文档内容
模型介绍
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边
形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。而在直角二角形中，
345的三角形比含有30°的直角二角形的1： ：2以及含有45°的直角三角形的1：1： 更加特
殊更加重要。因为345不仅仅是自己特殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2： 及1：
3： )，综合性非常大，深受压轴题的喜爱。现在带领大家领略一下，345的独特魅力`
【引入】
1． 如图，在 3×3 的网格中标出了∠ 1 和∠ 2，则∠ 1＋∠ 2＝
2． 如图 ，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是 BC 边上的高，BD＝3，DC＝2， AD 的长为 .
第2题 第3题3． A（0,6）B（3,0）在X轴上有一点P，若∠PAB=45°，则P点坐标为 .
【“1 2 3”+“4 5”的来源】
此外，还可以得到例题精讲
【例1】．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P是网格交点）．
A．30 B．45 C．60 D．75
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故选：B．
变式训练
【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3 ，且∠ECF＝
45°，则CF的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，
，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3 ，CB＝6，
∴BE＝ ＝ ＝3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF＝ ＝ ，
∴（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，
即AF＝4，
∴GF＝5，
∴DF＝2，
∴CF＝ ＝ ＝2 ，
故选：A．【变式1-2】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝ ．
（1）求CD的长；
（2）求sin 的值．
α
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝ ，
∴tanB＝ ．
设AC＝3x，则BC＝4x．
∵BC2+AC2＝AB2，
∴（3x）2+（4x）2＝52．
∴x＝1．
∴AC＝3，BC＝4．
∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1＝3．
（2）如图，过点B作BE⊥AD于点E．
∴∠BED＝90°．
∴∠BED＝∠ACD．
∵∠BDE与∠CDA是对顶角，
∴∠BDE＝∠CDA．
∴△BDE∽△ADC．∴ ．
在Rt△ACD中，∠C＝90°，
∴AD＝ ．
∴ ．
∴BE＝ ．
∴∠BED＝90°，
∴sin ＝ ．
【例2】α．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接
EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为 2 ．
解：
法一：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2，
法二：设BE＝x，连接GF，如下图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠GCF＝90°，
∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴∠GAF＝90°，GA＝FA，
∴△GAF为等腰直角三角形，
∵∠EAF＝45°，
∴AE垂直平分GF，
∴∠AEB+∠CGF＝90°，
∵在Rt△AEB中，∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CGF，
∴△BAE∽△CGF，
∴ ，
∵CF＝CD﹣DF＝6﹣3＝3，GC＝BC+BG＝BC+DF＝6+3＝9，
∴ ，
∴x＝2，
即BE＝2，故答案为：2．
变式训练
【变式2-1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF
＝45°，则DF的长是 ．
解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，
∵点M，点N是AD，BC的中点，
∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AB＝AM＝4，
∴四边形ABNM是菱形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，
∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，
∴△ABG≌△AMH（SAS），
∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAH+∠BAE＝45°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，又∵AG＝AH，AE＝AE
∴△AEG≌△AEH（SAS）
∴EH＝GE，
∴EH＝2+MH，
在Rt△HEN中，EH2＝NH2+NE2，
∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，
∴MH＝
∵MN∥CD，
∴△AGM∽△AFD，
∴
∴DF＝ × ＝ ，
故答案为： ．
【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x轴，y轴于A，B两点，
已知点C（3，0）．点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m的值是 1 8 ．
