0，再根据反比例函数的性质（增减性）
即可得．
【详解】解：∵这块砖的重量不变，
∴不管A,B,C三个面中的哪面向下在地上，压力F的大小都不变，且F>0，
∴P随S的增大而减小，
∵A,B,C三个面的面积之比是5:3:1，
∴P 0）
1 x 1
k
的图象交于点M，N，与反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四
2 x 2
边形OMBN的面积为3，则k-k=（ ）
1 2
3 3
A．3 B．-3 C． D．−
2 2
【答案】B【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
k
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数y = 1（k 是非零常数，x>0）的图象上，
1 x 1
1
∴S =S = k ，
△OAM △OCN 2 1
k
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象上，
2 x 2
∴S =k，
矩形OABC 2
∴S =S -S -S =3，
四边形OMBN 矩形OABC OAM OCN
△ △
∴k-k=3，
2 1
∴k-k=-3，
1 2
故选：B．
k
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y= 图象中任取一点，过
x
这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
k
【变式5-1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，过A，
x
C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好
3
为OC的中点．当△AEC的面积为 时，k的值为( )
4
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S OCD＝1，根据反比
△
例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】∵点E为OC的中点，
3
∴S =S = ，
△AEO △AEC 4k
∵点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，
x
∴S ABO＝S CDO，
△ △
3
∴S CDBE＝S AEO＝ ，
四边形 4
△
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴
S
ΔOEB =
(1) 2
，
S 2
ΔOCD
∴S OCD＝1，
△
1
则 xy＝﹣1，
2
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何
意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
k
【变式5-2】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y= （
x
k>0，x>0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转
60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
√3
A． B．√3 C．2√3 D．4
2
【答案】C
【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，∵P点纵坐标为：2，
k
∴P点坐标表示为：（ ，2），PQ=2，
2
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
1
∴MN= QM=1，QN=√3，
2
∴ON·MN=k，
k
即： +√3=k，
2
解得：k=2√3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．
k
【变式5-3】（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=
x
3
(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S ABE= ，则k=______．
2
△
【答案】33
【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S ADE= S ABE= ，以及
2
△ △
3
S ADE=S ADO= ，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
2
△ △
【详解】解：连接OD、DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点B、点D到对角线AC的距离相等，
3
∴S ADE= S ABE= ，
2
△ △
∵AD⊥x轴，
∴AD∥OE，
3
∴S ADE=S ADO= ，
2
△ △
设点D(x，y) ，
1 1 3
∴S ADO= OA×AD= xy= ，
2 2 2
△
∴k=xy=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标
特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S = S 是解题的关键．
ADE ABE
△ △
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
k
【例6】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(−2,4)，那么该反比
x
例函数图像也一定经过点（ ）
A．(4,2) B．(1,8) C．(−1,8) D．(−1,−8)【答案】C
【分析】先把点(−2,4)代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(−2,4)，
x
∴k=−2×4=−8，
A、∵4×2=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×8=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、−1×8=−8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、(−1)×(−8)=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
k
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y= (k≠0)中，k=xy为定值是
x
解答此题的关键．
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(2,3)向下平移5个单位长度得
k
到点B，若点B恰好在反比例函数y= 的图像上，则k的值是______．
x
【答案】−4
k
【分析】将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点B，再把点B代入反比例函数y= ，利用待定系数法进
x
行求解即可．
【详解】将点A(2,3)向下平移5个单位长度得到点B，则B(2,−2)，
k
∵点B恰好在反比例函数y= 的图像上，
x
∴k=2×(−2)=−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题
的关键．
【变式6-2】（2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O
