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专题 11 反比例函数及其应用（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 反比例函数的定义】
1．（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽
车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
s
∴t= ，
v
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后
利用实际意义确定其所在的象限．
2．（2022·重庆合川·统考中考模拟）下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长l与边长a的关系
C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系
【答案】D
【详解】A、根据题意，得S=a2，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误；
B、根据题意，得l=4a，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；
C、根据题意，得S=20a，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误；40
D、根据题意，得b= ，所以正方形的面积S与边长a的关系是反比例函数关系；故本选项正确．
a
故选D．
3．（2022秋·湖南邵阳·九年级统考期末）一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的高
为L与这个圆柱的底面半径r之间的函数关系为（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【答案】B
【详解】试题分析：根据题意，由等量关系“矩形的面积=底面周长×母线长”列出函数表达式再判断它们
的关系则可．
由题意得2πrL=4，
2
则L= ，
πr
所以这个圆柱的母线长L和底面半径r之间的函数关系是反比例函数．
故选B．
考点：本题考查了反比例函数的定义
点评：熟记圆柱侧面积公式，列式整理出l、r的函数解析式是解题的关键．
4．（2022·湖北武汉·统考一模）下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（ ）
x 2 2
A．y= B．y= C．y= D．y＝2x
2 x+1 x
【答案】C
【分析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
k
【详解】解：A、不符合反比例函数的一般形式y= （k≠0）的形式，选项错误；
x
k
B、与x+1成反比例函数，不符合反比例函数的一般形式y= （k≠0）的形式，选项错误；
x
C、是反比例函数，符合一般形式，正确；
k
D、不符合反比例函数的一般形式y= （k≠0）的形式，选项错误．
x
故选：C．
k
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般y= （k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
x
5．（2022·四川广元·统考一模）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，
正确的是( )A．两条直角边成正比例 B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例 D．一条直角边与斜边成反比例
【答案】B
【详解】解：设该直角三角形的两直角边是a、b，面积为S．则
1
S= ab．
2
∵S为定值，
∴ab=2S是定值，
则a与b成反比例关系，即两条直角边成反比例．
故选B．
【考点2 反比例函数的图象】
6．（2022·河北·模拟预测）如图，若抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵
k
坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y= (x>0)的图象是（ ）
x
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点
的个数，从而得到k=4，即可得出答案．
【详解】解∶对于y=−x2+3，
当x=0时，y=3，当y=0时，y=±√3，
∴抛物线y=−x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点为(1,1),(−1,1)(0,1),(0,2)，共4个，
∴k=4，
4
∴反比例函数解析式为y= (x>0)，
x
当x=1时，y=4，
∴反比例函数图象过点(1,4)．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出k的值．
4 4
7．（2022·江苏淮安·统考一模）定义运算：a⊕b＝¿，例如：4⊕5＝ ，4⊕(-5)＝ ，那么函数y=2⊕x
5 5
（x≠0）的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题干中新运算定义，分两种情况分别求出y=2⊕x的解析式，进而求解．
【详解】解：由题意得：y=2⊕x=¿，2
当x＞0时，反比例函数的解析式为y= ，图象在第一象限，
x
2
当x＜0时，反比例函数的解析式为y=− ，图象在第二象限，
x
又因为反比例函数图象是双曲线，因此D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象的识别，解题关键是理解题意，掌握求新运算的方法，根据函数y=2⊕x的解
析式求解．
8．（2022·河北石家庄·统考一模）如图，有四条直线m，n，p，q和一条曲线，曲线是反比例函数
6
y= (x>0)在平面直角坐标系中的图象，则y轴可能是（ ）
x
A．直线m B．直线n C．直线p D．直线q
【答案】D
【分析】根据反比例函数的增减性和所在的象限进行求解即可．
6
【详解】解：∵反比例函数解析式为y= (x>0)，
x
∴反比例函数图象在第一象限，且y随x增大而减小，
∴y轴只可能是直线q，
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
9．（2022·河南·模拟预测）已知点A（−1，m），B（1，m），C（2，n）（n1，而n0时，y=x2随x的增大而增大，故该选项错误，不符合题
意；
D、∵2>1，n0时，y=−x2随x的增大而减小，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握函数的性质，
采用排除法作判断．
10．（2022·福建厦门·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x ,y )，B(x ,y )，C(x ,y )，
A A B B C C
k
D(x ,y )在双曲线y= (k>0)上，且00)，
c c D D x
且00)的图像C 上一点，直线AB∥x轴，交
x 13
反比例函数y= （x>0）的图像C 于点B，直线AC∥y轴，交C 于点C，直线CD∥x轴，交C 于点
x 2 2 1
D．
(1)若点A（1，1），分别求线段AB和CD的长度；
(2)对于任意的点A（a，b），试探究线段AB和CD的数量关系，并说明理由．
2
【答案】(1)AB=2，CD=
3
(2)AB=3CD，理由见解析
1
【分析】（1）根据题意求得B（3，1），C（1，3），D（ ，3），即可求得AB和CD的长度；
3
1 1 3 3 3 2
（2）根据题意得到A（a， ），B（3a， ）．C（a， ），D（ ， ），进一步求得AB=2a，CD=
a a a a a 3
a．即可求得AB＞CD．
【详解】（1）解：如图，
3
∵AB//x轴，A（1，1），B在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
∴B（3，1）．
1
同理可求：C（1，3），D（ ，3）．
32
∴AB=2，CD=
3
（2）解：AB=3CD．
证明：如图，
1
∵A（a，b），A在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
1
∴A（a， ）．
a
3
∵AB//x轴，B在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
1
∴B（3a， ）．
a
3 a 3
同理可求：C（a， ），D（ ， ）．
a 3 a
2
∴AB=2a，CD= a．
3
∴3CD=2a
∴AB=3CD．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的坐标是解题的关键．
3
15．（2022·江苏泰州·统考二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y= 的函数图像：
x(1)如图1，点A是该函数图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO=A'O，判断点
A'是否为该函数图像第三象限上的点，并说明理由；
(2)如图2，点B、C均为该函数图像第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻
度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）
【答案】(1)点A'是该函数图像第三象限上的点，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点A作AM⊥x轴于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N，先求出点A的坐标，再证明
3
△AOM≅△A′ON(AAS)，得出A′ (−a,− )，即可得出结论；
a
（2）连接BO、CO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点B′、点C′，连接B′C′，连接DO并延长，
交B′C′于点D′，即可得到点点D′．
【详解】（1）点A'是该函数图像第三象限上的点，理由如下：过点A作AM⊥x轴于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N，
3
∵点A是反比例函数y= 的图像第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），
x
3 3
∴y= ，即A(a, )，
a a
3
∴OM=a,AM= ，
a
∵∠AOM=∠A′ON,∠AMO=∠A′NO,OA=OA′，
∴△AOM≅△A′ON(AAS)，
3
∴OM=ON=a,AM=A′N=
，
a
3
∴A′ (−a,− )，
a
3
∵−a⋅(− )=3，
a
∴点A'是该函数图像第三象限上的点；（2）
连接BO并延长，交反比例函数第三象限的图像于点B′，连接CO并延长，交反比例函数第三象限的图像
于点C′，连接B′C′，连接DO并延长，交B′C′于点D′，
此时，点D′即为所求．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像上的点的坐标特征，关于原点对称点的特点即作图，掌握知识点是
解题的关键．
【考点4 反比例函数的性质】
16．（2022·河南新乡·校考一模）探究函数性质时，我们经历了列表，描点，连线画出函数图像，观察分
ax
析图像特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y= −b（a，b为常数）的图像部分过程，
x−2
请你按要求完成下列问题：
(1)列表：下表列出了y与x的几组对应值
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 5 6 7 …
2 1 2 1 2 2 1 2
y … − − − − − -1 -2 2 1 …
7 3 5 2 3 3 2 5根据表中的数据求出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)描点，连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像，并写出该函数的一条性质________．
ax
(3)已知函数y=x-1的图像如图所示，结合你所画出的函数图像，请直接写出方程 −b=x−1的解．
x−2
x
【答案】(1)y= −1；自变量x的取值范围是x≠2
x−2
(2)作图见解析；当x≤2时，y随x的增大而减小
(3)x =0，x =3
1 2
【分析】（1）把表格中两组x和y的数据代入函数解析式得到二元一次方程组并求解即可求出y与x的函
数解析式；根据分母不为0即可求出自变量x的取值范围．
（2）根据表格中数据描点，再用平滑曲线连接即可；观察函数图像即可得到该函数的一条性质．
（3）观察两个函数图像的交点即可得到方程的解．
（1）
解：把x=0，y=-1和x=1，y=-2这两组数据代入函数解析式得
