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专题14 一次函数
一、一次函数图象与系数的关系
【高频考点精讲】
1．在一次函数 中，当k＞0时，y随x增大而增大。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、三象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过一、三、四象限。
2．在一次函数 中，当k＜0时，y随x增大而减小。
（1）当b＞0 时，直线交y轴于正半轴，过一、二、四象限。
（2）当b＜0 时，直线交y轴于负半轴，过二、三、四象限。
【热点题型精练】
3 √7
1．（2022•邵阳中考）在直角坐标系中，已知点A（ ，m），点B（ ，n）是直线y＝kx+b（k＜0）上的两点，
2 2
则m，n的大小关系是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m≥n D．m≤n
3 √7
解：点A（ ，m），点B（ ，n）是直线y＝kx+b上的两点，且k＜0，
2 2
∴一次函数y随着x增大而减小，
3 √7
∵ ＞ ，
2 2
∴m＜n，
答案：A．
2．（2022•安徽中考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，
∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，
∴两直线的交点的横坐标为1，
若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；
若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1；
答案：D．
3．（2022•辽宁中考）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b 与y＝k x+b 的图象分别为直线l 和直
1 1 2 2 1
线l ，下列结论正确的是（ ）
2
A．k •k ＜0 B．k +k ＜0 C．b ﹣b ＜0 D．b •b ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
解：∵一次函数y＝k x+b 的图象过一、二、三象限，
1 1
∴k ＞0，b ＞0，
1 1
∵一次函数y＝k x+b 的图象过一、三、四象限，
2 2
∴k ＞0，b ＜0，
2 2
∴A、k •k ＞0，故A不符合题意；
1 2
B、k +k ＞0，故B不符合题意；
1 2
C、b ﹣b ＞0，故C不符合题意；
1 2
D、b •b ＜0，故D符合题意；
1 2
答案：D．
4．（2022•柳州中考）如图，直线y ＝x+3分别与x轴、y轴交于点A和点C，直线y ＝﹣x+3分别与x轴、y轴交
1 2
于点B和点C，点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，则m的最大值与最小值之差为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
解：∵点P（m，2）是△ABC内部（包括边上）的一点，
∴点P在直线y＝2上，如图所示，当P为直线y＝2与直线y 的交点时，m取最大值，
2
当P为直线y＝2与直线y 的交点时，m取最小值，
1
∵y ＝﹣x+3中令y＝2，则x＝1，
2
y ＝x+3中令y＝2，则x＝﹣1，
1
∴m的最大值为1，m的最小值为﹣1．
则m的最大值与最小值之差为：1﹣（﹣1）＝2．
答案：B．
5．（2022•宿迁中考）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；乙：
“函数图象经过点（0，2）”，请你写出一个同时满足这两个特征的函数，其表达式是 y ＝﹣ x + 2 （答案不唯
一） ．
解：∵函数值y随自变量x增大而减小，且该函数图象经过点（0，2），
∴该函数为一次函数．
设一次函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），则k＜0，b＝2．
取k＝﹣1，此时一次函数的表达式为y＝﹣x+2．
答案：y＝﹣x+2（答案不唯一）．
6．（2022•天津中考）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是 1 （答案
不唯一，满足 b ＞ 0 即可） （写出一个即可）．
解：∵一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
可取b＝1，
答案：1．（答案不唯一，满足b＞0即可）
7．（2022•盘锦中考）点A（x ，y ），B（x ，y ）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x ＞x 时，y ＜y ，
1 1 2 2 1 2 1 2
则a的取值范围是 a ＜ 2 ．
解：∵当x ＞x 时，y ＜y ，
1 2 1 2
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
答案：a＜2．8．（2022•德阳中考）如图，已知点A（﹣2，3），B（2，1），直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0）．试探究：直
1
线与线段AB有交点时k的变化情况，猜想k的取值范围是 k ≤﹣ 3 或 k≥ ．
3
解：当k＜0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），A（﹣2，3），
∴﹣2k+k＝3，
∴k＝﹣3；
∴k≤﹣3；
当k＞0时，
∵直线y＝kx+k经过点P（﹣1，0），B（2，1），
∴2k+k＝1，
1
∴k= ．
3
1
∴k≥ ；
3
1
综上，直线与线段AB有交点时，猜想k的取值范围是：k≤﹣3或k≥ ．
3
1
答案：k≤﹣3或k≥ ．
3
二、一次函数图象上点的坐标特征
【高频考点精讲】
