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例题精讲
【例1】．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确
定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：
等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作
sadA，这时sadA＝ ＝ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据
上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ 1 ；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0 ＜ sadA ＜ 2 ；
（3）如图，已知cosA＝ ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝ ＝1．
故答案为：1．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，过B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，cosA＝ ＝ ．
设AD＝4k，AB＝5k，则BD＝3k，
∴DC＝5k﹣4k＝k．
在Rt△BDC中，BC＝ ＝ k，
∴sadA＝ ＝ ．
变式训练
【变1-1】．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．
若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为 4 或 2 ．
解：∵△ABC是“倍角三角形”，
∴分四种情况：
当∠A＝2∠B＝90°时，
∴∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝4，
∴AB＝AC＝ ＝ ＝2 ，
∴△ABC的面积＝ AB•AC＝ ×2 ×2 ＝4；
当∠A＝2∠C＝90°时，同理可得：△ABC的面积为4；
当∠B＝2∠C时，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，∵∠B＝2∠C，
∴∠C＝30°，∠B＝60°，
∵BC＝4，
∴AB＝ BC＝2，AC＝ AB＝2 ，
∴△ABC的面积＝ AB•AC＝ ×2×2 ＝2 ；
当∠C＝2∠B时，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠C＝60°，
∵BC＝4，
∴AC＝ BC＝2，AB＝ AC＝2 ，
∴△ABC的面积＝ AB•AC＝ ×2 ×2＝2 ；
综上所述：△ABC的面积为4或2 ，
故答案为：4或2 ．
【变1-2】．定义：如果三角形的两个内角 与 满足 +2 ＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三
角形”． α β α β
（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求证：△ABD为“奇妙三角形”
（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；
（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的
度数．
（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．
在△ABC中，∵∠ACB＝80°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
即∠A+2∠ABD＝100°，
∴△ABD为“奇妙三角形”．
（2）证明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，
∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，
∴∠B＝10°或∠A＝10°，
当∠B＝10°时，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
当∠A＝10°时，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．
由此证得，△ABC是直角三角形．
（3）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵△ABD为“奇妙三角形”，
∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，
①当∠A+2∠ABD＝100°时，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∴∠C＝80°；
②当2∠A+∠ABD＝100°时，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，
∴∠C＝100°；
综上得出：∠C的度数为80°或100°．
【例2】．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 不是 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ，点D在AC边上，若△BCD是“准
等边三角形”，求BD的长．解：（1）∵等腰三角形的顶角为120°，
∴等腰三角形的两个底角度数分别为30°，30°，
∴顶角为120°的等腰三角形不是“准等边三角形”；
（2）∵△ABC是“准等边三角形”，∠A＝35°，∠C＞90°，
∴分两种情况：
当∠C﹣∠A＝60°时，
∴∠C＝∠A+60°＝95°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝50°；
当∠C﹣∠B＝60°时，
∵∠A＝35°，
∴∠C+∠B＝180°﹣∠A＝145°，
∴2∠B＝85°，
∴∠B＝42.5°；
综上所述：∠B的度数为50°或42.5°；
（3）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°， ，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，AB＝2BC＝2+2 ，
∵△BCD是“准等边三角形”，
∴分两种情况：
当∠C﹣∠CBD＝60°时，
∴∠CBD＝∠C﹣60°＝30°，
∴BD＝2CD，
∵CD2+BC2＝BD2，
∴CD2+（1+ ）2＝（2CD）2，
解得：CD＝ 或CD＝﹣ （舍去），∴BD＝2CD＝ ；
当∠BDC﹣∠CBD＝60°时，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵∠C＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴2∠BDC＝150°，
∴∠BDC＝75°，
∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，BD＝ DE，
设DE＝BE＝x，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴AE＝ DE＝ x，
∵BE+AE＝AB，
∴x+ x＝2+2 ，
解得：x＝2，
∴BE＝DE＝2，
∴BD＝ DE＝2 ；
综上所述：BD的长为 或2 ．
变式训练
【变2-1】．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE
是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝
6，那么此时AC的长为 3 ．解：如图，∵AF⊥BE，
∴∠APB＝∠APE＝90°，
在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，
∴AP＝ AB＝3，
BP＝ AP＝3 ，
∵AF、BE是中线，
∴AE＝CE，点P为△ABC的重心，
∴PE＝ BP＝ ，
在Rt△APE中，AE＝ ＝ ，
∴AC＝2AE＝3 ．
故答案为3 ．
【变2-2】．【了解概念】
定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，
这条中线叫这条边的半线．
【理解运用】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；
（3）在（2）的条件下，若MD＝ ，AM＝1，直接写出BM的长．
解：（1）△ABC是半线三角形，理由如下：
取BC得中点D，连接AD，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
∴AD＝ AB，
∴△ABC是半线三角形．
（2）过点A作AN⊥AM交MC于点N，如图，
∵MD为△MBC的BC边的半线，
∴MD＝ BC＝BD＝CD，
∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，
∴∠BMC＝90°，
同理∠BAC＝90°，又∵∠MOB＝∠AOC，
∴∠MBA＝∠MCA，
∵∠MAN＝∠BAC＝90°，
∴∠MAB＝∠NAC．
∵AB＝AC，
∴△MAB≌△NAC（ASA），
∴AM＝AN，
又∵∠MAN＝90°，
∴∠AMC＝∠ANM＝45°．
（3）由题意可知，BC＝2MD＝3，
由（2）知△MAB≌△NAC（ASA），
∴MB＝NC，AM＝AN＝1，
∴MN＝ ，
在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，
∴MB2+（ +MB）2＝32，
解得，MB＝2﹣ （负值舍去）．
故MB的值为2﹣ ．
1．当三角形中一个内角 是另外一个内角 的 时，我们称此三角形为“友好三角形”， 为友好角．如
果一个“友好三角形”β中有一个内角为α42°，那么这个“友好三角形”的“友好角 ”的α度数为 42 °
或 84 ° 或 92 ° ． α
解：①42°角是 ，则友好角度数为42°；
α②42°角是 ，则 ＝2 ＝84°，
∴友好角 ＝β84°；α β
③42°角既α不是 也不是 ，
则 + +42°＝180α°， β
α β
所以， + +42°＝180°，
解得 ＝α92°α，
综上所α述，友好角度数为42°或84°或92°．
故答案为：42°或84°或92°．
2．当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中 称为“奇
妙角”．如果一个“奇α妙三角形”的一β个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角α的度数为
30° ， 90° 或 40° ， 80° ．
解：由题意得：
①当60°的角为“奇妙角”时，
有另一个角为30°，
∴第三个内角为180°﹣60°﹣30°＝90°；
②当60°的角不是“奇妙角”时，设另两个内角分别为∠1，∠2，且∠1＝2∠2，
有∠1+∠2+60°＝180°，
即2∠2+∠2＝120°，
解得：∠2＝40°，
故∠1＝80°．
综上所述：这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为30°，90°或40°，80°．
故答案为：30°，90°或40°，80°．
3．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下
问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为
4 或 ．解：在Rt△ABC中，
∵C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝ ＝ ＝8，
若PB＝PA，连接PA，
设PC＝x，则PA＝PB＝8﹣x，
在Rt△PAC中，
∵PA2＝CP2+AC2，
∴（8﹣x）2＝x2+62，
∴x＝ ，即PC＝ ，
若PB＝PC，则PC＝4，
若PA＝PC，由图知，在Rt△PAC中，不可能，
故PC的长为：4或 ．
故答案是：4或 ．
4．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形ABC的每条边上各取一
点D，E，F，△DEF称为△ABC的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三角形ABC的所有内接三
角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC上的动点，AB＝AC＝5，BC＝6，则△DEF周长的最小值为 ．
解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝CE＝3，
∴AE＝ ＝4，
∵CD⊥AB，BF⊥AC
∴DE＝EF＝ BC＝3，
∵S△ABC ＝ AC•BF＝ BC•AE，
∴BF＝ ，
∴CF＝ ＝ ，
∴AF＝ ，
∵△ADF∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴DF＝ ，
∴△DEF的周长的最小值＝3+3+ ＝ ．
故答案为： ．5．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角
A的正对记作sadA，这时sadA＝ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确
定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ 1 ．
（2）sad90°＝ ．
（3）如图②，已知sinA＝ ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
解：（1）sad60°＝1；
（2）sad90°＝ ；
（3）设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a，
在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于点E，如图所示：
则DE＝AD•sinA＝4a• ＝ ，AE＝AD•cosA＝4a• ＝ ，
CE＝4a﹣ ＝ ， a，∴sadA＝ ．
6．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断△DAB与
△EBC是否相似： 是 （填“是”或“否”）；
（2）如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线的长为 和
．
解：（1）是，
故答案为：是；
（2）如图3所示，CD、AE就是所求的三分线．
设∠B＝ ，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝ ，∠ADE＝∠AED＝2 ，
此时△AαEC∽△BDC，△ACD∽△ABC， α α设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y＝2：3，
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x＝（x+y）：2，
所以联立得方程组 ，
解得 ，
即三分线长分别是 和 ．
故答案为： 和 ．
7．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角
形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形
分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三
角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用：
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
动手操作：
（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数．解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；
（2）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°
∵CD为角平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝ ∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝DA，
在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，
当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝50°+65°＝115°，
当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝ ＝ ，
∴∠ACB＝ ，
当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°﹣2x，
则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由题意得，180°﹣2x+50°＝x，
解得，x＝ ，
∴∠ACD＝180°﹣2x＝ ，
∴∠ACB＝ ，综上所述：∠ACB的度数为100°或115°或 或 ．
8．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三
角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 假 （填“真”或“假”）命题．
（2）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明
同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程.