解：作OD＝OC＝3，连接CD．则∠PDC＝45°，如图，
由y＝﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
∴OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA＝45°，
所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
∴m＞0．
∵∠CPA＝∠ABO＝45°，∴∠BPA+∠OPC＝∠BAP+∠BPA＝135°，即∠OPC＝∠BAP，
∴△PCD∽△APB，
∴ ，即 ，
解得m＝18．
故答案是：18．
1．如图，在矩形ABCD中BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则
DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD＝90°，由折叠可得△BEF≌△BEA，
∴EF⊥BD，AE＝EF，AB＝BF，
在Rt△ABD中，AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，
根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10﹣6＝4，
设EF＝AE＝x，则有ED＝8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
则DE＝8﹣3＝5，
故选：C．
2．如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点
E，则DE的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3.5 D．4
解：如图，
连接AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠得，
AF＝AB，GF＝BG＝ BC＝3，∠AFG＝∠B＝90°，∴AD＝AF，∠AFE＝180°﹣∠AFG＝90°，
∴∠AFE＝∠D，
∵AE＝AE，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
∴DE＝FE，
设DE＝EF＝x，则CE＝6﹣x，EG＝EF+FG＝x+3，
在Rt△CGE中，由勾股定理得，
EG2﹣CE2＝CG2，
∴（x+3）2﹣（6﹣x）2＝32，
∴x＝2，
∴DE＝2，
故选：A．
3．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B
落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是
（ ）
A．2 B． C． D．3
解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于N，
∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，∴BC＝CH＝4，∠DCF＝∠GCF，BE＝EH＝2，∠B＝∠CHE＝90°，
在△CPH和△CPN中，
，
∴△CPH≌△CPN（AAS），
∴NP＝PH，CH＝CN＝4，
∵∠B＝∠BCD＝90°，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
又∵CN＝CB＝4，
∴四边形BCNM是正方形，
∴MN＝BM＝4，
∴EM＝2，
∵EP2＝EM2+PM2，
∴（2+NP）2＝4+（4﹣NP）2，
∴NP＝ ，
∵tan∠DCF＝ ，
∴ ，
∴DF＝2，
故选：A．
4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE的垂线交正方
形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（ ）A． B． C． D．1
解：作FH⊥BG交于点H，作FK⊥BC于点K，
∵BF平分∠CBG，∠KBH＝90°，
∴四边形BHFK是正方形，
∵DE⊥EF，∠EHF＝90°，
∴∠DEA+∠FEH＝90°，∠EFH+∠FEH＝90°，
∴∠DEA＝∠EFH，
∵∠A＝∠EHF＝90°，
∴△DAE∽△EHF，
∴ ，
∵正方形ABCD的边长为3，BE＝2AE，
∴AE＝1，BE＝2，
设FH＝a，则BH＝a，
∴ ，
解得a＝1；
∵FK⊥CB，DC⊥CB，
∴△DCN∽△FKN，
∴ ，
∵BC＝3，BK＝1，
∴CK＝2，
设CN＝b，则NK＝2﹣b，
∴ ，
解得b＝ ，
即CN＝ ，
∵∠A＝∠EBM，∠AED＝∠BME，
∴△ADE∽△BEM，∴ ，
∴ ，
解得BM＝ ，
∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝3﹣ ﹣ ＝ ，
故选：B．
5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB
的值为 ．
解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB＝2，OB＝ ＝2 ，AO＝ ＝2 ，
∵△ABO的面积＝ AO•BD＝ ×2×2，∴BD＝ ，
在Rt△BOD中，sin∠AOB＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
6．如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若
EF为折痕，则sin∠BED的值为 ， 的值为 ．
解：设Rt△ABC的直角边AC＝a，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵△DEF是△AEF沿EF折叠而成，
∴∠A＝∠FDE＝∠B＝45°，
∵∠2+∠B＝∠1+∠FDE，∠FDE＝∠B＝45°
∴∠1＝∠2，
∵D是BC的中点，
∴CD＝ ，设CF＝x，则AF＝DF＝a﹣x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF2＝CF2+CD2，即（a﹣x）2＝x2+（ ）2，
解得x＝ ，
∴DF＝a﹣x＝a﹣ ＝ ，
∴sin∠1＝ ＝ ＝ ，∴sin∠2＝ ，即sin∠BED的值为 ；