一次函数 的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是（ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，
b），直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 。
【热点题型精练】
9．（2022•株洲中考）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（ ）1 1
A．（0，﹣1） B．（− ，0） C．（ ，0） D．（0，1）
5 5
解：∵当x＝0时，y＝1，
∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1），
答案：D．
10．（2022•绍兴中考）已知（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x ＜x ＜x ，则
1 1 2 2 3 3 1 2 3
以下判断正确的是（ ）
A．若x x ＞0，则y y ＞0 B．若x x ＜0，则y y ＞0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x ＞0，则y y ＞0 D．若x x ＜0，则y y ＞0
2 3 1 3 2 3 1 2
解：∵直线y＝﹣2x+3，
∴y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5，
∵（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ）为直线y＝﹣2x+3上的三个点，且x ＜x ＜x ，
1 1 2 2 3 3 1 2 3
∴若x x ＞0，则x ，x 同号，但不能确定y y 的正负，故选项A不符合题意；
1 2 1 2 1 3
若x x ＜0，则x ，x 异号，但不能确定y y 的正负，故选项B不符合题意；
1 3 1 3 1 2
若x x ＞0，则x ，x 同号，但不能确定y y 的正负，故选项C不符合题意；
2 3 2 3 1 3
若x x ＜0，则x ，x 异号，则x ，x 同时为负，故y ，y 同时为正，故y y ＞0，故选项D符合题意；
2 3 2 3 1 2 1 2 1 2
答案：D．
11．（2022•陕西中考）在同一平面直角坐标系中，直线 y＝﹣x+4与y＝2x+m相交于点P（3，n），则关于x，y
{x+ y−4=0，
的方程组 的解为（ ）
2x−y+m=0
{x=−1， {x=3， {x=1， {x=9，
A． B． C． D．
y=5 y=1 y=3 y=−5
解：将点P（3，n）代入y＝﹣x+4，
得n＝﹣3+4＝1，
∴P（3，1），
{x=3
∴原方程组的解为 ，
y=1
答案：B．
12．（2022•宁夏中考）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，点B的对应点E恰好
落在直线y＝2x﹣3上，则点A移动的距离是 3 ．解：当y＝2x﹣3＝3时，x＝3，
∴点E的坐标为（3，3），
∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，
∴点A与其对应点间的距离为3．
答案：3．
13．（2022•辽宁中考）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点D为OB的中点， OCDE的顶
点C在x轴上，顶点E在直线AB上，则 OCDE的面积为 2 ． ▱
▱
解：当x＝0时，y＝2×0+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），OB＝4．
∵点D为OB的中点，
1 1
∴OD= OB= ×4＝2．
2 2
∵四边形OCDE为平行四边形，点C在x轴上，
∴DE∥x轴．
当y＝2时，2x+4＝2，
解得：x＝﹣1，
∴点E的坐标为（﹣1，2），
∴DE＝1，
∴OC＝1，
∴ OCDE的面积＝OC•OD＝1×2＝2．
答▱案：2．14．（2022•菏泽中考）如图，在第一象限内的直线 l：y=√3x 上取点 A ，使 OA ＝1，以 OA 为边作等边
1 1 1
△OA B ，交x轴于点B ；过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边△OA B ，交x轴于点B ；
1 1 1 1 2 2 2 2 2
过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边△OA B ，交x轴于点B ；……，依次类推，则点
2 3 3 3 3 3
A 的横坐标为 2 202 0 ．
2022
解：∵OA ＝1，△OA B 是等边三角形，
1 1 1
∴OB ＝OA ＝1，
1 1
1
∴A 的横坐标为 ，
1 2
∵OB ＝1，
1
∴A 的横坐标为1，
2
∵过点B 作x轴的垂线交直线l于点A ，以OA 为边作等边△OA B ，交x轴于点B ，过点B 作x轴的垂线交
1 2 2 2 2 2 2
直线l于点A ，
3
∴OB ＝2OB ＝2，
2 1
∴A 的横坐标为2，
3
∴依此类推：A 的坐标为：（2n﹣2，2n﹣2√3），
n
∴A 的横坐标为22020，
2022
答案：22020．
三、一次函数图象与几何变换
【高频考点精讲】
1．一次函数图象的平移
直线 可以看做由直线 平移|b|个单位得到的。b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移。
（1）如果两条直线平行，那么两条直线的斜率k相等，反过来，如果两条直线的斜率k相等，那么两条直线平行。
（2）平移规律：上加下减，左加右减。
2．一次函数图象的对称
（1）直线 关于x轴对称的另一条直线的解析式为 。推导过程：x不变，y变成﹣y，即 。（横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
（2）直线 关于y轴对称的另一条直线的解析式为 。
推导过程：y不变，x变成﹣x，即 。（纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