（1）解：在类勾股△ABC中，ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得：b2+a2＝c2，
∴ab+a2＝b2+a2，
∴a＝b，
∴当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形，
∴命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题，
故答案为：假；
（2）解：∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°；
（3）证明：∵AD＝CD，
∴∠ACD+∠A，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CE⊥AB，
∴DE＝BE＝ （c﹣a），
∴AE＝AD+DE＝a+ （c﹣a）＝ （a+c），
在Rt△ACE中，CE2＝AC2﹣AE2＝b2﹣[ （c+a）]2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2﹣BE2＝a2﹣[ （c﹣a）]2，
∴b2﹣[ （a+c）]2＝a2﹣[ （c﹣a）]2，∴b2＝ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”．
9．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．
如图1，在△ABC中，AB＝AC， 的值为△ABC的正度．
已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．
（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为 ；
（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；
若△ACD的正度是 ，求∠A的度数．
（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为 ，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有
正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．
解：（1）若∠A＝90°， ，则△ABC的正度为 ，
故答案为： ；
（2）用尺规作出等腰△ACD，如图1，
作AC的中垂线交AB于点D，交AC于点E．
∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．
∵△ACD的正度是 ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
在Rt△ADE中，设AD＝ x，AE＝x，
∴ ．
∴DE＝AE．
∴△ADE是等腰直角三角形．
∴∠A＝45°．
（3）存在点D，使△ACD具有正度．
∵△ABC的正度为 ，△ABC的周长为22，
∴ ．
设AB＝3x，BC＝5x，则AC＝3x．
∵△ABC的周长为22，
∴3x+5x+3x＝22．
∴x＝2．
∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，
作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝5，
∴AH＝ ．
①当AD＝DC时，如图2所示，
设AD＝DC＝y，则HD＝5﹣y，
由AH2+HD2＝AD2，得11+（5﹣y）2＝y2．
解得y＝ ，即AD＝ ．
∴△ACD的正度为 ．
②当AC＝DC＝6时，
如图3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，
∴DA＝ ．
∴△ACD的正度为 ．
综上所述，△ACD的正度为 或 ．
10．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 ②③ （只填写序号）．
①顶角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是30°的直角三角形．
（2）如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC 沿边 AB 所在的直线翻折 180°得到
△ABD，延长DA到点E，连接BE．
①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；
②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一
个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．（1）解：若顶角是30°的等腰三角形，
∴两个底角分别为75°，75°，
∴顶角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，
若等腰直角三角形，
∴三个角分别为45°，45°，90°，
∵90°＝2×45°，
∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，
若有一个是30°的直角三角形，
∴另两个角分别为60°，90°，
∵60°＝2×30°，
∴有一个30°的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵将△ABC沿边AB所在的直线翻折180°得到△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，
∴∠BAE＝2∠ADB，
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴∠E＝∠ADB，
∴∠BAE＝2∠E，
∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，
如图，
若△ABP是等腰三角形，则△BPE是“倍角三角形”，
∴△ABP是等边三角形，
∴∠APB＝60°，
∴∠BPE＝120°，
∵△BPE是“倍角三角形”，
∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，
∴∠BEP＝20°或40°；
若△BPE是等腰三角形，则△ABP是“倍角三角形”，
∴∠ABP＝ ∠BAP＝30°或∠APB＝ ∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，
∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，
∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，
∵△BPE是等腰三角形，
∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，
综上所述：∠BPE的度数为45°或15°或20°或40°．
11．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若
