专题 07 锐角三角函数
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 sin A=cosB
cosA=sinB
余弦
正切 tanA＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：， ，
④ ，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
（五）解直角三角形的应用举例
已知条件 解法步骤
a
由tan A= ，求∠A；
b
两直角边(a，b)
∠B=90°－∠A；
Rt△ABC 两
a
边
由sinA= ，求∠A；
c
斜边，一直角边(如c，a)
∠B=90°－∠A；
∠B=90°－∠A，
b
锐角、邻边 c=
cosA
(如∠A，b)
一 一直角边
边 和一锐角
∠B=90°－∠A，
一 锐角、对边
角 (如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，
如图，坡度通常写成 的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标
方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②
中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏
西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏
西45°，西北方向指的是北偏西45°
模块三 考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
2
典例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3,sinB= ，那么边AC的长是（ ）
3
2
A． B．1 C．2 D．√5
3
【答案】C
【知识点】已知正弦值求边长
【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得AC=2．
AC 2
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3,sinB= = ，
AB 3
∴AC=2
故选：C．
【变式1】如图．在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
√3 √5 2 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【知识点】求角的余弦值、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．把AB
向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角
CD
形，进而得到cos∠APC=cos∠EDC= 即可得答案．
DE
【详解】解：如图，把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，
则DE∥AB，
∴ ∠APC=∠EDC．
在△DCE中，有CE=√12+22=√5，CD=√22+42=2√5，DE=√32+42=5，
∴ CE2+CD2=5+20=25=DE2，
∴ △DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，
CD 2√5
∴ cos∠APC=cos∠EDC= = ．
DE 5
故选：D．
【变式2】如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）1 √5 2√5
A． B．2 C． D．
2 5 5
【答案】A
【知识点】求角的正切值
【分析】本题考查网格中的三角函数，作AD⊥BC于点D，利用网格特点以及正切值的定义，进行
求解即可．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，设小正方形的边长为1，则：AD=2,BD=4，
AD 2 1
在Rt△ABD中，tan∠ABC= = = ；
BD 4 2
故选A．
【变式3】等腰三角形的两边长分别为10和12，则这个等腰三角形的底角的正切值为 ．
4 √119
【答案】 或
3 5
【知识点】求角的正切值、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是关键．分10是腰长
和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后再计算底角
的正切值即可．
【详解】解：如图，AB=AC，AD⊥BC，
当腰是10时，三角形三边长为10，10，12，则BD=CD=6，
底边上的高AD=√102−62=8，
AD 8 4
∴tanB= = = ．
BD 6 3
当腰是12时，三角形三边长为12，12，10，则BD=CD=5，
底边上的高AD=√122−52=√119，AD √119
∴tanB= = ．
BD 5
4 √119
故答案为： 或 ．
3 5
【变式4】若一个三角形三条边长的比为1:√3:2，则最小角的余弦值是 ．
√3
【答案】
2
【知识点】求角的余弦值
【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦
为邻边比斜边，正切为对边比邻边；本题首先根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，
再由大边对大角，小边对小角，根据三角函数的定义求解. 该题关键是通过三边的比判断出该三角
形为直角三角形．
【详解】解：∵三角形三边之比1:√3:2，12+(√3) 2=22，
∴这个三角形是直角三角形，
如下图所示，
根据大边对大角可知：∠A最小，
AC √3
cos∠A= =
AB 2
√3
故答案为： ．
2
【变式5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=10，
4
sin∠ACD= ，则四边形ABCD的面积为 ．
5
【答案】48【知识点】已知正弦值求边长、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．延长CB至E，使
BE=CD，连接AE，作AF⊥BC于点F，证得△ABE≌△ADC(SAS)，得到AE=AC=10，
∠E=∠ACD，推导出EF=FC．利用三角形函数求得AF=8，利用勾股定理求得EF=6，进而得
到FC=6，EC=12，利用面积计算公式S =S 解答即可．
四边形ABCD △ACE
【详解】解：如图，延长CB至E，使BE=CD，连接AE，作AF⊥BC于点F．
∵四边形的内角和是360°，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠D．
∴△ABE≌△ADC(SAS)，
∴AE=AC=10，∠E=∠ACD．
∵AF⊥BC，
∴EF=FC．
AF 4
在Rt△AEF中，sinE= =sin∠ACD= ，
AE 5
4 4
∴AF= AE= ×10=8，
5 5
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF=√102−82=6，
∴FC=6，
∴EC=12，
1 1
∴S =S = CE⋅AF= ×12×8=48，
四边形ABCD △ACE 2 2
故答案为：48．
考点2：特殊角三角函数值
√3 1
典例2：△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sin A= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）．
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得∠A=60∘，∠B=60∘；再根据三角形
内角和性质计算得∠C=60∘，即可得到答案．
√3 1
【详解】∵∠A、∠B都是锐角，且sin A= ，cosB=
2 2
∴∠A=60∘，∠B=60∘
∴∠C=180∘−∠A−∠B=60∘
∴△ABC的形状是锐角三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、
三角形内角和的性质，从而完成求解．
【变式1】估计4sin60°的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、无理数的估算，先求出4sin60°=√12，再估算出
3<√12<4即可得出答案．
√3
【详解】解：4sin60°=4× =2√3=√12，
2
∵9<12<16，
∴√9<√12<√16，即3<√12<4，
∴ 估计4sin60°的值在3与4之间，
故选：B．
【变式2】下列式子中不成立的是（ ）
1
A．√2cos45°=2sin30° B．sin30°⋅cos60°= sin245°
2
C．cos45°−sin45°=0 D．3sin(30°+30°)=sin30°+sin30°
【答案】D
【知识点】特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
√2 1
【详解】解：A．√2cos45°=√2× =1，2sin30°=2× =1，原式成立，故此选项不合题意；
2 2B．sin30°⋅cos60°=
1
×
1
=
1
，
1
sin245=
1
×
(√2) 2
=
1
，原式成立，故此选项不合题意；
2 2 4 2 2 2 4
√2 √2
C．cos45°−sin45°= − =0，故原式成立，故此选项不合题意；
2 2
3√3
D．3sin(30°+30°)=3sin60°= ，sin30°+sin30°=1，原式不成立，故此选项符合题意；
2
故选：D．
【变式3】如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于点C，D，连接
CD，则tan∠OCD的值为 ．
【答案】√3
【知识点】等边三角形的判定和性质、特殊三角形的三角函数
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是
掌握以上知识点．
证明△OCD是等边三角形，得出∠OCD=60°，根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：根据作图可得：OC=OD，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∴tan∠OCD=tan60°=√3，
故答案为：√3．
【变式4】计算：sin245°⋅cot60°−cos30⋅tan230°= ．
【答案】0
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：sin245°⋅cot60°−cos30⋅tan230°
2 2
(√2) √3 √3 (√3)
= × − ×
2 3 2 31 √3 √3 1
= × − ×
2 3 2 3
√3 √3
= −
6 6
=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
【变式5】△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且|tanB−√3|+(2sin A−√3) 2=0，则△ABC的形状是
．
【答案】等边三角形
【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状
√3
【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得tanB=√3,sin A= ，再根据特殊角的三
2
角函数值求出∠A,∠B的度数，然后根据等边三角形的判定即可得．
【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：tanB−√3=0,2sin A−√3=0，
√3
解得tanB=√3,sin A= ，
2