（3）直线 关于原点对称的另一条直线的解析式为 。
推导过程：x和y都变成相反数，即 。（横、纵坐标都变成原来的相反数）
3．一次函数图象的旋转
（1）直线 旋转90°所得另一条直线与原直线垂直，斜率乘积为﹣1，另一条直线的解析式为 。
（2）直线 旋转其他特殊角，例如30°、45°、60°，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求出旋转后
的坐标，或者直接利用三角函数求解。
（3）如果两条直线相交，那么交点坐标同时适用于两条直线。
【热点题型精练】
15．（2022•广安中考）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度，所得的函数的解析
式是（ ）
A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1
解：将函数y＝3x+2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象的函数关系式为y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，
答案：D．
3 3
16．（2022•西安模拟）在平面直角坐标系中，将一次函数 y= x− 的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后
2 4
经过原点O，则m的值为（ ）
4 3 1
A． B． C．2 D．
3 4 2
3 3 3 3
解：将一次函数y= x− 的图象沿x轴向左平移m（m≥0）个单位后得到y= （x+m）− ，
2 4 2 4
3 3
把（0，0）代入，得到：0= m− ，
2 4
1
解得m= ．
2
答案：D．
17．（2022•苏州模拟）在直角坐标系中，一直线a向下平移3个单位后所得直线b经过点A（0，3），将直线b绕点A顺时针旋转60°后所得直线经过点B（−√3，0），则直线a的函数关系式为（ ）
√3 √3
A．y=−√3x B．y=− x C．y=−√3x+6 D．y=− x+6
3 3
解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（0，3），B（−√3，0），
{ b=3 {k=√3
∴ ，解得 ，
−√3k+b=0 b=3
∴直线AB的解析式为y=√3x+3．
由题意，知直线y=√3x+3绕点A逆时针旋转60°后得到直线b，则直线b经过A（0，3），（√3，0），
易求直线b的解析式为y=−√3x+3，
将直线b向上平移3个单位后得直线a，所以直线a的解析式为y=−√3x+3+3，即y=−√3x+6．
答案：C．
18．（2022•绵阳模拟）如图，一次函数y＝x+√2的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线AB绕点B顺时针
旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．√6+√2 B．3√2 C．2+√3 D．√3+√2
解：∵一次函数y＝x+√2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，
令x＝0，则y=√2，令y＝0，则x=−√2，
则A（−√2，0），B（0，√2），
则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO＝45°，
∴AB=√(√2) 2+(√2) 2=2，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD＝∠OAB＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，设CD＝AD＝x，
∴AC=√AD2+CD2=√2x，
由旋转的性质可知∠ABC＝30°，
∴BC＝2CD＝2x，
∴BD=√BC2−CD2=√3x，
又BD＝AB+AD＝2+x，
∴2+x=√3x，
解得：x=√3+1，
∴AC=√2x=√2（√3+1）=√6+√2，
答案：A．
19．（2022•兰州模拟）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y＝kx+3上，把直线y＝kx+3的
图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 y ＝﹣ 5 x + 5 ．
解：∵点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，
∴P′（1，﹣2），
∵P′在直线y＝kx+3上，
∴﹣2＝k+3，
解得：k＝﹣5，
则y＝﹣5x+3，
∴把直线y＝kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为：y＝﹣5x+5．
答案：y＝﹣5x+5．
20．（2022•阜新中考）当我们将一条倾斜的直线进行上下平移时，直线的左右位置也发生着变化．下面是关于
“一次函数图象平移的性质”的探究过程，请补充完整．
（1）如图1，将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向右平移了 1 个单位长度；
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度，相当于将它向 左 （填“左”或“右”）平移
1
了 个单位长度；
2
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向
右 （填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向 左 （填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个
单位长度，且m，n，k满足等式 m ＝ n | k | （或：当 k ＞ 0 时， m ＝ n k ，当 k ＜ 0 时， m ＝﹣ n k ） ．解：（1）∵将一次函数y＝x+2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，