能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四
个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为 2
阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整
数），设此时小三角形的面积为S ．
N
①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S ＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的
n
尝试估算过程）
②当n＞1时，请写出一个反映S
n﹣1
，S
n
，S
n+1
之间关系的等式．（不必证明）
解：（1）如图：割线CD就是所求的线段．
理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°，
∴△BCD∽△ACB．
（2）①△DEF经N阶分割所得的小三角形的个数为 ，
∴S ＝ ．
n
当n＝5时，S ＝ ≈9.77，
5
当n＝6时，S ＝ ≈2.44，
6当n＝7时，S ＝ ≈0.61，
7
∴当n＝6时，2＜S ＜3．
6
②S n 2＝S n﹣1 ×S n+1 ．
12．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的
平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若
AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所
有“好点”点D；
（2）△ABC中，BC＝7， ，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；
（3）如图3，△ABC是 O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交 O于点D．若点H是
△BCD中CD边上的“好⊙点”． ⊙
①求证：OH⊥AB；
②若OH∥BD， O的半径为r，且r＝3OH，求 的值．
⊙
解：（1）如图1，斜边AB的中点D与斜边AB上的高CD'的垂足D'均为AB边长的“好点”．
（2）如图2，
作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，tanB＝ ，
∴设AE＝3a，BE＝4a，
tanC＝ ，
∴CE＝AE＝3a，
∴3a+4a＝7，
∴a＝1，
∴AE＝CE＝3，BE＝4，
∴AB＝5，
设BD＝x，
∴DE＝|4﹣x|，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
AD2＝DE2+AE2＝（4﹣x）2+32，
∵点D是BC边上的“好点”，
∴AD2＝BD•CD＝x•（7﹣x），
∴x•（7﹣x）＝（4﹣x）2+32，∴x ＝5，x ＝ ，
1 2
即BD＝5或 ．
（3）如图3，
①证明：∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2＝CH•HD，
∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴△ACH∽△DBH，
∴ ，
∴CH•HD＝AH•BH，
∴BH2＝AH•BH，
∴AH＝BH，
∴OH⊥AB；
②连接AD，
设OH＝a，则OA＝3a，
由①知，OH⊥AB，
又∵OH∥BD，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD是 O的直径，
∴OA＝O⊙D＝3a，
在Rt△AOH 中，由勾股定理得，
AH＝ ，
∵AH＝BH＝ ，OA＝OD，∴BD＝2a，
在Rt△BDH中，由勾股定理得，
DH＝ ＝ ，
由BH2＝CH•DH得： ，
∴CH＝ ，
∴ ．
13．定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，
则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；
定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于
BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，
则称△PQR为△ABC的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．
（1）如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；
（2）如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．
①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；
②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．
（1）解：如图3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠C＝75°，
∵EF∥CB，
∴∠AEF＝75°，∵DE和FE关于AC满足“光学性质”，
∴∠AEF＝∠DEC＝75°，
∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；
（2）①证明：如图4中，
∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝75°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∴ ＝ ，
∴BD＝DE，
∵CF⊥AB，
∴∠CFB＝90°，
∵DB＝DC，
∴DF＝DB＝DC，
∴DF＝DB＝DE＝DC，
∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，
∴∠FDB＝∠EDC＝30°，
∴DF，DE关于BC满足光学性质，
∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE＝30°，∴∠DEF＝∠EDC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，
∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，
∴FE，DE关于AC满足光学性质，EF，DF关于AB满足光学性质，
∴△DEF是为△ABC的光线三角形；
②证明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，
∴△DFE是顶角为120°，腰长为BC的一半的等腰三角形，
∴△DEF是唯一确定的，
∴△ABC的光线三角形是唯一的．
14．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和
∠BAE之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，