k
点旋转至△A′B′O的位置，且A′在OB的中点，B′在反比例函数y= 上，则k的值为________________．
x【答案】√3
【分析】连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出ΔAOA′是
等边三角形，从而得出∠AOB=∠A′OB′=60°，即可得出∠B′OE=60°，解直角三角形求得B′的坐标，
进一步求得k=√3．
【详解】解：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，
由题意知OA=OA′，A′是OB中点，∠AOB=∠A′OB′，OB′=OB，
1
∴AA′= OB=OA′，
2
∴ΔAOA′是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴OB=2OA=2，∠B′OE=60°，
∴OB′=2，
1
∴OE= OB′=1，
2
∴B′E=√3OE=√3，
∴B′(1,√3)，
k
∵B′在反比例函数y= 上，
x∴k=1×√3=√3．
故答案为：√3．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−性质，解题的关键是明确题意，利
用数形结合的思想解答．
【变式6-3】（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A，B分别在函数
k k
y= 1（x>0）和y= 2（x>0）的图象上，且点A的坐标为(1,4)．
x x
(1)求k ，k 的值：
1 2
k k
(2)若点C，D分在函数y= 1（x>0）和y= 2（x>0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，
x x
D，使得△COD≌△AOB，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k =4，k =−4
1 2
(2)C(4,1)，D(1,−4)
k
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入y= 1即可求得k ，证
x 1
k
明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入y= 2求得k ；（2）由△COD≌△AOB可得
x 2
OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为(1,4)，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
k k
将点A、B分别代入y= 1和y= 2，
x x
解得，k =4，k =−4；
1 2
4 4
（2）由（1）得，点A在y= 图象上，点B在y=− 图象上，两函数关于x轴对称，
x x
∵△COD≌△AOB，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是
解题的关键．【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
【例7】（2022·山东威海·统考中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标
k
为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．
x
【答案】24
【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出
∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函
数解析式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，
∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴∆ABO≅∆BCE，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，
综合运用这些知识点是解题关键．
m
【变式7-1】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，2），B两点，
x
与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求 AOB的面积；
△ m
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
x
2 8 2
【答案】(1)y=− x+ ，y= ；
3 3 x
8
(2) AOB的面积为 ；
3
△
(3)1 的解集是10)的图象交
x
于点A(a,4)，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C(2,0)．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．4
【答案】(1)y=
x
(2)(1,2)或(1,6)
k
【分析】（1）先将A(a,4)代入y=4x求出A(1,4)，再将A(1,4)代入反比例函数y= 即可求出k；
x
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条
对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限．
k
【详解】（1）解：∵正比例函数y=4x与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A
x
把A(a,4)代入y=4x得4a=4
∴a=1
∴A(1,4)
k k
把A(1,4)代入反比例函数y= 得4=
x 1
∴k=4
4
∴反比例函数的解析式是y= ；
x
4
（2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为y= ，
x
4
∵BC⊥x，B在反比例函数y= 图象上，
x
∴B(2，2),
令D(m,n)，
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
m+2 1+2 n+0 4+2
当AB为一条对角线时，则 = ， =
2 2 2 2
解得m=1，n=6，
∴D(1,6)
m+2 1+2 n+2 4+0
当AC为一条对角线时，则 = ， =
2 2 2 2
解得m=1，n=2，
∴D(1,2)m+1 2+2 n+4 2+0
当AD为一条对角线时，则 = ， =
2 2 2 2
解得m=3，n=-2，
∴D(3,-2)（舍去）
综上所述，点D的坐标是(1,2)或(1,6)．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件
分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标．
【变式7-3】（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数y =k x+b与坐标轴
1 1
( 5) k
分别交于A(5,0)，B 0, 两点，且与反比例函数y = 2的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，
2 2 x
5
△OAP的面积为 ．
4
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当y >y 时，求x的取值范围；
2 1
(3)若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
1 5 2
【答案】(1)y =− x+ , y = .