∴相当于将它向右平移了1个单位长度，
答案：1；
1
（2）将一次函数y＝﹣2x+4的图象向下平移1个单位长度得到y＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+ ）+4，
2
1
∴相当于将它向左平移了 个单位长度；
2
1
答案：左； ；
2
（3）综上，对于一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象而言，将它向下平移m（m＞0）个单位长度，相当于将它向
右（填“左”或“右”）（k＞0时）或将它向左（填“左”或“右”）（k＜0时）平移了n（n＞0）个单位长
度，且m，n，k满足等式m＝n|k|．
答案：右；左；m＝n|k|（或：当k＞0时，m＝nk，当k＜0时，m＝﹣nk）．
21．（2022•宁夏模拟）如图，将直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A（2，﹣4），且与y轴交于点
2
B，在x轴上存在一点P使得PA+PB的值最小，则点P的坐标为 （ ， 0 ） ．
3
解：如图所示，作点B关于x轴对称的点B'，连接AB'，交x轴于P，则点P即为所求，
设直线y＝﹣x沿y轴向下平移后的直线解析式为y＝﹣x+a，
把A（2，﹣4）代入可得，a＝﹣2，∴平移后的直线为y＝﹣x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，即B（0，﹣2）
∴B'（0，2），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
把A（2，﹣4），B'（0，2）代入可得，
{−4=2k+b {k=−3
，解得 ，
2=b b=2
∴直线AB'的解析式为y＝﹣3x+2，
2
令y＝0，则x= ，
3
2
∴P（ ，0），
3
2
答案：（ ，0）．
3
22．（2022•杭州模拟）已知一次函数y＝k（x﹣3）（k≠0）．
（1）求证：点（3，0）在该函数图象上．
（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（4，﹣2），求k的值．
（3）若k＜0，点A（x ，y ），B（x ，y ）在函数图象上，且y ＜y ，判断x ﹣x ＜0是否成立？请说明理由．
1 1 2 2 1 2 1 2
解：（1）在y＝k（x﹣3）中令x＝3，得y＝0，
∴点（3，0）在y＝k（x﹣3）图象上；
（2）一次函数y＝k（x﹣3）图象向上平移2个单位得y＝k（x﹣3）+2，
将（4，﹣2）代入得：﹣2＝k（4﹣3）+2，
解得k＝﹣4；
（3）x ﹣x ＜0不成立，理由如下：
1 2
∵点A（x ，y ），B（x ，y ）在y＝k（x﹣3）图象上，
1 1 2 2
∴y ＝k（x ﹣3），y ＝k（x ﹣3），
1 1 2 2
∴y ﹣y ＝k（x ﹣x ），
1 2 1 2
∵y ＜y ，
1 2∴y ﹣y ＜0，即k（x ﹣x ）＜0，
1 2 1 2
而k＜0，
∴x ﹣x ＞0，
1 2
∴x ﹣x ＜0不成立．
1 2
四、一次函数与一元一次不等式
【高频考点精讲】
1．一次函数与一元一次不等式的关系
一元一次不等式可以转化为 或 （a,b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作，
当一次函数 的值大于0或者小于0时，求相应自变量的取值范围。
2．用画函数图象的方法解不等式 或
一次函数 的图象与x轴的交点为（ ，0）
当k＞0时，不等式 的解为x＞ ，不等式 的解为x＜ 。
当k＜0时，不等式 的解为x＜ ，不等式 的解为x＞ 。
【热点题型精练】
23．（2022•南通中考）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1
解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），
所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，
答案：D．24．（2022•遵义模拟）如图，直线y＝﹣x+2与y＝ax+b（a≠0且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关
于x的不等式﹣x+2≥ax+b的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3
解：从图象得到，当x≤3时，y＝﹣x+2的图象对应的点在函数y＝ax+b的图象上面，
∴不等式﹣x+2≥ax+b的解集为x≤3．
答案：D．
25．（2022•鄂州中考）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k
1 1
＜0）的图象与直线y= x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）
3 3
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
解：由图象可得，
1
当x＞3时，直线y= x在一次函数y＝kx+b的上方，
3
1
∴当kx+b＜ x时，x的取值范围是x＞3，
3
答案：A．
26．（2022•扬州中考）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为 x ＜
﹣ 1 ．解：由图象可得，
当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，
答案：x＜﹣1．
3
27．（2022•徐州中考）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于kx+ b＞0的不等式的解集为 x ＞ 3 ．
2
解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），
∴2k+b＝0，
∴b＝﹣2k，
3
∴关于kx+ b＞0
2
3
∴kx＞− ×（﹣2k）＝3k，
2
∵k＞0，
∴x＞3．
答案：x＞3．
28．（2022•襄阳中考）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括