连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．
（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE，
理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC＝∠BAE；
（2）证明：如图②，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME．
（3）∠B+∠C＝180°，
理由如下：如图③，延长DC至点P，使DP＝AD，
∵∠ADP＝60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAP，
在△BAD和△CAP中，
，
∴△BAD≌△CAP（SAS），
∴∠B＝∠ACP，
∵∠ACD+∠ACP＝180°，
∴∠B+∠ACD＝180°．15．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．
（1）定义应用
如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为 45 ° 或 72 ° ；
（2）性质探索
小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出结论：
如图1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB+AC）．
下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．
求证：BC2＝AC（AB+AC）．
证明：如图2，延长CA到D，使得AD＝AB，连接BD．
∴∠D＝∠ABD，AB+AC＝AD+AC＝CD
∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°
∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，
∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C
∴△ABC∽△BCD∴
∴BC2＝AC•CD
∴BC2＝AC（AB+AC）
根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明：
已知：如图1，在△ABC中，∠A＝2∠B．
求证：BC2＝AC（AB+AC）．
（3）性质应用
已知：如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，AB＝12，BC＝10，则AC＝ 8 ；
（4）拓展应用
已知：如图4，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，求AB的长．
（1）解：当等腰三角形的内角分别为x，x，2x时，4x＝180°，解得x＝45°，
当等腰三角形的内角分别为x，2x，2x时，5x＝180°，解得x＝36°，2x＝72°，
∴底角的度数为45°或72°，
故答案为45°或72°；
（2）如图1，作AD平分∠BAC，交BC于D，
∴∠BAC＝2∠DAC＝2∠BAD，
∵∠BAC＝2∠B，
∴∠ABC＝∠DAC＝∠BAD，
∴BD＝AD，
∵∠ABC＝∠DAC，∠ACD＝∠ACB，
∴△ACD∽△BCA，∴ ，
∴AC2＝BC•CD，AC•AB＝BC•AD＝BC•BD，
∴AC2+AC•AB＝BC•CD+BC•BD＝BC•（BD+CD），
∴BC2＝AC（AC+AB）．
（3）由性质探索 可知：AB2＝AC（BC+AC），
∴AC2+10AC﹣144＝0，
解得AC＝8或﹣18（舍弃）．
故答案为8；
（4）如图3，作∠CBD＝∠A，交AC于点D，
则∠ABD＝2∠A，
∴△ABD是2倍角三角形．
∴AD2＝BD（BD+AB），
∵∠BDC是△ABD 的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3∠A，
∴∠BDC＝∠ABC＝3∠A，
又∵∠C＝∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴ ，
∴CD＝ ， ，
∴AD＝AC﹣CD＝ ，
设BD＝2x，则AB＝3x，
∴（ ）2＝2x（2x+3x），
∴x＝ 或x＝﹣ （不合题意舍去），∴AB＝3x＝ ．
16．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称
这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．
（1）已知A（2，0），B（0，4），C（1，2），D（4，1），这个点中，能与点O组成“和谐三角
形”的点是 A 、 B ，“和谐距离”是 2 ；
（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN
是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；
（3）已知 O的半径为2，点P是 O上的一动点，直线y＝−x+b与x轴、y轴分别交于点H、G，点
Q是线段H⊙G上一点，若存在△OPQ⊙是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，直接写出b的取值范围．
解：（1）根据题意得，当A（2，0），B（0，4）与原点O构成三角形时，AB边上的中线等于AB边的
一半，
即点A、B能与点O组成“和谐三角形”，
∵AB＝ ＝2 ，
∴“和谐距离”是 ，
故答案为：A、B， ；
（2）根据题意作图如下：以BD为直径，线段BD的中点为圆心，过圆心作x轴的平行线交圆于点E和
点E'，点E和E'在图中位置时为t的临界值，
∵BD＝ ＝5，A（2，0），
∴点E的横坐标为2﹣ ＝﹣ ，点E'的横坐标为 +2＝ ，
∴﹣ ；（3）当PQ为和谐边时，∠POQ＝90°，
∵“和谐距离”是2，
设PQ的中点为F，
∴OF＝2，PQ＝4，
∴OQ＝ ＝2 ，
∴点Q在以O为圆心，2 为半径的圆上，
∵直线y＝﹣x+b与x轴、y轴分别交于点H、G，
∴当直线GH与点Q所在的圆相切于点Q时，b取最值，
∴GH＝2OQ＝4 ，
∴OG＝OH＝4 ×sin45°＝2 ，
当点Q在y轴上时，即点G处时，|b|＝2 ，
∴b的取值范围是：2 ≤b≤2 或﹣2 ≤b≤﹣2 ；
当OQ为和谐边时，∠OPQ＝90°，
∵“和谐距离”是2，
设PQ的中点为F'，
则点Q在以O为圆心，4为半径的圆上，
即OQ＝4，
当直线GH与该圆相切时，GH＝8，
∴OG＝8×sin45°＝4 ，
当点Q在y轴上时，即点G处时，|b|＝4，
∴b的取值范围是：4≤b≤4 或﹣4 ≤b≤﹣4；
当OQ为和谐边时，∠OQP＝90°，
∵OP＝2，
∴OP边上的中线不可能是2，
即“和谐距离”不为2，不符合题意；
综上，b的取值范围为：2 ≤b≤2 或﹣2 ≤b≤﹣2 或4≤b≤4 或﹣4 ≤b≤﹣4．
17．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角