∵在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，
∴∠A=60°,∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点，熟记特殊
角的三角函数值是解题关键．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：已知在△ABC中，∠C=90°，45°<∠B<60°，设cosB=n，那么n的取值范围是
（ ）
√2 1 √2 1 √2 √3
A． <n<1 B． <n< C．0<n< D． <n<
2 2 2 2 2 2
【答案】B
【知识点】特殊三角形的三角函数、已知角度比较三角函数值的大小
【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出
特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得．
【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，45°<∠B<60°，cosB=n，
∴cos60°<cosB<cos45°，1 √2
∴ <n< ，
2 2
故选：B．
1
【变式1】已知 <cosα<sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
2
A．30°<α<80° B．10°<α<80° C．60°<α<80° D．10°<α<60°
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系、三角函数综合、根据三角函数值判断锐角的取值范围
1
【分析】根据特殊角的三角函数值， =cos60°，sin80°=cos10°，再由余弦函数值在锐角范围
2
内，随角度增大而减小即可得到答案
1
【详解】解：∵ =cos60°，sin80°=cos10°，
2
1
∴由 <cosα<sin80°可得cos60°<cosα<cos10°，
2
∵在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
∴10°<α<60°，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三
角函数值性质是解决问题的关键．
| √3|
【变式2】若30°<α<β<90°，则√(cosβ−cosα) 2− cosβ− +|1−cosα|= ．
2
√3
【答案】1−
2
【知识点】三角函数综合、根据三角函数值判断锐角的取值范围
√3
【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出cosβ与cosα的大小、cosβ与 的大小，然后化简
2
计算即可．
【详解】解：∵30°<α<β<90°，
√3
∴cosβ<cosα,cosβ< ．
2
| √3|
∴√(cosβ−cosα) 2− cosβ− +|1−cosα|
2
√3
=|cosβ−cosα|− +cosβ+1−cosα
2√3
=−cosβ+cosα+cosβ− +1−cosα
2
√3
=1− ，
2
√3
故答案为：1− ．
2
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角三角函数的混合运算，根据锐角三角函数的
√3
增减性判断出cosβ与cosα的大小、cosβ与 的大小是解题的关键．
2
【变式3】下列结论（其中α是锐角）：①sinα+cosα≤1；②cos2α=2cosα；③当
0°<α<β<90°时，0<sinα<sinβ<1；④sinα=cosαtanα．其中正确的有 ．
【答案】③④
【知识点】已知角度比较三角函数值的大小、利用同角三角函数关系求值
【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解
题的关键．
根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：①∵0<sinα<1，0<cosα<1，
∴sinα+cosα不一定小于等于1，故①错误；
②若α=30°，则2cos30°=√3，
1
2α=60°，cos2α=
2
∴cos60°≠2cos30°
∴cos2α≠2cosα，故②错误；
对边
③当0°<α<β<90°时，sinα= ，
斜边
∴α越大，对边越大，且越接近斜边，
∴sinα越大，
∴当0°<α<β<90°时，0<sinα<sinβ<1，故③正确；
对边 邻边 对边
④∵sinα= ，cosα= ，tanα= ，
斜边 斜边 邻边
∴sinα=cosα⋅tanα，故④正确．
故答案为：③④．
考点4：解直角三角形——直接法
1
典例4：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，tanB= ．
2(1)求BC的长；
(2)求cosA的值．
【答案】(1)BC=4
√5
(2)
5
【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义．
（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB=√AC2+BC2=2√5，然后根据余弦的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，
AC 1 2 1
∴tanB= = ，即 =
BC 2 BC 2
∴BC=4；
（2）∵AC=2，BC=4，∠C=90°
∴AB=√AC2+BC2=2√5
AC 2 √5
∴cosA= = = ．
AB 2√5 5
【变式1】（1）计算：√2⋅cos45°−sin260°+tan45°
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，求∠A的余弦值和正切值．
5
【答案】（1）
4
12 5
（2） ，
13 12
【知识点】用勾股定理解三角形、特殊角三角函数值的混合运算、解直角三角形的相关计算
【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数，勾股定理，对于（1），根据
√2 √3
cos45°= ,sin60° ,tan45°=1，再计算即可；
2 2
对于（2），先根据勾股定理求出AB，再根据余弦，正切的定义解答．2
√2 √3
【详解】（1）原式=√2× −( ) +1
2 2
3
=1− +1
4
5
= ；
4
（2）根据勾股定理，得AB=√AC2+BC2=13．
AC 12 BC 5
所以cosA= = ，tanA= = ．
AB 13 AC 12
【变式2】如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°,∠B=32°,AB=4，点D在BC边上，且
∠CAD=37°，求CD的长．（结果精确到0.1，参考数据：
sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin32°≈0.55,cos32°≈0.83,tan32°≈0.66）
【答案】CD≈1.7
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意找到直角三角形并根据锐角的三角函数值求解是
解题关键，先求出AC=2.2，在Rt△ACD中，利用三角函数求出结论即可．
【详解】解：Rt△ABC中，已知∠C=90°,∠B=32°,AB=4，
AC
∴sinB=sin32°= ≈0.55，
4
∴AC=2.2，
在Rt△ACD中，已知∠C=90°,∠CAD=37°，
CD
∴tan∠CAD=tan37°= ≈0.75，
2.2
∴CD≈1.7．
【变式3】【问题提出】已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积．
【性质探究】
探究一：
（1）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=b，BC=a，∠B=α，∵ Rt△ABC ∠ACB=90°
在 中，
∴sinα=
∴AC=b⋅sinα
1
∴S = BC⋅AC=
ΔABC 2
探究二：
（2）在△ABC中，AB=b，BC=a，∠B=α(α<90°)，求△ABC的面积（用a、b、α表示）．
【性质应用】
（3）在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=7，∠B=30°，则平行四边形ABCD的面积为 ．
AC 1 1
【答案】（1） ； absinα；（2）S = absinα；（3）14
b 2 △ABC 2
【知识点】利用平行四边形的性质求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了三角形的面积，平行四边形的面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
（1）由三角函数的定义直接可得出结论；
（2）作高AH⊥BC于H，求出高AH，即可解决问题；
（3）作高AH⊥BC于H，求出高AH，再利用平行四边形的面积为底×高，即可求出结论．
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AC
∴sinB= ，
AB
AC
∴sinα= ，
b
∴AC=b⋅sinα，
1 1 1
∴S = BC⋅AC= a⋅bsinα= absinα；
△ABC 2 2 2
AC 1
故答案为： ； absinα；
b 2
（2）过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=b BC=a ∠B=α
， ， ，
由（1）可知，AH=b⋅sinα，
1 1 1
∴S = BC⋅AH= a⋅bsinα= absinα；
△ABC 2 2 2
（3）如图，作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
AH
∴sinα= ，
AB
∴AH=4×sin30°=2，
∴S =BC⋅AH=7×2=14．
平行四边形ABCD
故答案为：14．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠BCA=45°，AC=4，求AB的长．（
√6+√2 √6−√2
sin75°= ，cos75°= ）
4 4
【答案】4√2
【知识点】解非直角三角形
【分析】过C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．由题意易得∠CAD=75°，然后根据解直角三
角形可进行求解．
【详解】解：过C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D．∵∠B=30°，∠BCA=45°，
∴∠CAD=∠B+∠BCA=75°，
在Rt△ACD中，AC=4，∠CAD=75°，
∴AD=AC⋅cos∠CAD=4cos75°=√6−√2
CD=AC⋅sin∠CAD=4sin75°=√6+√2
在Rt△BCD中，∠B=30°，
CD √6+√2
∴BD= = =3√2+√6
tanB tan30°
∴AB=BD−AD=3√2+√6−√6+√2=4√2．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【变式1】阅读下列材料：
b c
(1)如图1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： = ；
sinB sinC
(2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求AB的长
（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9）
【答案】(1)见解析
(2)50√3m
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解非直角三角形
【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是
解决问题的前提.