1 2 2 2 x
(2)04，
6
(3)
5
5
【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据△OAP的面积为 和直线解析式求出点P坐标，
4
从而可求出反比例函数解析式；（2）联立方程组并求解可得点K的坐标，结合函数图象可得出x的取值范围；
（3）作点K关于x轴的对称点K′，连接K K′，PK′交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，求出
点C的坐标，再根据S =S −S −S 求解即可．
ΔPKC ΔAKM ΔKMC ΔPAC
（1）
( 5)
解：∵一次函数y =k x+b与坐标轴分别交于A(5,0)，B 0, 两点，
1 1 2
( 5)
∴把A(5,0)，B 0, 代入y =k x+b得，
2 1 1
¿，解得，¿，
1 5
∴一次函数解析式为y =− x+ ,
1 2 2
过点P作PH⊥x轴于点H，
∵A(5,0),
∴OA=5,
5
又S ❑ = ,
Δ PAO 4
1 5
∴ ×5×PH=
2 4
1
∴PH= ,
2
1 5 1
∴− x+ = ，
2 2 2
∴x=4,
1
∴P(4, )
21
∵P(4, )在双曲线上，
2
1
∴k =4× =2,
2 2
2
∴y = .
2 x
（2）
解：联立方程组得，¿
解得，¿ ，¿
∴k(1,2),
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有04，
∴当y >y 时，求x的取值范围为04，
2 1
（3）
解：作点K关于x轴的对称点K′，连接K K′交x轴于点M，则K′（1，-2），OM=1，
连接PK′交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线PK′的解析式为y=mx+n,
1
把P(4, ),K′ (1,−2)代入得，¿
2
解得，¿
5 17
∴直线PK'的解析式为y= x− ,
6 6
5 17 17
当y=0时， x− =0，解得，x= ，
6 6 5
17
∴C( ,0)
5
17
∴OC=
5
17 12
∴MC=OC−OM= −1= ,
5 5
17 8
AC=OA−OC=5− =
5 5
AM=OA−OM=5−1=4，
∴S =S −S −S
ΔPKC ΔAKM ΔKMC ΔPAC
1 1 12 1 8 1
= ×4×2− × ×2− × ×
2 2 5 2 5 212 2
=4− −
5 5
6
=
5
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
b
【例8】（2022·西藏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y= （其中a，b是常数，
ax
ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．
【详解】解：若a＜0，b＜0，
b
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
ax
若a＜0，b＞0，
b
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y= （ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
ax
若a＞0，b＞0，
b
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y= （ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
ax
若a＞0，b＜0，
b
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数y= （ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．
ax
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图
像的关系是解决此题的关键．
1
【变式8-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）将双曲线y= 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得
x到的新双曲线与直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)相交于2022个点，则这2022个点的横
i i
坐标之和为________．
【答案】4044
【分析】直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)可由直线y=k x
i i i
1
(k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，这与双曲线y= 的平移方式
i x
相同，从而可知新双曲线与直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点也可以由双曲线
i i
1
y= 与直线y=k x (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点以同样的方式平移得到，从而得知新双曲线与直
x i i
线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点横坐标之和是4，再用4乘以1011得解．
i i
【详解】解：直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)可由直线y=k x
i i i
(k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
i
∴直线y=k x (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)到直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的平移
i i i i
1
方式与双曲线y= 双曲线的相同，
x
1
∴新双曲线与直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点也可以由双曲线y= 与直线
i i x
y=k x (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点以同样的方式平移得到，
i i
1
设双曲线y= 与直线y=k x (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点的横坐标为x ,x′ ，
x i i i i
