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专题 11 反比例函数及其应用（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 反比例函数的定义】...............................................................................................................................1
【考点2 反比例函数的图象】...............................................................................................................................2
【考点3 反比例函数图象的对称性】...................................................................................................................4
【考点4 反比例函数的性质】...............................................................................................................................4
【考点5 反比例函数系数k的几何意义】............................................................................................................5
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】.......................................................................................................7
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】.......................................................................................................8
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】...........................................................................................................9
【考点9 实际问题与反比例函数】.....................................................................................................................10
【考点10 反比例函数与几何综合】.....................................................................................................................13
【要点1 反比例函数的定义】
一般的，形如 的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是函数。
自变量 的取值范围是不等于0的一切实数
【要点2 反比例函数的解析式】
1、 ； 2、 ； 3、
【考点1 反比例函数的定义】
【例1】（2022·浙江·校考三模）图像经过点(1，2)的反比例函数是（ ）
2 2 1
A．y=− B．y= C．y= D．y＝2x
x x 2x
【变式1-1】（2022·辽宁抚顺·统考二模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
x 1 1 1
A．y=− B．y= C．y= x D．y=−
2 x2 3 2x
【变式1-2】（2022·北京石景山·统考一模）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【变式1-3】（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙
地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【要点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
函数 图象 所在象限 增减性
第一、
三象限 在同一象限内，
随 的增大而减小
第二、
四象限 在同一象限内，
随 的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
【考点2 反比例函数的图象】
m−2
【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）若反比例函数y＝ 的图像经过第二、四象限，则m的取值
x
范围是 _____．
【变式2-1】（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，
AC平分∠DAB．设AB=x，AD= y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）A． B．
C． D．
【变式2-2】（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶
8
点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝
x
（x＞0）的图象上．
(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S EFG．
△
k
【变式2-3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，反比例函数y= (k>0)在第一象限的图象上有A(1,6)，
x
B(3,b)两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD⋅BC=AB⋅DO，连接CD，记
△ADC,△DOC的面积分别为S ,S ，则S −S 的值为___________．
1 2 1 2【要点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线 和直线
【考点3 反比例函数图象的对称性】
k
【例3】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正比例函数y=k x与反比例函数y= 2的图像交于
1 x
k
A(1,m)、B两点，当k x≤ 2时，x的取值范围是（ ）
1 x
A．−1≤x<0或x≥1 B．x≤−1或00)的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y= 的图
x x
象上的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【变式4-2】（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知点 在下列某一函数图像上，
(−3,y ),(−1,y ),(1,y )
1 2 3
且y 0）
1 x 1
k
的图象交于点M，N，与反比例函数y = 2（k 是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四
2 x 2
边形OMBN的面积为3，则k-k=（ ）
1 2
3 3
A．3 B．-3 C． D．−
2 2
【答案】B
k
【变式5-1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，点A，C为函数y＝ （x＜0）图象上的两点，过A，
x
C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好
3
为OC的中点．当△AEC的面积为 时，k的值为( )
4
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
k
【变式5-2】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y= （
xk>0，x>0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转
60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
√3
A． B．√3 C．2√3 D．4
2
k
【变式5-3】（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=
x
3
(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S ABE= ，则k=______．
2
△
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
k
【例6】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知反比例函数y= (k≠0)的图像经过点(−2,4)，那么该反比
x
例函数图像也一定经过点（ ）
A．(4,2) B．(1,8) C．(−1,8) D．(−1,−8)
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(2,3)向下平移5个单位长度得
k
到点B，若点B恰好在反比例函数y= 的图像上，则k的值是______．
x
【变式6-2】（2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O
k
点旋转至△A′B′O的位置，且A′在OB的中点，B′在反比例函数y= 上，则k的值为________________．
x【变式6-3】（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A，B分别在函数
k k
y= 1（x>0）和y= 2（x>0）的图象上，且点A的坐标为(1,4)．
x x
(1)求k ，k 的值：
1 2
k k
(2)若点C，D分在函数y= 1（x>0）和y= 2（x>0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，
x x
D，使得△COD≌△AOB，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
【例7】（2022·山东威海·统考中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标
k
为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．
xm
【变式7-1】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y= 相交于A（1，2），B两点，
x
与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求 AOB的面积；
△ m
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
x
k
【变式7-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，正比例函数y=4x与反比例函数y= (x>0)的图象交
x
于点A(a,4)，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C(2,0)．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．【变式7-3】（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数y =k x+b与坐标轴
1 1
( 5) k
分别交于A(5,0)，B 0, 两点，且与反比例函数y = 2的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，
2 2 x
5
△OAP的面积为 ．
4
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当y >y 时，求x的取值范围；
2 1
(3)若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
b
【例8】（2022·西藏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y= （其中a，b是常数，
ax
ab≠0）的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
1
【变式8-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）将双曲线y= 向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得
x
到的新双曲线与直线 相交于2022个点，则这2022个点的横
y=k (x−2)−1 (k >0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011)
i i
坐标之和为________．
【变式8-2】（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴、y轴分别相交于C、B
m
两点，与反比例函数y= (m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
x(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面
积最大时，求点D的坐标．
【变式8-3】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数
8
y= (x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于
x
直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
【考点9 实际问题与反比例函数】
【例9】（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，
结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业
立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x
（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．
从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：…
时间x（天） 3 5 6 9
…
…
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5
…
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【变式9-1】（2022·辽宁大连·统考中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：
m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m❑）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象
如图所示，当V =5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3≤V ≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
【变式9-2】（2022·广东广州·统考中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：
m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，
它的图象如图所示．(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【变式9-3】（2022·山东临沂·统考中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动
力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点
O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的
质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；
若00)的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，S =6，则k
x △ABC
=____．
【变式10-1】（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点D是 ▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y
9 k
轴平行，BD=√3，∠BDC=120°，S = √3，若反比例函数y= (x<0)的图像经过C，D两点，则
△BCD 2 x
k的值是（ ）
A．−6√3 B．−6 C．−12√3 D．−12
【变式10-2】（2022·山东济南·统考一模）图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2)，OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，
k
得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y= (x>0)的图象经过点F，交AB于点G．
x
(1)求tan∠COF的值及反比例函数表达式．
(2)在x轴上是否存在一点M，使|MF−MG|的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
(3)在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形，请直接写出OP的长．
【变式10-3】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴
的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，
∠CAO=∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，且OB>OC．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
k
(2)若反比例函数y= (k≠0)图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
x
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？
若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
