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例题精讲
考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题
【例1】．如果一次函数y＝﹣ x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以
点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为 （﹣ 8 ， 0 ）或（﹣ 2 ， 0 ）或（ 18 ， 0 ）
或（﹣ ， 0 ） ．
解：一次函数y＝﹣ x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，
在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，
分四种情况考虑，
当BM＝BA时，
由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M （﹣8，0）；
1
当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M （﹣2，0），M （18，0）；
2 3
当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），
∴AB的中点的坐标为（4，3），
设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝ x+b，
代入（4，3）得3＝ +b，解得b＝﹣ ，
∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝ x﹣ ，
令y＝0，解得x＝ ，此时M （ ，0）．
4
综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（ ，0）．
故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（ ，0）．
变式训练
【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线 MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足
AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为 （ 2 ， 0 ）
或（ ， 0 ）或（ ， 0 ） ．
解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，
∴N（3，0），M（0，3），
∴OM＝ON＝3，
∵AN＝2AM，
∴A（1，2），
∴OA＝ ＝ ，
当AO＝OB时，则OB＝ ，
∴点B的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）；
②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则 ＝ ，
整理得，（1﹣m）2＝1，
解得m＝2或m＝0（舍去），
∴点B的坐标为（2，0）．
综上所述：点B的坐标为（2，0）或（ ，0）或（ ，0）．
【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝
x交于点C．（1）求点C的坐标．
（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．
解：（1）联立两直线解析式成方程组，得 ，
解得： ，
∴点C的坐标为（4，4）；
（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；
PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；
当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；
当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；
当PO＝OC时，同理可得：m＝±4 ；
故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4 ，0）或（﹣4 ，0）．
考点二：一次函数中直角三角形存在性问题
【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．
解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：
①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，
解得：x＝ ，
②如果B为直角顶点，那么AB2+BC2＝AC2，
即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，
解得x＝ ，
③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，
解得x＝3或4，
综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（ ，0）或（ ，0）或（3，0）或（4，0）．
变式训练
【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P是x轴上的一
点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是 （ 1 ， 0 ）或（ 3 ， 0 ） ．
解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），
∴2＝k+1，解得k＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1．
∴当∠APB＝90°时，P （1，0）；
1
当∠BAP＝90°时，
∵一次函数的解析式为y＝x+1，
∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，
∵A（1，2），
∴2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，
∴当y＝0时，x＝3，
∴P （3，0）．
2
综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点
B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．
（1）关于x、y的方程组 的解为 ．
（2）求△ABD的面积；
（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点 E的
坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣
4），
∴关于x、y的方程组 的解是 ，
∴关于x、y的方程组 的解是 ，
故答案为： ；（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，
解得：b＝4，
∴B（0，4），
∵A（0，﹣2），
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，
∴S△ABD ＝ ＝6；
（3）存在，
如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，
∵D（﹣2，﹣4），
∴E（﹣2，0）；
当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；
当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，
设E（t，0），
当y＝0时，4x+4＝0，
∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），
∵F（﹣2，0），
∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，
∵D（﹣2，﹣4），
∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，
在Rt△DEF中，
DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，
在Rt△CDF中，
CD2＝12+42＝17，
在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，
∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，
解得t＝﹣18，
∴E（﹣18，0），
综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．
考点三：一次函数中平行四边形存在性问题
【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点
C，交y轴于点D．
（1）求该一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝ x+ ；
（2）在y＝ x+ 中，令x＝0得y＝ ，
∴OD＝ ，
∴S△AOD ＝ OD•|x
A
|＝ × ×1＝ ，
S△BOD ＝ OD•|x
B
|＝ × ×2＝ ，
∴△AOB的面积S△AOB ＝S△BOD +S△AOD ＝ ；
（3）存在，理由如下：
在y＝ x+ 中，令y＝0得y＝﹣ ，
∴C（﹣ ，0），
设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），
①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：
∴ ，解得 ，
∴M（﹣ ，﹣1）；
②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：∴ ，解得 ，
∴M（﹣ ，﹣1）；
③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：
∴ ，解得 ，
∴M（ ，1）；
综上所述，M的坐标为：（﹣ ，﹣1）或（﹣ ，﹣1）；或（ ，1）．
变式训练
【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段
OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x
