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——— 学年第一学期期末考试
2025 2026
高一数学试卷参考答案
一、单选题(本题共 小题,每小题 分,共 分)
8 5 40
-
1 4 DCAB 5 - 8 CBCA
二、多选题(本题共 小题,每小题 分,共 分。在每小题给出的选项中有多项符合题目
3 6 18
要求,全部选对得 分,部分选对的得部分分,有选错的得 分)
6 0
9. BCD 10. ABD 11. CD
三、填空题(本题共 小题,每小题 分,共 分)
3 5 15
. - . . - 7
12 7 13 1 14 ( ∞, )
8
四、解答题:本大题共 小题,共 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
6 77
.解 因为 a = b = 所以a = b = 分
15 :(1) 5 4 10, log510, log410, ……2
2 + 1 = + = × = . 分
a b 2lg5 lg4 lg(25 4) 2 ……6
若x = 则x = x = log32 = 分
(2) log23 1, log32,3 3 2 ……8
x + ﹣x = + 1 = 5 分
3 3 2 ……12
2 2
α
2tan
.解 α = 2 = 3. 分
16 :(1)tan α ……2
- 2 4
1 tan
2
< α < π α = 3 分
∵ 0 , ∴ sin , ……5
2 5
- < α - β < α - β =- 7 2 分
(2)∵ π 0, ∴ sin( ) , ……7
10
α - β
α - β = sin( ) = 分
∴ tan( ) α - β 7 ……9
cos( )
3 - β
α - tan
α - β = tan tanβ = 4 = β =- 分
∵ tan( ) + α β 7 ∴ tan 1, ……11
1 tan tan + 3 β
1 tan
4
π < β < β = 3π. 分
∵ π, ∴ ……12
2 4
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1 ( 4 ) (2026.2).解 函数f x 的定义域为R f x 是奇函数
17 :(1) ( ) , ( ) ,
f = m - = m = 分
∴ (0) 1 0, ∴ 1, ……3
经检验m = 时 f x + f - x = 分
1 , ( ) ( ) 0 ……4
f x = ax - a-x 设x x R 且x < x 则
(2) ( ) , 1, 2 ∈ , 1 2,
x -x x -x x x
f x - f x = a 1 - a 1 - a 2 - a 2 = a 1 - a 2 + 1 分
( 1) ( 2) ( ) ( ) ( )(1
a
x
1
+x
2
), ……6
a > x < x a
x
1 - a
x
2 < .
∵ 1, 1 2 ∴ 0
又 + 1 >
∵ 1 x +x 0,
a 1 2
f x - f x < 即f x < f x
∴ ( 1) ( 2) 0, ( 1) ( 2),
函数f x 在R上是单调递增函数. 分
∴ ( ) ……8
由f x2 + f x - < 得f x2 < - f x -
(3) ( ) (3 10) 0, ( ) (3 10),
即f x2 < f - x . 分
( ) (10 3 ) ……10
又 f x 在R上单调递增
∵ ( ) ,
x2 < - x 即x2 + x - < 解得 - < x <
∴ 10 3 , 3 10 0, 5 2,
原不等式的解集为 - . 分
∴ ( 5,2) ……12
.解 f x = 3 x + 1 x + - x + π
18 :(1) ( ) cos2 sin2 1 cos(2 )
2 2 2
= 3 x + 3 x +
sin2 cos2 1
2 2
= x + π + 分
3sin(2 ) 1 ……4
6
函数f x 的图象左移π 个单位 再向下平移 个单位
( ) , 1 ,
4
得到函数g x = x + 2π 分.
( ) 3sin(2 ) ……6
3
所以函数g x 的最小正周期为T = 2π = 分
( ) π, ……7
2
令 k - π x + 2π k + π k Z 整理得 k - 7π x k - π k Z.