形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC＝ ，则BD长
为 2 ，∠B的度数为 45 ° ．（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为
直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连结
EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线．
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝ ．若△BCD是智慧三角形，且 AC为智慧线，求
△BCD的面积．
（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵CD＝1，AC＝ ，
∴AD＝ ＝ ＝2，
∵△ABC是智慧三角形，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝2，∠B＝45°，
故答案为：2，45°
（2）证明：如图2中，∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ABE＝∠ACF＝135°，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BDE＝∠DCE+∠DEC，∠BDE＝2∠DCE，∴∠DCE＝∠DEC，
∴DE＝DC，
∴△DEC是等腰三角形，
∵△EDB是直角三角形，
∴△BEC是智慧三角形；
（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．
有两种情形：当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，△BCD，△BCD′是智慧三角形．
∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝2 ，
∴AH＝ ＝ ＝ ，
∵S△ABC ＝ •BC•AH＝ •AB•CD，
∴CD＝ ＝4，
∴AD＝ ＝ ＝3，
∴S△BCD ＝ •BD•CD＝ ×8×4＝16，
∵∠ACD′＝90°，∠ADC＝∠CDD′＝90°，
∴∠ACD+∠DCD′＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠DCD′，
∴△ADC∽△CDD′，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴DD′＝ ，
∴BD′＝BD+DD′＝8+ ＝ ，
∴S△CBD′ ＝ × ×4＝ ，
解法二：设CD′＝x，DD′＝y，
则有 ，
解得 ，
可得S△CBD′ ＝ × ×4＝ ，
综上所述，满足条件的△BCD的面积为16或 ．
18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且
S△ACD ＝S△BCD ．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE
交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角
形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于
△ABC面积的 ，求出△ABC的面积．应用：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE＝BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE＝OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．
（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S△AOE ＝S△DOE ，AE＝ED＝ AD＝3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S△AOB ＝S△AOE ，
∵△AOE≌△FOB，
∴S△AOE ＝S△FOB ，
∴S△AOD ＝S△ABF ，
∴S四边形CDOF ＝S矩形ABCD ﹣2S△ABF ＝4×6﹣2× ×4×3＝12．
探究：
解：分为两种情况：①如图1，
∵S△ACD ＝S△BCD ．∴AD＝BD＝ AB＝4，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD＝A′D＝ AB＝ ×8＝4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
∴S△DOC ＝ S△ABC ＝ S△BDC ＝ S△ADC ＝ S△A′DC ，
∴DO＝OB，A′O＝CO，
∴四边形A′DCB是平行四边形，
∴BC＝A′D＝4，
过B作BM⊥AC于M，
∵AB＝8，∠BAC＝30°，
∴BM＝ AB＝4＝BC，
即C和M重合，
∴∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC＝ ＝4 ，
∴△ABC的面积是 ×BC×AC＝ ×4×4 ＝8 ；
②如图2，
∵S△ACD ＝S△BCD ．∴AD＝BD＝ AB，
∵沿CD折叠A和A′重合，
∴AD＝A′D＝ AB＝ ×8＝4，
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的 ，
∴S△DOC ＝ S△ABC ＝ S△BDC ＝ S△ADC ＝ S△A′DC ，
∴DO＝OA′，BO＝CO，
∴四边形A′BDC是平行四边形，
∴A′C＝BD＝4，
过C作CQ⊥A′D于Q，
∵A′C＝4，∠DA′C＝∠BAC＝30°，
∴CQ＝ A′C＝2，
∴S△ABC ＝2S△ADC ＝2S△A′DC ＝2× ×A′D×CQ＝2× ×4×2＝8；
即△ABC的面积是8或8 ．
19．定义：如果一个三角形中有两个内角 ， 满足 +2 ＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠αB＞β90°，α∠Cβ＝50°，则∠A＝ 2 0 °；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的
长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连
结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的长．解：（1）∠B不可能是 或 ，
当∠A＝ 时，∠C＝ ＝α50°，β +2 ＝90°，不成立；
故∠A＝α，∠C＝ ，β +2 ＝9α0°，β则 ＝20°，
故答案为β20； α α β β
（2）①如图1，设∠ABD＝∠DBC＝ ，∠C＝ ，
β α
则 +2 ＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；
②α存在β，理由：
在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE是“近直角三角形”，