轴于点E．
（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D
的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，
∴∠OBC＝∠ECD．
∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD．
在△BOC和△CED中， ，
∴△BOC≌△CED（AAS）．
（2）解：∵直线y＝﹣ x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．
设OC＝m，
∵△BOC≌△CED，
∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，
∴点D的坐标为（m+3，m）．
∵点D在直线y＝﹣ x+3上，
∴m＝﹣ （m+3）+3，解得：m＝1，
∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．
∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．
设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，
将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，
∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，∴点C′的坐标为（ ，0），
∴CC′＝ ﹣1＝ ，
∴△BCD平移的距离为 ．
（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣ n+3）．
分两种情况考虑，如图3所示：
①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣
n+3），
∴ ，解得： ，
∴点P 的坐标为（0， ）；
1
当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣ n+3），
∴ ，解得： ，
∴点P 的坐标为（0， ）；
2
②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣ n+3），
∴ ，解得： ，
∴点P的坐标为（0， ）．
综上所述：存在，点P的坐标为（0， ）或（0， ）．考点四：一次函数中矩形存在性问题
【例4】．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的
正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB
的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．
（1）求线段AB的长；
（2）求直线CE的解析式；
（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形
是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，
∴OA＝8，OB＝6，
在直角△AOB中，AB＝ ＝ ＝10；
（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，
∴OC＝CD，
设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．
∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴△ACD相似于△ABO，
∴ ，即 ，
解得：x＝3．
即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．
设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得
解得：
则直线AB的解析式是y＝ x+6，
设CD的解析式是y＝﹣ x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．
则直线CE的解析式是y＝﹣ x﹣4；
（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM P B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，
1 1
设M （m，2m+6），P （x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM 2＝（m+8）2+（2m+6）2，
1 1 1
＝5m2+40m+100，BM 2＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，
1AB＝10，
根据AB2+AM 2＝BM 2得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，
1 1
∴M （﹣5，﹣4），
1
根据平移规律可以解得P （3，2）
1
②当AB为矩形的对角线时，此时有 AB2＝AM 2+BM 2，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣4或m＝0
2 2
（舍去），
∴M （﹣4，﹣2），
2
根据平移规律可以解得P （﹣4，8）
2
综上可得，满足条件的P点的坐标为P （3，2）或P （﹣4，8）．
1 2
变式训练
【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°
得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0
的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求点H到x轴的距离；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，
请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，
故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），
则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），
将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得： ，解得： ，
故直线BD的表达式为：y＝﹣ x+ …①；
（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝ x…②，
联立①②并解得：y＝ ，
即点H到x轴的距离为： ；
（3）直线BD的表达式为：y＝﹣ x+ ，则点F（0， ），
①当FD是矩形的一条边时，
当点M在x轴上时，∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝ x+ ，
当y＝0，x＝﹣ ，即点M（﹣ ，0），
点F向右平移3个单位向下平移 单位得到D，
则点M向右平移3个单位向下平移 单位得到N，
则点N（ ，﹣ ）；
当点M在y轴上时，
同理可得：点N（﹣3，﹣ ）；
②当FD是矩形的对角线时，
此时点M在原点O，则点N（3， ）；
综上，点N的坐标为：（ ，﹣ ）或（﹣3，﹣ ）或（3， ）．
考点五：一次函数中菱形存在性问题
【例5】．如图1，直线y＝ x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M的坐标；
（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝ x+6，令x＝0，得到y＝6，
∴B（0，6），
令y＝0，得到x＝﹣8，
∴A（﹣8，0）．
∵A（﹣8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝ ＝10，
过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，
∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，
∴CH＝OC＝t，
∵S△ABO ＝S△ABC +S△BCO ，
∴ OA•OB＝ AB•CH+ OC•OB，
∴6×8＝10t+6t，
∴t＝3，∴OC＝3，
∴C（﹣3，0）；
（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，
∵B（0，6），C（﹣3，0），
∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，
设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），
过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，
∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，
∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，
∴∠NAE＝∠AMF，
∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，
∴△FMA≌△EAN（AAS），
∴EN＝AF，MF＝AE，
即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，
解得：m＝﹣2，n＝﹣6，
故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；
由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；
综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；
（3）设点P（0，p），
∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，
①当AB是边时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，
∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，
∵B（0，6），
∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），
∵A（﹣8，0），
∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；
②当AB是对角线时，如图，
∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，
∴AP＝BP，
∴BP2＝AP2，
∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣ ，
∴P（0，﹣ ），
∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8， ）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8， ）．
变式训练
【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交
于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四
边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若
存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上
∴m+4＝2 解得m＝﹣2
∴点A的坐标为（﹣2，2）
设直线AB的解析式为y＝kx+b
∴ 解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；
（2）如图1，由题意
设点E的坐标为（a，a+4），则
∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上
∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）
∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，
∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC
∴EF＝OC∵直线y＝x+4与y轴交于点C
∴点C的坐标为（0，4）
∴OC＝4，即|3a+6|＝4
解得：a＝﹣ 或a＝﹣
∴点E的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）；
（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，
∵B（0，﹣2），C（0，4），
∴点P的纵坐标为1，
将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，
∴x＝﹣3，
∴P''（﹣3，1），
∴Q''（3，1）
当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），
∴BQ的中点坐标为（ ， ），
代入直线y＝x+4中，得 +4＝ ①，
∵CQ＝CB，
∴m2+（n﹣4）2＝36②，
联立①②得， （舍）或 ，
∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，
设P（c，c+4），
∴c2+（c+4﹣4）2＝36，
∴c＝3 （舍）或c＝﹣3 ，
∴P（﹣3 ，﹣3 +4），
设Q（d，e）
∴ （﹣3 +0）＝ （0+d）， （﹣3 +4﹣2）＝ （e+4），
∴d＝﹣3 ，e＝﹣3 ﹣2，∴Q（﹣3 ，﹣3 ﹣2），
即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3 ，﹣3 ﹣2）．
1．一次函数y＝ x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这
样的点C的坐标为 （﹣ 8 ， 0 ）（ 3 ， 0 ）（ 2 ， 0 ）（ ， 0 ） ．
解：当x＝0时，y＝4，
当y＝0时，x＝﹣3，
即A（﹣3，0），B（0，4），
OA＝3，OB＝4，
由勾股定理得：AB＝5，
有 三 种 情 况 ： ① 以 A 为 圆 心 ， 以 AB 为 半 径 交 x 轴 于 两 点 ， 此 时 AC ＝ AB ＝ 5 ，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；
②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，
C的坐标是（3，0）；
③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），
∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，
解得：a＝ ，
∴C的坐标是（ ，0），
故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（ ，0）．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是
等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标 P （ 4 ， 0 ）， P （ ， 0 ）， P （﹣ ， 0 ）， P （ ，
1 2 3 4
0 ） ．
解：设P（x，0），
当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P （4，0）；
1
当OA＝OP时，∵A（2，1），∴OA＝ ＝ ，
∴P （ ，0），P （﹣ ，0）；
2 3
当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），
∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝ ，
∴P （ ，0）．
4
综上所述，P点坐标为：P （4，0），P （ ，0），P （﹣ ，0），P （ ，0）．
1 2 3 4
故答案为：P （4，0），P （ ，0），P （﹣ ，0），P （ ，0）．
1 2 3 4
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y的正半轴上，
且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请
写出点D的坐标为 （ 3 ， 2 ）（﹣ 3 ， 2 ）（ 5 ，﹣ 2 ） ．
解：如图，①当BC为对角线时，易求M （3，2）；
1
②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M （﹣3，2）；
2
③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M |＝OC＝2，|M |＝OB+OA＝5，所以M （5，﹣
y x 3
2）．
综上所述，符合条件的点D的坐标是M （3，2），M （﹣3，2），M （5，﹣2）．
1 2 3
故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如图，一次函数y＝k x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k x的图象相交于点A（3，4），且
2 1
OA＝OB．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
解：（1）∵正比例函数y＝k x的图象经过点A（3，4），
1
∴3k ＝4，
1
∴k ＝ ，
1
∴正比例函数解析式为y＝ x．
如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，
∴AO＝ ＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴B（0，﹣5），
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．
（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，
∵A（3，4），
∴AD＝3，
∴S△AOB ＝ ；
（3）当OP＝OA时，P （﹣5，0），P （5，0），
1 2
当AO＝AP时，P （6，0），
3
当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣ ，
∴ ，
满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或 ．
5．直线l 交x轴于点A（6 ，0），交y轴于B（0，6）．
1（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l ，直线l 与x轴交于C点，求C点坐标
2 2
及l 的解析式；
2
（2）在直线l 上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的 M点
1
的坐标．
解：∵点A（6 ，0），交y轴于B（0，6）．
∴OA＝6 ，OB＝6，
∴tan∠OAB＝ ＝ ，
∴∠OAB＝30°，
∴∠OBA＝60°，
∵折叠△AOB，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴BC＝2OC，BO＝ OC＝6，
∴OC＝2 ，
∴点C（2 ，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+b，
解得：
∴直线BC解析式为：y＝﹣ x+6；
（2）当点M与点B重合时，
由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，
∴CM＝AC，
∴△ACM是等腰三角形，∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，
∵OC＝2 ，OA＝6 ，
∴AC＝4 ，
若AM＝AC＝4 ，
如图1：过点M作MH⊥AC，
∵∠MAH＝30°，
∴MH＝ AM＝2 ，AH＝2 MH＝6，
∴OH＝6 ﹣6或6 +6，
∴点M（6 ﹣6，2 ）或（6 +6，﹣2 ）
若AM＝MC，
如图2，过点M作MH⊥AC，
∵AM＝MC，MH⊥AC，
∴AH＝CH＝2 ，
∴OC＝4 ，
∵∠MAH＝30°，
∴AH＝ MH，∴MH＝2，
∴点M（4 ，2），
综上所述：点M（6 ﹣6，2 ）或（6 +6，﹣2 ）或（4 ，2）或（0，6）．
6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标