（1）根据题目提供的方法进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，直接进行计算即可.
【详解】（1）证明：证明： 如图2， 过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中， AD=c⋅sinB，
在Rt△ACD中， AD=b⋅sinC，
∴c⋅sinB=b⋅sinC，
b c
∴ = ；
sinB sinC
（2）解：∵∠BAC=67°,∠B=53°，
∴∠C=60°，
在△ABC中，
AC AB
又∵ = ，
sinB sinC
80 AB
=
即0.8 √3，
2
∴AB=50√3m．
【变式2】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，
底边 BC
AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA= = ．容易知道一个角的大小与这个角
腰 AB
的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad90°=________．
(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．
3
(3)如图②，已知sinA= ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
5
【答案】(1)√2
(2)0<sadA<2√10
(3)
5
【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合、解非直角三角形
AB √2 BC
【分析】（1）如图，∠BAC=90°,AB=AC,cos45°= = ，所以sad90°= =√2.
BC 2 AB
1
（2）如图，当点A向BC靠近时，∠A增大，逐渐接近180°，腰长AB接近 BC， 相应的
2
BC
sadA= <2；当点A远离BC时，∠A减小，逐渐接近0°，腰长AB逐渐增大，相应的
AB
BC
sadA= >0；于是0<sadA<2．
AB
（3）如图，在AB上截取AH=AC，过H作HD⊥AC于D，设HD=3x,AH=AC=5x，则
CH √10
AD=4x,DC=AC−AD=x．解Rt△HDC，HC=√10x，sadA= = ．
AH 5
【详解】（1）解：如图，∠BAC=90°,AB=AC,
BC
sad90°= ,
AB
AB √2
∵cos45°= = ,
BC 2
BC
∴sad90°= =√2.
AB
（2）解：如图，点A在BC的中垂线上，当点A向BC靠近时，∠A增大，逐渐接近180°，腰长AB
1 1 BC
接近 BC，AB> BC 相应的sadA= <2；
2 2 AB
BC
当点A远离BC时，∠A减小，逐渐接近0°，腰长AB逐渐增大，相应的sadA= 逐渐接近0，
AB
BC
sadA= >0；
AB
∴0<sadA<2（3）解：如图，在AB上截取AH=AC，过H作HD⊥AC于D，
3 DH
sin A= = ，
5 AH
设HD=3x,AH=AC=5x，则，AD=√AH2−H D2=4x,
∴DC=AC−AD=5x−4x=x．
Rt△HDC中，HC=√CD2+H D2=√10x，
CH √10x √10
∴sadA= = = ．
AH 5x 5
【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三
角形是解题的关键．
【变式3】已知△ABC中，∠A=30°,AB=4．
(1)如图1，若∠C=90°，则AC=________（结果保留根号）
(2)如图2，若∠C=45°，求AC的长．（结果保留根号）
【答案】(1)2√3
(2)2√3+2
【知识点】解直角三角形的相关计算、解非直角三角形
【分析】（1）解Rt△ABC，即可求解；（2）过点B作BD⊥AC于点D，解Rt△ADB,Rt△CDB，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，∠A=30°,AB=4．
1
∴BC=sin30°×AB= ×4=2，
2
∴AC=√AB2−BC2=√42−22=2√3，
故答案为：2√3．
（2）解：如图所示，过点B作BD⊥AC于点D，
∵△ABC中，∠A=30°,AB=4，
1 √3
∴BD=sin∠A×AB= ×4=2，AD=cosA×AB= ×4=2√3，
2 2
∵∠C=45°，
BD 2
∴CD= = =2，
tanC 1
∴AC=AD+DC=2√3+2．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键．
考点6：同角三角函数关系
典例6：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三
1√ (a2+b2−c2
)
2
边分别为a、b、c的△ABC的面积为S = a2b2− ．△ABC的边a、b、c所对的
△ABC 2 2
1 1 1
角分别是∠A、∠B、∠C，则S = absinC= acsinB= bcsinA．下列结论中正确的是
△ABC 2 2 2
（ ）
a2+b2−c2 a2+b2−c2
A．cosC= B．cosC=−
2ab 2ab
a2+b2−c2 a2+b2−c2
C．cosC= D．cosC=
2ac 2bc
【答案】A【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵S =
1√
a2b2−
(a2+b2−c2
)
2
，S =
1
absinC，
△ABC 2 2 △ABC 2
1√ (a2+b2−c2 ) 2 1
∴ a2b2− = absinC
2 2 2
(a2+b2−c2
)
2
即a2b2− =a2b2sin2C，
2
(a2+b2−c2
)
2
a2b2(1−sin2C)= ，
2
(a2+b2−c2
)
2
cos2C= ，
2ab
a2+b2−c2
cosC=
2ab
故选：A．
【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉sin2C+cos2C=1是解题的关键．
【变式1】若sinα−cosα=m，则sinα⋅cosα的值是（ ）
1 1
A．1+m2 B．1−m2 C． (1+m2) D． (1−m2)
2 2
【答案】D
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可．
【详解】解：∵sinα−cosα=m，
∴(sinα−cosα) 2=m2，即：sin2α−2sinα⋅cosα+cos2α=m2，
∵sin2α+cos2α=1，
∴1−2sinα⋅cosα=m2，
1
∴sinα⋅cosα= (1−m2)，
2
故选：D．
【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键．
sinA
【变式2】同角三角函数关系：sin2A+cos2A= ；tanA=
cosA【答案】1
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】根据三角函数值定义，结合图形，数形结合即可得到答案．
【详解】解，如图所示：
对边 a 邻边 b
根据三角函数值定义：sinA= = ,cosA= = ，
斜边 c 斜边 c
∴ sin2A+cos2A=
(a) 2
+
(b) 2
=
a2
+
b2
=
a2+b2
，
c c c2 c2 c2
∵在Rt△ABC中，a2+b2=c2，
∴ sin2A+cos2A=1，
故答案为：1．
【点睛】根据三角函数值定义，作出图形，结合勾股定理数形结合是解决问题的关键．
sinα−cosα
【变式3】已知α是锐角，且tanα=2，则 = ．
sinα+cosα
1
【答案】
3
【知识点】利用同角三角函数关系求值
【分析】本题考查了同角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．
sinα−cosα tanα−1
将分子和分母同时除以cosα，化简可得 = ，然后代入tanα=2求解；
sinα+cosα tanα+1
sinα−cosα tanα−1
【详解】 = ，
sinα+cosα tanα+1
∵tanα=2,
2−1 1
∴原式= =
2+1 3
1
故答案为： ．
3
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：如图1：sin2∠A +sin2∠B =
1 1
如图2：sin2∠A +sin2∠B =
2 2
如图3：sin2∠A +sin2∠B =
3 3
①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B= ；
②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的
定义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B．
√51
【答案】1，1，1①1②见解析③sinB=
10
【知识点】互余两角三角函数的关系
【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果；
①由上计算可想到在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2∠A+sin2∠B=1；
a b
②在Rt△ABC中，∠C=90°，利用锐角三角函数的定义得出sin A= ，sinB= ，则
c c
a2+b2
sin2A+sin2B= ，根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
c2