过D作DG⊥AB，
∵BD＝ ，∠B＝45°，
∴DG＝BD•sin∠B＝ × ＝ ，
∵∠2＝∠1，∠C＝∠DGE，
∴△EDG∽△DFC，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ， ．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝ 的图象上，如果∠AOE
＝45°，那么直线OA的表达式是 y ＝﹣ 2 x ．
解：∵点E（6，﹣2）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝6×（﹣2）＝﹣12，
∴反比例函数为y＝﹣ ，
如图，OE顺时针旋转90°，得到OD，连接DE，交OA于F，∵点E（6，﹣2），
∴D（﹣2，﹣6），
∵∠AOE＝45°，
∴∠AOD＝45°，
∵OD＝OE，
∴OA⊥DE，DF＝EF，
∴F（2，﹣4），
设直线OA的解析式为y＝mx，
把F的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2，
∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，
故答案为y＝﹣2x．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按
顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 y ＝ x ﹣ 1 ．
解：∵一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x＝ ，
∴A（ ，0），B（0，﹣1），
∴OA＝ ，OB＝1，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝1，EF＝OA＝ ，
∴F（ ，﹣ ），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC的函数表达式为：y＝ x﹣1，
故答案为：y＝ x﹣1．
9．如图，在正方形ABCD中，P是BC的中点，把△PAB沿着PA翻折得到△PAE，过C作CF⊥DE于F，
若CF＝2，则DF＝ 6 ．
解：过A作AM⊥DF于M，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠FDC＝90°，
∵∠ADF+∠MAD＝90°，
∴∠FDC＝∠MAD，
∵∠AMD＝∠DFC＝90°，
∴△AMD≌△DFC，
∴DM＝FC＝2，
由折叠得：AB＝AE，BP＝PE，
∵AB＝AD，
∴AE＝AD，
∴DM＝EM＝2，∠EAM＝∠MAD，
∵P是BC的中点，
∴PC＝ BC＝ AD＝PE，
设∠MAD＝ ，则∠EAM＝ ，∠BAP＝∠PAE＝45°﹣ ，
∴∠APE＝9α0°﹣（45°﹣ ）α＝45°+ ， α
∵∠EAM＝∠DAM，∠BαAP＝∠PAEα，
∴∠PAE+∠EAM＝ ∠BAD＝45°，
过P作PH⊥AM于H，过E作EG⊥PH于G，
∴△PAH是等腰直角三角形，
∴∠APH＝45°，
∴∠HPE＝ ＝∠MAD，
∵∠PGE＝α∠AMD＝90°，
∴△PGE∽△AMD，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴GE＝1，AM＝2PG，
设PG＝x，则AM＝2x，∴AH＝2x﹣1，
∵AH＝PH，
∴2x﹣1＝2+x，
x＝3，
∴PG＝3，AM＝6，
∵△DAM≌△CDF，
∴DF＝AM＝6．
10．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝ 的图象上，作射线AB，再将射线
AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 6 ） ．
解法一：如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，
根据点A（2，3）和点B（0，2），可得直线AB的解析式为y＝ x+2，
由A（2，3），可得OF＝1，
当x＝﹣1时，y＝﹣ +2＝ ，即P（﹣1， ），
∴PF＝ ，
将△AGP绕点A逆时针旋转90°得△AEH，则△ADP≌△ADH，
∴PD＝HD，PG＝EH＝ ，设DE＝x，则DH＝DP＝x+ ，FD＝1+2﹣x＝3﹣x，
Rt△PDF中，PF2+DF2＝PD2，
即（ ）2+（3﹣x）2＝（x+ ）2，
解得x＝1，
∴OD＝2﹣1＝1，即D（1，0），
根据点A（2，3）和点D（1，0），可得直线AD的解析式为y＝3x﹣3，
解方程组 ，可得 或 ，
∴C（﹣1，﹣6），
故答案为：（﹣1，﹣6）．
解法二：如图，过A作AD⊥y轴于D，将AB绕着点B顺时针旋转90°，得到A'B，过A'作A'H⊥y轴于
H，
由AB＝BA'，∠ADB＝∠BHA'＝90°，∠BAD＝∠A'BH，可得△ABD≌△BA'H，
∴BH＝AD＝2，
又∵OB＝2，
∴点H与点O重合，点A'在x轴上，
∴A'（1，0），
又∵等腰Rt△ABA'中，∠BAA'＝45°，而∠BAC＝45°，
∴点A'在AC上，
由A（2，3），A'（1，0），可得直线AC的解析式为y＝3x﹣3，
解方程组 ，可得 或 ，
∴C（﹣1，﹣6），
故答案为：（﹣1，﹣6）．
解法三：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△ABF为等腰直
角三角形，易得△AEF≌△FDB，设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（2，3）和点B（0，2），∴DF＝2﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝3，
∴2﹣a+2﹣a＝3，
解得a＝ ，
∴F（ ， ），
设直线AF的解析式为y＝k'x+b，则
，解得 ，
∴y＝3x﹣3，
解方程组 ，可得 或 ，
∴C（﹣1，﹣6），
故答案为：（﹣1，﹣6）．
11．如图，已知正方形ABCD的边长为 ，对角线AC、BD交于点O，点E在BC上，且CE＝2BE，过
B点作BF⊥AE于点F，连接OF，则线段OF的长度为 ．解：如图，
作OG⊥OF交AE于G，