为（0，6）．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P为顶点的四边
形是菱形，请直接写出点P的坐标．
解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，
故点A的坐标为（﹣8，0）；
（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点
D与x轴的平行线于点N，
∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，
∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，
∴∠BAM＝∠ADN，
∵∠BMA＝∠AND＝90°，
∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，
故点D的坐标为（﹣2，﹣8），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则 ，解得 ，
故直线BC的表达式为y＝7x+6；
（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），
而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），
①当AB是边时，
点A向右8个单位向上6个单位得到点 B，同样，点 M（P）向右8个单位向上6个单位得到点 P
（M），且AB＝BP（AB＝BM），
则 或 ，
解得 或 或 （不合题意的值已舍去）；
故点P的坐标为（ ﹣8，7 ）或（﹣ ﹣8，﹣7 ）或（6，﹣2）；
②当AB是对角线时，
由中点坐标公式和AM＝BM得：
，解得 ，
故点P的坐标为（﹣7，7）；
综上，点P的坐标为（ ﹣8，7 ）或（﹣ ﹣8，﹣7 ）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与 x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比
例函数y＝ x的图象交于点C（m，6）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点 P
的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝ x，
∴6＝ m，
∴m＝4，
∴C（4，6），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝ x+3；
（2）在y＝ x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
∴S△BOC ＝ OB•|x
C
|＝ ×3×4＝6；
（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），B（0，3），
∴AB＝5，OA＝4，
当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，
∴P（4，0）；
当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；
当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），
∵PA＝PB，
∴（t+4）2＝t2+9，
解得t＝﹣ ，
∴P（﹣ ，0），
综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣ ，0）．
8．如图，已知一次函数y＝ x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．
（1）求m的值与点B的坐标
（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明
理由．
（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．
（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条
直线的函数表达式．
解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝ x+m，得m＝8，
∴点B坐标为（0，8）．
（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意 •|a+6|•8＝16，
解得a＝﹣2或﹣10，
∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如图1中，
①当AB＝AP时，AP＝AB＝ ＝10，
可得P （﹣16，0），P （4，0）．
1 2
②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P （6，0）．
3
③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣ x+ ，可得P （ ，0），
4
综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（ ，0）．
（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b， ），
由题意 BD•（﹣b）＝ × ×6×8，
∴b＝﹣4，
∴点E坐标（﹣4， ），
设直线DE的解析式为y＝kx+b则有 ，解得 ，
∴这条直线的函数表达式y＝﹣ x+2．
9．在平面直角坐标系中，一次函数 y＝﹣ x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P
（2，a）．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；
（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E中恰好有一点
是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C
点的坐标．
解：（1）当x＝0时，y＝﹣ x+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2）；
当y＝0时，有﹣ x+2＝0，
解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0）；
（2）∵一次函数y＝﹣ x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．
∴a＝﹣ ×2+2＝1，
∴点P的坐标为（2，1），
设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），则AP＝ ＝ ，AQ＝|4﹣m|，PQ＝ ，
当AP＝AQ时，则 ＝|4﹣m|，
解得m＝4± ，
∴点Q（4± ，0）；
当AP＝PQ时， ＝ ，
解得m＝0或4（舍去），
∴点Q（0，0）；
当PQ＝AQ时，即 ＝|4﹣m|，
解得：m＝ ，
∴点Q（ ，0）；
综上，点Q的坐标为（4± ，0）或（0，0）或（ ，0）；
（3）∵y＝kx过P（2，1）．
∴2k＝1，解得k＝ ，
∴y＝ x，
设点C的坐标为（n，﹣ n+2），则点D的坐标为（n， n），点E的坐标为（n，0），
∴CD＝|﹣ n+2﹣ n|＝|2﹣n|，DE＝| n|，CE＝|﹣ n+2|＝| n﹣2|，
当D为CE的中点时，CD＝DE，
∴|2﹣n|＝| n|，解得n＝ 或4（舍去），
∴点C的坐标为（ ， ）；
当C为DE的中点时，CD＝CE，
∴|2﹣n|＝| n﹣2|，解得n＝ 或0（舍去），∴点C的坐标为（ ， ）；
当E为CD的中点时，DE＝CE，
∴| n|＝| n﹣2|，无解；
综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
10．如图所示，直线l：y＝﹣ x+2 与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4 ）．
（1）求△AOB的面积；
（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间
的函数关系式；
（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶
点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令y＝0， ，
解得x＝ ．
令x＝0，y＝ ．
∴A（ ，0），B（0， ）．
＝ ．
∴△AOB的面积为12．
（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，
∴AM＝t．当0≤t≤ 时，
OM＝ ，
OC＝ ．
∴
＝
＝ ．
当t＞ 时，
OM＝t﹣ ．
∴
＝
＝ ．
综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：
S＝ ．
（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．
①当AC，AM为菱形的边时，
情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，
Rt△AOC中，
＝ ，
∴NC＝AC＝ ．
∵NC∥AM，
∴点N（ ， ）．情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，
由情况一同理可得点N的坐标为 ．
②当AC为菱形的对角线时，如图2，
此时M，O重合，
四边形OANC为正方形，
则点N（ ， ）．
③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，
此时点C，N关于x轴对称，
∴点N（0，﹣ ）．综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，
此时点N的坐标为：（ ， ）， ，（ ， ），（0，﹣ ）．
11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连
接BC，且OC＝ OB．
（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；
（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请
