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专题 11 反比例函数及其应用（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 反比例函数的定义】
1．（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽
车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆合川·统考中考模拟）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长l与边长a的关系
C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
3．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的高
为L与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
4．（2022·湖北武汉·统考一模）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
x 2 2
A．y= B．y= C．y= D．y＝2x
2 x+1 x
5．（2022·四川广元·统考一模）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，
正确的是( )
A．两条直角边成正比例 B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例 D．一条直角边与斜边成反比例
【考点2 反比例函数的图象】
6．（2022·河北·模拟预测）如图，若抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵
k
坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y= (x>0)的图象是（ ）
xA． B．
C． D．
4 4
7．（2022·江苏淮安·统考一模）定义运算：a⊕b＝¿，例如：4⊕5＝ ，4⊕(-5)＝ ，那么函数y=2⊕x
5 5
（x≠0）的图象大致是( )
A． B．C． D．
8．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，有四条直线m，n，p，q和一条曲线，曲线是反比例函数
6
y= (x>0)在平面直角坐标系中的图象，则y轴可能是（ ）
x
A．直线m B．直线n C．直线p D．直线q
9．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（n0)上，且00)的图像C 上一点，直线AB∥x轴，交
x 1
3
反比例函数y= （x>0）的图像C 于点B，直线AC∥y轴，交C 于点C，直线CD∥x轴，交C 于点
x 2 2 1
D．
(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由．
3
15．（2022·江苏泰州·统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y= 的函数图像：
x
(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点
A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；
(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻
度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）
【考点4 反比例函数的性质】
16．（2022·河南新乡·校考一模）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分
ax
析图像特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y= −b（a，b为常数）的图像部分过程，
x−2
请你按要求完成下列问题：
(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6 7 …2 1 2 1 2 2 1 2
y … − − − − − -1 -2 2 1 …
7 3 5 2 3 3 2 5
根据表中的数据求出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质________．
ax
(3)已知函数y=x-1的图像如图所示，结合你所画出的函数图像，请直接写出方程 −b=x−1的解．
x−2
k
17．（2022·重庆·校联考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y= (k<0)的图象经过
x
点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且△ABO的面积为2．
（1）k和m的值；
k
（2）若点C(x，y)也在反比例函数y= 的图象上，当1≤x≤3时，直接写出函数值y的取值范围．
x
k
18．（2022·广东广州·统考二模）已知在函数y= (x>0)中，y随x的增大而增大，A=(1+k)(1+|k|)+2，
x
（1）化简A；
（2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为−2，求A的值．
k+1
19．（2022·浙江杭州·校考一模）已知函数y ＝kx+k+1与y ＝ ．
1 2 x
(1)若y 过点（1，3），求y，y 的解析式；
1 1 2
(2)在（1）的条件下，若1≤y≤2，求出此时y 的取值范围；
2 1
(3)若y 的图象过一、二、四象限，判断y 的图象所在的象限．
1 2
k
20．（2022·浙江杭州·统考二模）已知反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A(2,3)．
x
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)判断点B(−1,6)是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
(3)点 ， 是图象上的两点，若 ，比较 和 的大小，并说明你的理由．
C(x ,y ) D(x ,y ) x 0)交于A、B两点，P是线段AB上的点
x
(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设
AOC的面积为S 、 BOD的面积为S 、 POE的面积为S ，则（ ）
1 2 3
△ △ △
A．S S >S C．S =S >S D．S =S 0)的图象与反比例函数
1 2 2015
y = ,y = ,⋅ ⋅ ⋅y, = 的图象在第一象限内分别交于点A ，A ，…，A，点B ，B ，…，
1 x 2 x 2015 x 1 2 1 2
1 2 2014
B分别在反比例函数y = ,y = ,⋅ ⋅ ⋅y, = 的图象上，且A B ，A B ，…，AB分别与y轴
1 x 2 x 2014 x 2 1 3 2
平行，连接OB ，OB ，…，OB，则△OA B ，△OA B ，…，△OAB的面积之和为_________．
1 2 2 1 3 224．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE=3CE，
k
D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y= 的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k
x
的值为 _____．
a
25．（2022·吉林松原·校考一模）如图，经过原点O的直线与反比例函数y= （a＞0）的图象交于A，D
x
b
两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y= （b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五
x
边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，连接OE，则S ACE＝_____，a﹣b的值为 _____，
△
b
的值为 _____．
a【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
k
26.（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1 (k >0)和
x 1
k
y= 2 (k >0)的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k +k =（ ）
x 2 1 2
A．36 B．18 C．12 D．9
6
27.（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，且
1 1 2 2 x
x <00 C．y y
1 2 1 2 1 2 1 2
k
28.（2022·新疆乌鲁木齐·乌鲁木齐市第六十八中学校考模拟预测）如图，函数y= (k>0)的图象经过矩形
x
OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若四边形ODBC的面积为6，则k的值为( )A．2 B．3 C．4 D．6
29.（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例
k
函数y= 的图象都经过A(2,−4)、B(−4,m)两点．
x
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
30.（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例
2
函数y=− 的图象在第二象限相交于点A(−1,m)，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD=CD．
x
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA，求a的值．【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
31．（2022·吉林长春·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x
轴和y轴上，OA=5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，
k
若反比例函数y= (k≠0)的图象经过A′点，则k的值为（）
x
A．9 B．12 C．18 D．24
32．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴
k
的交点分别为点A，点B，与反比例函数y= (k≠0)的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，OE=2，
x
连接DE．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△CDE的面积；
k
(3)根据图象，直接写出不等式x+1> 的解集．
x
33．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=6，原点O是对角
k
线AC的中点，顶点A的坐标为(−2,2)，反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点
xD．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段
AC扫过的面积．
(3)若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长．