¿
解得¿
x
∴y与x的函数解析式为y= −1．
x−2
根据分母不为0得x−2≠0．
解得x≠2．
∴自变量x的取值范围是x≠2．
（2）
解：作图如下．从图像上可知，当x≤2时，y随x的增大而减小．
故答案为：当x≤2时，y随x的增大而减小（答案不唯一）．
（3）
ax
解：从图像上可知y= −b与y=x−1的图像的交点是(0,−1)和(3,2)．
x−2
ax
所以方程 −b=x−1的解是x =0，x =3．
x−2 1 2
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，求自变量的取值范围，画函数图像，函数图像交点与方程关
系，正确应用数形结合思想是解题关键．
k
17．（2022·重庆·校联考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y= (k<0)的图象经过
x
点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且△ABO的面积为2．
（1）k和m的值；
k
（2）若点C(x，y)也在反比例函数y= 的图象上，当1≤x≤3时，直接写出函数值y的取值范围．
x
4
【答案】（1）m=2；k=−4；（2）−4≤ y≤− ．
3
k
【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入y= ，可求出k的值；
x（2）先分别求出x=1和x=3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）∵A（−2，m），
∴OB=2，AB=m，
1 1
∴S AOB= •OB•AB= ×2×m=2，
2 2
△
∴m=2；
∴点A的坐标为（−2，2），
k
把A（-2，2）代入y= ，
x
得k=−2×2=−4；
4
（2）∵反比例函数为y=− ，
x
4
∴当x=1时，y=−4；当x=3时，y=− ，
3
4
又∵反比例函数y=− 在x＞0时，y随x的增大而增大，
x
4
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为−4≤ y≤− ．
3
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也
考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力．
k
18．（2022·广东广州·统考二模）已知在函数y= (x>0)中，y随x的增大而增大，A=(1+k)(1+|k|)+2，
x
（1）化简A；
（2）点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为−2，求A的值．
【答案】（1）3- k2；（2）-1
【分析】（1）根据反比例函数的性质，得k＜0，进而即可化简A；
（2）先求出k的值，再代入求值，即可．
k
【详解】解：∵函数y= (x>0)中，y随x的增大而增大，
x
∴k＜0，
∴A=(1+k)(1−k)+2=3- k2；
（2）∵点M在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为−2，
∴k=-2，∴A=3- k2=3- (-2)2=-1．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，代数式的化简求值，熟练掌握反比例函数的性质以及函数图像
上点的坐标特征，是解题的关键．
k+1
19．（2022·浙江杭州·校考一模）已知函数y ＝kx+k+1与y ＝ ．
1 2 x
(1)若y 过点（1，3），求y，y 的解析式；
1 1 2
(2)在（1）的条件下，若1≤y≤2，求出此时y 的取值范围；
2 1
(3)若y 的图象过一、二、四象限，判断y 的图象所在的象限．
1 2
2
【答案】(1)y＝x+2；y＝
1 2 x
(2)3≤y≤4
1
(3)y 的图象过第一、三象限
3
【分析】（1）函数y 过点（1，3），将点代入y 解析式中即可得k值，可得y，y 的解析式；
1 1 1 2
（2）由1≤y≤2，求出自变量取值范围1≤x≤2，再根据y 的增减性确定y 的取值范围；
2 1 1
（3）由一次函数经过第一、二、四象限，可得不等式组，解不等式组即可得到k的范围，进而判断y 的图
2
象所在的象限．
（1）
把点（1，3）代入y ＝kx+k+1中，得：
1
3＝k+k+1，
解得：k＝1．
k+1 2
故y＝x+2；y ＝ ＝ ．
1 2 x x
（2）
在（1）的条件下，若1≤y≤2，
2
2
∵y ＝ ，1≤y≤2
2 x 2
2
∴1≤ ≤2
x
解得：1≤x≤2
∵y＝x+2，1≤x≤2
1
∴3≤ y ≤4
1（3）
∵y 的图象过一、二、四象限
1
k＜0
∴{ ，
k+1＞0
解得：-1＜k＜0．
∴0＜k+1＜1，
故y 的图象过第一、三象限．
2
【点睛】本题考查了一次函数性质、反比例函数的性质、函数解析式的求法及一次函数图象上点的坐标的
特点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
k
20．（2022·浙江杭州·统考二模）已知反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A(2,3)．
x
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)判断点B(−1,6)是否在这个函数图象上，并说明你的理由；
(3)点C(x ,y )，D(x ,y )是图象上的两点，若x y ；②当x <00可知在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小．
①当x y ；
1 2 1 2 1 2
②当x <00，此时y 0，
∴k=20，
故选：A．
【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，
掌握等高三角形面积比的问题．
k
22．（2022·广东揭阳·校考模拟预测）如图，直线l和双曲线y= (k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点
x
(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设
AOC的面积为S 、 BOD的面积为S 、 POE的面积为S ，则（ ）
1 2 3
△ △ △
A．S S >S C．S =S >S D．S =S 0)的图象与反比例函数
1 2 2015
y
1
=
x
,y
2
=
x
,⋅ ⋅ ⋅y,
2015
=
x
的图象在第一象限内分别交于点A
1
，A
2
，…，A，点B
1
，B
2
，…，
1 2 2014
B分别在反比例函数y
1
=
x
,y
2
=
x
,⋅ ⋅ ⋅y,
2014
=
x
的图象上，且A
2
B
1
，A
3
B
2
，…，AB分别与y轴
平行，连接OB ，OB ，…，OB，则△OA B ，△OA B ，…，△OAB的面积之和为_________．
1 2 2 1 3 2
【答案】1012
【分析】延长A B ,A B ,A B ，分别与x轴交于C ,C ,C ，利用k的几何意义，推出
2 1 3 2 4 3 1 2 3
1 1 3 1
S =S −S =1− = ，S =S −S = −1= ，依此类推，每个三角形
△OA B △A OC △B C O 2 2 △OA B △A OC △B C O 2 2
2 1 2 1 1 1 3 2 3 2 2 2
1
的面积均为 ，进行计算即可．
2
【详解】解：延长A B ,A B ,A B ，分别与x轴交于C ,C ,C ，如图所示：
2 1 3 2 4 3 1 2 31 2
∵y = ,y = ，
1 x 2 x
1 1
∴S =S −S =1− = ；
△OA B △A OC △B C O 2 2
2 1 2 1 1 1
2 3
∵y = ,y = ，
2 x 3 x
3 1
∴S =S −S = −1= ；
△OA B △A OC △B C O 2 2
3 2 3 2 2 2
1
依此类推，S = ，
△OAB 2
1 1 1 2014
则△OA B ,△OA B ,…,△OAB的面积之和为 + +…+ = =1012．
2 1 3 2 2 2 2 2
故答案为：1012．
【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握k的几何意义，构造与k有关的图形，是解
题的关键．
24．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCO中，过点B作BE∥y轴，且OE=3CE，
k
D为AB中点，连接BE、DE、DC，反比例函数y= 的图象经过D、E两点，若△DEC的面积为3，则k
x
的值为 _____．27
【答案】 ##6.75
4
【分析】过点D作DF∥x轴，交BE于点F，交y轴于点G，延长BE交x轴于点H，连接OD，根据
k k
△DEC的面积为3，求出△ODE的面积，设D点坐标为（a, ），则E点坐标为（3a, ），根据面
a 3a
积列方程即可求出k的值．
【详解】解：过点D作DF∥x轴，交BE于点F，交y轴于点G，
延长BE交x轴于点H，连接OD，
∵ E为OC的四等分点（OE>EC），△DEC的面积为3，
∴ △DEO的面积为9，
∵ BE∥y轴，
∴四边形BMOE是平行四边形，
∴ BM=OE，
1
∴ AM=EC= AB，
4
∵D为AB中点，
1
∴ DM=EC= OE，
3
由平行四边形得，∠OEH=∠EBM=∠DMG，∠OHE=∠DGM=90∘，
∴ △OHE∼△DGM，
DG DM 1
∴ = = ，
OH OE 3
k k
设D点坐标为（a, ），则E点坐标为（3a, ），
a 3ak 1 k 1 k 1 k k
S =3a× − a× − ×3a× − (3a−a)×( − )，
△ODE a 2 a 2 3a 2 a 3a
1 1 2
=3k− k− k− k=9，
2 2 3
27
解得：k= ，
4
27
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，解题关键是根据已知条件，设点的坐标，利用相似三角形
的性质、平行四边形的性质、三角形的面积公式列出关于k的方程．
a
25．（2022·吉林松原·校考一模）如图，经过原点O的直线与反比例函数y= （a＞0）的图象交于A，D
x
b
两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y= （b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五
x
边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面积为32，连接OE，则S ACE＝_____，a﹣b的值为 _____，
△
b
的值为 _____．
a
1
【答案】 12 24 −
3
【分析】连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．求出证明四边形ACDE是
平行四边形，推出S ADE＝S ADC＝S ABCDE﹣S ABCD＝56﹣32＝24，推出S AOE＝S DEO＝
五边形 四边形
△ △ △ △
1 1
12，可得 a− b＝12，推出a﹣b＝24．再证明BC∥AD，证明AD＝3BC，推出AT＝3BT，再证明AK＝
2 23BK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接AC，OC，OB，延长AB交DC的延长线于T，设AB交x轴于K．
由题意得A，D关于原点对称，
∴A，D的纵坐标的绝对值相等，
∵AE∥CD，
∴E，C的纵坐标的绝对值相等，
b
∵E，C在反比例函数y= 的图象上，
x
∴E，C关于原点对称，
∴E，O，C共线，
∵OE＝OC，OA＝OD，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∴S ADE＝S ADC＝S ABCDE﹣S ABCD＝56﹣32＝24，
五边形 四边形
△ △
∵AE∥CD，
∴S ACE＝S ADE＝12，S AOE＝S DEO＝12，
△ △ △ △
1 1
∴ a− b＝12，
2 2
∴a﹣b＝24，
∵S AOC＝S AOB＝12，
△ △
∴BC∥AD，
∴△TBC∽△TAD
BC TB
∴ = ，
AD TA∵S ACB＝32﹣24＝8，
△
∴S ADC：S ABC＝24：8＝3：1，
△ △
∴BC：AD＝1：3，
∴TB：TA＝1：3，设BT＝m，则AT＝3m，AK＝TK＝1.5m，BK＝0.5m，
∴AK：BK＝3：1，
1
a
S 2
∴ △AOK = =3，
S 1
△BKO − b
2
a b 1
∴ =−3，即 =− ，
b a 3
1
故答案为：12；24；− ．
3
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形综合，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，设参法是解
题的关键．
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
k