∴OA＝OB，∠FOG＝90°，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴∠AOB＝90°，
∴∠AOG＝∠BOF，
∵BF⊥AE，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∵∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE
∴∠OBF＝∠ABF﹣∠ABD＝90°﹣∠BAE﹣∠ABD＝90°﹣∠BAC+∠CAE﹣∠ABD＝∠CAE，
在△AOG和△BOF中，
∴△AOG≌△BOF，
∴OG＝OF，
∴△OFG是等腰直角三角形，
∵CE＝2BE，BC＝ ，
∴BE＝ ，
根据勾股定理得，AE＝ ，
∵∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠ABF＝∠AEB，
∵∠AFB＝∠ABE，
∴△ABF∽△AEB，
∴ ，
∴ ，
∴BF＝1，AF＝3，
∴AG＝BF＝1，
∴GF＝AF﹣BF＝2，
∴OF＝ ．
故答案为 ．
12．如图，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的点，且∠NMB＝∠MBC，求
tan∠ABM．
解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT＝90°，
∠OTB+∠MBT＝90°，
∴∠ABM＝∠OTB，
∴△BAM∽△TOB，
∴ ＝ ，
∴MB2＝2AM•BT①
令DN＝1，CT＝MD＝k，则：AM＝2﹣k，BM＝ ，BT＝2+k，
代入①中得：4+（2﹣k）2＝2（2﹣k）（2+k），
解方程得：k ＝0（舍去），k ＝ ．
1 2∴AM＝2﹣ ＝ ．
∴tan∠ABM＝ ＝ ．
13．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F．
（1）求证：△ABF≌△EDF；
（2）若AB＝6，BC＝8，求AF的长，
（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，
由折叠得：DE＝CD，∠C＝∠E＝90°，
∴AB＝DE，∠A＝∠E＝90°
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△ABF≌△EDF（AAS）
（2）解：∵△ABF≌△EDF，
∴BF＝DF，…4分
设AF＝x，则BF＝DF＝8﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
BF2＝AB2+AF2，即（8﹣x）2＝x2+62
x＝ ，即AF＝14．如图，二次函数y＝﹣ x+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由；
（3）设点D为直线AC上方抛物线上一点（与A、C不重合），连BD、AD，且BD交AC于点E，
△ABE的面积记作S ，△ADE的面积记作S ，求 的最小值．
1 2
解：（1）令x＝0，得y＝2，
令y＝0，得﹣ x2﹣ ，
∴x ＝﹣4，x ＝ ，
1 2
∴A（﹣4，0），B（ ），C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+2，则0＝﹣4k+2，
∴k＝ ，
∴直线AC的解析式为y＝ x+2；
（2）∠CAB＝2∠CBA，理由如下：
作点B关于y轴的对称点B′，连接CB′，∴CB＝CB′，
∴∠CBA＝∠CB′O，
∵A（﹣4，0），B（ ），C（0，2），
∴B′（﹣ ），
∴AB′＝ ，CB′＝ ＝ ，
∴AB′＝CB′，
∴∠CAB＝∠ACB′，
∵∠CB′O＝∠CAB+∠ACB′＝2∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CBA；
（3）过点D作DM⊥x轴交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴ ，
∴ ，
设点D的横坐标为a，
∴D（a，﹣ ），
∴M（a， a+2），
∵B（ ），
∴N（ ），∴DM＝﹣ a2﹣ ﹣（ a+2）＝﹣ a，BN＝ ，
∴ ＝ ，
当a＝﹣2时，﹣（a+2）2+4取得最大值，最大值为4，
此时， 有最小值，最小值为 ．
15．下面图片是八年级教科书中的一道题．
如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF
于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： AG ＝ CE ；
（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF；
（3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P．
设 ＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．
（1）解：∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
∵点G为AB的中点，
∴BG＝AG，∴AG＝CE，
故答案为：AG＝CE；
（2）证明：取AG＝EC，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∵AG＝CE，
∴BG＝BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠BEG＝45°，
∴∠AGE＝∠ECF＝135°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠FEC＝∠BAE，
∴△GAE≌△CEF（ASA），
∴AE＝EF；
（3）解：k＝ 时，四边形PECF是平行四边形，如图，
由（2）知，△GAE≌△CEF，
∴CF＝EG，设BC＝x，则BE＝kx，
∴GE＝ kx，EC＝（1﹣k）x，
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC＝45°，
∴∠PEC+∠ECF＝180°，
∴PE∥CF，
∴PE＝ （1﹣k）x，