直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OB＝OA＝4，
∵OC＝ OB，∴OC＝3，
∴C（﹣3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有 ，
解得 ，
∴直线BC的解析式为y＝ x+4．
（2）如图1中，
当点M在点A的左边时，
∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，
∴∠CBO＝∠OBM，
∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，
∴∠BCO＝∠BMO，
∴BC＝BM，OC＝OM＝3，
∴M（3，0），
作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M ，则∠M BA＝∠MBA，点M 满足条件．
1 1 1
∵N（4，1），B（0，4），
∴直线BN的解析式为y＝﹣ x+4，令y＝0，得x＝ ，∴M （ ，0），
1
综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（ ，0）．
（3）如图2中，
∵BC＝ ＝5，
当BC为菱形的边时，四边形CP Q B，四边形CP Q B，四边形BCQ P 是菱形，此时Q （﹣5，4），
1 1 3 3 2 2 1
Q （5，4），Q （0，4），
3 2
当BC是菱形的对角线时，四边形CP BQ 是菱形，可得Q （﹣ ，4）．
4 4 4
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或 ．
12．已知，一次函数y＝ 的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝ 相交于点C．过点
B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）求点C到直线l的距离．
（3）若S△AOC ＝S△BCP ，求点P的坐标．
（4）若点E是直线y＝ 上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写
出点E的坐标．解：（1）∵一次函数y＝ 的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴令y＝0，则 ＝0，
∴x＝8，
令x＝0，则y＝6，
∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；
（2）解： 得， ，
∴点C（3， ），
则C到直线l的距离为6﹣ ＝ ；
（3）∵S△AOC ＝ ×8× ＝15＝S△BCP ＝ ×BP×（y
P
﹣y
C
）＝ BP× ，
解得：BP＝ ，
故点P（ ，6）或（﹣ ，6）；
（4）设点E（m， m）、点P（n，6）；
①当∠EPA＝90°时，
当点P在y轴右侧时，
当点P在点E的左侧时，如图1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，
∵△EMP≌△PNA（AAS），
则ME＝PN＝6，MP＝AN，
即m﹣n＝6， m﹣6＝8﹣n，
解得：m＝ ，
当点P在点E的右侧时，如图，
同理可得m＝16，
当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，同理可得：m﹣8＝6， m＝8﹣n，
解得：m＝14，故点E（14， ）；
故点E（ ， ）或（14， ）或（16，20）；
如图3，
同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），
故MP＝EN，AM＝AN＝6，
即 m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），
故点E（2， ）；
综上，E（ ， ）或（16，20）或（2， ）或（14， ）．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣ x+ 与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的
点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣ x+ 与y＝x相交于点A，
∴联立得 ，解得 ，
∴点A（1，1），
∵直线y＝﹣ x+ 与x轴交于点B，
∴令y＝0，得﹣ x+ ＝0，解得x＝3，
∴B（3，0），
（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．
①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，
∵AC∥x轴，OC∥AB，
∴四边形CABO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，
∴C（﹣2，1），
②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，
∴四边形CAOB是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC＝OB＝3，
∴C（4，1），
③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，
∵OC∥AB，BC∥AO，
∴四边形CBAO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AO＝BC，OC＝AB，
作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，
∴C（2，﹣1），
（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，
①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝ ，
∴D（﹣ ，﹣ ），
②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°
∴DE＝OE＝ ，
∴D（ ， ），
③如图6，当OB＝DB时，
∵∠AOB＝∠ODB＝45°，
∴DB⊥OB，∵OB＝3，
∴D（3，3），
④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E
∵∠AOB＝∠OBD＝45°，
∴OD⊥DB，
∵OB＝3，
∴OE＝ ，AE＝ ，
∴D（ ， ）．
综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣ ，﹣ ），D（ ， ），D（3，3）或D（
， ），使得△DOB是等腰三角形，
14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数
y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）
（1）求直线AB的函数的表达式；
（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
（3）求△AOC的面积；
（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）依题意得： ，
解得 ，
∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．
（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；
x＜﹣1．
（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2
∴C（1，0），
∴OC＝2．
∴S△AOC ＝ ×2×3＝3．
（4）①当点P与B重合时，OP ＝OC，此时P （0，2）；
1 1
②当PO＝PC时，此时P 在线段OC的垂直平分线上，P （1，1）；
2 2
③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），
∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，
∴m＝2± ，
可得P （2﹣ ， ），P （2+ ，﹣ ），
3 4
综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+ ，﹣ ）或（2﹣ ， ）．
15．如图1，已知直线l ：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．
1
（1）直接写出k的值为 ﹣ 1 ；
（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l ： 经过AB的中点P，点Q（t，0）为x
2
轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l 、l 于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；
1 2
（3）如图 3，已知点 M（﹣1，0），点 N（5m，3m+2）为直线 AB 右侧一点，且满足∠OBM＝
∠ABN，求点N坐标．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．
解得k＝﹣1．
故答案是：﹣1；
（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），
∵A（4，0），
∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入 ，得n＝1，
∴直线l 为 ，
2
∵QM⊥x轴分别交直线l 、l 于M、N，Q（t，0），
1 2
∴M（t，﹣t+4）， ，
∴ ，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，
∵MN＝2MQ，
∴ ，分情况讨论：
①当t≥4时， ，解得：t＝10．
②当2≤t＜4时， ，解得： ．
③当t＜2时， ，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述： 或t＝10．
（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，
作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，
∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，