26.（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y= 1(k >0)和
x 1
k
y= 2(k >0)的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k +k =（ ）
x 2 1 2
A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
k k k
【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3， 2），C（3-t， 2 +t），由点C在反比例函数y= 2
3 3 xk k k
的图象上，推出t=3- 2，进而求出点B的坐标（3，6- 2），再点C在反比例函数y= 1的图象上，整理后，
3 3 x
即可得出结论．
【详解】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）．
k
∴点D的坐标为（3， 2），
3
k
∴点C的坐标为（3-t， 2 +t）．
3
k
∵点C在反比例函数y= 2的图象上，
x
k k
∴（3-t）（ 2 +t）=k2，化简得：t=3- 2，
3 3
k k k k
∴点B的纵坐标为 2 +2t= 2 +2（3- 2）=6- 2，
3 3 3 3
k
∴点B的坐标为（3，6- 2），
3
k
∴3×（6- 2）=k ，整理，得：k +k =18．
3 1 1 2
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用反比例函数图象
上点的坐标特征，找出k ，k 之间的关系．
1 2
6
27.（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知点A(x ,y )，B(x ,y )在反比例函数y= 的图象上，且
1 1 2 2 x
x <00 C．y y
1 2 1 2 1 2 1 2【答案】C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出y 、y 的大小关系．
1 2
6
【详解】解：∵点A(x ,y )，B(x ,y )）是反比例函数y= 的图象时的两点，
1 1 2 2 x
∴x y =x y =6．
1 1 2 2
∵x <00)的图象经过矩形
x
OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若四边形ODBC的面积为6，则k的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
k
【分析】根据反比例函数y= (k>0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，可得到点D是AB的中点，
x
1 1
进而得出S = S =2= |k| ，求出k即可．
△AOD 3 四边形OCBD 2
【详解】设B(2m，2n)，
∵E为BC中点，四边形OCBA是矩形，
∴E(2m，n)
k
∵函数y= (k>0)的图象经过矩形OABC的边BC的中点E，
x
∴k=2mn，k
又点D在函数y= (k>0)的图象上，
x
∴点D坐标为(m，2n)
∴点D是AB的中点，
1 1 1
∴S = S = ×6=2= |k|，
△AOD 3 四边形OCBD 3 2
∴k=4或k=−4<2 (舍去)，
故选：C．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，以及矩形的性质，求出△OAD
的面积是解决问题的关键．
29.（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+b的图象与反比例
k
函数y= 的图象都经过A(2,−4)、B(−4,m)两点．
x
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求△ABC的面积．
8
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=− ；一次函数的表达式为y=−x−2
x
(2)12
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函数表达
式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一
次函数表达式；
（2）利用分解图形求面积法，利用S =S +S ，求面积即可．
ΔABC ΔACD ΔBCD
k k
【详解】（1）将A(2，-4)代入y= 得到−4= ，即：k=−8．
x 28
∴反比例函数的表达式为：y=− ．
x
8 8
将B(-4，m)代入y=− ，得：m=− =2，
x −4
∴B(−4,2)，
将A，B代入y=ax+b，得：
¿，解得：¿
∴一次函数的表达式为：y=−x−2．
（2）设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．
令y=−x−2=0，则x=−2，
∴点D的坐标为(-2，0)，
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A(2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(-2，4)，
∴点C、点D横坐标相同，
∴CD∥y轴，
∴S =S +S
ΔABC ΔACD ΔBCD
1 1
= CD⋅AE+ CD⋅BF
2 2
1
= CD⋅(AE+BF)
2
1
= CD⋅|x −x |
2 A B
1
= ×4×6
2
=12．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出
△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数
解析式是关键．
30.（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例
2
函数y=− 的图象在第二象限相交于点A(−1,m)，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，AD=CD．
x
(1)求一次函数的表达式；
(2)已知点E(a,0)满足CE=CA，求a的值．
【答案】(1)y=−x+1
(2)1−2√2或1+2√2
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，得A(−1,2)，由AD⊥x轴可得AD=2,OD=1，
进一步求出点C(1,0)，将A，C点坐标代入一次函数解析式，用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）由勾股定理求出AC的长，再根据CE=CA且E在x轴上，分类讨论得a的值．
（1）
2
解：（1）∵点A(−1,m)在反比例函数y=− 的图象上，
x
2
∴m=− =2
−1
∴A(−1,2)
∵AD⊥x轴
∴AD=2,OD=1
∴CD=AD=2
∴OC=CD−OD=2−1=1
∴C(1,0)
∵点A(−1,2),C(1,0)在一次函数y=kx+b的图象上∴¿
解得¿
∴一次函数的表达式为y=−x+1．
（2）
在Rt△ADC中，由勾股定理得，AC=√AD2+CD2=√22+22=2√2
∴AC=CE=2√2
当点E在点C的左侧时，a=1−2√2
当点E在点C的右侧时，a=1+2√2
∴a的值为1−2√2或1+2√2．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌
握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键．
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
31．（2022·吉林长春·校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边OC、OA分别在x
轴和y轴上，OA=5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，将△OAD沿直线OD折叠后得到△OA′D，
k
若反比例函数y= (k≠0)的图象经过A′点，则k的值为（）
x
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，设A′(m,n)，则OF=m,A′F=n，通过证明
m n
= =3
△A′OF∽△DA′E，得到5−n 5 ，解方程组求得m、n的值，即可得到A′的坐标，代入
m−
3k
y= (k≠0)即可求得k的值．
x
【详解】解：过A′作EF⊥OC于F，交AB于E，
∵∠OA′D=90°，
∴∠OA′F+∠DA′E=90°，
∵∠OA′F+∠A′OF=90°，
∴∠DA′E=∠A′OF，
∵∠A′FO=∠DEA′，
∴△A′OF∽△DA′E，
OF A′F OA′
∴ = = ，
A′E DE A′D
设A′(m,n)，
∴OF=m,A′F=n，
由折叠得：OA′=OA，A′D=AD，
∵OA=5，点D是边AB上靠近点A的三等分点，
5 OA′ OA AB
∴OA=BC=AB=5，AD= ， = = =3，
3 A′D AD AD
5
∴DE=m− ，
3
易得四边形OAEF是矩形，
∴EF=OA=5，
∴A′E=5−n，
m n
= =3
∴5−n 5 ，
m−
3解得：m=3，n=4，
∴A′(3，4)，
k
∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A′，
x
∴k=3×4=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质等知
识，求得A′的坐标是解题的关键．
32．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴
k
的交点分别为点A，点B，与反比例函数y= (k≠0)的图象交于C，D两点，CE⊥x轴于点E，OE=2，
x
连接DE．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△CDE的面积；
k
(3)根据图象，直接写出不等式x+1> 的解集．
x
6
【答案】(1)y=
x
15
(2)
2
(3)−32
【分析】（1）根据一次函数表达式先求出点A，B的坐标，可得OA=OB=1，从而得到∠BAO=45°，
进而得到△CAE为等腰直角三角形，得到AE=CE=3，从而得到点C坐标，即可求出k值；1
（2）联立一次函数和反比例函数表达式，求出交点D的坐标，再用 乘以CE乘以C、D两点横坐标之差
2
求出△CDE的面积；
（3）直接观察图象，即可求解．
【详解】（1）解：对于一次函数y=x+1，
当x=0时，y=1，当y=0时，x=−1，
∴点A(−1,0),B(0,1)，
∴OA=OB=1，
∵∠AOB=90°，
∴∠BAO=45°，
∵CE⊥x，
∴△CAE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∵OE=2，
∴AE=CE=3，
∴C(2,3)，
k
把C(2,3)代入y= (k≠0)得：k=2×3=6，
x
6
∴反比例函数表达式为y= ；
x
（2）解：联立：¿，
解得：¿或¿，
∴点D的坐标为(−3,−2)，
1 1 15
∴S = (x −x )×CE= ×3×[2−(−3)]= ；
△CDE 2 C D 2 2
（3）解：观察图象得：当−32时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
k
∴不等式x+1> 的解集为−32．
x
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合，求反比例函数表达式，三角形面积，难度不大，解题时
要注意结合坐标系中图象作答．
33．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AD∥x轴，AD=6，原点O是对角
k
线AC的中点，顶点A的坐标为(−2,2)，反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点
xD．
(1)求点D的坐标和k的值；
(2)将平行四边形ABCD向上平移，使点C落在反比例函数图象在第一象限的分支上，求平移过程中线段
AC扫过的面积．
(3)若P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，且四边形APCQ是菱形，求PQ的长．
【答案】(1)D(4,2)，k=8
(2)24
(3)8
【分析】（1）利用平行于x轴的直线上的点纵坐标相等得出A的纵坐标，再用距离确定出点D的横坐标，
k
将D的坐标代入y= ，利用待定系数法即可求出k；
x
（2）利用平行四边形的性质得出点C点坐标为(2,−2)．设点C向上平移a个单位，根据C′ (2,−2+a)在
8
y= 的图象上，列出方程2(−2+a)=8，求出a=6，那么平移过程中线段AC扫过的面积是▱A A′C′C
x
的面积，根据平行四边形的面积公式列式计算；
（3）利用菱形的性质得出直线PQ的解析式，根据点P，Q在双曲线上求出点P，Q的坐标，再根据两点
间的距离公式求出PQ的长．
【详解】（1）解：设AD与y轴交于点E，
