文档内容
专题 14 一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 两条一次函数图象共存问题】........................................................................................................1
【考向二 一次函数与反比例函数图象共存问题】........................................................................................4
【考向三 一次函数与二次函数的图象共存问题】........................................................................................9
【考向四 一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题】...............................................................12
【直击中考】
【考向一 两条一次函数图象共存问题】
例题：（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图像可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分为 和 两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可．
【详解】解：当 时，两个函数的函数值： ，即两个图像都过点 ，故选项A、C不符
合题意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、三象限，一次函数 经过一、二、三象限，
都与 轴正半轴有交点，故选项B不符合题意；
当 时， ，一次函数 经过一、二、四象限，与 轴正半轴有交点，一次函数
经过一、三、四象限，与 轴负半轴有交点，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键．
一次函数 的图像有四种情况：
①当 ， 时，函数 的图像经过第一、二、三象限；②当 ， 时，函数 的图像经过第一、三、四象限；
③当 ， 时，函数 的图像经过第一、二、四象限；
④当 ， 时，函数 的图像经过第二、三、四象限．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级开学考试）已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：由题意得 ，
∴ ，
∴函数 的图象经过第一、二、四象限，
∴四个选项中只有选项C符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数 ，当 时，一
次函数 经过第一、二、三象限，当 时，一次函数 经过第一、三、四象限， 当
时，一次函数 经过第一、二、四象限，当 时，一次函数 经过第二、
三、四象限是解题的关键．
2．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）已知一次函数 与正比例函数 （m，n为常数，
），则函数 与 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、由一次函数的图象得： ，则 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论一致，故本选项正确，符合题意；
B、由一次函数的图象可知， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确，不符合题意；
C、由一次函数的图象可知， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知， ，故 ；由正比例函数的图象可知 ，两结论不一致，
故本选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
3．（2021春·广西南宁·八年级南宁市第四十七中学校考期中）两个一次函数 与 ，它们在
同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用k和b对一次函数图像的影响，分别对选项讨论，即可得出正确选项．
【详解】选项A：∵一次函数 经过第一三四象限，∴ ，
又∵一次函数 经过第二三四象限，∴
故两结论矛盾，故错误；
选项B：∵一次函数 经过第一二三象限，∴ ，
又∵一次函数 经过第一二四象限，∴
故两结论矛盾，故错误；
选项C：∵一次函数 经过第一二四象限，∴ ，
又∵一次函数 经过第二三四象限，∴
故两结论矛盾，故错误；
选项D：∵一次函数 经过第一三四象限，∴ ，
又∵一次函数 经过第一二四象限，∴故两结论一致，故正确；
故选：D
【点睛】本题考查了k和b对一次函数图像的影响，根据图像正确判断k和b是解本题的关键．
当 时，一次函数的解析式 经过第一二三象限；
当 时，一次函数的解析式 经过第一三四象限；
当 时，一次函数的解析式 经过第一二四象限；
当 时，一次函数的解析式 经过第二三四象限．
【考向二 一次函数与反比例函数图象共存问题】
例题：（2022春·九年级课时练习）已知抛物线 与 轴没有交点，则函数 和函数
的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可以得到m的取值范围，再根据反比例函数和一次函数的图象与性质即可得到解答．
【详解】解：∵抛物线y=−x2−2x+m+1与x轴没有交点，
∴方程−x2−2x+m+1=0没有实数根，
∴Δ=4+4×1×(m+1)=4m+8<0，
∴m<−2，
∴−m>2，
故函数y= 的图象在第二、四象限，
函数y=mx−m的图象经过第一、二、四象限.