34．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点
b−3
P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A，P两点．
x
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
35．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴
k
的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为(4,2)，反比例函数y= 的图象经过AB的中点D，
x
且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n，连接OD，OE．k
(1)求反比例函数y= 的表达式和点E的坐标；
x
(2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；
k
(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y= 图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶
x
点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
k
36．（2022·山东济南·统考二模）如图1，直线l交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例函数y= (k>0)
x
的图像交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S ＝3．
△AOG
(1)k＝ ；
(2)求证：AD ＝CE；
(3)如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积
k
37．（2022·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y= (x>0)的图象交于
x
点A(3,4)和点B(6,t)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．(1)求反比例函数的表达式和直线AB的表达式；
(2)若在x轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
(3)若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A B ，且点A 始终在直线OA上，当线段A B
1 1 1 1 1
与x轴有交点时，求n的取值的最大值．
m
38．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象
x
交于A(a,4)和B(−4,−2)，与y轴交于点C．
(1)求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y=kx+b的图象．
(2)点D(4，b)在一次函数y=kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数图象于点E，连
接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
m
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≥ 的解集．
x
1 k
39．（2022·河北承德·统考二模）如图，直线y= x与反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象交于点B(m,1)，
2 x1
A是反比例函数图象上一点．直线OA与y轴的正半轴的夹角为α，tanα= ．设直线AB与x轴交于点D，
2
直线l经过点D，与y轴交于点H，设点H的纵坐标为t．
(1)求k的值及点A的坐标．
(2)t为何值时，直线l过△AOD的重心？
(3)设点P是x轴上一动点，若△PAB的面积为2，直接写出P点的坐标．
40．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A，与反
12
比例函数y=− (x<0)的图像交于点B(−6,b)．
x
(1)求b，k的值．
(2)点C是线段AB上一点（不与A，B里合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点
D，连接OC，OD，若△OCD的面积为8，求点C的坐标．
(3)将（2）中的△OCD沿射线AB平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比
例函数的图像上，求此时点D的对应D′的坐标．
【考点9 实际问题与反比例函数】
41．（2022·湖南衡阳·台州市书生中学校考一模）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成
人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反
比例函数关系．
(1)a=_____________；
(2)当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当x>100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
42．（2022·浙江金华·校联考二模）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3
支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）
的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x
成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺
激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．
43．（2022·浙江丽水·统考二模）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本
y（万元/件）的对应关系如下表所示：
投入维护资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并
求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
44．（2022·河北保定·统考模拟预测）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设
净化药物的消耗量为x(kg)，室内甲醛含量为y(mg/m3)，开机后净化器开始消耗净化药物．当01时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为t(h)（t>0），并有以下两种
工作模式：
模式Ⅰ室内甲醛含量y(mg/m3)与净化药物的消耗量x(kg)成反比，且当x=2时，y=0.9；
模式Ⅱ净化药物的消耗量由档位值k（00)的图象与性质，我们参照学习函数的过程
x
与方法，列表：
1 1 1
x … 1 2 3 4 5 …
4 3 2
17 10 5 5 10 17 26
y … 2 …
4 3 2 2 3 4 5
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x ,y ),(x ,y )在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
1 1 2 2
若00)的图象与AB交于C，D两点．(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若S =S =S ，求点B的坐标．
ΔAOC ΔCOD ΔBOD
47．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断
归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把 AOB三等分的操作如下：
（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐∠标系；
1
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y= (x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于
x
点C；
1
（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y= 的图像于点D；
x
（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；
（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．
(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；
(2)证明：O、M、E三点共线；
1
(3)证明：∠EOB= ∠AOB．
3
48．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC
12 k
为菱形，反比例函数y=− （x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y= (k>0,x＜0)经过点B，且交
x x
BC边于点D，连接AD．(1)求直线BC的表达式．
(2)求tan∠DAB的值．
12
(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=− （x>0）于点N．
x
在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
49．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b
k
经过点A(−1,0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y= (x>0)交于点C，且AC=3AB，BD∥x轴
x
k
交反比例函数y= (x>0)于点D．
x
(1)求b、k的值；
k
(2)如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y= (x>0)于
x
1
点F.若EF= BD，求m的值．
3(3)如图2，在(2)的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使
得△ODH与△ODG相似(不含全等)？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
50．（2022·浙江宁波·校考三模）我们定义：在△ABC内有一点P，连结PA，PB，PC．在所得的△ACP，
△ABP，△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心．
(1)如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上．请在图中的格点中，
画出△ABC的相似心．
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设
△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH．
①∠BMA的度数是 ．
②求证：点O为△MHG的相似心．
2√3
(3)如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数y＝－ （x＜0）的图象上，∠OHG＝30°．
x
①求点G的坐标．
②若点E为△OHG的相似心，连结OE，直接写出线段OE的长．