(i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)，
则新双曲线与直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点的横坐标为x +2,x′ +2
i i i i
(i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)，1 1
根据双曲线y= 与直线y=k x (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)图像都关于原点对称，可知双曲线y= 与直
x i i x
线y=k x (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点也关于原点对称，
i i
∴x +x′ =0，(i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)，
i i
∴(x +2)+(x′ +2)=4 (i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)，
i i
即新双曲线与直线y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)的交点的横坐标之和都是4，
i i
∴这2022个点的横坐标之和为：4×1011=4044．
故答案是：4044．
【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数的图像交点问题和平移，掌握正比例函数与反比例函数的图像
和平移规则是解题的关键．
【变式8-2】（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于C、B
m
两点，与反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
x
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面
积最大时，求点D的坐标．
12
【答案】(1)y= (x>0)
x
( 1)
(2)点D的坐标为 1,−
2
【分析】（1）过点A作AF⊥x轴于点F，先证△ACF∽△BCO，根据对应边成比例得BC OB OC 1
= = = ，结合已知条件推出OC=2OB=2，AF=2，CF=4， OF=OC+CF=2+4=6，
AC AF CF 2
可得A(6,2)，代入反比例函数解析式求出m值即可；
1 1
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y= x−1，设点D的横坐标为t，则D(t, t−1)，
2 2
12
E(t, )，用含t的代数式表示出ED，进而利用三角形面积公式得到关于t的一元二次函数，化成顶点式，
t
即可求出最值．
（1）
解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴∠AFC=∠BOC=90°，
又∵∠ACF=∠BCO，
∴△ACF∽△BCO，
BC OB OC 1
∴ = = = ，
AC AF CF 2
∵OB=1，tan∠OBC=2，
∴OC=2OB=2，
∴AF=2，CF=4，
∴OF=OC+CF=2+4=6，
∴A(6,2)．
m
∵点A在反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象上，
x
∴m=2×6=12．
12
∴反比例函数的表达式为：y= (x>0)．
x
（2）解：由题意可知B(0,−1)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A(6,2)，B(0,−1)代入y=kx+b，
得¿，
解得¿，
1
∴直线AB的解析式为：y= x−1．
2
1 12
设点D的横坐标为t，则D(t, t−1)，E(t, )，
2 t
12 1
∴ED= − t+1，
t 2
∴△BDE的面积为：
1 12 1
(t−0)( − t+1)
2 t 2
1 1
=− t2+ t+6
4 2
1 25
=− (t−1) 2+ ．
4 4
1
∵− <0，
4
25
∴t=1时，△BDE面积取最大值，最大值为 ，
4
1 1 1
将x=1代入y= x−1，得y= −1=−
2 2 2
( 1)
∴点D的坐标为 1,− ．
2
【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函
数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的
关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出△BDE面积的函数表达式．
【变式8-3】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数
8
y= (x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于
x
直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)点E在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①k=1，b=2；②点P的坐标为(0,−2)
8
【分析】（1）设点A的坐标为(m, )，根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE
m
交AD于H，得到CH=EH，再结合等腰三角形三线合一得到CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，
4 4
求出H(m, )，进而求得E(2m, )，于是得到点E在这个反比例函数的图像上；
m m
1 8
（2）①根据正方形的性质得到AD=CE，AD垂直平分CE，求得CH= AD，设点A的坐标为(m, )，
2 m
得到m=2（负值舍去），求得A(2,4)，C(0,2)，把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得，解方程组即可得
到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得
|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x−2，于是得到结论．
【详解】（1）解：点E在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
8
∵一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y= (x>0)的图像交于点A，