AB＝3，AC＝4，则BC＝5，
则∠ABE＝∠C，则△ABC∽△AEB，
即 ，即 ，解得：AE＝ ，
则CE＝4﹣ ＝ ；
（3）①如图2所示，连接DE，当∠ACB+2∠DBC＝90°时，
又∵∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ，
∴AD＝DE， β
∵BD是直径，
∴∠BAD＝∠BED＝90°，
∴∠ADB＝∠BDE，
∴AB＝BE，
∴BD垂直平分AE，
∴BF＝ ＝ ＝4，
∵∠DAE＝∠DBE＝∠ABD，∠AFD＝∠AFB＝90°，
∴△ADF∽△BAF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AD＝ ；
②如图3所示，当2∠C+∠DBC＝90°时，
又∵∠DBC+∠C+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠C＝ ，
β过点A作AH⊥BE交BE于点H，交BD于点G，则点G是圆的圆心（BE的中垂线与直径的交点），
∵∠AEB＝∠DAE+∠C＝ + ＝∠ABC，
∴AE＝AB＝5， α β
∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3＝2，
∵DE⊥BC，AH⊥BC，
∴ED∥AH，则AF：EF＝AG：DE＝3：2，
则DE＝2k，则AG＝3k＝R（圆的半径）＝BG，点H是BE的中点，则GH＝ DE＝k，
在△BGH中，BH＝ ＝ ＝2 k，
∵AG＝3k，GH＝k，
∴AH＝4k，
∵∠C+∠ABC＝90°，∠ABC+∠BAH＝90°，
∴∠C＝∠BAH，
∴tanC＝tan∠BAH＝tan∠ABD＝ ＝ ，
∴ ，
∴AD＝ ，
综上所述：AD的长为 或 ．
20．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂
直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN 是ABC的中线，
AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探究】
（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝ 时，a＝ 4 ，b＝ 4 ；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，a2+b2＝ 2 0 ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证
明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、
BE、CE，且BE⊥▱CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3 ，AB＝3，求AF的长．
解：（1）在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝ ，
则PA＝PB＝ c＝4，
∵M、N分别为CB、CA的中点，
∴MN＝ AB＝2 ，MN∥AB，
∴△APB∽△MPN，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴PM＝PN＝2，
∴BM＝ ＝2 ，
∴a＝2BM＝4 ，
同理：b＝2AN＝4 ，
如图2，连接MN，
在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，
∴PB＝ c＝1，
∴PA＝ ＝ ，∴PN＝ ，PM＝ ，
∴BM＝ ＝ ，AN＝ ＝ ，
∴a＝ ，b＝ ，
∴a2+b2＝20，
故答案为：4 ；4 ；20；
（2）a2+b2＝5c2，
理由如下：如图3，连接MN，
设PN＝x，PM＝y，
则PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，
∴BM＝ ＝ ，AN＝ ＝ ，
∴a＝2 ，b＝2 ，
∴a2+b2＝20（x2+y2），
∵c2＝PA2+PB2＝4（x2+y2），
∴a2+b2＝5c2；
（3）取AB的中点H，连接FH并延长交DA的延长线于点P，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△AHP∽△BHF，
∴ ＝ ＝1，
∴AP＝BF，
∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3 ，
∴AE＝BF＝ ，
∴PE＝FC，
∴四边形PFCE为平行四边形，
∵BE⊥CE，
∴BG⊥FH，
∵AE∥BF，AE＝BF，
∴AG＝GF，∴△ABF为“中垂三角形”，
∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×（ ）2，
解得：AF＝4．
21．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．
（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为 45 ° ， 45 ° 或 30 ° ， 60 ° ．
（2）如图1，在 ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰
好落在AD边上的▱点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；
（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是
△CMN面积的4倍．
①求证：∠C＝60°．
②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数．解：（1）∵Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，或∠B＝60°，∠C＝30°或∠B＝30°，∠C＝60°，
∴其余两个角的度数为45°，45°或30°，60°，
故答案为45°，45°或30°，60°．
（2）如图1中，
∵平行四边形ABCD中，∠C＝72°，
∴∠D＝108°，
由翻折可知：∠EFB＝72°，
∵BF⊥AD，
∴∠EFD＝18°，
∴∠DEF＝54°，
∴∠DEF＝ ∠D，即△DEF是半角三角形．
（2）①如图2中，连接AN．∵AB是直径，
∴∠ANB＝90°，
∵∠C＝∠C，∠CMN＝∠B，
∴△CMN∽△CBA，
∴（ ）2＝ ，即 ＝ ，
在Rt△ACN中，sin∠CAN＝ ＝ ，
∴∠CAN＝30°，
∴∠C＝60°．
②∵△ABC是半角三角形，∠C＝60°，
∴∠B＝30°或40°或80°或90°．
22．定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角
形称为邻等三角形．
例如：如图1，△ABC中，AD＝AD，AB＝AC，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD是邻等三角形．