③利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sin∠A=0.7，进行求解．
【详解】由图可知：sin2∠A +sin2∠B =
(1) 2
+
(√3) 2
=1
1 1 2 2
2 2
sin2∠A +sin2∠B =
(√2)
+
(√2)
=1
2 2 2 2
sin2∠A +sin2∠B =
(3) 2
+
(4) 2
=1
3 3 5 5
故答案为：1，1，1．①观察上述等式，可猜想：sin2∠A+sin2∠B=1
故答案为：1．
②在Rt△ABC中，∠C=90°
a b
∵sin A= ，sinB=
c c
a2+b2
∴sin2A+sin2B=
c2
∵∠C=90°
∴a2+b2=c2
∴sin2A+sin2B=1
③∵sinA=0.7，sin2A+sin2B=1
√51
∴sinB=√1−sin2A=√1−(0.7) 2=
10
【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键．
【变式1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，再添加一个条件就能够证明△ABC是直角三角形．
(1)给出下列四个条件：①sinB=sinC；②sinB=cosC；③AC2=CD⋅BD；④AD2=BD⋅CD，
其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
【答案】(1)②④
(2)见解析
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、互余两角三角函数的关系
【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．
（1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可；
（2）选择②，根据sinB=cos∠BAD=cosC，得到∠C=∠BAD，进而得到∠B+∠C=90°即可；
选择④，等积式化为比例式，证明△ADB∽△CDA，得到∠C=∠BAD，进而得到
∠B+∠C=90°即可．
掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】（1）解：当sinB=sinC时，如图可知，∠B,∠C均为锐角，
∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形，无法得到△ABC是直角三角形；故①错误；
②当sinB=cosC时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
AD
∴sinB= =cos∠BAD，∠B+∠BAD=90°，
AB
∴cos∠BAD=cosC，
∴∠C=∠BAD，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，故②正确；
若△ABC是直角三角形，则：∠BAC=90°=∠ADC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
AC BC
∴ = ，
CD AC
∴AC2=CD⋅BC，与AC2=CD⋅BD不符；故③错误；
当AD2=BD⋅CD，
AD CD
则： = ，
BD AD
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠C=∠BAD，
∴∠B+∠C=∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形，故④正确；
综上：可以选择的是②④；
故答案为：②④；
（2）选择②，证明如下：
当sinB=cosC时，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
AD
∴sinB= =cos∠BAD，∠B+∠BAD=90°，
AB
∴cos∠BAD=cosC，∴∠C=∠BAD，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
选择④，证明如下：
当AD2=BD⋅CD，
AD CD
则： = ，
BD AD
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠C=∠BAD，
∴∠B+∠C=∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是直角三角形．
【变式2】若a为锐角．
(1)求证：①sinα=cos(90∘−α)；②sin2α+cos2α=1；
(2)试求：sin21°+sin22°+⋯+sin245°+⋯+sin288°+sin289°的值．
【答案】(1)①见解析；②见解析
1
(2)44
2
【知识点】互余两角三角函数的关系、三角函数综合
【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解
题的关键．
（1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可；
（2）由（1）的计算可得sin89∘=cos1∘，sin88∘=cos2∘， sin46∘=cos44∘，由此变形即可求
解．
【详解】（1）解：若α为锐角，
建立如上图所示的直角△ABC，∠C=90∘，∠A=α，BC BC
①sinα= ，cos(90∘−α)=cosB= ，
AB AB
∴sinα=cos(90∘−α)；
BC AC
②∴BC2+AC2=AB2，而sinα= ，cosα= ，
AB AB
∴sin2α+cos2α=
(BC) 2
+
(AC) 2
=
BC2+AC2
=1；
AB AB AB2
（2）解：由（1）可得：sin89∘=cos1∘，sin88∘=cos2∘， sin46∘=cos44∘，
∴sin21∘+sin22∘+…+sin245∘+…+sin288∘+sin289∘
=(sin21∘+cos21∘)+(sin22∘+cos22∘)+⋯⋯+(sin244∘+cos244∘)+sin245∘
2
(√2)
=1×44+
2
1
=44 ．
2
【变式3】嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
2 2
sin245°+sin245=
(√2)
+
(√2)
=1．
2 2
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，
∠B所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
【答案】(1)成立，见解析
(2)成立，见解析sinα
(3)tanα=
cosα
【知识点】互余两角三角函数的关系、求证同角三角函数关系式
【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值代入计算验证即可；
a b
（2）根据正弦函数的定义列出sinα= ，sinβ= ，结合勾股定理整理化简即可证得结论；
c c
a b
（3）根据正切函数的定义列出表达式，然后结合Rt△ABC中，sinα= ，cosα= ，再变形代入
c c
整理即可得出结论．
1 √3
【详解】（1）解：∵sin30°= ，sin60°= ，
2 2
∴sin2α+sin2β=
(1) 2
+
(√3) 2
=1，结论成立；
2 2
（2）解：成立．理由如下：
a b
在Rt△ABC中，sinα= ，sinβ= 且a2+b2=c2，
c c
∴sin2α+sin2β=
(a) 2
+
(b) 2
=
a2+b2
=
c2
=1，故结论成立；
c c c2 c2
sinα
（3）解：tanα= ，理由如下：
cosα
a b a
在Rt△ABC中，sinα= ，cosα= ，tanα= ，
c c b
a
c sinα
∴tanα= = ，
b cosα
c
sinα
∴tanα= ．
cosα
【点睛】本题考查余角之间的三角函数关系，以及同角三角函数关系的推理证明，理解三角函数的
基本定义，灵活变形构造是解题关键．
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：在数学活动课上，老师带领学生去测量某建筑物AB的高度．如图，在C处用高1米的测倾
器测得建筑物顶部A的仰角为α，向建筑物的方向前进20米到达D处，在D处测得建筑物顶部A的
仰角为β，此时与建筑物AB的距离（FG的长）是12米，经计算得知建筑物AB的高约为17米．(1)求线段AF的长度和tanα的值；
(2)求sin∠EAF的值．
1
【答案】(1)AF=20，tanα= ；
2
√5
(2)sin∠EAF= ．
5
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理．
（1）在Rt△AFG中，利用勾股定理即可求得AF=20，在Rt△AEG中，利用三角函数的定义即可
1
求得tanα= ；
2
（2）作FH⊥AE于点H，在Rt△AEG中，利用勾股定理求得AE=16√5，利用等积法求得
FH=4√5，再利用三角函数的定义即可求解．
【详解】（1）解：由题意得四边形CDFE，CBGE都是矩形，
∴EF=CD=20，FG=BD=12，BG=CE=1，
∵AB=17，
∴AG=16，
在Rt△AFG中，AF=√AG2+FG2=√162+122=20，
AG 16 1
在Rt△AEG中，tanα= = = ；
EG 20+12 2
（2）解：作FH⊥AE于点H，
在Rt△AEG中，AE=√AG2+EG2=√162+322=16√5，1 1
∵S = EF×AG= AE×FH，即20×16=16√5FH，
△AEF 2 2
∴FH=4√5，
FH 4√5 √5
∴sin∠EAF= = = ．
AF 20 5
