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专题 07 锐角三角函数
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 sin A=cosB
cosA=sinB
余弦
正切 tanA＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：， ，
④ ，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
（五）解直角三角形的应用举例
已知条件 解法步骤
a
由tan A= ，求∠A；
b
两直角边(a，b)
∠B=90°－∠A；
Rt△ABC 两
a
边
由sinA= ，求∠A；
c
斜边，一直角边(如c，a)
∠B=90°－∠A；
∠B=90°－∠A，
b
锐角、邻边 c=
cosA
(如∠A，b)
一 一直角边
边 和一锐角
∠B=90°－∠A，
一 锐角、对边
角 (如∠A，a)
∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A)
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离 的比叫做坡度，用字母 表示，则 ，
如图，坡度通常写成 的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标
方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角，叫做方向角，如图②
中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏
西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏
西45°，西北方向指的是北偏西45°
模块三 考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
2
典例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3,sinB= ，那么边AC的长是（ ）
3
2
A． B．1 C．2 D．√5
3
【答案】C
【知识点】已知正弦值求边长
【分析】本题考查了正弦的定义，根据正弦三角函数的定义可得AC=2．
AC 2
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=3,sinB= = ，
AB 3
∴AC=2
故选：C．
【变式1】如图．在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
√3 √5 2 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【知识点】求角的余弦值、在网格中判断直角三角形
【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．把AB
向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角
CD
形，进而得到cos∠APC=cos∠EDC= 即可得答案．
DE
【详解】解：如图，把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，
则DE∥AB，
∴ ∠APC=∠EDC．
在△DCE中，有CE=√12+22=√5，CD=√22+42=2√5，DE=√32+42=5，
∴ CE2+CD2=5+20=25=DE2，
∴ △DCE是直角三角形，且∠DCE=90°，
CD 2√5
∴ cos∠APC=cos∠EDC= = ．
DE 5
故选：D．
【变式2】如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=（ ）1 √5 2√5
A． B．2 C． D．
2 5 5
【答案】A
【知识点】求角的正切值
【分析】本题考查网格中的三角函数，作AD⊥BC于点D，利用网格特点以及正切值的定义，进行
求解即可．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，设小正方形的边长为1，则：AD=2,BD=4，
AD 2 1
在Rt△ABD中，tan∠ABC= = = ；
BD 4 2
故选A．
【变式3】等腰三角形的两边长分别为10和12，则这个等腰三角形的底角的正切值为 ．
4 √119
【答案】 或
3 5
【知识点】求角的正切值、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是关键．分10是腰长
和底边长两种情况讨论求解，再利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断，然后再计算底角
的正切值即可．
【详解】解：如图，AB=AC，AD⊥BC，
当腰是10时，三角形三边长为10，10，12，则BD=CD=6，
底边上的高AD=√102−62=8，
AD 8 4
∴tanB= = = ．
BD 6 3
当腰是12时，三角形三边长为12，12，10，则BD=CD=5，
底边上的高AD=√122−52=√119，AD √119
∴tanB= = ．
BD 5
4 √119
故答案为： 或 ．
3 5
【变式4】若一个三角形三条边长的比为1:√3:2，则最小角的余弦值是 ．
√3
【答案】
2
【知识点】求角的余弦值
【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦
为邻边比斜边，正切为对边比邻边；本题首先根据三角形三边的比可以判断三角形是直角三角形，
再由大边对大角，小边对小角，根据三角函数的定义求解. 该题关键是通过三边的比判断出该三角
形为直角三角形．
【详解】解：∵三角形三边之比1:√3:2，12+(√3) 2=22，
∴这个三角形是直角三角形，
如下图所示，
根据大边对大角可知：∠A最小，
AC √3
cos∠A= =
AB 2
√3
故答案为： ．
2
【变式5】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=10，
4
sin∠ACD= ，则四边形ABCD的面积为 ．
5
【答案】48【知识点】已知正弦值求边长、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．延长CB至E，使
BE=CD，连接AE，作AF⊥BC于点F，证得△ABE≌△ADC(SAS)，得到AE=AC=10，
∠E=∠ACD，推导出EF=FC．利用三角形函数求得AF=8，利用勾股定理求得EF=6，进而得
