝑎 所以𝑓(0)=0⇒ =0⇒𝑎 =1 ………………………………………………2分 1+1 2𝑥−1 ∴𝑓(𝑥)= 2𝑥+1 因为𝑓(−𝑥)= 2−𝑥−1 = 1−2𝑥 =− 2𝑥−1 =−𝑓(𝑥)， 2𝑥+1 2𝑥+1 2𝑥+1 {#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}所以𝑓(𝑥)是奇函数，符合题意，故𝑎 =1成立；…………………………………………4分 2𝑥−1 2 𝑓(𝑥)= =1− ，是定义域上的增函数. …………………………………………5分 2𝑥+1 2𝑥+1 （2）因为函数𝑓(𝑥)是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由𝑓(4𝑥)+𝑓(−2𝑥+2−5)>0 ⇒𝑓(4𝑥)>−𝑓(−2𝑥+2−5) ⇒𝑓(4𝑥)>𝑓(2𝑥+2+5) ……………………………………………………………………7分 ⇒4𝑥 >2𝑥+2+5 ⇒(2𝑥)2−4⋅2𝑥−5>0 ⇒(2𝑥−5)(2𝑥+1)>0 ……………………………………………………………………9分 ⇒𝑥 >log 5， 2 所以不等式的解集为(log 5 , +∞)………………………………………………………10分 2 2𝑥−1 2 （3）因为函数𝑓(𝑥)= ==1− ， …………………………………………11分 2𝑥+1 2𝑥+1 显然2𝑥+1>1，所以有0< 1 <1 2𝑥+1 2 ⇒0< <2， 2𝑥+1 2 ⇒−2<− <0， 2𝑥+1 ⇒−1<𝑓(𝑥)<1， ………………………………………………………………………12分 𝑥 𝑔(𝑥)=log (16𝑥2)⋅log +𝑚 =(𝑙𝑜𝑔 16+log 𝑥2)⋅(log 𝑥−log 4)+𝑚 2 44 2 2 4 4 =(4+2log 𝑥)⋅( 1 log 𝑥−1)+𝑚 =(log 𝑥)2−4+𝑚， 2 2 2 2 1 令𝑡 =log 𝑥，当𝑥 ∈[ , 16]时，𝑡 ∈[−1,4]， 2 2 设𝐹(𝑡)=𝑡2−4+𝑚， ……………………………………………………………………13分 所以𝐹(𝑡) =𝑚−4,𝐹(𝑡) =12+𝑚， 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑎𝑥 1 于是当𝑥 ∈[ , 16]时，𝑔(𝑥 )∈[𝑚−4 , 12+𝑚]，……………………………………14分 2 2 2 1 对∀𝑥 ∈𝑅，总∃𝑥 ∈[ , 16]，使得𝑓(𝑥 )=𝑔(𝑥 )成立， 1 2 1 2 2 12+𝑚 ≥1 所以有{ ⇒−11≤𝑚 ≤3，即实数𝑚的取值范围为[−11,3]. ………………15分 𝑚−4≤−1 18.（17） （1）由题意得:10(0.01+0.015+0.020+t+0.025)=1，解得𝑡 =0.03， {#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}抽取的样本中，设第60百分位数为𝑥，则 0 .0 1  1 0 + 0 .0 1 5  1 0 + 0 .0 2  1 0 + 0 .0 3  ( x − 8 0 ) = 0 .6 ， 解得𝑥 =85，因此高一年级体测成绩的60％的分位数为85． 8 （2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有5× =2人， 20 12 设为𝐴，𝐵，在[80,90)的有5× =3人，设为𝑎，𝑏，𝑐． 20 则样本空间为Ω={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)}, n(Ω)=10． 设事件𝑀 = “两人分别来自[70,80)和[80,90)，则 𝑀 ={(𝐴,𝑎),(𝐴,𝑏),(𝐴,𝑐),(𝐵,𝑎),(𝐵,𝑏),(𝐵,𝑐)},𝑛(𝑀)=6， 𝑛(𝑀) 6 3 因此𝑃(𝑀)= = = ， 𝑛(𝛺) 10 5 3 所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为 ． 5 （3）由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.02=8个， 落在区间[80,90)内的数据有40100.03=12个． 记在区间[70,80)的数据分别为 x 1 , x 2 , , x 8 ，平均分为𝑥̄，方差为𝑠2； 𝑥 在区间[80,90)的数据分别为为 y 1 , y 2 , , y 1 2 ，平均分为 y ，方差为𝑠2； 𝑦 这20个数据的平均数为𝑧̄，方差为𝑠2． 