当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴ （1﹣k）x＝ kx，
解得k＝ ．
16．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标
为（﹣1，0）．
（1）求D点的坐标；
（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；
（3）如图2，已知点P（﹣4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线 PQ交线段AC于点M，当
∠PMA＝∠E时，求点Q的坐标．
解：（1）把x＝﹣1，y＝0代入y＝x2﹣2x+c得：1+2+c＝0
∴c＝﹣3∴y＝x2﹣2x﹣3＝y＝（x﹣1）2﹣4
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）如图1，连接CD、CB，过点D作DF⊥y轴于点F，
由x2﹣2x﹣3＝0得x＝﹣1或x＝3
∴B（3，0）
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3
∴C（0，﹣3）
∴OB＝OC＝3
∵∠BOC＝90°，
∴∠OCB＝45°，
BC＝3
又∵DF＝CF＝1，∠CFD＝90°，
∴∠FCD＝45°，CD＝ ，
∴∠BCD＝180°﹣∠OCB﹣∠FCD＝90°．
∴∠BCD＝∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC，
∴∠CBD＝∠OCA
又∵∠ACB＝∠CBD+∠E＝∠OCA+∠OCB
∴∠E＝∠OCB＝45°，
（3）如图2，设直线PQ交y轴于N点，交BD于H点，作DG⊥x轴于G点
∵∠PMA＝45°，
∴∠EMH＝45°，
∴∠MHE＝90°，
∴∠PHB＝90°，
∴∠DBG+∠OPN＝90°
又∴∠ONP+∠OPN＝90°，
∴∠DBG＝∠ONP∴∠DGB＝∠PON＝90°，
∴△DGB∽△PON
∴ ＝ ，
即： ＝
∴ON＝2，
∴N（0，﹣2）
设直线PQ的解析式为y＝kx+b
则
解得：
∴y＝﹣ x﹣2
设Q（m，n）且n＜0，
∴n＝﹣ m﹣2
又∵Q（m，n）在y＝x2﹣2x﹣3上，
∴n＝m2﹣2m﹣3
∴﹣ m﹣2＝m2﹣2m﹣3
解得：m＝2或m＝﹣
∴n＝﹣3或n＝﹣
∴点Q的坐标为（2，﹣3）或（﹣ ，﹣ ）．17．已知 O是△ABC的外接圆，AB为 O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交 O于点E，
连接B⊙E，BE交AC于点D． ⊙ ⊙
（1）如图1，求证：∠CDE+ ∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交 O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：
OG∥AC； ⊙
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝ ，求AG的长．
（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交 O于点P，连接AP交BE于Q，
⊙∴ ＝ ，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵点N为AC的中点，
∴ ＝ ，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB是 O的直径，
∴∠C＝⊙90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝ ×90°＝45°，
∴∠AQB＝∠EQP＝135°，
△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，
∴∠CDE+ ∠BAC＝135°；
（2）证明：在△DGO和△DBO中，
，
∴△DGO≌△DBO（SSS），
∴∠ABD＝∠DGO，
∵DG⊥BE，
∴∠GDB＝90°，
∴∠ADG+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，
∴OG∥AD；
（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，
由（2）知：OG∥AC，
∴GH∥AC，
∴∠OHB＝∠C＝90°，
∴OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形GHCK是矩形，
∴CH＝GK，
设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，
由（2）知：∠ADG＝∠DBC，
在△GKD和△DCB中，
，
∴△GKD≌△DCB（AAS），
∴GK＝DC＝y，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tanE，
∴ ，即 ＝ ，∴EN＝ ，
∴AN＝CN＝y+ ，ON＝y，
由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，
∴（y+ ）2＝y2+（y+ ）2，
解得：y ＝﹣ （舍），y ＝ ，
1 2
∴AG＝ ＝ ＝2 ．
18．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于
点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中， ，
解得 ，
∴y＝﹣x2+2x+3，
当 时，y＝4，
∴D（1，4）；（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，
∴x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0）．
设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（0，3），B（3，0）代入，得 ，
解得 ，
∴y＝﹣x+3．
∵EF⊥CB．
设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，