x
8
∴设点A的坐标为(m, )，
m
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
连接CE交AD于H，如图所示：∴CH=EH，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，∠ADB=90°，
∴∠CDO+∠ADC=90°，
∵CB=CD，
∴∠CBO=∠CDO，
在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠CDA，
∴CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，
4
∴H(m, )，
m
4
∴E(2m, )，
m
4
∵2m× =8，
m
∴点E在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD=CE，AD垂直平分CE，
1
∴CH= AD，
2
8
设点A的坐标为(m, )，
m
8
∴CH=m，AD= ，
m
1 8
∴m= × ，
2 m
∴m=2（负值舍去），∴A(2,4)，C(0,2)，
2k+b=4
把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得{ ，
b=2
k=1
∴ { ；
b=2
②延长ED交y轴于P，如图所示：
∵CB=CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，
由①知，A(2,4)，C(0,2)，
∴D(2,0)，E(4,2)，
设直线DE的解析式为y=ax+n，
2a+n=0 a=1
∴ { ，解得{ ，
4a+n=2 n=−2
∴直线DE的解析式为y=x−2，
当x=0时，y=−2，即(0,−2)，故当|PE−PB|最大时，点P的坐标为(0,−2)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析
式，正确地作出辅助线是解题的关键．
【考点9 实际问题与反比例函数】
【例9】（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，
结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业
立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x
（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．
从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
…
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5
…
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
13.5
(2)y＝ （x≥3）；
x
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
k
（2）设函数的表达式为：y= ，把C点坐标代入，求出k的值即可；
x
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得¿ ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
k
（2）解：当x≥3时，设y= ，
xk
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5= ，
3
解得k=13.5，
13.5
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
x
（3）解：能，理由如下：
13.5
当x=15时，y= =0.9，
15
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关
键．
【变式9-1】（2022·辽宁大连·统考中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：
m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m❑）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象
如图所示，当V =5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3≤V ≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
9.9
【答案】(1)ρ= (V>0)
V
(2)1.1≤ρ≤3.3(kg/m3)
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度ρ的变化范围．
【详解】（1）解：∵密度ρ与体积V是反比例函数关系，
k
∴设ρ= (V>0)，
V∵当V =5m3时，ρ=1.98kg/m3，
k
∴1.98= ，
5
∴k=1.98×5=9.9，
9.9
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为：ρ= (V>0)；
V
（2）解：观察函数图象可知，ρ随V的增大而减小，
9.9
当V =3m3时，ρ= =3.3kg/m3 ，
3
9.9
当V =9m3时，ρ= =1.1kg/m3 ，
9
∴当3≤V ≤9时，1.1≤ρ≤3.3(kg/m3)
即二氧化碳密度ρ的变化范围是1.1≤ρ≤3.3(kg/m3)．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式9-2】（2022·广东广州·统考中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：
m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，
它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)V =10000米3
(2)当16≤d≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
10000
（2）先求解反比例函数的解析式为S= ，再利用反比例函数的性质可得答案．
d(1)
解：由图知：当深度d=20米时，底面积S=500米2，
∴V =Sd=500米2×20米=10000米3；
(2)
由（1）得：
Sd=10000，
10000
则S= （d>0），S随着d的增大而减小，
d
当d=16时，S=625； 当d=25时，S=400；