【变式1】某数学研学小组将完成测量古塔大门上方匾额高度的任务，如图1是悬挂巨大匾额的古塔，
如图2，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图，已知BC=1米，∠MBC=37°，起始点
D处看点C，仰角∠ADC=45°，继续向前行走，在点E处看点B，仰角∠AEB=53°，且D到E
走了2.4米，作CN⊥AM．（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
(1)CN=______；BN=______．
(2)求匾额下端距离地面的高度AB．
【答案】(1)0.6米，0.8米
(2)4米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，掌握锐角三角函数是解题
的关键．
（1）根据锐角三角函数即可解答；
（2）先证明四边形AFCN是矩形，再利用矩形的性质可知CF=AN，CN=AF，设AE=x，再利
用锐角三角函数即可解答．
【详解】（1）解：∵CN⊥AM，
∴∠BNC=90°，
在Rt△BCN中，BC=1，∠MBC=37°，
∴CN=BC⋅sin37°≈1×0.6=0.6米，BN=BC⋅cos37°≈1×0.8=0.8米，
故答案为：0.6米，0.8米；
（2）解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，∵MA⊥AD,CN⊥AN CF⊥AD
， ，
∴∠AFC=∠CNA=∠NAF=90°，
∴四边形AFCN是矩形，
∴CF=AN,CN=AF=0.6米，
由题意知：DE=2.4米，
设AE=x米，
∴AD=DE+AE=(x+2.4)米，
∴DF=AD−AF=x+2.4−0.6=(x+1.8)米，
在Rt△CDF中，∠CDF=45°，
∴CF=DF⋅tan45°=(x+1.8)米，
∵∠AEB=53°，
∴∠ABE=90°−∠AEB=90°−53°=37°，
AE x 4
在Rt△ABE中，AB= = ≈ x米，
tan∠ABE tan37° 3
∵AB+BN=CF，
4
∴ x+0.8=x+1.8，
3
解得：x=3，
4
∴AB= x=4米，
3
∴匾额下端距离地面的高度约为4米．
【变式2】综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如
下：【实地测量】
(1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶
端A，∠DCE=∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面高度DE=1.5米，小康到镜面的距离
EC=3米，镜面到旗杆的距离CB=15米．求旗杆的高度．
(2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼晴D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在
一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度为1.5米，标杆高CF=4米，EF=3米，
BF=9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度．
(3)利用测角仪测量：小华所在的小组决定先在水平地面上选取观测点E，F（E，F，B在同一直线
上），分别测得旗杆顶端A的仰角∠α=39°，∠β=28°，再测得EF=6米，点C，D到地面的距离
CF，DE均为1.5米．求旗杆的高度（参考数据：tan28°≈0.5，tan39°≈0.8）．
【答案】(1)旗杆的高度为7.5米
(2)旗杆的高度为11.5米
(3)旗杆的高度为9.5米
【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形．解决本题的关键是利用相似三角
形对应边成比例找到边之间的关系．
（1）首先根据∠DCE=∠ACB、∠DEC=∠ABC=90°，可以证明△DCE∽△ACB，根据相似
三角形对应边成比例可求旗杆的高度；
（2）根据DE，CF，AB均垂直于地面，可证△CDG∽△ADH，根据相似三角形对应边成比例可
4−1.5 3
得 = ，解方程可求AH的高度，AH加上小英的眼睛到地面的高度就是旗杆的高度；
AH 3+9
AG AG AG AG
（3）利用tanβ= 、tanα= ，可得 − =6，解方程求出AG的高度，用AG加上CF
CG DG 0.5 0.8
即可求出旗杆的高度．
【详解】（1）解：∵∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠ABC=90°，
∴△DCE∽△ACB，
DE AB
∴ = ，
CE CB1.5 AB
∴ = ，
3 15
∴AB=7.5．
答：旗杆的高度为7.5米；
（2）解：∵DE，CF，AB均垂直于地面，
∴∠CGD=∠AHD=90°，
∵∠CDG=∠ADH，
∴△CDG∽△ADH，
CG DG
∴ = ，
AH DH
∵CG=CF−GF=4−1.5=2.5，DG=EF=3，DH=BF+EF=9+3，
4−1.5 3
∴ = ，
AH 3+9
解得：AH=10，
∴AB=10+1.5=11.5，
答：旗杆的高度为11.5米；
（3）解：由题意可得EF=6，DE=CF=GB=1.5，
AG AG
由题意得：tanβ= ，tanα= ，
CG DG
AG AG
∴CG= ，DG= ，
tanβ tanα
∵CD=CG−DG，CD=EF=6，
AG AG
∴EF= − ，
tanβ tanα
AG AG
∴ − =6，
0.5 0.8
解得：AG≈8，
∴AB=AG+GB=8+1.5=9.5．
答：旗杆的高度为9.5米．
【变式3】综合与实践：
A．新增选项
项目 测量某塔的高度
方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD
方案
量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB． ，仰角α，仰角β．测量
示意
图
测量 测量
第一次 第二次 平均值 第一次 第二次 平均值
项目 项目
CD 1.61m 1.59m 1.6m 26.4° 26.6° 26.5°
测量 ED 1.18m 1.22m 1.2m α 37.1° 36.9° 37°
数据
DB 38.9m 39.1m 39m CD 34.8° 35.2° 35m
(1)根据“方案一”的测量数据，求出塔AB的高度；
(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔AB的高度；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
【答案】(1)52m
(2)52.5m
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用．
AB CD
（1）由题意可知△ABD∽△CDE，从而得出 = ，代入测量的平均值进行求解即可；
DB ED
AB AB
（2）根据锐角三角函数的正切值分别得出BC= ，BD= ，再根据
tan37° tan26.5°
CD=BD−BC=35进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，
由题意可知△ABD∽△CDE，AB CD AB 1.6
∴ = ，即 = ，
DB ED 39 1.2
解得AB=52，
∴塔AB的高度为52米；
（2）解：如图，
AB
在Rt△ABC中，tanα= ，
BC
AB
∴BC= ，
tan37°
AB
在Rt△ABD中，tanβ= ，
BD
AB
∴BD= ，
tan26.5°
∵CD=BD−BC=35，
AB AB 4
∴ − =35，即2AB− AB=35．
tan26.5° tan37° 3
∴AB=52.5米，
∴塔AB的高度为52.5米．
考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道，已知点A在点C的正南方，点B在
点C的东南方向，在点A的北偏东30°方向上，点D在点A的正西方，在点C的南偏西60°方向上，若
AB=300m．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
(1)求BC的长度（精确到0.1m）；(2)周末小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线A→D→C慢跑到点C，他的平均速度是
120m/min，爸爸选择沿路线A→B→C散步到点C，他的平均速度为60m/min，若两人同时出
发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C．
【答案】(1)211.5m
(2)爸爸先到达点C
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，数形结合、正确计算是解题的关键．
（1）连接AC，过点B作BF⊥AC于点F，利用解直角三角形，求出BF、CF、AF，再通过解
直角三角形求出BC即可．
（2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接AC，过点B作BF⊥AC于点F，
依题意得∠CAD=90°，∠BAC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，
∵AB=300m，
1
∴BF= AB=150m，
2
∵∠ACB=45°，
∴△BFC为等腰直角三角形，
BF
∴CF=BF=150m，BC= =150√2m≈211.5m，
sin45°
答：BC的长度约为211.5m；
（2）解：由（1）可知，CF=150m，