∵AD∥x轴，
∴A、D的纵坐标相同．
∵A(−2,2)，
∴AE=2，∴ED=AD−AE=4，
∴D(4,2)．
k
∵D在反比例函数y= 的图象上，
x
∴k=4×2=8；
（2）解：∵在平行四边形ABCD中，原点O是对角线AC的中点，
∴C与A关于原点对称，
∴C(2,−2)．
8
设点C向上平移a个单位，则C′ (2,−2+a)在y= 的图象上，
x
∴2(−2+a)=8，解得a=6．
设CC′与AD相交于F，
则AF=4．
∴平移过程中线段AC扫过的面积是6×4=24；
（3）解：∵四边形APCQ是菱形，
∴PQ⊥AC．
∵直线AC的解析式为y=−x，
∴直线PQ的解析式为：y=x，
设P点的坐标为(a,a)且a>0，则点Q的坐标为(−a,−a)，
∵P、Q两点分别在反比例函数图象的两支上，
8
∴a= ，
a
解得：a=2√2，
故P的坐标为：(2√2,2√2)，Q的坐标为(−2√2,−2√2)，∴PQ=√ (2√2+2√2) 2+(2√2+2√2) 2=8．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函
数的解析式，坐标与图形变化−平移．解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是求出平移的距
离，解（3）的关键是确定出直线PQ的解析式．
34．（2022·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点
b−3
P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A，P两点．
x
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
4
【答案】(1)a＝﹣ ，b＝﹣9，点A的坐标为（3，﹣4）
3
(2)见解析
4
(3)sin∠CDB＝
5b−3
【分析】（1）将点P（﹣3，4）代入y＝ax，计算出a，将点P（﹣3，4）代入y＝ 计算出b，最后根
x
据函数的对称性求出点A即可；
（2）先根据菱形的性质证明∠DCP＝∠OAE，再证明∠AEO＝∠CPD＝90°即可证得△CPD∽△AEO；
（3）先计算出AO的长度，再根据△CPD∽△AEO得到∠CDP＝∠AOE，计算出sin∠AOE即可得到答案．
（1）
解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a，
4
解得：a＝﹣ ，
3
4
∴正比例函数解析式为y＝﹣ x；
3
b−3
将点P（﹣3，4）代入y＝ ，得：﹣12＝b﹣3，
x
解得：b＝﹣9，
12
∴反比例函数解析式为y＝﹣ ．
x
∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A的坐标为（3，﹣4）．
（2）
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）
解：∵点A的坐标为（3，﹣4），
∴AE＝4，OE＝3，AO=√AE2+OE2=5．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
AE 4
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝ = ．
AO 5【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比
函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识．
35．（2022·山东济南·统考模拟预测）已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴
k
的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为(4,2)，反比例函数y= 的图象经过AB的中点D，
x
且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y=mx+n，连接OD，OE．
k
(1)求反比例函数y= 的表达式和点E的坐标；
x
(2)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，求点M的坐标；
k
(3)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数y= 图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶
x
点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4
【答案】(1)y= ，(4,1)；
x
3
(2)(0, )；
2
4
(3)(−4,−1)或( ,3)．
3
【分析】（1）根据矩形的性质求出点D的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比
例函数图象上点的坐标特征求出点E的坐标；
（2）根据三角形的面积公式计算即可；
（3）分DE为平行四边形的边、DE为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形OCBA为矩形，点B的坐标为(4,2)，点D为AB的中点，
∴点D的坐标为(2,2)，k
∵反比例函数y= 的图象经过点D，
x
∴k=2×2=4，
4
∴反比例函数的表达式为：y= ，
x
由题意得，点E的横坐标为4，
4
则点E的纵坐标为： =1，
4
∴点E的坐标为(4,1)；
（2）解：设点M的坐标为(0,n)，
∵点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，
1 1 1
∴S =2×4− ×2×2− ×4×1− ×2×1=3，
△ODE 2 2 2
1
由题意得： ×4×n=3，
2
3
解得：n= ，
2
3
∴△MBO的面积等于△ODE的面积时，点M的坐标(0, )；
2
（3）解：当DE为平行四边形的边时，DE=PQ，DE∥PQ，
∵点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，点P的纵坐标为0，
∴点Q的纵坐标为±1，
当y=1时，x=4（不合题意，舍去）
当y=−1时，x=−4，
则点Q的坐标为(−4,−1)，
当DE为平行四边形对角线时，
∵点D的坐标为(2,2)，点E的坐标为(4,1)，
3
∴DE的中点坐标为(3, )，
2
4
设点Q的坐标为(a, )，点P的坐标为(x,0)，
a
4
则a 3，
=
2 24
解得：a= ，
3
4
∴点Q的坐标为( ,3)，
3
4
综上所述：以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形时，点Q的坐标为(−4,−1)或( ,3)．
3
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质、平行四边形的性质以及三角形的面积计算，解题的关键是掌握
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
k
36．（2022·山东济南·统考二模）如图1，直线l交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例函数y= (k>0)
x
的图像交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S ＝3．
△AOG
(1)k＝ ；
(2)求证：AD ＝CE；
(3)如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积
【答案】(1)k=6；
(2)证明见解析；
(3)S ＝18
平行四边形OABC
1 k
【分析】（1）设A（m，n），由题意 •OG•AG=3，推出mn=6，由点A在y= 上，推出k=mn=6．
2 x
（2）如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x ,y ），E（x ,y
1 1 2 2
）．首先证明EM=﹣k′AN，EM=﹣k′MC，推出AN=CM，再证明△DAN≌△ECM，即可解决问题．
（3）如图2中，连接GD，GE．由EA=EC，AD=EC，推出AD=AE=EC，推出S =S =S =3，
△ADG △AGE △GEC
求出△AOC的面积即可解决问题．（1）
解：设A（m，n），
1
∵ •OG•AG=3，
2
1
∴ •m•n=3，
2
∴mn=6，
k
∵点A在y= 上，
x
∴k=mn=6．
故答案是：6；
（2）
证明：如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x ,y ），E（
1 1
x ,y ）．
2 2
则有y =k′ x +b，y =k′ x +b，
1 1 2 2
∴y ﹣y =k′（x ﹣x ），
2 1 2 1
6 6
∴ − = k′ (x −x )，
x x 2 1
2 1
∴﹣k′ x x =6，
2 1
6
∴﹣k′ x = ，
1 x
2
∴y =﹣k′ x ，
2 1
∴EM=﹣k′AN，
b
∵D（0，b），C（﹣ ，0），
k′
OD EM
∴tan∠DCO= =﹣k′= ，
OC MC∴EM=﹣k′MC，
∴AN=CM，
∵AN∥CM，
∴∠DAN=∠ECM，
在△DAN和△ECM中，
¿，
∴△DAN≌△ECM，
∴AD=EC．
（3）
解：如图2中，连接GD，GE．
∵EA=EC，AD=EC，
∴AD=AE=EC，
∴S =S =S ，
△ADG △AGE △GEC
∵AG∥OD，
∵S =S =3，
△AOG △ADG
∴S =3+3+3=9，
△AOC
∴平行四边形ABCD的面积=2•S =18．
△AOC
【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行
四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，本题的突破点是证明AN=CM，题目比较难．
k
37．（2022·四川成都·统考二模）已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y= (x>0)的图象交于
x
点A(3,4)和点B(6,t)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．(1)求反比例函数的表达式和直线AB的表达式；
(2)若在x轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；
(3)若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A B ，且点A 始终在直线OA上，当线段A B
1 1 1 1 1
与x轴有交点时，求n的取值的最大值．
12 2
【答案】(1)反比例函数的表达式为y= ，直线AB的解析式为y=− x+6
x 3
5
(2)△PAB为等腰三角形时，点P的坐标为( ,0)或(3,0)或(9,0)
2
79
(3)当线段A B 与x轴有交点时，n的取值的最大值为
1 1 16
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设P(t,0)，表示出PA2，PB2，AB2，根据ΔPAB为等腰三角形，则PA=PB或PA=AB或
PB=AB，分别建立方程求解即可得出答案；
（3）由于点A关于直线y=mx+n的对称点点A 始终在直线OA上，因此直线y=mx+n必与直线OA垂直，
1
当点B 落到x轴上时，n的取值的最大，根据BB ∥OA，求出点B 的坐标，再将BB 的中点坐标代入
1 1 1 1
3
y=− x+n，即可求得n的最大值．
4
k
【详解】（1）∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(3,4)和点B(6,t)，
x
∴k=3×4=6t，
∴k=12，t=2，
12
∴反比例函数的表达式为y= ，
x
设直线AB的解析式为y=cx+d，
∵A(3,4)，B(6,2)，
∴¿，解得：¿，
2
∴直线AB的解析式为y=− x+6；
3
（2）设P(t,0)，
则PA2=(t−3) 2+(0−4) 2=t2−6t+25，
PB2=(t−6) 2+(0−2) 2=t2−12t+40，
AB2=(3−6) 2+(4−2) 2=13，
∵△PAB为等腰三角形，
∴PA=PB或PA=AB或PB=AB，
当PA=PB时，PA2=PB2，
∴t2−6t+25=t2−12t+40，
5
解得：t= ，
2
5
∴P( ,0)；
2
当PA=AB时，PA2=AB2，
∴t2−6t+25=13，
∵Δ=(−6) 2−4×1×12=−12<0，
∴此方程无解；
当PB=AB时，PB2=AB2，
∴t2−12t+40=13，
解得：t =3，t =9，
1 2
∴P(3,0)或(9,0)；
(5 )
综上所述，△PAB为等腰三角形时，点P的坐标为 ,0 或(3,0)或(9,0)；
2
（3）当点B 落到x轴上时，n的取值的最大，如图，
1设直线OA的解析式为y=ax，
∵点A的坐标为(3,4)，
4
∴3a=4，即a= ．
3
4
∴直线OA的解析式为y= x.