到FC=6，EC=12，利用面积计算公式S =S 解答即可．
四边形ABCD △ACE
【详解】解：如图，延长CB至E，使BE=CD，连接AE，作AF⊥BC于点F．
∵四边形的内角和是360°，∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴∠ABE=∠D．
∴△ABE≌△ADC(SAS)，
∴AE=AC=10，∠E=∠ACD．
∵AF⊥BC，
∴EF=FC．
AF 4
在Rt△AEF中，sinE= =sin∠ACD= ，
AE 5
4 4
∴AF= AE= ×10=8，
5 5
在Rt△AEF中，由勾股定理得EF=√102−82=6，
∴FC=6，
∴EC=12，
1 1
∴S =S = CE⋅AF= ×12×8=48，
四边形ABCD △ACE 2 2
故答案为：48．
考点2：特殊角三角函数值
√3 1
典例2：△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sin A= ，cosB= ，则△ABC的形状是（ ）．
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
【答案】C【知识点】三角形内角和定理的应用、由特殊角的三角函数值判断三角形形状
【分析】根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得∠A=60∘，∠B=60∘；再根据三角形
内角和性质计算得∠C=60∘，即可得到答案．
√3 1
【详解】∵∠A、∠B都是锐角，且sin A= ，cosB=
2 2
∴∠A=60∘，∠B=60∘
∴∠C=180∘−∠A−∠B=60∘
∴△ABC的形状是锐角三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、
三角形内角和的性质，从而完成求解．
【变式1】估计4sin60°的值在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【知识点】无理数的大小估算、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、无理数的估算，先求出4sin60°=√12，再估算出
3<√12<4即可得出答案．
√3
【详解】解：4sin60°=4× =2√3=√12，
2
∵9<12<16，
∴√9<√12<√16，即3<√12<4，
∴ 估计4sin60°的值在3与4之间，
故选：B．
【变式2】下列式子中不成立的是（ ）
1
A．√2cos45°=2sin30° B．sin30°⋅cos60°= sin245°
2
C．cos45°−sin45°=0 D．3sin(30°+30°)=sin30°+sin30°
【答案】D
【知识点】特殊三角形的三角函数、特殊角三角函数值的混合运算
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入计算得出答案．
√2 1
【详解】解：A．√2cos45°=√2× =1，2sin30°=2× =1，原式成立，故此选项不合题意；
2 2B．sin30°⋅cos60°=
1
×
1
=
1
，
1
sin245=
1
×
(√2) 2
=
1
，原式成立，故此选项不合题意；
2 2 4 2 2 2 4
√2 √2
C．cos45°−sin45°= − =0，故原式成立，故此选项不合题意；
2 2
3√3
D．3sin(30°+30°)=3sin60°= ，sin30°+sin30°=1，原式不成立，故此选项符合题意；
2
故选：D．
【变式3】如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于点C，D，连接
CD，则tan∠OCD的值为 ．
【答案】√3
【知识点】等边三角形的判定和性质、特殊三角形的三角函数
【分析】该题主要考查了等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是
掌握以上知识点．
证明△OCD是等边三角形，得出∠OCD=60°，根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：根据作图可得：OC=OD，
∵∠AOB=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=60°，
∴tan∠OCD=tan60°=√3，
故答案为：√3．
【变式4】计算：sin245°⋅cot60°−cos30⋅tan230°= ．
【答案】0
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：sin245°⋅cot60°−cos30⋅tan230°
2 2
(√2) √3 √3 (√3)
= × − ×
2 3 2 31 √3 √3 1
= × − ×
2 3 2 3
√3 √3
= −
6 6
=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题关键．
【变式5】△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且|tanB−√3|+(2sin A−√3) 2=0，则△ABC的形状是
．
【答案】等边三角形
【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状
√3
【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性可得tanB=√3,sin A= ，再根据特殊角的三
2
角函数值求出∠A,∠B的度数，然后根据等边三角形的判定即可得．
【详解】由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：tanB−√3=0,2sin A−√3=0，
√3
解得tanB=√3,sin A= ，
2
∵在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，
∴∠A=60°,∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值等知识点，熟记特殊
角的三角函数值是解题关键．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：已知在△ABC中，∠C=90°，45°<∠B<60°，设cosB=n，那么n的取值范围是
（ ）
√2 1 √2 1 √2 √3
A． 0；于是0 BC 相应的sadA= <2；
2 2 AB
BC
当点A远离BC时，∠A减小，逐渐接近0°，腰长AB逐渐增大，相应的sadA= 逐渐接近0，
AB
BC
sadA= >0；
AB
∴0