∴∠BPO＝∠PQR，
∵OA＝OB＝4，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
∵M（﹣1，0），
∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，
∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，
∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，
∴PB＝PQ，
∴△OBP≌△RPQ（AAS），
∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，
∴OR＝5，
∴Q（5，1），
∴直线BN的解析式为 ，
将N（5m，3m+2）代入 ，得3m+2＝﹣ ×5m+4
解得 ，
∴ ．
16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是
一元二次方程x2﹣（ +1）x+ ＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点
M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若
存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣（ +1）x+ ＝0，
（x﹣ ）（x﹣1）＝0，
解得x ＝ ，x ＝1，
1 2
∵OA＜OB，
∴OA＝1，OB＝ ，
∴A（1，0），B（0， ），
∴AB＝2，
又∵AB：AC＝1：2，
∴AC＝4，
∴C（﹣3，0）；
（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2 ，
∴AB2+BC2＝AC2，
即∠ABC＝90°，
由题意得：CM＝t，CB＝2 ．
①当点M在CB边上时，S＝2 ﹣t（0≤t ）；
②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2 （t＞2 ）；
（3）存在．
①当AB是菱形的边时，如图所示，
在菱形AP Q B中，Q O＝AO＝1，所以Q 点的坐标为（﹣1，0），
1 1 1 1
在菱形ABP Q 中，AQ ＝AB＝2，所以Q 点的坐标为（1，2），
2 2 2 2
在菱形ABP Q 中，AQ ＝AB＝2，所以Q 点的坐标为（1，﹣2），
3 3 3 3②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP BQ ，
4 4
设菱形的边长为x，则在Rt△AP O中，AP 2＝AO2+P O2，即x2＝12+（ ﹣x）2，解得x＝ ，
4 4 4
所以Q （1， ）．
4
综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q （﹣1，0），Q （1，2），Q （1，﹣2），Q （1，
1 2 3 4
）．
17．如图1，在平面直角坐标系中．直线 与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，
将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点
E．（1）求证：△BOC≌△CED；
（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，
∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠BCO＝∠CDE，
在△BOC和△CED中，
，
∴△BOC≌△CED（AAS）
（2）∵△BOC≌△CED，
∴BO＝CE＝3，
设OC＝ED＝m，
∴D（m+3，m），
将D（m+3，m）代入直线 ，
∴m＝1，
∴D（4，1），（3）解：当CD为平行四边形的边时，如图：
当CD∥P Q 时，
1 1
此时P 的横坐标为0，
1
∴Q 的横坐标为3，
1
∴y＝ ，
∴ ，
当CD∥P Q 时，
2 2
由D平移到P ，水平向左平移4个单位，
2
∴将C水平向左平移4个单位得Q 的横坐标为﹣3，
2
∴y＝ ，
∴ ，
当CD为平行四边形的对角线时，如图：由P 平移到C可知，水平向右平移1个单位，
3
∴Q 的横坐标为5，
3
∴ ，
综上：Q（ ）或Q（ ）或Q（5， ）
18．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半
轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．
（1）点A的坐标是 （ 3 ， 0 ） ，点B的坐标是 （ 0 ， 4 ） ，AB的长为 5 ；
（2）求点C的坐标；
（3）点M是y轴上一动点，若S△MAB ＝ S△OCD ，直接写出点M的坐标．
（4）在第一象限内是否存在点P，使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不
存在，请说明理由．解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0＝﹣ x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB＝ ＝5．
故答案为：（3，0），（0，4），5；
（2）由折叠的性质可知BC＝CD，AB＝AD＝5，
∴OD＝OA+AD＝8，
设OC＝x，则CD＝CB＝x+4，
在Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，
∴（x+4）2＝x2+82，
解得：x＝6，
∴OC＝6，
∴C（0，﹣6）；
（3）∵S△OCD ＝ ×6×8＝24，S△MAB ＝ S△OCD ，∴S△MAB ＝ ×24＝8，
设点M的坐标为（0，y），
∴S△MAB ＝ ×3×|4﹣y|＝8，
解得：y＝ 或y＝﹣ ，
∴点M的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）；
（4）存在，理由如下：
①若∠BAP＝90°，AB＝AP，如图，过点P作PG⊥OA交A于点G，
∵∠BAP＝90°，AB＝AP，
∴∠OAB+∠PAG＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAG＝∠OBA，
∵∠AOB＝∠PGA＝90°，AB＝AP，
∴△AOB≌△PGA（AAS），
∴OB＝AG＝4．OA＝PG＝3，
∴OG＝OA+AG＝7．
∴此时点P的坐标为（7，3）；
②若∠ABP＝90°，AB＝BP，如图，过点P作PH⊥OB交OB点H，同理可得，此时点P的坐标为（4，7）；
③若∠APB＝90°，BP＝AP，如图，过点P作PM⊥OA交OA于点M，PN⊥OB交OB于点N，
∵∠BPA＝90°，
∴∠BPN+∠NPA＝90°，
∵∠NPA+∠APM＝90°，
∴∠BPN＝∠APM，
∴△BPN≌△APM（AAS），
∴PN＝PM，BN＝AM，
设点P的坐标为（a，a），
∴4﹣a＝a﹣3，解得：a＝ ，
∴此时点P的坐标为（ ， ），
综上所述，点P的坐标为（7，3）或（4，7）或（ ， ）．
19．如图，直角坐标系中，直线y＝kx+b分别与x轴、y轴交于点A（3，0），点B（0，﹣4），过D（0，8）作平行x轴的直线CD，交AB于点C，点E（0，m）在线段OD上，延长CE交x轴于点F，点G在
x轴正半轴上，且AG＝AF．
（1）求直线AB的函数表达式．
（2）当点E恰好是OD中点时，求△ACG的面积．
（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式：y＝kx+b并解得：
k＝ ，b＝﹣4，
故直线的表达式为： ；
（2）当y＝8时，
解得x＝9，
∴点C的坐标为（9，8），
∴CD＝9，
∵E是OD中点，
∴DE＝OE，
则△EDC≌△EOF（AAS），
∴OF＝CD＝9，
∴AG＝AF＝OF+OA＝12，
过点C作CH⊥x轴于点H，∴ ；
（3）①当∠FCG＝90°时，
AG＝AF，则AC是中线，则AF＝AC＝ ＝10，
故点F（﹣7，0），
由点C、F的坐标可得：直线CF的表达式为：y＝ （x+7），
故点E（0， ），则m＝ ；
②当∠CGF＝90°时，则点G（9，0），
则AF＝AG＝6，
故点F（﹣3，0），
同理直线CF的表达式为：y＝ （x+3），
故m＝2；
综上，m＝ 或2．
20．如图直线l：y＝kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C两点，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为
（﹣6，0）．
（1）求k的值．
（2）若点P是直线l在第二象限内一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积为3，求出此时
直线AP的解析式．
（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存
在，请说明理由．解：（1）∵直线l：y＝kx+6过点B（﹣8，0），
∴0＝﹣8k+6，
∴k＝ ．
（2）当x＝0时，y＝ x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
依照题意画出图形，如图1所示，设点P的坐标为（x， x+6），
∴S△PAC ＝S△BOC ﹣S△BAP ﹣S△AOC ，
＝ ×8×6﹣ ×2（ x+6）﹣ ×6×6，
＝﹣ x＝3，
∴x＝﹣4，
∴点P的坐标为（﹣4，3）．
设此时直线AP的解析式为y＝ax+b（a≠0），
将A（﹣6，0），P（﹣4，3）代入y＝ax+b，
得： ，解得： ，
∴当点P的坐标为（﹣4，3）时，△PAC的面积为3，此时直线AP的解析式为y＝ x+9．
（3）在Rt△BOC中，OB＝8，OC＝6，
∴BC＝ ＝10．
分三种情况考虑（如图2所示）：
①当CB＝CM时，OM ＝OB＝8，
1∴点M 的坐标为（8，0）；
1
②当BC＝BM时，BM ＝BM ＝BC＝10，
2 3
∵点B的坐标为（﹣8，0），
∴点M 的坐标为（2，0），点M 的坐标为（﹣18，0）；
2 3
③当MB＝MC时，设OM＝t，则M B＝M C＝8﹣t，
4 4
∴CM 2＝OM 2+OC2，即（8﹣t）2＝t2+62，
4 4
解得：t＝ ，
∴点M 的坐标为（﹣ ，0）．
4
综上所述：在x轴上存在一点M，使得△BCM为等腰三角形，点M的坐标为（﹣18，0），（﹣ ，
0），（2，0）或（8，0）．