6
函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y= −|x|的图象，并探究该函数性质．
|x|
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ 1 ．
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 5 ……y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣1 ﹣2.5 ﹣3.8 ……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
（2）探究函数性质
6 6
请写出函数y= −|x|的一条性质： y= − | x | 的图象关于 y 轴对称（答案不唯一） ；
|x| |x|
（3）运用函数图象及性质
6
①写出方程 −|x|＝5的解 x ＝ 1 或 x ＝﹣ 1 ；
|x|
6
②写出不等式 −|x|≤1的解集 x ≤﹣ 2 或 x ≥ 2 ．
|x|
6
解：（1）①列表：当x＝2时，a= −|2|＝1，
|2|
答案：1；
②描点，③连线如下：6
（2）观察函数图象可得：y= −|x|的图象关于y轴对称，
|x|
6
答案：y= −|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
|x|
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
6
∴ −|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
|x|
答案：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
6
∴ −|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
|x|
答案：x≤﹣2或x≥2．
五、一次函数的应用
【高频考点精讲】
1．分段函数问题
分段函数是在不同区间内存在不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符
合实际。
2．函数的多变量问题
解决含有多变量的问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可
以反映实际问题的函数。
【热点题型精练】
29．（2022•攀枝花中考）中国人逢山开路，遇水架桥，靠自己勤劳的双手创造了世界奇迹．雅西高速是连接雅安
和西昌的高速公路，被国内外专家学者公认为全世界自然环境最恶劣、工程难度最大、科技含量最高的山区高
速公路之一，全长240km．一辆货车和一辆轿车先后从西昌出发驶向雅安，如图，线段OM表示货车离西昌距
离y （km）与时间x（h）之间的函数关系：折线OABN表示轿车离西昌距离y （km）与时间x（h）之间的函
1 2
数关系，则以下结论错误的是（ ）
A．货车出发1.8小时后与轿车相遇
B．货车从西昌到雅安的速度为60km/hC．轿车从西昌到雅安的速度为110km/h
D．轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有20km
解：由题意可知，
货车从西昌到雅安的速度为：240÷4＝60（km/h），故选项B不合题意；
轿车从西昌到雅安的速度为：（240﹣75）÷（3﹣1.5）＝110（km/h），故选项C不合题意；
2
轿车从西昌到雅安所用时间为：240÷110=2 （小时），
11
2 9
3−2 = （小时），
11 11
设货车出发x小时后与轿车相遇，根据题意得：
9
60x=110(x− )，
11
解得x＝1.8，
∴货车出发1.8小时后与轿车相遇，故选项A不合题意；
60−20
轿车到雅安20分钟后，货车离雅安还有60× =40（km），故选项D符合题意．
60
答案：D．
30．（2022•毕节中考）现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车行驶 30km后进入
高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上行驶 1h到达目的地．汽车行驶的时间x（单位：
h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．请结合图象，判断以下说法正确的是（ ）
A．汽车在高速路上行驶了2.5h
B．汽车在高速路上行驶的路程是180km
C．汽车在高速路上行驶的平均速度是72km/h
D．汽车在乡村道路上行驶的平均速度是40km/h
解：∵3.5h到达目的地，在乡村道路上行驶1h，
∴汽车下高速公路的时间是2.5h，∴汽车在高速路上行驶了2.5﹣0.5＝2（h），故A错误，不符合题意；
由图象知：汽车在高速路上行驶的路程是180﹣30＝150（km），故B错误，不符合题意；
汽车在高速路上行驶的平均速度是150÷2＝75（km/h），故C错误，不符合题意；
汽车在乡村道路上行驶的平均速度是（220﹣180）÷1＝40（km/h），故D正确，符合题意；
答案：D．
31．（2022•绥化中考）小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线
骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x
（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A．2.7分钟 B．2.8分钟 C．3分钟 D．3.2分钟
解：由图象可得，
a
小王的速度为 米/分钟，
12
a a
爸爸的速度为： = （米/分钟），
(12−4)÷2 4
设小王出发m分钟两人第一次相遇，出发n分钟两人第二次相遇，
a a a a
m＝（m﹣4）• ， n+ [n﹣4﹣（12﹣4）÷2]＝a，
12 4 12 4
解得m＝6，n＝9，
n﹣m＝9﹣6＝3，
答案：C．
32．（2022•苏州中考）一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3分钟时，再打开出水管