∴CA=(150√3+150)m，
∵∠DCA=60°，
∴∠D=30°，
∴CD=2CA=(300√3+300)m，AD=CA⋅tan60°= (450+150√3)m，
∴小聪所需要的时间为：(450+150√3+300√3+300)÷120≈12.74(min)，
爸爸所需要的时间为：
(300+150√2)÷60≈8.53(min)，
∵8.53<12.74，
∴爸爸先到达点C．
【变式1】为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①A→B→C→D，②
A→E→D．经勘测，点B在点A的北偏东30°方向6千米处，点B在点C的西北方向6千米处，点
D在点A的正东方向，点D在点C的正南方向，点E在点A的南偏东15°方向，点E在点D的西南方
向．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)求C，D之间的距离（结果保留整数）；
(2)时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②
（结果保留整数）
【答案】(1)1千米
(2)路线①
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性
质：
（1）作BH⊥AD于点E，CF⊥BH于点F，用三角函数解Rt△AHB和Rt△BFC，求出EF，再
证四边形CDEF为矩形，可得CD=EF；
（2）先解Rt△AHB和Rt△BFC求出AD，再作AG⊥DE于点G，得等腰直角三角形△AGD，再
解Rt△AGE求出AE和EG，进而求出路线①和线②的长度，即可求解．
【详解】（1）解：如图，作BH⊥AD于点H，CF⊥BH于点F，则∠ABH=30°，
∠CBF=45°，由题意知AB=6，BC=6，
√3
∴ BH=AB⋅cos∠ABH=6×cos30°=6× =3√3，
2
√2
BF=BC⋅cos∠CBF=6×cos45°=6× =3√2，
2
∴ HF=BH−BF=3√3−3√2≈3×1.73−3×1.41=0.96，
∵ BH⊥AD，CF⊥BE，CD⊥DH，
∴四边形CDHF为矩形，
∴ CD=HF=0.96≈1，
即C，D之间的距离为1千米；
1
（2）解：AE=AB⋅sin∠ABH=6×sin30°=6× =3，
2
√2
CF=BC⋅sin∠CBF=6×sin45°=6× =3√2，
2
∵四边形CDHF为矩形，
∴ DH=CF=3√2，
∴ AD=DH+AH=3√2+3；
如图，作AG⊥DE于点G，则∠DAG=∠ADG=45°，
∴△AGD
是等腰直角三角形，
√2 √2 3√2
∴ AG=DG= AD= ×(3√2+3)=3+ ，
2 2 2在Rt△AGE中，∠EAG=∠EAD−∠DAG=90°−15°−45°=30°，
( 3√2) √3 √6
∴ EG=AG⋅tan30°= 3+ × =√3+ ，
2 3 2
AE=2EG=2√3+√6，
∴路线①的长度为：AB+BC+CD=6+6+1=13（千米），
路线②的长度为：AE+ED=AE+EG+DG
√6 3√2
=2√3+√6+√3+ +3+
2 2
3√6 3√2
=3√3+ +3+
2 2
3 3
≈3×1.73+ ×2.45+3+ ×1.41
2 2
≈14（千米），
∴路线②的长度大于路线①的长度，
∴应选择路线①．
【变式2】周末，小宏和小帆准备相约去湖边景点D钓鱼．如图，A,B,C,D为同一平面内的四个
景点．已知景点A位于景点B的正东方向，景点D位于景点C的正东方向，景点A位于景点D的西南
方向3000米处，景点B位于景点D的南偏西53°方向，景点C位于景点B的北偏东30°方向．（参考
4 3 4
数据：sin53°≈ ,cos53°≈ ,tan53°≈ ，√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45）
5 5 3
(1)求景点D到景点B的距离。（结果保留根号）
(2)小宏选择路线A−B−D以1.6米/秒前往景点D处，小帆选择路线B—C−D以1.5米/秒前往景点
D，两人在各景点处停留的时间忽略不计。已知两人同时出发且匀速前进，请通过计算说明谁先到
达景点D．（结果保留1位小数）
【答案】(1)2500√2米
(2)小宏【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了解直角三角形，方位角的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
DH 1500√2 3
（1）过D作DH⊥BA于H，过B作BQ⊥DC于Q，根据∴cos∠BDH= = ≈ ，求
BD BD 5
出结果即可；
AB+BD 500√2+2500√2
（2）分别求出小宏所用时间t= = ≈2643.8（秒），小帆所用时间
1.6 1.6
BC+CD 1000√6+2000√2−500√6
t= = ≈2696.7（秒），然后进行比较即可．
1.5 1.5
【详解】（1）解：过D作DH⊥BA于H，过B作BQ⊥DC于Q，如图所示：
由题意得：∠ADH=45°,∠BDH=53°,∠CBQ=30°,AD=3000m，
√2
∴在Rt△ADH中，DH=AD×cos45°=3000× =1500√2(m)，
2
√2
AH=3000×sin45°=3000× =1500√2(m)，
2
∵在Rt△BDH中，∠BHD=90°,∠BDH=53°，
DH 1500√2 3
∴cos∠BDH= = ≈ ，
BD BD 5
∴BD=2500√2
答：景点D到景点B的距离为2500√2米．
（2）解：由（1）知：四边形BHDQ为矩形
∴BQ=DH=1500√2m，∵ Rt△BDH
在 中，
∠BHD=90°,∠BDH=53°，
BH BH 4
∴tan∠BDH= = ≈ ，
DH 1500√2 3
∴BH=2000√2m，
∴AB=2000√2−1500√2=500√2(m)，
∵在Rt△BQC中，∠BQC=90°,∠QBC=30°，
BQ 1500√2
∴BC= = =1000√6(m)
cos30° √3 ，
2
1
∴CQ= BC=500√6m，
2
∴CD=(2000√2−500√6)m，
AB+BD 500√2+2500√2
小宏：t= = ≈2643.8（秒），
1.6 1.6
BC+CD 1000√6+2000√2−500√6
小帆：t= = ≈2696.7（秒），
1.5 1.5
∵2643.8<2696.7，
∴小宏先到达景点D．
答：小宏先到达景点D．
【变式3】2023年7月4日四川卧龙熊猫基地D新诞生一对双胞胎熊猫宝宝，吸引了大批游客前往
观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行游客由入口A进入园区之后可步行到达点
C，然后可以选择乘坐空中缆车从C→D，也可选择乘坐观光车从C→B→D．已知点C在点A的
北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向400米处，点D在点B的北偏
东60°方向上，且BD=600米（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√10≈3.162）(1)求CD的长度（精确到1）；
(2)已知空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，若游客想尽快到达熊猫基
地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？（精确到0.1）
【答案】(1)620米
(2)应选择乘坐观光车
【知识点】用勾股定理解三角形、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关
键．
（1）过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，先解直角三角形可得BE,DE的长，从
而可得CF的长，再解直角三角形可得AF的长，从而可得CE,BF的长，然后根据CD=CE+DE求
解即可得；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再根据时间等于路程除以速度求解即可得．
【详解】（1）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
由题意可知，AB∥CD，
则四边形BECF是矩形，
∴BE=CF,CE=BF，
∵∠DBE=60°，BD=600米，
∴BE=BD⋅cos∠DBE=300米，DE=BD⋅sin∠DBE=300√3米，
∴CF=300米，
∵∠CAF=90°−45°=45°，
CF
∴AF= =300米，
tan∠CAF
∵AB=400米，∴CE=BF=AB−AF=100米，
∴CD=CE+DE=100+300√3≈620（米），
答：CD的长度为620米．
（2）解：∵CF⊥AB，CF=300米，BF=100米，
∴BC=√BF2+CF2=100√10米，
∵空中缆车的速度是每分钟120米，观光车的速度是每分钟220米，
CD 100+300√3
∴乘坐空中缆车所需时间为 = ≈5.2（分钟），
120 120
BC+BD 100√10+600
乘坐观光车所需时间为 = ≈4.2（分钟），
220 220
∵4.2<5.2，
∴应选择乘坐观光车．
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：如图1是某广场台阶（结合轮椅专用坡道）景观设计的模型，图2是该设计第一层的截面
图，第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，深为0.4米，轮椅专用坡道AB的顶端有一个长2
米的水平面BC．
《城市道路与建筑物无障碍设计规范》第17条，新建轮椅专用坡道在不同坡度的情况下，坡道高度