21．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y＝﹣ x+m与x、y轴的正半轴分别相交于点
A 、 B ， 过 点 C （ ﹣ 4 ， ﹣ 4 ） 画 平 行 于 y 轴 的 直 线 交 直 线 AB 于 点 D ， CD ＝ 10（1）求点D的坐标和直线l的解析式；
（2）求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）如图2，将直线l沿y轴负方向平移，当平移适当的距离时，直线l与x、y轴分别相交于点A′、
B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．请直接写出所有符合条件的点 P的
坐标．（不必书写解题过程）
解：（1）∵CD＝10，点C的坐标为（﹣4，﹣4），
∴点D的坐标为（﹣4，6），
把点D（﹣4，6）代入 得，m＝4．
∴直线l的解析式是 ；
（2）∵ ，
∴A（8，0），B（0，4），
过点C画CH⊥y轴于H，则CH＝OH＝4，BH＝8．
在△AOB和△BHC中，
∵AO＝BH，∠AOB＝∠BHC，BO＝CH，
∴△AOB≌△BHC，
∴AB＝BC，∠HBC＝∠OAB，
∴∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）p（﹣4，﹣ ）或（﹣4，8）或（﹣4，﹣12）或（﹣4，﹣4）或（﹣4，4）．22．直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，且 ＝ ．
（1）求点B的坐标和k的值；
（2）若点A时第一象限内的直线y＝kx﹣4上的一动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是
6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：（1）∵直线y＝kx﹣4与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点C（0，﹣4），
∴OC＝4，
∵ ＝ ，
∴OB＝3，
∴点B（3，0），
∴3k﹣4＝0，
解得：k＝ ；（2）设A的纵坐标为h，
∵S△AOB ＝ OB•h＝6，且OB＝3，
∴h＝4，
∵直线BC的解析式为：y＝ x﹣4，
∴当y＝4时，4＝ x﹣4，
解得：x＝6，
∴点A（6，4），
∴当点A运动到（6，4）时，△AOB的面积是6；
（3）存在．
∵A（6，4），
∴OA＝ ＝2 ，
①若OP＝OA＝2 ，则点P （2 ，0），P （﹣2 ，0）；
1 2
②若OA＝AP，
过点A作AM⊥x轴于点M，则PM＝OM＝6，
∴P （12，0）；
3
③若OP＝AP，过点P作PN⊥OA于点N，
则ON＝AN＝ OA＝ ，
∵∠ONP＝∠OMA，∠PON＝∠AOM，
∴△OPN∽△OAM，
∴ ，
∴ ，
解得：OP＝ ，∴P （ ，0）；
4
综上所述：点P （2 ，0），P （﹣2 ，0），P （12，0），P （ ，0）．
1 2 3 4
23．如图，一次函数y ＝ x+n与x轴交于点B，一次函数y ＝﹣ x+m与y轴交于点C，且它们的图象都
1 2
经过点D（1，﹣ ）．
（1）则点B的坐标为 （ ， 0 ） ，点C的坐标为 （ 0 ，﹣ 1 ） ；
（2）在x轴上有一点P（t，0），且t＞ ，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值；
（3）在（2）的条件下，在y轴的右侧，以CP为腰作等腰直角△CPM，直接写出满足条件的点M的坐
标．
解：（1）将D（1，﹣ ）代入y＝ x+n，解得n＝﹣3，
即y＝ x﹣3，当y＝0时， x﹣3＝0．解得x＝ ，
即B点坐标为（ ，0）；
将（1，﹣ ）代入y＝﹣ x+m，解得m＝﹣1，
即y＝﹣ x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1．
即C点坐标为（0，﹣1）；
故答案为：（ ，0），（0，﹣1）；
（2）如图1，
S△BDP ＝ （t﹣ ）×|﹣ |＝ ，
当y＝0时，﹣ x﹣1＝0，解得x＝﹣ ，即E点坐标为（﹣ ，0），
S△CDP ＝S△DPE ﹣S△CPE ＝ （t+ ）× ﹣ ×（t+ ）×|﹣1|＝ ，
由△BDP和△CDP的面积相等，
得： ＝ + ，
解得t＝5.2；
（3）以CP为腰作等腰直角△CPM，有以下两种情况：
①如图2，当以点C为直角顶点，CP为腰时，点M 在y轴的左侧，不符合题意，
1
过M 作M A⊥y轴于A，
2 2
∵∠PCM ＝∠PCO+∠ACM ＝∠PCO+∠OPC＝90°，
2 2
∴∠ACM ＝∠OPC，
2
∵∠POC＝∠CAM ，PC＝CM ，
2 2
∴△POC≌△CAM （AAS），
2
∴PO＝AC＝5.2，OC＝AM ＝1，
2
∴M （1，﹣6.2）；
2
②如图3，当以点P为直角顶点，CP为腰时，过M 作M E⊥x轴于E，
4 4
同理得△COP≌△PEM ，
4
∴OC＝EP＝1，OP＝M E＝5.2，
4
∴M （6.2，﹣5.2），
4
同理得M （4.2，5.2）；
3
综上所述，满足条件的点M的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点A（0，4），与直线y＝﹣ x﹣1
在第四象限相交于点B，连接OB，△AOB的面积为6．
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）已知点M在直线AB右侧，且△MAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出符合条件的点
M的坐标．解：（1）∵点A（0，4），
∴OA＝4，
∵△AOB的面积为6，
∴ OA•x ＝6，即 •x ＝6，
B B
∴x ＝3，
B
把x＝3代入y＝﹣ x﹣1得，y＝﹣2，
∴B（3，﹣2）；
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（0，4），B（3，﹣2），
∴ ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4；
（2）如图，作M N⊥y轴于N，BD⊥y轴于D，
1
∵△M AB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
1
∴AM ＝AB，∠M AB＝90°，
1 1
∴∠M AN+∠BAD＝90°，
1
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠M AN＝∠ABD，
1
在△AM N和△BAD中，
1
，
∴△AM N≌△BAD（AAS），
1
∴M N＝AD，AN＝BD，
1
∵点A（0，4），B（3，﹣2），
∴OA＝4，BD＝3，OD＝2，
∴AD＝6，
∴M N＝AD＝6，AN＝BD＝3，
1
∴ON＝OA+AN＝4+3＝7，
∴M （6，7），
1
同理，M （9，1），
2故M点的坐标为（6，7）或（9，1）．
25．综合与探究：
如图，直线l ：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l ：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，m）与x轴交于点
1 2
B．
（1）求直线l 对应的函数解析式；
2
（2）请直接写出不等式kx+b＜x+3的解集；
（3）若点N在平面直角坐标系内，则在直线l 上是否存在点F使以A，B，F，N为顶点的四边形为菱
1
形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把x＝1代入y＝x+3，得y＝4，
∴C（1，4），
∵直线l 对应的函数解析式为y＝kx+b，
2
由点C（1，4）、A（3，0）得： ，
解得： ，
∴直线l 对应的函数解析式为y＝﹣2x+6；
2（2）∵直线l ：y＝x+3与直线l ：y＝kx+b（k≠0）交于点C（1，4），
1 2
由图可得：不等式kx+b＜x+3的解集为x＞1；
（3）存在，理由如下：
∵直线l ：y＝x+3与x轴交于点B．
1
∴B（﹣3，0），
∵A（3，0），
∴AB＝6，
设F（m，m+3），
∴AF2＝（m﹣3）2+（m+3）2，BF2＝（m+3）2+（m+3）2，
分两种情况：
①以AB为对角线时，如图：
∵以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形，
∴AF＝BF，
∴AF2＝BF2，
∴（m﹣3）2+（m+3）2＝（m+3）2+（m+3）2，
解得m＝0，
∴F（0，3），
∵B（﹣3，0），A（3，0），
∴N（0，﹣3）；
②以AB为边时，如图：∵以A，B，F，N为顶点的四边形为菱形，
∴AB＝BF，
∴AB2＝BF2，
∴62＝（m+3）2+（m+3）2，
解得m＝3 ﹣3或﹣3 ﹣3，
∴F（3 ﹣3，3 ）或（﹣3 ﹣3，﹣3 ），
∵B（﹣3，0），A（3，0），
∴N（3 +3，3 ）或（﹣3 +3，﹣3 ）；
同理N″（﹣3，6），
综上所述：存在，点N的坐标为（0，﹣3）或（3 +3，3 ）或（﹣3 +3，﹣3 ）或（﹣3，
6）．
26．一次函数y＝kx+ （k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A（1，0）、B（0，m）两点．
（1）求一次函数解析式和m的值；
（2）将线段AB绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点 C处．点P在直线AB上，直线CP把
△ABC分成面积之比为2：1的两部分．求直线CP的解析式；
（3）在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 D
的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把点A（1，0），B（0，m）代入y＝kx+ ，
得 ，解得， ，
∴一次函数解析式为y＝﹣ + ，m的值为 ；
（2）过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，
由（1）得，B（0， ），点A（1，0），
∴OA＝1，OB＝ ，AB＝ ＝2，
∵线段A绕着点A旋转，点B落在x轴负半轴上的点C处，
∴AB＝AC＝2，
∴C（﹣1，0），
∴S△ABC ＝ ＝ ＝ ，
若直线CP把△ABC分成面积之比为2：1的两部分，则有以下两种情况：
①当S△BCP ：S△ACP ＝2：1时，S△ACP ＝ S△ABC ＝ ，∴P Q ＝ ＝ ，
1 1
∴点P 的纵坐标为 ，
1
