文档内容
模型介绍
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边
形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，
345的三角形比含有30°的直角二角形的1： ：2以及含有45°的直角三角形的1：1： 更加特
殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2： 及1：
3： )，综合性非常大，深受压轴题的喜爱。现在带领大家领略一下，345的独特魅力`
【引入】
1． 如图，在 3×3 的网格中标出了∠ 1 和∠ 2，则∠ 1＋∠ 2＝
2． 如图 ，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是 BC 边上的高，BD＝3，DC＝2， AD 的长为 .
第2题 第3题3． A（0,6）B（3,0）在X轴上有一点P，若∠PAB=45°，则P点坐标为 .
【“1 2 3”+“4 5”的来源】
此外，还可以得到例题精讲
【例1】．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）．
A．30 B．45 C．60 D．75
变式训练
【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3 ，且∠ECF＝
45°，则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式1-2】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ ．
（1）求CD的长；
（2）求sin 的值．
α【例2】．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接
EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 ．
变式训练
【变式2-1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF
＝45°，则DF的长是 ．
【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，
已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是 ．1．如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则
DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点
E，则DE的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3.5 D．4
3．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B
落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是
（ ）A．2 B． C． D．3
4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方
形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB
的值为 ．
6．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若
EF为折痕，则sin∠BED的值为 ， 的值为 ．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝ 的图象上，如果∠AOE
＝45°，那么直线OA的表达式是 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按
顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
9．如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，
若CF＝2，则DF＝ ．10．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝ 的图象上，作射线AB，再将射线
AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 ．
11．如图，已知正方形ABCD的边长为 ，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE＝2BE，过
B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ．
12．如图，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且∠NMB＝∠MBC，求
tan∠ABM．13．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若AB＝6，BC＝8，求AF的长，
14．如图，二次函数y＝﹣ x+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由；
（3）设点D为直线AC上方抛物线上一点（与A、C不重合），连BD、AD，且BD交AC于点E，
△ABE的面积记作S ，△ADE的面积记作S ，求 的最小值．
1 215．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF
于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设 ＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．16．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标
为（﹣1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线 PQ交线段AC于点M，当
∠PMA＝∠E时，求点Q的坐标．17．已知 O是△ABC的外接圆，AB为 O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交 O于点E，
连接B⊙E，BE交AC于点D． ⊙ ⊙
（1）如图1，求证：∠CDE+ ∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交 O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：
OG∥AC； ⊙
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝ ，求AG的长．18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于
点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到
△FBE．
（1）如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是 ；
（2）若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕
迹）．连接DF，则∠EDF＝ °；
（3）如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．20．如图（1），抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右
边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝ ．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝
∠ACB，求点P的坐标；
（3）如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB＝3∠ACB，求点D的坐标．