3
∵点A 始终在直线OA上，
1
∴直线y=mx+n与直线OA垂直．
4
∴ m=−1．
3
3
∴m=− ．
4
3
∴y=− x+n，
4
4
由于BB //OA，因此直线BB 可设为y= x+e．
1 1 3
∵点B的坐标为(6,2)，
4
∴ ×6+e=2，即e=−6．
3
4
∴直线BB 解析式为y= x−6．
1 3
4 9
当y=0时， x−6=0.则有x= ．
3 2
(9 )
∴点B 的坐标为 ,0 ．
1 2
9
6+ 21
∵BB 的中点坐标为 2 2+0 即( ,1)，
1 ( , ) 4
2 221 3
点( ,1)在直线y=− x+n上，
4 4
3 21
∴− × +n=1．
4 4
79
解得：n= ．
16
79
故当线段A B 与x轴有交点时，n的取值的最大值为 ．
1 1 16
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求一次函数的解析式、等腰三角
形的性质、轴对称的性质、中点坐标公式等知识，分类讨论思想是本题解题的关键．
m
38．（2022·重庆开州·校联考模拟预测）一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象
x
交于A(a,4)和B(−4,−2)，与y轴交于点C．
(1)求反比例和一次函数的解析式，并在网格中画出一次函数y=kx+b的图象．
(2)点D(4，b)在一次函数y=kx+b的图象上，过点D作DF⊥y轴于点F，交反比例函数图象于点E，连
接BF，AE，求四边形ABFE的面积．
m
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b≥ 的解集．
x
8
【答案】(1)y= ；y=x+2；图象见解析
x
(2)13(3)x≥2或−4≤x＜0
m
【分析】（1）反比例函数y= (m≠0)过B(−4，−2)，求出m，求得反比例函数的解析式；把点
x
A(a，4)代入求得的反比例函数的解析式，求出a，把A(2，4)和B(−4，−2)代入一次函数
y=kx+b(k≠0)，求出k、b，根据点A、B的坐标画出函数图象．
4
（2）四边形ABFE在平面直角坐标系中如图所示：先求出ME= ，根据
3
S =S −S −S 计算即可；
四边形ABFE 梯形MFBN △EMA △ANB
m
（3）根据两函数交点的横坐标求出关于x的不等式kx+b≥ 的解集．
x
m
【详解】（1）解：∵反比例函数y= (m≠0)过B(−4，−2)，
x
∴m=8，
8
∴反比例的解析式：y= ；
x
8
∵反比例函数y= 过A(a，4)，
x
∴a=2，
∴A(2，4)，
∵把A(2，4)和B(−4，−2)代入一次函数y=kx+b(k≠0)
¿，
解得k=1，b=2，
∴一次函数的解析式：y=x+2；
一次函数y=x+2的图象如下：（2）四边形ABFE在平面直角坐标系中，过点A作y轴的平行线，交DF于点M，且与过点B平行于x轴的
直线交于点N，如图所示：
∵A(2，4)，B(−4，−2)，
∴N(2，−2)，点M的横坐标为2，
∵D(4，b)，且在一次函数y=x+2图象上，
∴b=4+2=6，
∴D(4，6)，∵DF⊥y轴，
∴E的纵坐标为6，M(2，6)
8
把y=6，代入y= ；
x
4 4
得x= ，即EF= ，
3 3
4 2
∴ME=MF−EF=2− = ，AM=6−4=2，
3 3
∵A(2，4)，B(−4，−2)，N(2，−2)，M(2，6)，
∴MN=6−(−2)=8，BN=2−(−4)=6，AN=4−(−2)=6，
∴S =S −S −S
四边形ABFE 梯形MFBN △EMA △ANB
1 1 1
= (MF+BN)·MN− ME·AM− BN·AN
2 2 2
1 1 2 1
= (2+6)×8− × ×2− ×6×6 =13；
2 2 3 2
m
（3）由图象可得，当x≥2或−4≤x＜0时，kx+b≥ ．
x
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求一次、反比例函数解析式的步骤，
其中求三角形的面积转化为面积之差是解题关键．
1 k
39．（2022·河北承德·统考二模）如图，直线y= x与反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象交于点B(m,1)，
2 x
1
A是反比例函数图象上一点．直线OA与y轴的正半轴的夹角为α，tanα= ．设直线AB与x轴交于点D，
2
直线l经过点D，与y轴交于点H，设点H的纵坐标为t．
(1)求k的值及点A的坐标．
(2)t为何值时，直线l过△AOD的重心？(3)设点P是x轴上一动点，若△PAB的面积为2，直接写出P点的坐标．
【答案】(1)k=2，A(1,2)
6
(2)t=
5
(3)(-1,0)和(7,0)
1
【分析】（1）过A点作AN⊥x轴于N点，设OA的中点为M点，根据B(m,1)在直线y= x上即可求出B点
2
坐标，进而可求出反比例函数的解析式，根据AN∥y轴，得到∠OAN=∠AOH=α，即可得到AN=2ON，结
2
合A点在y= 上即可求出A点坐标；
x
（2）设直线AB的解析式为：y=ax+b，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，则有D点坐标，结
合H点坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式，直线l的经过△AOD的重心，且直线l过D点，可
1
知直线l的经过OA的中点，根据A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，可知OA中点的坐标为( ,1)，将
2
1
( ,1)代入直线l的解析，即可求出t；
2
（3）分三种情况讨论：第一种情况，当P点在O点左侧时；第二种情况，当P点在OD之间时；第三种
情况，当P点在D点右侧时，即可求解．
【详解】（1）过A点作AN⊥x轴于N点，设OA的中点为M点，如图，
1
∵B(m,1)在直线y= x上，
2
∴当y=1时，x=2，即m=2，
∴B点坐标为(2,1)，k
∵B点在反比例函数y= 上，
x
∴k=xy=1×2=2，
2
∴k=2，反比例函数的解析式为y= ，
x
∵AN⊥x，
∴AN∥y轴，
∴∠OAN=∠AOH=α，
1
∵tanα= ，
2
1 ON
∴在Rt△AON中，tan∠OAN=tanα= = ，
2 AN
∴AN=2ON，
2
∵A点在y= ，
x
2 2
∴AN= ，即2ON= ，
ON ON
∴ON=1，AN=2，
∴A点坐标为(1,2)；
（2）∵A点坐标为(1,2)，B点坐标为(2,1)，
∴设直线AB的解析式为：y=ax+b，
∴¿，解得¿，
∴直线AB的解析式为：y=−x+3，
∴当y=0时，x=3，即D点坐标为(3,0)，
∵H的纵坐标为t，
∴H的坐标为(0,t)，
∵D点坐标为(3,0)，H的坐标为(0,t)，
∴设直线l的解析式为：y=mx+n，
∴¿，解得¿，
t
∴直线l的解析式为：y=− x+t，
3
∵直线l的经过△AOD的重心，且直线l过D点，
∴直线l的经过OA的中点，∵A点坐标为(1,2)，O点坐标为(0,0)，
1
∴OA中点的坐标为( ,1)，
2
1 t 6
∴将( ,1)代入y=− x+t，即有t= ，
2 3 5
6
即当t= 时直线l的经过△AOD的重心；
5
（3）过B点作BG⊥x轴于G点，
∵A(1,2)、B(2,1)、D(3,0)，
∴AN=2，BG=1，OD=3，
∵P点在x轴上，
设P点坐标为(p,0)
分类讨论：
第一种情况，当P点在O点左侧时，
如图，连接AP、BP，
∴OP=-p，
∴PD=OP+OD=-p+3=3-p，
1 1 1 1 3−p
∴S = ×PD×AN= ×(3−p)×2=3−p，S = ×PD×BG= ×(3−p)×1= ，
△PAD 2 2 △PBD 2 2 2
3−p 3−p
∴S =S −S =3−p− = ，
△PAB △PAD △PBD 2 2
∵S =2，
△PAB
3−p
∴ =2，解得p=-1，
2
即此时P点坐标为：(-1,0)；
第二种情况，当P点在OD之间时，即0＜p＜3，如图，连接AP、BP，
∵P(p,0)，
∴OP=p，PD=OD-OP=3-p，
1 1 1 1
∴S = ×OD×AN= ×3×2=3，S = ×PO×AN= ×p×2=p，
△OAD 2 2 △PAO 2 2
1 1 3−p
S = ×PD×BG= ×(3−p)×1= ，
△PBD 2 2 2
3−p 3−p
∵S =S −S −S =3−p− = ，
△PAB △OAD △PAO △PBD 2 2
∵S =2，
△PAB
3−p
∴ =2，解得p=-1，
2
∵0＜p＜3，
∴此时不符合题意舍去，
第三种情况，当P点在D点右侧时，即p＞3，
如图，连接AP、BP，
∵P(p,0)，p＞3，
∴OP=p，DP=OP-OD=p-3，1 1 1 1
∴S = ×OD×AN= ×3×2=3，S = ×OP×AN= ×p×2=p，
△OAD 2 2 △OAP 2 2
1 1 p−3
S = ×PD×BG= ×(p−3)×1= ，
△PBD 2 2 2
p−3 p−3
∵S =S −S −S =p−3− = ，
△PAB △OAP △OAD △PBD 2 2
∵S =2，
△PAB
p−3
∴ =2，解得p=7，
2
即P点坐标为：(7,0)；
综上：P点坐标为(-1,0)、(7,0)．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、锐角三角函数、三角形的重心的性质、求解三
角形的面积、求一次函数和反比例函数解析式等知识，理解三角形重心的含义是解答本题的关键．
40．（2022·广东广州·执信中学校考二模）如图，一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A，与反
12
比例函数y=− (x<0)的图像交于点B(−6,b)．
x
(1)求b，k的值．
(2)点C是线段AB上一点（不与A，B里合），过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点
D，连接OC，OD，若△OCD的面积为8，求点C的坐标．
(3)将（2）中的△OCD沿射线AB平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比
例函数的图像上，求此时点D的对应D′的坐标．
【答案】(1)b=2，k=-1
(2)C（-2，-2）
(3)D′的坐标（-2-2√3，6+2√3）12
【分析】(1)把B（-6，0）代入反比例函数解析式y=− (x<0)中，确定b值，到B的坐标，再将其代入
x
一次函数解析式即可确定k值．
（1）