由题意，𝑥̅ =75，𝑦̅ =85，𝑆2 =9，𝑆2 =4，且 𝑥 𝑦 x = 1 8 8 i= 1 x ,i y = 1 1 2 1 2 j= 1 y j ，则 8x+12y 875+1285 z = = =81． 20 20 由分层抽样方差公式可得： 𝑠2 = 1 [8𝑠2+8(𝑥̄ −𝑧̄)2+12𝑠2+12(𝑦̄ −𝑧̄)2] = 2 [𝑠2+(𝑥̄ −𝑧̄)2]+ 3 [𝑠2+(𝑦̄ −𝑧̄)2] 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 20 5 5 = 2 [9+(75−81)2]+ 3 [4+(85−81)2]=30 5 5 故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为30． 19.(17分) （1）不是“RS函数”，…………………………………………………………1分 易知𝑓(𝑥)⋅𝑓(𝑦)=(𝑥+2)(𝑦+2)=𝑥𝑦+2(𝑥+𝑦)+4① ………………………3分 [𝑔( 𝑥−𝑦 )]2−[𝑔( 𝑥+𝑦 )]2 =(𝑥−𝑦)2−(𝑥+𝑦)2 =−4𝑥𝑦②， 2 2 {#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}显然①②两式不相等，即𝑔(𝑥)=2𝑥不是𝑓(𝑥)=𝑥+2的“RS函数”，…………………5分 （2）𝑦 =𝑓(𝑥)为奇函数…………………………………………………………………6分 令𝑏 =𝑥 ，则有 𝑓(𝑎)⋅𝑓(𝑥)=[𝑔( 𝑎−𝑥 )]2−[𝑔( 𝑎+𝑥 )]2，……………………………………7分 2 2 令𝑏 =−𝑥，则有𝑓(𝑎)⋅𝑓(−𝑥)=[𝑔( 𝑎+𝑥 )]2−[𝑔( 𝑎−𝑥 )]2，…………………………………8分 2 2 两式相加得𝑓(𝑎)(𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥))=0， ……………………………………………………9分 因为𝑦 =𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的非常值函数，所以𝑓(𝑎)不恒为0， 所以𝑓(𝑎)(𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥))=0⇒𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)是奇函数. ………………11分 （3）令𝑎 = 𝑥+𝑦, 𝑏 =𝑥−𝑦 ，则 𝑓(𝑥+𝑦)⋅𝑓(𝑥−𝑦)=[𝑔(𝑦)]2−[𝑔(𝑥)]2…………………………………………………12分 令𝑦 =0 [𝑓(𝑥)]2 =[𝑔(0)]2−[𝑔(𝑥)]2 =1−[𝑔(𝑥)]2 ⇒[𝑓(𝑥)]2+[𝑔(𝑥)]2 =1，………………13分 因为𝑔(3)=−1，所以𝑓(3)=0=𝑓(−3)， 令𝑦=𝑥+3，则𝑓(2𝑥+3)⋅𝑓(−3)=[𝑔(𝑥+3)]2−[𝑔(𝑥)]2 =0， 令𝑦=3 ，则𝑓(𝑥+3)⋅𝑓(𝑥−3)=[𝑔(3)]2−[𝑔(𝑥)]2 =1−[𝑔(𝑥)]2 ⇒𝑓(𝑥+6)⋅𝑓(𝑥)=1−[𝑔(𝑥+3)]2 =1−[𝑔(𝑥)]2 =[𝑓(𝑥)]2 若𝑓(𝑥)≠0⇒𝑓(𝑥+6)=𝑓(𝑥)，…………………………………………………………14分 若𝑓(𝑥)=0,[𝑓(𝑥)]2 =1−[𝑔(𝑥)]2 =1−[𝑔(𝑥+3)]2 =[𝑓(𝑥+3)]2 =[𝑓(𝑥+6)]2， 则𝑓(𝑥+6)=𝑓(𝑥)， 综上可知𝑇 =6满足题意. …………………………………………………………………15分 再用反证法证𝑇 =6是满足题意的最小正数， 若∃0<𝑡 <6满足要求，令𝑥 =0 , 𝑦= 𝑡0，则 𝑡0 ∈(0,3)，即[𝑔( 𝑡0)]2 <1， 0 2 2 2 故𝑓( 𝑡0)𝑓(− 𝑡0)=[𝑔(− 𝑡0)] 2 −[𝑔(0)]2 <0， 2 2 2 而−𝑓( 𝑡0)=𝑓(− 𝑡0),𝑓( 𝑡0)=𝑓(− 𝑡0)， 2 2 2 2 所以𝑓( 𝑡0)=𝑓(− 𝑡0)=0，矛盾，故不符题意. 2 2 所以存在T=6是满足题意的最小正数. …………………………………………………17分 {#{QQABaQKgwgCYgBZACK5qRUECCwoQkJOQLSoGRRCUuAQKgIFIBIA=}#}