2 π ≤2 ≤2 π , ∈ , : π ≤ ≤ π , ∈
2 3 2 12 12
故函数g x 的单调递增区间为 k - 7π k - π k Z . 分
( ) [ π , π ]( ∈ ) ……9
12 12
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2 ( 4 ) (2026.2)当x π 7π 时 5π x + 2π 11π
(2) ∈[ , ] , ≤2 ≤ ,
12 12 6 3 6
- x + 2π 1
∴ 1≤sin(2 ) ≤
3 2
当 x + 2π = 3π 即x = 5π 时 函数g x 的最小值为 - . 分
2 , ( ) 3 ……13
3 2 12
AD
.解 在Rt ADB中 AD = 1ED = 且 ABD = α AB = = 3
19 :(1) △ ,∵ 3, ∠ ,∴ α α;
2 sin sin
分
……2
AE
AC AB EAC = ABD = α 在Rt AEC中 AC = = 3 分
∵ ⊥ ,∴ ∠ ∠ ,∴ △ , α α, ……3
cos cos
BC = AB2 + AC2 = 9 + 9 = 3 分
∴ 2α 2α α α, ……5
sin cos sin cos
ABC的周长l α = 3 + 3 + 3 α π . 分
∴ △ ( ) α α α α, ∈(0, ) ……6
sin cos sin cos 2
α + α +
l α = 3 + 3 + 3 = 3sin 3cos 3
(2) ( ) α α α α α α ,
sin cos sin cos sin cos
t2 -
令t = α + α = α + π 则 α α = 1 分
sin cos 2sin( ), sin cos , ……9
4 2
α π α + π π 3π t 分
∵ ∈(0, ),∴ ∈( , ),∴ ∈(1, 2], ……10
2 4 4 4
t + t +
于是 l α = 3 3 = 6( 1) = 6 6 = + 分
, ( ) t2 - t + t - t - ≥ - 6( 2 1), ……12
1 ( 1)( 1) 1 2 1
2
l α 的最小值为 + . 分
∴ ( ) 6( 2 1) ……13
.解 因为函数f x = e2 x + + kx是偶函数 所以f - x = f x
20 :(1) ( ) ln( 1) , ( ) ( ),
即 e- 2 x + - kx = e2 x + + kx 所以 e- 2 x + - e2 x + = kx
ln( 1) ln( 1) , ln( 1) ln( 1) 2 ,
e- 2 x +
即 1 = 1 =- x = kx 所以 k =- 得k =- 分
ln e2 x + ln e2 x 2 2 , 2 2, 1, ……4
1
经检验当k =- 时 函数f x = e2 x + - x是偶函数. 分
1 , ( ) ln( 1) ……5
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3 ( 4 ) (2026.2)函数F x = h x - f x 有 个不同的零点
(2) ( ) ( ) ( ) 2 ,
e-x
即关于x的方程 mex + + m = e2 x + - x有 个不相等的实数根
ln( 2 ) ln( 1) 2 ,
2
化简上述方程得 mex +
e-x
+ m =
e2 x +
1 即mex +
e-x
+ m = ex + e-x
ln( 2 ) ln( ex ), 2 ,
2 2
分
……8
所以 m - ex - 1 + m = 所以 m - e2 x - 1 + mex = . 分
( 1) ex 2 0, ( 1) 2 0 ……9
2 2
令t = ex t > 得关于t的方程 m - t2 + mt - 1 = . 分
( 0), ( 1) 2 0(∗) ……10
2
记p t = m - t2 + mt - 1 t > m > 且m
( ) ( 1) 2 ( 0, 0 ≠1),
2
当m > 时 函数p t 的图象开口向上 图象恒过点 - 1
① 1 , ( ) , (0, ),
2
方程 只有一个正实根 不符合题意. 分
(∗) , ……12
当 < m < 时 函数p t 的图象开口向下 图象恒过点 - 1
② 0 1 , ( ) , (0, ),
2
m
因为 - 2 > 要满足题意 则方程 应有两个正实根
m - 0, , (∗) ,
2( 1)
即Δ = m 2 + m - > 解得m > 1 或m < -
(2 ) 2( 1) 0, 1,
2
又 < m < 所以1 < m < . 分
0 1, 1 ……14
2
综上 m的取值范围是 1 . 分
, ( ,1) ……15
2
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4 ( 4 ) (2026.2)