排水，8分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量y（升）与时间x（分
29
钟）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为 ．
3解：设出水管每分钟排水x升．
由题意进水管每分钟进水10升，
则有80﹣5x＝20，
∴x＝12，
20 5 5 29
∵8分钟后的放水时间= = ，8+ = ，
12 3 3 3
29
∴a= ，
3
29
答案： ．
3
33．（2022•阜新中考）快递员经常驾车往返于公司和客户之间．在快递员完成某次投递业务时，他与客户的距离
s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示（因其他业务，曾在途中有一次折返，且快递员始终匀速行
驶），那么快递员的行驶速度是 3 5 km/h．
解：∵快递员始终匀速行驶，
8.75
=
∴快递员的行驶速度是 35（km/h）．
0.55−2(0.35−0.2)
答案：35．
34．（2022•深圳中考）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的
要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是
多少．
解：（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本单价为（x+1）元，110 120
由题意得， = ，
x x+1
解得x＝11，
经检验x＝11是原方程的解，且符合题意，
∴乙类型的笔记本单价为x+1＝11+1＝12（元），
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，费用为w元，则乙类型的笔记本购买了（100﹣a）件，
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根据题意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴a＝100时，w最小值为﹣100+1200＝1100（元），
答：最低费用为1100元．
35．（2022•南通中考）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（单
位：元）与销售量x（单位：kg）之间的关系如图所示．
（1）写出图中点B表示的实际意义；
（2）分别求甲、乙两种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式，并写出x的取
值范围；
（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg时，它们的利润和为1500元，求a的值．
解：（1）图中点B表示的实际意义为当销量为60kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元；
（2）设甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲 ＝kx（k≠0），
把（60，1200）代入解析式得：1200＝60k，解得k＝20，
∴甲种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y甲 ＝20x（0≤x≤120）；
当0≤x≤30时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙 ＝k′x
（k′≠0），
把（30，750）代入解析式得：750＝30k′，
解得：k′＝25，
∴y乙 ＝25x；
当30≤x≤120时，设乙种苹果销售额y（单位：元）与销售量x（单位：kg）之间的函数解析式为y乙 ＝mx+n
（m≠0），
{30m+n=750
则 ，
60m+n=1200
{m=15
解得： ，
n=300
∴y乙 ＝15x+300，
综上，乙种苹果销售额 y（单位：元）与销售量 x（单位： kg）之间的函数解析式为 y 乙
{ 25x(0≤x≤30)
=
；
15x+300(30＜x≤120)
（3）①当0≤a≤30时，
根据题意得：（20﹣8）a+（25﹣12）a＝1500，
解得：a＝60＞30，不合题意；
②当30＜a≤120时，
根据题意得：（20﹣8）a+（15﹣12）a+300＝1500，
解得：a＝80，
综上，a的值为80．
36．（2022•苏州中考）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果质量 乙种水果质量 总费用
（单位：千克） （单位：千克） （单位：元）
第一次 60 40 1520
第二次 30 50 1360
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共 200
千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最
大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
解：（1）设甲两种水果的进价为每千克a元，乙两种水果的进价为每千克b元．
{60a+40b=1520
由题意，得 ，
30a+50b=1360
{a=12
解得 ，
b=20
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
（2）设第三次购进x千克甲种水果，则购进（200﹣x）千克乙种水果．
由题意，得12x+20（200﹣x）≤3360，
解得x≥80．
设获得的利润为w元，
由题意，得w＝（17﹣12）×（x﹣m）+（30﹣20）×（200﹣x﹣3m）＝﹣5x﹣35m+2000，
∵﹣5＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝80时，w的值最大，最大值为﹣35m+1600，
由题意，得﹣35m+1600≥800，
160
解得m≤ ，
7
∴m的最大整数值为22．