12
把B（-6，b）代入反比例函数解析式y=− (x<0)中，
x
12
得b=− =2，
−6
∴ B（-6，2），
∴ 2=−6k−4，
解得k=-1．
（2）
∵点C在直线y=-x-4上，
∴设点C(m，-m-4),其中m＜0，
∵过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，
12
∴点D(m，− ),其中m＜0，
m
12 12
∴CD=− -(-m-4)=− +m+4
m m
∵△OCD的面积为8，
1 12
∴ (− +m+4)|m|=8，
2 m
整理，得m2+4m+4=0，
解得m=-2，
∴点C(-2，-2) ．
（3）
∵△OCD沿射线AB平移一定的距离后，得到△O′C′D′，且点O的对应点O′，
∴OO′∥AB，
∵直线AB的解析式为y=-x-4，
∴OO′的解析式为y= -x，
设点O′ (n，-n) ，其中n＜0，
∵点O的对应点O′恰好落在该反比例函数的图像上，12
∴−n=− ，
n
解得n=−2√3，n=2√3（舍去），
故平移规律是向左平移2√3个单位长度，再向上2√3个单位长度，
∵点D(-2，6)，
∴D′的坐标（-2-2√3，6+2√3）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，平移的规律，熟练掌握待定系数法，平移规律是解题
的关键．
【考点9 实际问题与反比例函数】
41．（2022·湖南衡阳·台州市书生中学校考一模）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成
人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最
高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反
比例函数关系．
(1)a=_____________；
(2)当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
当x>100时，y与x之间的函数关系式为_____________；
(3)如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
【答案】(1)19
1900
(2)y=0.2x−1；y=
x
(3)135分钟
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
【详解】（1）解：a＝0.2×（100﹣5）＝19；（2）解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b
1
∵经过点（5，0），（100，19）
∴¿
解得：，¿
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
k
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝ ，
x
∵经过点（100，19），
k
∴ ＝19
100
解得：k＝1900，
1900
∴函数的解析式为y＝ ；
x
（3）解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
1900
令y＝ ＝10，解得：x＝190
x
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
42．（2022·浙江金华·校联考二模）新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3
支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要11min．
(1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？
(2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：min/ml）与时间x（单位：天）
的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x
成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于50min/ml时，并且不低于23min/ml，可以打第二针疫苗，刺
激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问：
①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围；
②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明．【答案】(1)生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min；
(2)①函数表达式：y=¿，②小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内．
【分析】（1）直接利用药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要19min；生产2支单针疫苗和1支双
针疫苗需要11min，得出二元一次方程组求出答案；
（2）①直接利用待定系数法求出函数解析式进而得出答案；
②分别利用y=50，y=23得出x的值．
(1)
设生产1支单针疫苗需要xmin，生产1支双针疫苗需要ymin．
则：¿，
解得：¿，
所以，生产1支单针疫苗需要3min；生产1支双针疫苗需要5min．
(2)
①设函数解析式为y=kx，将(0.7,910)代入，
解得k=1300，
故y=1300x；
m
设函数解析式为y= ，将(0.7,910)代入，
x
解得m=637，
637
故y= ，
x
两段函数对应的表达式为y=¿；
②当y=50时，x=12.74，当y=23时，x=27.7，
所以小明应在打打第二针疫苗的时间段为打第一针后的第13天到28天内．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用以及正比例函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
43．（2022·浙江丽水·统考二模）2021年某企业生产某产品，生产线的投入维护资金x（万元）与产品成本
y（万元/件）的对应关系如下表所示：投入维护资金x（万元） 2.5 3 4 4.5
产品成本y（万元/件） 7.2 6 4.5 4
(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并
求出其解析式．
(2)2022年，按照这种变化规律：
①若生产线投入维护资金5万元，求生产线生产的产品成本．
②若要求生产线产品成本降低到3万元以下，求乙生产线需要投入的维护资金．
18
【答案】(1)反比例函数，理由见解析，y=
x
(2)①3.6万元/件；②6万元以上
【分析】（1）设y=kx+b利用待定系数法求出解析式，再代入一组对应值验证，得到不是一次函数关系；
k
再设y= （k为常数，k≠0），求出解析式代入对应值验证即可；
x
（2）①将x=5代入计算可得；②将y=3代入计算可得．
(1)
设y=kx+b（k，b为常数，k≠0），
∴¿，解这个方程组得¿，
∴y=−1.5x+10.5．
当x=2.5时，y=6.75≠4．
∴一次函数不能表示其变化规律．
k
设y= （k为常数，k≠0），
x
k
∴7.2= ，
2.5
∴k=18，
18
∴y= ．
x
当x=3时，y=6；当x=4时，y=4.5；当x=4.5时y=4；
18
∴所求函数为反比例函数y= ．
x(2)
①当x=5时，y=3.6，
∴甲生产线生产出的产品成本为3.6万元/件．
②当y=3时，x=6，
∵y<3，
∴x>6，
∴需要投入维护资金6万元以上．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求函数的解析式，一次函数与反比例函数的实际问题，正确掌握一次
函数及反比例函数的性质并求出解析式是解题的关键．
44．（2022·河北保定·统考模拟预测）有一台室内去除甲醛的空气净化器需要消耗净化药物去除甲醛，设
净化药物的消耗量为x(kg)，室内甲醛含量为y(mg/m3)，开机后净化器开始消耗净化药物．当01时，净化器开始计时，开始计时后，设时间为t(h)（t>0），并有以下两种
工作模式：
模式Ⅰ室内甲醛含量y(mg/m3)与净化药物的消耗量x(kg)成反比，且当x=2时，y=0.9；
模式Ⅱ净化药物的消耗量由档位值k（00，将t=2时，d=20代入求解即可；②k=5时，x=5t+1，x−1
化简为t= ，将其代入y中即可得；
5
（3）根据（2）结论代入得出x=3，将其代入模式Ⅰ求解，然后比较即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：当x=2时，y=0.9；
∴xy=1.8，
1.8 9
∴y= = ．
x 5x
（2）①由题意可得，x=kt+1，
设d=at2，a>0，
由t=2时，d=20，
∴20=a×22，a=5，
∴d=5t2．
②k=5时，x=5t+1，
又y=1.8−d=1.8−5t2，
x−1
∴t= ，
5
x−1 2
代入y中，得y=1.8−5( ) ，
5
1
化简得，y=− (x−1) 2+1.8．
5
（3）对于模式Ⅱ，当k=5时，
1
y=− (x−1) 2+1.8，
5
1
当y=1mg/m3时，得1=− (x−1) 2+1.8，
5
解得x =3，x =−1（舍去）．
1 2
1.8 1.8
当x=3时，对于模式Ⅰ，有y= = =0.6mg/m3 ，
x 3
1−0.6=0.4mg/m3，
∴模式Ⅰ去除甲醛的效果好，两者相差0.4mg/m3．
【点睛】题目主要考查反比例函数及二次函数的应用，一次函数的应用等，理解题意，列出相应函数关系
式是解题关键．
1
45．（2022·山东临沂·统考一模）为了探索函数y=x+ (x>0)的图象与性质，我们参照学习函数的过程
x与方法，列表：
1 1 1
x … 1 2 3 4 5 …
4 3 2
17 10 5 5 10 17 26
y … 2 …
4 3 2 2 3 4 5
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，
如图1所示：
(1)如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
(2)已知点(x ,y ),(x ,y )在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