故选：C．
【点睛】本题考查函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系、反比例函数与一次函数的
图象与性质是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·西藏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与 （其中a，b是常数，
ab≠0）的大致图象是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．
【详解】解：若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数 （ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数 （ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数 （ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数 （ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图
像的关系是解决此题的关键．
2．（2022·四川德阳·统考中考真题）一次函数 与反比例函数 在同一坐标系中的大致图象是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】A选项可以根据一次函数与y轴交点判断，其他选项根据图象判断a的符号，看一次函数和反比
例函数判断出a的符号是否一致；
【详解】一次函数与y轴交点为（0，1），A选项中一次函数与y轴交于负半轴，故错误；
B选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者
一致，故B选项正确；
C选项中，根据一次函数y随x增大而增大可判断a>0，反比例函数过一、三象限，则-a>0，即a<0，两者矛盾，故C选项错误；
D选项中，根据一次函数y随x增大而减小可判断a<0，反比例函数过二、四象限，则-a<0，即a>0，两者
矛盾，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数图象共存问题，解决此类题目要熟练掌握一次函数、反比例函
数图象与系数的关系．
3．（2022·山东济南·统考三模）函数 与 在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别讨论 和 时，一次函数和反比例函数的性质及图像特征，即可得到答案．
【详解】解：若 ，则 ，一次函数单调递减且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递减，过
二、三、四象限；反比例函数图像在一、三象限，此时没有选项的图像符合要求．
若 ，则 ，一次函数单调递增且过点（0，-5），所以一次函数的图像单调递增，过一、三、四象
限；反比例函数在二、四象限，此时选项C符合要求．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质、反比例函数的图像和性质；熟练掌握相关知识是解题的关键．
4．（2022春·九年级课时练习）在同一直角坐标系中，函数y＝kx-k与 （k≠0）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特
点进行选择正确答案．
【详解】解：当k＞0时，
一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，
函数y= （k≠0）的图象在一、二象限，
观察各选项，没有选项符合要求．
当k＜0时，
一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，
函数y= （k≠0）的图象经过三、四象限，
只有选项B的图象符合要求．
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
5．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图所示，满足函数 和 的大致图象是
（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】B
【分析】先根据反比例函数的图象所在的象限判断出k的符号，然后再根据k符号、一次函数的性质判断
出一次函数所在的象限，二者一致的即为正确答案．
【详解】解：一次函数y＝k（x−1）＝kx−k．
∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴k＜0；
∴−k＞0，∴一次函数y＝kx−k位于第一、二、四象限；
故图①错误，图②正确；
∵反比例函数的图象经过第一、三象限，
∴k＞0；
∴−k＜0，
∴一次函数y＝kx−k位于第一、三、四象限；
故图③正确，图④错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）若式子 有意义，则函数y＝kx+1和y＝ 的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先可求得k的取值范围，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴k<0，
当k<0时，一次函数y＝kx+1的图象经过第一、二、四象限，
当-10，反比例函数y＝ 的图象在第一、三象限，
四个选项中只有B符合，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式成立的条件，二次根式成立的条件，一次函数的图象，反比例函数，对k的讨论
是解决本题的关键．
7．（2022·安徽·九年级专题练习）已知一次函数y=kx+b，反比例函数 ，下列能同时正确描述
这两种函数大致图象的是（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对k、b的正负性对一次函数、反比例函数图象进行判断即可的结果；
【详解】解：当k>0，b>0时，一次函数过一、二、三象限，kb>0反比例函数过一、三象限；
当k>0，b<0时，一次函数过一、三、四象限，kb<0反比例函数过二、四象限；
当k<0，b>0时，一次函数过一、二、四象限，kb<0反比例函数过二、四象限；
当k<0，b<0时，一次函数过二、三、四象限，kb>0反比例函数过一、三象限；
故选：C
【点睛】本题主要考查一次函数、反比例函数，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键．
8．（2021·贵州铜仁·统考二模）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象大
致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分两种情况讨论，当k>0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k<0时，一次函
数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【详解】①当k> 0时，y=kx+2过第一、二、三象限， 过第一、三象限，
②当k<0时，y= kx+2过第一、二、四象限， 过第二、四象限，
观察图形可知，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】此题考查了依据一次函数与反比例函数的图象，正确掌握各函数的图象与字母系数的关系是解题
的关键．
【考向三 一次函数与二次函数的图象共存问题】
例题：（2022春·九年级课时练习）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）
A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴
负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴
负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；
C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴
正半轴，故选项C不正确；
D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴
正半轴正确，故选项D正确；
故选D．
【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关
键．
【变式训练】
1．（2022春·九年级课时练习）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否
一致．
【详解】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A
错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象与正
比例函数的图象的相关知识点．
2．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数 与一次函数 在同一平面直角坐标系中
的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】逐一分析每个选项图象与函数解析式中的系数的关系，结论一致的就是正确的，结论不一致的就
是错误的，从而可得答案．
【详解】解：选项A中的一次函数 抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为 ，则
对称轴是直线 故符合题意，
选项B中的一次函数 抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为 ，则 但是对称轴
不是直线 故不符合题意，