应符合以下表中的规定：
坡度 1:20 1:16 1:12
最大高度
1.50 1.00 0.75
（米）
(1)选择哪个坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的？说明理由；
(2)相关部门开展广场台阶的设计规划，现在设计每级台阶的宽度为1.5米，那么第一层的台阶坡道
建造需要规划多少面积的用地？
【答案】(1)建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度，理由见解析
(2)45平方米
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用—坡度问题：（1）计算最大高度为：0.15×10=1.5（米），由表格查对应的坡度为：1:20；
（2）作BG⊥CD，求出AG的长度即可得解．
【详解】（1）解：选择1:20坡度建设轮椅专用坡道AB是符合要求的，理由如下：
∵第一层有十级台阶，每级台阶的高为0.15米，
∴最大高度为0.15×10=1.5（米），
由表知建设轮椅专用坡道AB选择符合要求的坡度是1:20；
（2）解：如图，过B作BG⊥CD于点G，
由1可知BG=1.5米，坡度是1:20，
BG 1 1.5 1
∴ = ，即 = ，
AG 20 AG 20
∴AG=30（米），
∴S=30×1.5=45（平方米）．
即第一层的台阶坡道建造需要规划45平方米的用地．
【变式1】“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶
1200m高的山峰，由山底A处先步行600m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知
点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°
（换乘登山缆车的时间忽略不计）
(1)求登山缆车上升的高度DE；
(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多
少分钟（结果精确到0.1min）（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
【答案】(1)900m
(2)38.8min
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作BM⊥AF于点M，
由题意可知，∠A=30°，∠DBE=53°，DF=1200m，AB=600m，
在Rt△ABM中，∠A=30°，AB=600m，
1
∴ BM= AB=300m=EF，
2
∴ DE=DF−EF=1200−300=900(m)
答：登山缆车上升的高度DE为900m；
（2）解：在Rt△BDE中，∠DBE=53°，DE=900m，
DE 900
∴ BD= ≈ =1125(m)
sin∠DBE 0.8
600 1125
∴需要的时间t=t +t = + ≈38.8(min)
步行 缆车 30 60
答：从山底A处到达山顶D处大约需要38.8min.
【变式2】为方便山区的山货运输，某地计划在图1所示的山上开辟一条山路，其截面示意图如图
2．从山脚的点A开始向山上修建坡道AB和CD，并在点B与点C之间设置一段与地面l平行的平路
BC，其中AB=CD=600m，BC=50m，坡道AB，CD的坡角分别为15°，45°．
(1)求点B到水平地面l的高度；
(2)求点A与点D之间的水平距离．
（结果精确到1m．参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，√2≈1.41）
【答案】(1)点B到水平地面l的高度是150米．
(2)点A与点D之间的水平距离1049米．
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，准确识图，正确地作出辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角形函数的定义进行计算是解决问题的关键．
（1）过点B作BE⊥ l于E，过点D作DG⊥ l于G，交BCDE延长线于F，解Rt△ABE得
BE=105米，AE=576米，由此可得出答案；
（2）解Rt△CDF得CF=423米，再根据AG=AE+BC+CF即可得出答案．
【详解】（1）解：过点B作BE⊥l于E，过点D作DG⊥l于G，交BCDE延长线于F，如图所示：
在Rt△ABE中，AB=600m，∠BAE=15°，
BE AE
∵sin∠BAE= ，cos∠BAE= ，sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，
AB AB
∴BE=600×sin15°≈600×0.25=150（米），AE=AB⋅cos15°≈600×0.96=576（米），
答：点B到水平地面l的高度是150米．
（2）解：在Rt△CDF中，∠DCF=45°，CD=600米，√2≈1.41，
CF
∵cos∠DCF= ，
CD
√2
∴CF=600⋅cos45°=600× =300√2≈300×1.41=423（米），
2
又∵BC=50米，
∴AG=AE+BC+CF=576+50+423=1049（米），
答：点A与点D之间的水平距离1049米．
【变式3】风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力
发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，
D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两
个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测
得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N在
同一水平线上）．(1)求叶片OA的长；
(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距
4 3 4
离．（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53°≈ ，√3≈1.7，结果保留整数）
5 5 3
【答案】(1)12m
(2)叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的
应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定及性质，勾股定理，熟练利用三角函数
解直角三角形是解题的关键．
（1）利用坡比i=3:4可求出DE、EF的长，在Rt△OME或Rt△ANE中，利用∠OME和∠N的正
切值分别求出OE、AE的长即可得答案；
（2）过点C作CH⊥OE于点M，CG⊥NE于G，可得四边形HEGC是矩形，根据旋转的性质得
出∠COH=30°，利用∠COH的余弦值可求出OH的长，进而可得答案．
【详解】（1）解：∵DE垂直于水平地面EF，
∴∠E=90°，
∵坡比i=3:4，
DE 3
∴ = ，
EF 4
设DE=3xm，则EF=4xm，
∵坡面DF长10m，
∴(3x) 2+(4x) 2=102，
解得：x=2，（负值舍去）
∴DE=6m，EF=8m，
∵MF=25m，
∴ME=MF+EF=33m，由题意得：∠OME=53°，
4
∴OE=ME⋅tan53°≈33× =44m，
3
∵MN=23.5m，
∴NE=ME+MN=56.5m．
由题意得：∠N=30°，
√3
∴AE=NE⋅tan30°=56.5× ≈32m，
3
∴OA=OE−AE=44−32=12m．
（2）如图，过点C作CH⊥OE于点M，CG⊥NE于G，
∴∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°，
∴四边形HEGC是矩形，
∴EH=CG，
∵叶片绕点O顺时针转动90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=120°，
∴∠COH=30°，
由题意得：OC=OA=12m，
√3
∴OH=OCcos∠COH=12× =6√3m，
2
∴CG=HE=OE−OH=44−6√3≈34m．
∴叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m．
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：综合与实践
素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点A，C为墙壁上的固定点，摇臂
CB绕点C旋转过程中长度保持不变，遮阳棚AB可自由伸缩，棚面始终保持平整．
CA=CB=CD=1.5米．素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角α的正切值：
时刻（时） 12 13 14 15
角α的正切
5 2.5 1.25 1
值
【问题解决】
(1)如图2，当∠ACB=90°时，这天12时在点E位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放
位置与墙壁的距离；
(2)如图3，旋转摇臂CB，使得点B离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天15时前（包括15时）都不
被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？
【答案】(1)绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m.