1 1 2 2
若0；<
1
(3)①y与x的函数关系式为： y=2.5+x+
x
1
②水池底面一边的长x应控制在 ≤x≤2．
2
【分析】(1)用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可；(2)利用图象法解决问题即可；
(3)①总造价=上盖的造价+底面的造价+侧面的造价，构建函数关系式即可；
②转化为一元二次不等式，结合第(1)小题的图象法，解决问题即可．
【详解】（1）如图，作出函数的图像；
（2）因为点(x，y)，(x，y)在函数图象上，根
1 1 2 2
据函数图象和表格容易得到：
若0 y
1 2 1 2
若1，<
（3）①底面面积为1平方米，一边长为x米，
1
∴与之相邻的另一边长为 米，
x
1 1
∴水池侧面面积的和为：1×x×2+1× ×2=2(x+ )平方米；
x x
∵下底面造价为1千元/平方米，上盖的造价为1.5千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米；
1
∴y=1+1.5+2(x+ )×0.5
x
1
即：y与x的函数关系式为： y=2.5+x+
x
②∵该农户预算不超过5千元，即y≤5
1
∴x+ +2.5≤5
x
1
∴x+ ≤2.5
x
根据图象或表格可知，当2≤y≤2.5时，1
≤x≤2，
2
1
因此，该农户预算不超过5千元，则水池底面一边的长x应控制在 ≤x≤2．
2
【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用函数图像解决问题，学
会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点10 反比例函数与几何综合】
46．（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考模拟预测）知识拓展
如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；
如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；
m
解决问题 如图3，直线AB与坐标轴分别交于点A(m，0)，B(0,n) (m＞0,n＞0)，反比例函数y=
x
(x>0)的图象与AB交于C，D两点．
(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？
(2)若S =S =S ，求点B的坐标．
ΔAOC ΔCOD ΔBOD
【答案】(1)当n=4时，ΔABO的面积最大
9
(2)B
(0, )
2
1 1
【分析】（1）由m+n=8得m=8− n，利用三角形面积公式得出S = OB⋅OA= n(8− n)，转化为
ΔABO 2 2
顶点式即可求解；
（2）过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，根据S =S =S 得BF=EF=OE，
ΔAOC ΔCOD ΔBOD1 m 3m 1
得出BF=EF=OE= n，根据点C在反比例函数y= (x>0)上，得出C( , n)，代入直线AB的
3 x n 3
解析式，即可求解．
（1）
解：∵m+n=8，
∴m=8− n，
∵点A(m，0)，B(0,n) (m＞0,n＞0)，
1 1 1
∴S = OB⋅OA= n(8− n)=− (n−4)2+8，
ΔABO 2 2 2
∴n=4时，S
ΔABO
取最大值，最大值为8，
即当n=4时，ΔABO的面积最大；
（2）
解：如图，
∵S =S =S ，
ΔAOC ΔCOD ΔBOD
∴BD=CD=AC，
过点C作CE⊥OB于E，过点D作DF⊥OB于F，
∴DF∥CE∥OA，
∴BF=EF=OE，
∵点B(0,n) (n＞0)，
∴OB=n，
1
∴BF=EF=OE= n，
3
1
∴点C的纵坐标为 n，
3m
∵点C在反比例函数y= (x>0)的图象上，
x
3m 1
∴C( , n)，
n 3
∵点A(m，0)，B(0,n) (m＞0,n＞0)，
n
∴直线AB的解析式为y=− x+n，
m
∵点C在直线AB上，
n 3m 1
∴− × +n= n，
m n 3
9
解得n= ，
2
9
∴B
(0, )
．
2
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，知识拓展
得出的结论，解第一问的关键是建立S 与n的函数关系式，解第二问的关键是得出
ΔABO
1
BF=EF=OE= n．
3
47．（2022·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断
归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把 AOB三等分的操作如下：
（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐∠标系；
1
（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y= (x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于
x
点C；
1
（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y= 的图像于点D；
x
（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；
（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；
(2)证明：O、M、E三点共线；
1
(3)证明：∠EOB= ∠AOB．
3
【答案】(1)四边形CEDM是矩形，证明见解析
(2)O、M、E三点共线，证明见解析
1
(3)∠BOE= ∠AOB，证明见解析
3
【分析】（1）通过矩形的判定可证四边形CMDE是矩形；
（2）根据函数的解析式得出直线OE的解析式，进而解答即可；
（3）由矩形的性质可得CN=MN=ND=NE，可得∠CNO=2∠CEO，由CD=2OC，可求
∠AOB=3∠BOE，可得结论．
【详解】（1）证明：∵CE∥x轴，MD∥x轴，CM∥y轴，DE∥y轴，
∴CE∥MD，CM∥DE，
∴四边形CMDE是平行四边形，
∵x轴⊥y轴，CE∥x轴，MD∥x轴，
∴CE⊥MD，
∴四边形CMDE是矩形；
( 1) ( 1)
（2）解：设点C a, ，点D b, ，
a b
( 1) ( 1)
∴点E b, ，点M a, ，
a b
1
∴直线OE的解析式为：y= x，
ab1
当x=a时，y= ，
b
∴点M在直线OE上，即O、M、E三点共线；
（3）解：∵O、M、E三点共线，
∵四边形CMDE是矩形，
∴CN=MN=ND=NE，
∴∠DCE=∠CEN，
∴∠CNO=2∠CEO，
∵CE∥x轴，
∴∠BOE=∠CEO，
∴∠CNO=2∠EOB，
∵CD=2OC，
∴OC=CN，
∴∠CNO=∠CON，
∴∠AOB=∠CON+∠EOB=3∠BOE，
1
∴∠BOE= ∠AOB．
3
【点睛】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的
性质等知识点，证明四边形CMDE是矩形是解题的关键．
48．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC
12 k
为菱形，反比例函数y=− （x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y= (k>0,x＜0)经过点B，且交
x x
BC边于点D，连接AD．
(1)求直线BC的表达式．(2)求tan∠DAB的值．
12
(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=− （x>0）于点N．
x
在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3 15
【答案】(1)直线BC的表达式为y=− x−
4 4
9
(2)tan∠DAB=
32
16 21 3
(3)存在，当点N的坐标为( ,− )或(16,− )时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形
7 4 4
12
【分析】（1）把点A（a,−3）代入反比例函数y＝− （x＞0）得到a＝4，求得A（4，−3），根据勾股
x
定理得到OA＝√32+42=5，根据菱形的性质得到OC＝AB＝OA＝5，设直线BC的解析式为y＝mx＋n,列方
程组即可得到结论；
k 3 3
（2）把B（−1，−3）代入y＝ 得y＝ ，解方程组得到D（−4，− ），过D作DE⊥AB于E，根据三角
x x 4
函数的定义即可得到结论；
（3）①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，根据平行
四边形的性质列方程即可得到结论．
12
【详解】（1）∵反比例函数y=− (x>0)经过点A(a,−3)，
x
12
∴−3=− ，
a
∴a=4，
∴A(4,−3)，
∴OA=√32+42=5，
∵四边形OABC为菱形，
∴OC=AB=OA=5，
∴C(−5,0)，B(−1,−3)，设直线BC的解析式为y=mx+n，
则¿，
解得¿，
3 15
∴直线BC的表达式为y=− x− ；
4 4
（2）∵B(−1,−3)，
∴k=−1×(−3)=3，
3
∴y= ，
x
解¿得，¿或¿ (不合题意舍去)，
3
∴D(−4,− )，
4
如图1，过D作DE⊥AB于E，
9
∴DE= y −y = ，AE=x −x =8，
D B 4 A D
9
DE 4 9 ；
∴tan∠DAB= = =
AE 8 32
（3）存在，理由如下，
①当四边形BDEN是平行四边形时，如图2，∴y −y = y −y ，
D B E N
3
∴− −(−3)=−3−y ，
4 N
21
∴y =− ，
N 4
21 12 16
把y =− 代入y=− 得，x = ，
N 4 x N 7
16 21
∴N=( ,− )；
7 4
②当四边形BDNE是平行四边形时，如图3，
∴y −y = y −y ，
D B N E
3
∴− −(−3)= y −(−3)，
4 N
3
∴y =− ，
N 4
3 12
把y =− 代入y=− 得，x =16，
N 4 x N3
∴N(16,− )，
4
16 21 3
综上所述，当点N的坐标为( ,− )或(16,− )时，以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形．