将其代入一次函数y＝﹣ + 得，点P 的坐标为（ ， ），
1
设直线CP 的解析式为y＝m x+n ，将点C（﹣1，0），点P （ ， ）代入得，
1 1 1 1
，
解得 ，
∴直线CP 的解析式y＝ x+ ；
1
②当S△BCP ：S△ACP ＝1：2时，S△ACP ＝ S△ABC ＝ ，
∴P Q ＝ ＝ ，
2 2
将其代入一次函数y＝﹣ + 得，点P 的坐标为（ ， ），
2
设直线CP 的解析式为y＝m x+n ，将点C（﹣1，0），点P （ ， ）代入得，
2 2 2 2
，
解得
∴直线CP 的解析式y＝ x+ ；
2综上所述：直线CP的解析式y＝ x+ 或y＝ x+ ；
（3）存在，
∵△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形，
①当BC＝CD 时，
1
∵∠BCD ＝90°，
1
∴∠M CD +∠OCB＝∠OCB+∠OBC＝90°，
1 1
∴∠M CD ＝∠OBC，
1 1
在Rt△M CD 和Rt△OBC中，
1 1
，
∴Rt△M CD ≌Rt△OBC（AAS），
1 1
∴CM ＝OB＝ ，D M ＝OC＝1，
1 1 1
∴点D （﹣ ﹣1，1）；
1
②当BC＝BD 时，类比①可证Rt△BD M ≌Rt△CBO（AAS），
2 2 2
∴BM ＝OC＝1，D M ＝OB＝ ，
2 2 2
∴点D （﹣ ， ）；
2
综上所述，D点坐标（﹣ ﹣1，1）或（﹣ ， ）．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k x+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，
1
且与正比例函数y＝k x的图象交点为C（3，4）．
2
（1）求正比例函数与一次函数的关系式．
（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，请求出点D的坐标．
（3）在y轴上是否存在一点P使△POC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标．
解：（1）A（﹣3，0），C（3，4）代入y＝k x+b得：
1
，解得 ，
∴一次函数关系式为y＝ x+2，
C（3，4）代入y＝k x得：
2
4＝3k ，解得k ＝ ，
2 2
∴正比例函数关系式为y＝ x；
（2）①∠DAB＝90°，过D作DE⊥x轴于E，如图：
由y＝ x+2可得B（0，2），
∴OB＝2，∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴AB＝ ＝ ，
∵△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，
∴AD＝AB，∠ADE＝90°﹣∠DAE＝∠OAB，
而∠DEA＝∠AOB＝90°，
∴△ADE≌△BAO（AAS），
∴AE＝OB＝2，DE＝OA＝3，
∴OE＝OA+AE＝5，
∴D（﹣5，3），
②∠ABD＝90°，过D作DE⊥y轴于E，如图：
同①可得：BE＝OA＝3，DE＝OB＝2，
∴OE＝5，
∴D（﹣2，5），
综上所述，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，D坐标为（﹣5，3）或（﹣2，5）；
（3）存在y轴上的点P，使△POC为等腰三角形，理由如下：
设点P（0，m），而C（3，4），O（0，0），
∴OC＝5，OP＝|m|，CP＝ ，
①当OP＝OC时，|m|＝5，
∴m＝±5，
∴P（0，5）或（0，﹣5），
②当CP＝OC时， ＝5，
∴m＝8或m＝0（舍），
∴P（0，8），③当CP＝OP时， ＝|m|，
∴m＝ ，
∴P（0， ），
综上所述，△POC为等腰三角形，P坐标为（0，5）或（0，﹣5）或（0，8）或（0， ）．
28．在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线 l ：y ＝﹣x+3与坐标轴
1 1
相交于A，B两点，直线l ：y ＝kx+b（k≠0）与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E
2 2
的横坐标为2．已知OC＝ ，点P是直线l 上的动点．
2
（1）求直线l 的函数表达式；
2
（2）过点P作x轴的垂线与直线l 和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求
1
P点的坐标；
（3）若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求
出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点E的横坐标2代入直线l ：y ＝﹣x+3，
1 1
得y ＝﹣2+3＝1，
1
∴点E（2，1），
∵OC＝ ，
∴C（ ，0），
将点E和点C坐标代入直线l ：y ＝kx+b，
2 2得 ，
解得 ，
∴直线l ：y ＝ x﹣2；
2 2
（2）设点N的坐标为（t，0），
则点P（t， t﹣2），M（t，﹣t+3），
当点P在点E的左侧时，如图所示：
则PN＝2﹣ t，MN＝﹣t+3，
∵点N是线段PM的三等分点，
∴MN＝2PN或PN＝2MN，
当MN＝2PN时，﹣t+3＝2（2﹣ t），
解得t＝ ，
∴P（ ， ），
当PN＝2MN时，2﹣ t＝2（﹣t+3），
解得t＝8（舍），
当点P在点E右侧时，如图所示：PN＝ ，MN＝t﹣3，
∵点N是线段PM的三等分点，
∴MN＝2PN或PN＝2MN，
当MN＝2PN时，t﹣3＝2（ ），
解得t＝ （舍），
当PN＝2MN时，
＝2（t﹣3），
解得t＝8，
∴P（8，10），
综上，点P的坐标为（ ， ）或（8，10）；
（3）存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，
设点Q（m，0），P（n， ），
∵A（0，3），E（2，1），
①以AE，PQ为对角线时，
得 ，
解得 ，
∴点P（4，4），
②以AP，EQ为对角线时，得 ，
解得 ，
∴P（0，﹣2）；
③以AQ，EP为对角线时，
得 ，
解得 ，
∴P（ ，2），
综上，点P坐标为（4，4）或（0，﹣2）或（ ，2）．
29．（1）认识模型：
如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，
过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；
（2）应用模型：
①已知直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线
段CB，求点C的坐标；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（5，4），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上
动点，已知点D在第一象限，且是直线y＝2x﹣3上的一点，点Q是平面内任意一点．若四边形ADPQ
是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．证明：（1）∵AD⊥DE．BE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）．
（2）①如图2中，过C作CD⊥x轴于点D，
直线y＝﹣2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
令y＝0可求得x＝2，令x＝0可求得y＝4，
∴A（0，4），B（2，0），∴OA＝4，OB＝2，
同（1）可证得△CDB≌△BOA，
∴CD＝BO＝2，BD＝AO＝4，
∴OD＝2+4＝6，
∴C（6，2）．
②如图3﹣1中，当四边形ADPQ是正方形时，设D（m，2m﹣3）．
过点D作DE⊥y轴于E交CB的延长线于F．
∵∠AED＝∠F＝∠ADP＝90°，
∴∠ADE+∠PDF＝90°，∠PDF+∠DPF＝90°，
∴∠ADE＝∠DPF，
∵AD＝DP，
∴△ADE≌△DPF（AAS），
∴AE＝DF，
∵B（5，4），
∴OC＝5，OA＝4，
∴m+2m﹣3﹣4＝5，
解得m＝4，此时D（4，5）．
如图3﹣2中，当四边形ADPQ是正方形时，同法可得D（2，1）．综上所述，满足条件的点D的坐标为（4，5）或（2，1）．
30．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，点B的坐标是（4，
6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC、BC于点E、D，且点D的
坐标是（ ，6）．
（1）求BF的长度；
（2）如图2，点P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直线PE的解析式；
（3）若点M为直线DE上一动点，在x轴上是否存在点N，使以M、N、D、F为顶点的四边形是平行
四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题可得，△CDE≌△FDE，
则，DF＝CD＝ ，
∵B（4，6），四边形OABC为矩形，
∴BC＝4，∠B＝90•，
∴BD＝BC﹣CD＝ ，在Rt△DBF中，
；
（2）如图1，由（1）得，△CDE≌△FDE，
又△PDE≌△CED，
∴△PDE≌△CED≌△FED，
∴PD＝CE＝FE，PE＝CD＝FE＝ ，
∴四边形PEFD为平行四边形，
又∠B＝90°，
∴ PEFD为矩形，
又▱AF＝AB﹣BF＝6﹣2＝4，
∴F（4，4），
过E作EG⊥AB于G，
则四边形AOEG，EGBC为矩形，
设OE＝AG＝a，则，FG＝4﹣a，EG＝BC＝4，CE＝6﹣a
又EF＝EC，
则42+（4﹣a）2＝（6﹣a）2，
∴a＝1，
∴E（0，1），
连接PF交DE于点M，
则M为PF，DE的中点，
∵D（ ），E（0，1），
∴M（ ），
∴P（ ）；
设直线PE的解析式为：y＝kx+1，
代入点P，得， ，
解得，k＝ ，∴直线PE的解析式为： ；
（3设直线DE的解析式为：y＝k x+1，代入点 ，
1
解得，k ＝2，
1
∴y＝2x+1，
设M（m，2m+1），N（x ，0），
N
①如图2，当MF为对角线，DN为另一条对角线时，
连接MF，DN交于点K，则K为MF，DN的中点，
，
即 ，
解得 ，
∴N（2，0），
②如图，当DF为对角线，MN为另一条对角线时，
，
解得 ，
∴N（2，0），
③如图4，当DM为对角线，NF为另一条对角线时，
，
解得 ，∴N（﹣3，0），
综上所述，N（2，0）或（﹣3，0）．