(2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.6m
【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识点，
(1)过B作BM⊥DE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解答即可；
(2)过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，在Rt△BEM中，解直角三角形求出EM，进而解
答即可；
解题关键是恰当作辅助线，构建直角三角形解决问题．
【详解】（1）解：如图1，过B作BM⊥DE于M，
∴CD=BM=1.5 BC=DM=1.5
， ，
BM 1.5
在Rt△BEM中，tan∠BEM= ，即5= ，
EM EM∴EM=0.3，
∴DE=DM−EM=1.5−0.3=1.2，
答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为1.2m.；
（2）解：如图，过B作BF⊥AC于F，过B作BM⊥DE于M，则BF=DM=1.2，
∴CF=√BC2−BF2=√1.52−1.22=0.9
,
∴BM=DF=CD−CF=1.5−0.9=0.6,
由表格可知，在15时前（包括15时）时，角a的正切值逐渐减小，即∠BEM逐渐较小，
∴当15时时，点E最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离，
BM 0.6
在Rt△BEM中，tan∠BEM= 即1= ，
EM EM
∴EM=0.6，
∴DE=DM−EM=1.2−0.6=0.6，
答：绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是0.6m．
【变式1】阿代的数学研学日记
课题：测量旗杆的高度
地点：青岛市山海二十六中学操场
时间：2025月3月2日
昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：
小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所
示，标杆AB=a，影长BC=b，旗杆的影长DF=c，则可求得旗杆DE的高度为_______．今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，
如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地
面的夹角为37°，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平
台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°，利用这些数据能求出旗杆DE的高
度吗？
请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，
tan54°≈1.45）
ac
【答案】 ；旗杆高度可求，为10.5米
b
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形实际应用
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解
直角三角形的方法．
AB BC ac
（1）首先证明出△BCA∽△DFE，得到 = ，然后代入即可求出DE= ；
DE DF b
（2）如图所示，过点H，作HN⊥DE于N，设DE=x米，解直角三角形得到CE的长，进而求解
即可．
【详解】（1）解：因为AC∥EF，
所以∠ACB=∠EFD，
所以△BCA∽△DFE，
AB BC
所以 = ，
DE DF
a c
所以 = ，
DE b
ac
所以DE= ；
b
（2）如图所示，过点H，作HN⊥DE于N，设DE=x米，
( 1)
∵EN= x− 米，
2
在Rt△EDG中，DE=x，∠DGE=37°，
x 5
∴≥= ≈ x，
sin37° 3
1
在Rt△ENH中，EN=x− ，∠EHN=54°，
2
1
x−
2 5( 1)，
∴EH= ≈ x−
sin54° 4 2
∵≥−EH=5，
5 5( 1)
∴ x− x− =5，
3 4 2
解得：x=10.5，
答：旗杆高度可求，为10.5米．
【变式2】阅读与思考
请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四
季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动．
如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；
冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．
工人师傅尝试设计了一个圭
表模型，图2是其截面示意图．其中OP⊥OB，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，OP=15cm，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一条直线上．据调查，该地
冬至正午时分的太阳高度角为30°，夏至正午时分的太阳高度角为77°．（注：太阳高度角是指对地
球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）
任务：
(1)求OA和OB的长．
(2)已知该地春分正午时分的太阳高度角是53.5°，工人师傅想在图2中AB之间标出春分线的位置C，
请直接写出OC的长．（结果保留一位小数．参考数据：sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，
tan77°≈4.33，sin53.5°≈0.80，cos53.5°≈0.59，tan53.5°≈1.35，√3≈1.73．）
【答案】(1)OA的长为3.5cm，OB的长15√3cm．
(2)11.1cm．
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．
（1）先求出∠PAO=77°，∠PBO=30°，再利用正切函数的定义求出OA和OB的长即即可；
（2）连接PC，由题意得：∠PCO=53.5°，根据正切的定义即可求出OC的长．
【详解】（1）解：
由题中太阳高度角的定义可知：∠PAO=77°，∠PBO=30°，
∵ OP⊥OB，
∴ ∠POB=90°，
∴ △POA，△POB是直角三角形，
∵OP=15cm，
OP 15 15
OB= = = =15√3(cm)
∴ tan∠OBP tan30° √3 ，
3
OP 15 15
∴OA= = = ≈3.5(cm)，
tan∠OAP tan∠OAP tan77°
即OA的长为3.5cm，OB的长15√3cm．
（2）如图，连接PC，由题意得：∠PCO=53.5°，∵ ∠POC=90°
，
∴ △POC是直角三角形，
OP 15
∴ OC= = ≈11.1cm，
tan53.5° 1.35
即OC的长度是11.1cm．
【变式3】实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求
为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验置图抽象成右侧示意
1
图，已知试管AB=24cm，BE= AB，试管倾斜角∠ABG为12°．（参考数据：sin12°≈0.21；
3
cos12°≈0.98）．
(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度：
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点
C, D, N, F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，∠ABM=147°，求线段DN的
长度（结果精确到0.1）．
【答案】(1)7.84cm
(2)26.2cm
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键；
（1）由题意可求得BE的长，再由余弦函数定义即可求得BG的长；
（2）由正弦函数求得EG；延长GB，NM交于点H，则得四边形DNHG是矩形，求得NH，MH，
再由条件得BH=HM，最后由DN=GH=BG+BH即可求解．
1
【详解】（1）解：∵AB=24cm，BE= AB，
3
1
∴BE= ×24=8cm，
3BG
∵cos12°= ，
8
∴BG=8cos12°cm =8×0.98=7.84(cm)；
EG
（2）解：∵sin12∘= ，
BE
∴EG=8sin12°(cm)，
延长GB，NM交于点H，
∴ DNHG
四边形 是矩形，
∴NH=DG=DE−EG=(28−8sin12°)cm，DN=GH，
∴HM=NH−MN=(20−8sin12°)cm，
∵∠ABG=12°,∠ABM=147°，
∴∠FBG=135°，
∴∠MBH=45°，
∴∠MBH=∠BMH=45°，
∴BH=HM=(20−8sin12°)cm，
∴DN=GH=BG+BH
=8cos12°+20−8sin12°
=8×0.98+20−8×0.21
=26.2 (cm)；
答：线段DN的长度为26.2cm．