7 4 4
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，平行四
边形的判定，正确的理解题意是解题的关键．
49．（2022·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+b
k
经过点A(−1,0)，与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y= (x>0)交于点C，且AC=3AB，BD∥x轴
x
k
交反比例函数y= (x>0)于点D．
x
(1)求b、k的值；
k
(2)如图1，若点E为线段BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y= (x>0)于
x
1
点F.若EF= BD，求m的值．
3
(3)如图2，在(2)的条件下，连接FD并延长，交x轴于点G，连接OD，在直线OD上方是否存在点H，使
得△ODH与△ODG相似(不含全等)？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，18
(2)m=1
9 27 15 15
(3)存在，(3,4)或(1,3)或( , )或(− , )
2 2 2 2
【分析】（1）将点A代入一次函数求出b的值，然后根据AC=3AB求出点C的坐标，即可求出反比例函
数的解析式；（2）将E点横坐标代入y=3x+3，求出纵坐标，根据EF∥BD即可知道F的纵坐标，代入反比例函数的
解析式，求出F的横坐标，即可表示出EF的长度，同理将B点纵坐标代入反比例函数求出D点横坐标，从
1
而表示出BD的长，根据EF= BD列方程即可求解m的值；
3
（3）根据相似三角形的性质可知，需要分三种情况，当∠HOD=∠DOG时，当∠HOD=∠DGO时，
当∠HOD=∠ODG时三种情况，分别画出图形，列出等式求解即可．
【详解】（1）作CM⊥x轴于M，如图1：
∵∠BOA=∠CMA，∠BAO=∠CAM，
∴△BOA∽△CMA，
∵直线y=3x+b经过点A(−1,0)，
∴−3+b=0，
解得b=3，
∴直线解析式为：y=3x+3，
∴B(0,3)，
∵AC=3AB，
∴CM=3BO=9，AM=3OA=3，
∴C点坐标为(2,9)，
k
∴将C点坐标代入y= ，
x
得k=18．
（2）∵BD∥x轴，
18
∴D点的纵坐标为3，代入y= ，
x
得x=6，∴D点坐标为(6,3)，
将E点横坐标代入y=3x+3，
得y=3m+3，
∵EF∥BD
∴F点纵坐标为3m+3，
18
代入y= ，
x
6
得x= ，
m+1
( 6 )
∴F点坐标为 ,3m+3 ，
m+1
1
∵EF= BD，
3
6 1
∴ −m= ×6，
m+1 3
解方程得m=1或−4(舍)，
∴m=1．
（3）存在，理由如下：
如图2，过点D作DQ⊥x轴于点Q，
由(2)知D(3,6)，F(6,3)，
∴直线FD的解析式为：y=−x+9，OQ=6，DQ=3，
∴OG=9，
∴DQ：GQ=3，
∴∠QGD=∠QDG=45°．
∴OD=3√5，DG=3√2．
Ⅰ、当∠HOD=∠DOG时，如图2所示，设BD与OH交于点P，由(2)知，BD//x轴，
∴∠BDO=∠DOG，
∴∠BDO=∠HOD，
∴OP=PD，
设OP=m，则BP=6−m，
15
在Rt△OBP中，由勾股定理可得，32+m2=(6−m) 2，解得m= ；
4
9
∴BP= ；
4
9
∴P( ,3)，
4
4
∴直线OP的解析式为：y= x；
3
①若△ODG∽△ODH，则OD：OD=OG：OH=1，不符合题意，舍去；
②若△ODG∽△OHD，
∴OD：OH=OG：OD，即3√5：OH=9：3√5，
解得OH=5，
设H(3t,4t)，
∴(3t) 2+(4t) 2=52，
解得t=1，负值舍去，
∴H(3,4)；
Ⅱ、当∠HOD=∠DGO时，①若△ODG∽△DHO，如图4，
∴∠DOG=∠ODH，DG：OH=OG：DO，
∴DH//OG，即点H在BD上，3√2：OH=9：3√5，
∴OH=√10，
∴BH=1，
∴H(1,3)，直线OH的解析式为：y=3x；
②若△ODG∽△HDO，
∴DG：OD=OG：OH，即3√2：3√5=9：OH，
9√10
解得OH= ，
2
设H(t,3t)，
9√10
∴t2+(3t) 2=(
)
2
，
2
9
解得t= ，负值舍去，
2
9 27
∴H( , )；
2 2Ⅲ、当∠HOD=∠ODG时，OH//EG，
∴直线OH的解析式为：y=−x；
①若△ODG∽△DOH，则OD：OD=OG：DH=1，不符合题意，舍去；
②若△ODG∽△HOD，如图5，
∴OD：OH=DG：OD，即3√5：OH=3√2：3√5，
15√2
解得OH= ，
2
设H(t,−t)，
15√2
∴t2+(−t) 2=(
)
2
，
2
15
解得t=− ，正值舍去，
2
15 15
∴H(− , )；
2 29 27 15 15
综上，符合题意的点H的坐标为：(3,4)或(1,3)或( , )或(− , ).
2 2 2 2
【点睛】本题属于反比例函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，分类
讨论思想；用坐标表示线段长度，然后列方程是解决这类试题的关键．
50．（2022·浙江宁波·校考三模）我们定义：在△ABC内有一点P，连结PA，PB，PC．在所得的△ACP，
△ABP，△BCP中，有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心．
(1)如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上．请在图中的格点中，
画出△ABC的相似心．
(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设
△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH．
①∠BMA的度数是 ．
②求证：点O为△MHG的相似心．
2√3
(3)如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数y＝－ （x＜0）的图象上，∠OHG＝30°．
x①求点G的坐标．
②若点E为△OHG的相似心，连结OE，直接写出线段OE的长．
【答案】(1)见解析
(2)①∠BMA=45°；②见解析
6√13 2√7
(3)①OG=2；②OE的长为 或
13 7
【分析】（1）利用相似三角形的判定，找出格点P即可；
1
（2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠ABM+∠MAB= （180°+90°）=135°，从而得出答案；
2
②作MQ⊥x轴，MP⊥y轴，垂足分别为Q、P，可得四边形MQOP为正方形，利用正方形的性质得
∠MOH=∠MOG=135°，再根据∠HMO+∠GMO=45°，∠HMO+∠MHO=∠MOQ=45°，得∠GMO=∠MHO，说
明结论成立；
（3）①由（2）知 OMH∽△OGM得，OM2=OG•OH，则OG•OH=4√3，再根据∠OHG=30°，知OH=√3
OG，可得答案； △
②分三种情形： OEH与 GEH为相似三角形或 OEG与 GEH为相似三角形或 OEG与 OEH为相似
三角形，每一种△情形再分对△应角分别考虑，从而解△决问题．△ △ △
（1）
解：如图1，
AP PC
∵∠APB=∠APC， = ，
BP AP
∴△APB∽△CPA，
∴点P为 ABC的相似心；
（2） △
解：①∵△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，1
∴∠ABM+∠MAB= （180°+90°）=135°，
2
∴∠BMA=45°，
故答案为：45°；
②作MQ⊥x轴，MP⊥y轴，垂足分别为Q、P，
由角平分线的性质得MQ=MP，则四边形MQOP为正方形，
∴∠MOQ=∠MOP=45°，
∴∠MOH=∠MOG=135°，
∵∠HMO+∠GMO=45°，∠HMO+∠MHO=∠MOQ=45°，
∴∠GMO=∠MHO，
又∵∠MOH=∠MOG=135°，
∴△OMH∽△OGM，
∴点O为 GMH的相似心；
（3） △
解：①由上述结论： OMH∽△OGM得，OM2=OG•OH，
△ 2√3
∵MP=MQ，且点M在y=− 上，
x
∴OP2=2√3，则OM2=OG•OH=4√3，
∵∠OHG=30°，
∴OG=2，
∴G（2，0）；
②（Ⅰ）当 OEH与 GEH为相似三角形时
（当∠EHO△与∠GHE△为对应角时， OEH与 GEH是全等三角形，显然不成立；当∠EHO与∠GEH为对
△ △应角时，∠GEH+∠GHE=30°，则∠EGH=150°，显然也不成立），
∵△OEH∽△HEG，
∴∠EHO=∠EGH，∠EOH=∠EHG，
OE EH OH √3
= = = ，
EH EG HG 2
∵∠EHO+∠EHG=30°，
∴∠OEG=60°，
在 OEG中，∠OEG=60°，OG=2，
OE△ 3
= ，
EG 4
过点G作DG⊥OE，垂足为点D，
设OE=3x，则EG=4x，
∵OD=x，DG=2√3x，OG=2，
2√13 6√13
∴由勾股定理得x= ，即OE= ．
13 13
（Ⅱ）当 OEG与 GEH为相似三角形时，
（当∠EG△O与∠EG△H为对应角时， OEG与 GEH是全等三角形，显然不成立；当∠EGO与∠GEH为对
应角时，∠GEH+∠EGH=60°，则∠E△GH=120°△，显然也不成立），
∵△OEG∽△GEH，
∴∠EOG=∠EGH，∠EGO=∠EHG，
OE EG OG 1
= = = ，
EG EH HG 2
∵∠EGO+∠EGH=60°，
∴∠OEH=120°，在 OEH中，∠OEH=120°，OH=2√3，
O△E 1
= ，
EH 4
2√7
则与（Ⅰ）同理可得OE= ；
7
（Ⅲ）当 OEG与 OEH为相似三角形时，
当∠GOE△与∠EOH△为对应角时， OEG与 OEH是全等三角形，显然不成立；
当∠EOG与∠EOH为对应角时，△∠EOH+∠△OEH=90°，则∠OHE=90°，显然也不成立；
当∠EOG与∠OHE为对应角时，∠EOH+∠OHE=90°，则∠GEH=180°，此时点E在斜边GH上，也不成立．
6√13 2√7
综上所述OE= 或 ．
13 7
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似形的定义，相似三角形的判定与性质，正方形的判定
与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是对新定义概念的理解和运用，同时渗透了分
类讨论的数学思想，难度较大．