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值
的范围是解本题的关键．
【变式9-3】（2022·山东临沂·统考中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动
力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点
O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的
质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；
若00，
∴y随x的增大而增大，
∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，
∴00)的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，S =6，则k
x △ABC
=____．12
【答案】
5
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，设点C的坐标为(m,n)，则
OF=m,CF=n,mn=k，先根据相似三角形的判定可得△AOE∼△AFC，根据相似三角形的性质可得
1
AO=OF=m，又根据相似三角形的判定证出△BDG∼△BCF，根据相似三角形的性质可得DG= n，
3
1
BG= BF，再根据反比例函数的解析式可得OG=3m，从而可得BF=3m,AB=5m，然后根据
3
S =6即可得出答案．
△ABC
【详解】解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
设点C的坐标为(m,n)，则OF=m,CF=n,mn=k，
∵AE=CE，CD=2BD，
AE 1 BD 1
∴ = ， = ，
AC 2 BC 3
∵OE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴OE∥CF，
∴△AOE∼△AFC，
AO AE 1 1
∴ = = ，即AO= AF，
AF AC 2 2
∴AO=OF=m，
又∵CF⊥x轴，DG⊥x轴，∴CF∥DG，
∴△BDG∼△BCF，
BG DG BD BG DG 1
∴ = = ，即 = = ，
BF CF BC BF n 3
1 1
解得DG= n，BG= BF，
3 3
k
1 k y= =3m
将x= n代入反比例函数y= 得： 1 ，
3 x n
3
( 1 )
∴D 3m, n ,OG=3m，
3
∴FG=OG−OG=2m，
1 3
由BG= BF得：BF= FG=3m，
3 2
∴AB=AO+OF+BF=m+m+3m=5m，
∵S =6，
△ABC
1 1
∴ AB⋅CF= ×5mn=6，
2 2
12
解得mn= ，
5
12
即k= ，
5
12
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形
是解题关键．
【变式10-1】（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y
9 k
轴平行，BD=√3，∠BDC=120°，S = √3，若反比例函数y= (x<0)的图像经过C，D两点，则
△BCD 2 x
k的值是（ ）A．−6√3 B．−6 C．−12√3 D．−12
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明 COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=√3
△
1 9
；由S BDC= •BD•CF= √3可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=3√3，所以点D的
2 2
△
纵坐标为4√3；设C（m，√3），D（m+9，4√3），则k=√3m=4√3（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BD∥y轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=√3，1 9
∵S BDC= •BD•CF= √3，
2 2
△
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3√3．
∴点D的纵坐标为4√3，
设C（m，√3），D（m+9，4√3），
k
∵反比例函数y= （x＜0）的图像经过C、D两点，
x
∴k=√3m=4√3（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12√3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键
点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
【变式10-2】（2022·山东济南·统考一模）图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2)，
OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，
k
得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y= (x>0)的图象经过点F，交AB于点G．
x
(1)求tan∠COF的值及反比例函数表达式．
(2)在x轴上是否存在一点M，使|MF−MG|的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
(3)在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形，请直接写出OP的长．1 2
【答案】(1) ；y=
2 x
(2)存在；M（5，0）
2+√29 15
(3) 或 或4−√11
2 8
AB 1 CF OC
【分析】（1）利用△OCF∽△OAB，tan∠COF=tan∠AOB= = ，得 = ，从而求出点F
OA 2 AB OA
的坐标，得出k的值；
（2）利用三角形三边关系可得，延长FG交x轴于M，此时|MF−MG|的值最大，利用待定系数法求出
直线EF的解析式即可得出点M的坐标；
9 45
（3）设点P(m,0)，利用两点间的距离公式得FG2=9+ = ，PF2=(m−1) 2+4，
4 4
1
PG2=(m−4) 2+
，再分类讨论即可．
4
【详解】（1）解：∵B(4,2)，
∴OA=4，AB=OC=2，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，
∴∠DOE=∠AOB，
∵∠OCF=∠OAB，
∴△OCF∽△OAB，
AB 1