∴y＝x﹣m2+m+3，联立得 ．
∴ ．
∴ ．
把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，
∴G（m，﹣m+3）．
∵BG＝CF．
∴BG2＝CF2，即 ．
解得m＝2或m＝﹣3．
∵点E是BC上方抛物线上的点，
∴m＝﹣3，（舍去）．∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1）， ， ，
∴ ；
（3）如图2，过点A作AN⊥HB于N，
∵点D（1，4），B（3，0），
∴y ＝﹣2x+6．
DB
∵点A（﹣1，0），点C（0，3），
∴y ＝3x+3，联立得 ，
AC
∴ ，
∴ ．
设 ，把（﹣1，0）代入，得b＝ ，
∴ ，联立得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ， ，
∴AN＝HN．
∴∠H＝45°．
设点P（n，﹣n2+2n+3）．
过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，
∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．
若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，
∴△OPS∽△OBP．
∴ ．
∴OP2＝OB•OS．
∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+3n+3）．
∴n＝0或 或n＝3（舍去）．
∴P （0，3）， ， ．
1
19．如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将△ABE沿直线BE翻折得到
△FBE．
（1）如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是 DE ＝ AE ；
（2）若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出△FBE（不写作法，保留作图痕
迹）．连接DF，则∠EDF＝ 7 5 °；
（3）如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．解：（1）DE＝ AE，理由如下：
在正方形ABCD中，∠ADB＝45°，∠A＝90°，
由折叠的性质可得：AE＝EF，∠EFB＝∠A＝90°，
∴∠EFD＝90°，
∴△EFD为等腰直角三角形，
即DF＝FE，
由勾股定理可得： EF＝DE，
即DE＝ AE；
（2）作图如下：
则△FBE为即为所求，
由题意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，点F在MN上，
则AF＝BF，
由折叠的性质可得AB＝BF，
∴△ABF为等边三角形，
∴∠BAF＝60°，△ADF为等腰三角形，
∴∠DAF＝30°，
∴∠EDF＝ ，
故答案为：75；
（3）取CD的中点O，连接BO，FO，如图，∵∠CFD＝90°，
∴OF＝CO＝OD＝2，
∵BC＝BA＝BF，BO＝BO，
∴△BCO≌△BFO（SSS），
∴∠BFO＝∠BCO＝90°，
∴∠EFB+∠BFO＝180°，
∴点E，F，O共线，
设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得x＝ ，
即AE的长为 ．
20．如图（1），抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右
边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝ ．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝
∠ACB，求点P的坐标；
（3）如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB＝3∠ACB，求点D的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3与y轴的正半轴交于点C，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
∵tan∠BCO＝ ，
∴ ＝ ，
∴OB＝1，
∴B（1，0），
将B（1，0）代入y＝ax2+（a﹣5）x+3，得a+a﹣5+3＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）如图（2）设PQ与x轴交于N．
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点Q （2，﹣1），
∵A （3，0），B （1，0），C （0，3），
∴AB＝2，OC＝OA＝3，
∴∠CAO＝45°，AC＝3 ，
过Q作QH⊥x轴于H，则QH＝AH＝1，
∴∠QAH＝45°，AQ＝ ，
∴∠CAO＝∠QAH＝45°，
∵∠AQP＝∠ACB，
∴△CAB∽△QAN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴AN＝ ，
∴ON＝3﹣ ＝ ，
∴N （ ，0），
又Q（2，﹣1），
∴直线PQ解析式为：y＝3x﹣7，
联立方程组 ，
解得： ， ；
∴P（5，8）；
（3）如图（3）作BM⊥AC于M，当点D在线段CM上时，则∠ADB＝3∠ACB，
∴∠CBD＝2∠ACB，
作∠CBD的平分线BE交CD于点E，
∴∠CBD＝2∠CBE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∴BE＝CE，
∵y＝x2﹣4x+3，
∴A（3，0），B（1，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∠OAC＝∠OCA＝45°，
设E（a，﹣a+3），则（a﹣1）2+（a﹣3）2＝a2+a2，
解得：a＝ ，
∴E（ ， ），
设D（m，﹣m+3），
∵∠BCD＝∠EBD，∠BDC＝∠EDB，
∴△BCD∽△EBD，
∴BD2＝CD•ED，∴（m﹣1）2+（m﹣3）2＝ （m﹣ ）• m，
解得：m＝ ，∴D（ ， ）．