选项C中的一次函数 抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为 ，则 故不符合
题意，
选项D中的一次函数 抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为 ，则 对称轴不
是直线 故不符合题意，
故选A
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“结合一次函数与二次函数的系数与
图象的关系进行分析”是解本题的关键．
3．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如果二次函数 的图象如图所示，那么一次函数
的图象大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像，确定a，c的符号，然后根据一次函数性质确定图像的分布即可．
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线交于y轴正半轴，
∴c＞0，
∴ 的图像分布在第一，第二，第四象限，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，
一次函数中k，b与图像分布之间的关系是解题的关键．
4．（2022秋·黑龙江·九年级统考期中）函数y＝ax－a和 （a为常数，且 ），在同一平面直
角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据 的顶点坐标为 判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判
断 则 从而可得答案．
【详解】解：由 的顶点坐标为
故A，B不符合题意；由C，D中二次函数的图象可得：
函数y＝ax－a过一，二，四象限，
故C符合题意，D不符合题意，
故选C
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性
质”是解本题的关键．
【考向四 一次函数、反比例函数、二次函数的图象共存问题】
例题：（2022·贵州安顺·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则一次函数y=ax+b
和反比例函数y= （c≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数 （a≠0）的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，
得出c＜0，利用对称轴 ＞0，得出b＜0，然后对照四个选项中的图像判定即可．
【详解】解：因为二次函数 的图像开口向上，得出a＞0，与y轴交点在y轴的负半轴，得出
c＜0，利用对称轴 ＞0，得出b＜0，
所以一次函数y=ax+b经过一、三、四象限，反比例函数 经过二、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像、一次函数的图像以及二次函数的图像等知识点，根据二次函
数图像得到a＞0、b＜0、c＜0是解题的关键．
【变式训练】1．（2023秋·河北秦皇岛·九年级校联考期末）一次函数 和反比例函数 在同一个平面直角坐
标系中的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出 、 、 ，由此可以得出二
次函数 的图象开口向下，对称轴 ，与 轴的交点在 轴的负半轴，再对照四个
选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：观察一次函数 和反比例函数 的图象可知： 、 、 ，
二次函数 的图象开口向下，对称轴 ，与 轴的交点在 轴的负半轴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一
次函数图象经过的象限，找出 、 、 是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数 的图像如图所示，则一次函数 的
图像和反比例函 的图像在同一坐标系中大致是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据二次函数的图像开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当
x=1时，y＜0，可知a+b+c＜0，然后利用排除法即可得出正确答案．
【详解】∵二次函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∵- ＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c＞0，
∴直线y=bx+c经过一、二、四象限，
由图像可知，当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴反比例函数 的图像必在二、四象限，
故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解
答此题的关键．
3．（2023·江西·九年级专题练习）已知在同一直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx和反比例函数y＝ 的图象
如图所示，则一次函数y＝ x﹣kb的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数 的函数图象在二、四象限，得到 ，根二次函数 开口向下，
对称轴在y轴右侧，得到 ， ，则 ，由此即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数 的函数图象在二、四象限，
∴ ，
∵二次函数 开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 经过一、二、三象限，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的综合，正确理解函数图象与系
数之间的关系式解题的关键．
4．（2022·湖南永州·统考一模）已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一个坐标系内的大致图象为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象确定a，b，c的正负，即可确定一次函数y=ax+b所经过的象限和反比例函数
所在的象限．
【详解】解：∵二次函数 的图象开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴
负半轴，
∴a>0， ，c<0．
∴b>0，-c>0．
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，反比例函数 的图象在第一，三象限．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关
系，熟练掌握这些知识是解题关键．
5．（2022·广东广州·广州大学附属中学校考二模）函数 与y＝ax2﹣bx+c的图象如图所示，则函数y＝
kx+b的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数和反比例函数的图象确定k与b的符号，然后利用一次函数的性质即可求解.
【详解】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，
根据二次函数的图象可知a＜0，-b＜0，即b＞0，∴函数y＝kx+b的大致图象经过一、二、三象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的知识，熟练掌握三种函数图象和性质是解题的关键.
6．（2021·山东青岛·统考二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，
则一次函数y＝cx+ 与反比例函数y＝ 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向及对称轴的位置可得ab＜0，由抛物线与y
轴的交点位置可得c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第二、三、四象限，根
据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
，
∴b＜0，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
对于一次函数y＝cx+ ，c＜0， ，故此函数图象经过第二、三、四象限；
对于反比例函数y＝ ，ab＜0，图象分布在第二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观
察二次函数图象找出各系数的取值范围是解题的关键．7．（2022·新疆乌鲁木齐·统考三模）二次函数 的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，则函
数y＝ax＋b和y＝ 的大致图像是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由 的开口向下，对称轴是直线x＝1，与 轴交于正半轴，判断 的符号，再确
定 的图像分布，从而可得答案．
【详解】解： 的开口向下，对称轴是直线x＝1，与 轴交于正半轴，
＜ ＞ ＞
即 的图像过一，二，四象限，且过
的图像在一，三象限，
选项 ： 的图像过一，二，四象限，且过 的图像在一，三象限，符合题意，
选项 ： 的图像过一，二，四象限，但不过 过 的图像在一，三象限，不符合
题意，
选项 ： 的图像过一，二，三象限，但不过 过 的图像在一，三象限，不符
合题意，
选项 ： 的图像过一，二，四象限，过 的图像在二，四象限，不符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质，掌握利用函数图像分析问题是解
题的关键．