∴tan∠COF=tan∠AOB= =
OA 2
CF OC
∴ = ，
AB OA
CF 2
∴ = ，
2 4
∴CF=1，
∴F(1,2)，
∴k=2；
2
∴y=
x
2
（2）解：由（1）知，y= ，
x1
当x=4时，y= ，
2
延长FG交x轴于M，
此时|MF−MG|的值最大，
设直线FG的解析式为y=kx+b，将点F、G坐标代入得，
¿，
解得¿，
1 5
∴y=− x+ ，
2 2
当y=0时，x=5，
∴M(5,0)；
（3）解：设点P(m,0)，
1
∵F(1,2)，G(4, )，
2
9 45 1
∴FG2=9+ = ，PF2=(m−1) 2+4，PG2=(m−4) 2+ ，
4 4 4
45
当GF=PF时， =(m−1) 2+4，
4
2+√29 2−√29
解得：m= 或 （负值舍去），
2 2
15
当PF=PG时，同理可得：m= ；
8
当GF=PG时，同理可得：m=4−√11或4+√11（大于4舍去），
2+√29 15
综上，OP的长为： 或 或4−√11．
2 8
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形，解题的关键是表示出△PFG的三边长度，运用分类思想求解．
【变式10-3】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴
的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，
∠CAO=∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，且OB>OC．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
k
(2)若反比例函数y= (k≠0)图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
x
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？
若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B(−3,0)，C（2，0）
20
(2)y=
x
17 16 1 16 (57 12)
(3)存在，N （− ， ），N （-9，12），N （− ，− ），N (3,−12)，N ,− ，
1 3 3 2 3 3 3 4 5 13 13
(17 32)
N ,− ．
6 13 13
【分析】（1）解方程得出方程的解，即可确定点B，C的坐标；
（2）首先证明∠AFB＝∠AOB＝90°，再证明AB=BC=5，由AD∥BC得∠ADB=∠DBC，从而得
∠ABD=∠ADB，即可得到AD=AD=5，再由勾股定理求出AO=4，得出点D的坐标即可求出反比例函数
解析式；
（3）如图，分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由x2−5x+6=0解得x =2，x =3．
1 2
∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB>OC，∴OB=3，OC=2．
∴B(−3,0)，C（2，0）．
（2）解：∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°．
∵∠CAO＝∠DBC，∠CAO+∠AFB=∠DBC+∠AOB，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB=BC=5．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD=5．
∵在Rt ABO中，AO=√AB2−OB2=√52−32=4．
△
∴D（5，4）．
20
∴反比例函数解析式为y= ．
x
（3）解：如下图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点N 作N P ⊥x轴于点P ,
1 1 1 1∴∠N P B=∠DQB=90°
1 1
∵四边形DBN M 是矩形，
1 1
∴∠N BD=90°
1
∴∠N BP +∠DBQ=90°
1 1
又∠N BP +∠BN P =90°
1 1 1 1
∴ΔN P B∼ΔBQD
1 1
N P P B N B 2
∴ 1 1= 1 = 1 =
BQ QD BD 3
∵BQ=BO+OQ=3+5=8,DQ=4
16 8
∴N P = ,P B=
1 ❑ 1 3 1 3
8 17
∴P B= +3=
1 3 3
17 16
∴点N （− ， ），
1 3 3
1 16
同理可求出N （-9，12），N （− ，− ），N (3,−12)
2 3 3 3 4
②如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点N WT N F⊥x于点F，设DN 与x轴交于点G，
5 5 5∴∠DEB=90°
又∠DN B=90°
5
∴∠DEB=∠DN B
5
∵BD是圆的直径，
∴点E在圆上，
∴∠N BG=∠GDE
5
∴ΔN BG∼ΔDEG
5
N G N B
∴ 5 = 5
EG DE
∵DE=4，BE=3+5=8，
∴BD=√BE2+DE2=4√5
又DN :BN =2:3，
5 5
设DN =2k,BN =3k
5 5
由勾股定理得，DN ❑ 2+BN ❑ 2=BD2
5 5
4√65
∴(2k) 2+(3k) 2=(4√5) 2 ，解得，k=
13
12√65
∴BN =
5 13
12√65
设GE=x，则BG=8-x，代入比例式得，N G 13
5 =
x 4
3√65
∴N G= x
5 13在RtΔBN G中，BN ❑ 2+N G2=BG2
5 5 5
2 2
12√65 3√65
∴( ) +( x) =(8−x) 2
13 13
1
解得，x = ,x =−7（舍去）
1 2 2
1 15
∴BG=8− =
2 2
1 1
∵ BG×N F= BN ·N G
2 5 2 5 5
12√65 3√65
×
BN ·N G 13 13 12
∴N F= 5 5 = =
5 BG 15 13
2
96
由勾股定理可得，BF= √BN ❑ 2−N F2=
5 5 13
57
∴OF=BF−BO=
13
(57 12)
∴N ,−
5 13 13
(17 32)
同理可得N ,− ，
6 13 13
17 16 1 16
综上，点N的坐标为：N （− ， ），N （-9，12），N （− ，− ），N (3,−12)，
1 3 3 2 3 3 3 4
(57 12) (17 32)
N ,− ，N ,− ．
5 13 13 6 13 13
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等
知识，正确作出辅助线是解答本题的关键.