（1）如图2， O中，点D是 的中点，那么请判断△ABD与△ACD是否为邻等三角形，并说明理由．
⊙
（2）如图3，以点A（2，2）为圆心，OA为半径的 A交x轴于点B（4，0），△OBC是 A的内接三
角形，∠COB＝30°． ⊙ ⊙
①求∠C的度数和OC的长；
②点P在 A上，若△OCP与△OBC是邻等三角形时，请直接写出点P的坐标．
⊙解：（1）△ABD与△ACD是邻等三角形，理由如下：
∵点D是 的中点，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ABD与△ACD是邻等三角形．
（2）①如图2，作AH⊥OB，连接AO，AB，
∵OA＝OB，
∴OH＝BH，
∵点A的坐标是（2，2），
∴AH＝OH＝BH＝2，
∴∠OAB＝90°，
∴∠C＝ ∠OAB＝45°，
作BK⊥OC，在Rt△BOK中，OB＝4，∠BOK＝30°，
∴BK＝2，OK＝2 ，
在Rt△BKC中，∠C＝45°，
∴CK＝2，BC＝2 ，
∴OC＝2+2 ；
②第一种情况：如图3，连接OA，P A，过点P 作P Q⊥OB于点Q，∠OCP ＝30°，
1 1 1 1
则△OCP 与△OBC是邻等三角形，且△OCP ≌△COB，
1 1
作BM⊥OC，P N⊥OC，
1
则BM＝MC＝2，P N＝ON＝2，
1
∵∠OAP ＝2∠OCP ＝60°，AO＝AP ，
1 1 1
∴△AP O是等边三角形，
1
∴OP ＝BC＝2 ，∠P OB＝15°，
1 1∴在OQ上截取OK＝P K，则∠KP O＝∠P OB＝15°，
1 1 1
∴∠P KQ＝∠KP O+∠P OB＝30°，
1 1 1
∴OK＝P K＝2P Q，
1 1
设P Q＝x，则OK＝P K＝2x，KQ＝ x，
1 1
∴OQ＝OK+KQ＝（2+ ）x，
在Rt△OP Q中，OQ2+P Q2＝OP 2，
1 1 1
∴[（2+ ）x]2+x2＝（2 ）2，
∵x＞0，
∴x＝ ﹣1，
∴P （ +1，1﹣ ）；
1
第二种情况，如图4，过点P 作P H⊥y轴，∠COP ＝30°，
2 2 2
则△OCP 与△OBC是邻等三角形，
2
∵∠OCP ＝∠BOC＝30°，
2
∴∠P OB＝60°，∠P OH＝30°，
2 2
∵OP ＝OC＝2+2 ，
2
∴P H＝OP •sin30°＝1+ ，OH＝OP •cos30°＝ +3，
2 2 2
∴P （1+ ， +3）；
2
第三种情况，如图5，∠OCP ＝30°，
3
则CP ∥OB，
3
∵C（ +3，1+ ），
∴根据圆的对称性可得：P （1﹣ ，1+ ）；
3
第四种情况，如图6，∠OCP ＝∠OCB＝45°，
4
则△OCP 与△OBC是邻等三角形，
4
此时， A交y轴于点P ，
4
∴P （0⊙，4）；
4
第五种情况，如图7，∠COP ＝∠OCB＝45°，
5则∠OP C＝180°﹣∠OBC＝75°，
5
∴∠OCP ＝60°，
5
作P H⊥OC于H，
5
∵∠COP ＝45°，
5
∴OH＝P H，
5
∵∠OCP ＝60°，
5
∴∠CP H＝30°，
5
∴2CH＝CP ，
5
由勾股定理可得：CH2+P H2＝P C2，
5 5
∴CH2+P H2＝（2CH）2，
5
∴P H＝ CH，
5
∵OH+CH＝2+2 ，
∴CH＝2，
∴OH＝2 ，
∴OP ＝2 ，
5
过点P 作P M⊥y轴于M，在OM上取点N，使ON＝P N，连接P N，
5 5 5 5
则∠OP N＝∠P ON＝15°，∠P NM＝30°，
5 5 5
设P M＝a，则P N＝2a＝ON，
5 5
∴MN＝ a，OM＝ON+MN＝（2+ ）a，
在Rt△P OM中，OM2+P M2＝OP 2，
5 5 5
∴[（2+ ）a]2+a2＝（2 ）2，
∴a＝3﹣ ，
∴P （3﹣ ，3+ ）；
5
综上所述，△OCP与△OBC是邻等三角形时，点P的坐标分别是：P （ +1，1﹣ ），P （1+
1 2
， +3），P （1﹣ ，1+ ），P （0，4），P （3﹣ ，3+ ）．
3 4 523．定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做
△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．
（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：
△AOB是等腰直角三角形；
（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究
△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，已知抛物线y＝ 与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点
B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．
①求证：△ABC是中垂三角形；
②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．
（1）证明：AC＝BC，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，
∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，
∴△BAD≌△ABE（SAS），
∴∠ABD＝∠BAE，∴OA＝OB．
∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形．
（2）L＝6AB2．
证明：如图，连接DE．
∵AE，BD分别是边BC，AC上的中线，
∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝ AB，
∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝ AB2．
在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，
在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，
∴AC2+BC2＝4（AD2+BE2）
＝4（OA2+OD2+OB2+OE2）
＝4（AB2+DE2）
＝4（AB2+ AB2）
＝5AB2，
∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．
（3）①证明：在y＝ 中，当x＝0时，y＝﹣2a，
∴点B（0，﹣2a）．
y＝0时， ＝0，
整理得3x2﹣4x﹣32＝0，
解得x ＝﹣ （舍），x ＝4，
1 2∴点A（4，0）．
∵BD＝CD，
y ＝﹣y ＝2a，
C B
将y＝2a代人y＝ ，
解得x ＝ （舍），x ＝﹣4，
1 2
∴C（﹣4，2a）．
由点A（4，0），C（﹣4，2a）可知，E是AC的中点．
又∵BD＝CD，
∴AD，BE都是△ABC的中线．
又∵∠AOB＝90°，
∴AD⊥BE，
∴△ABC是中垂三角形．
②解法一：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a）可得k ＝ a，k ＝﹣ a，k ＝﹣a，
AB AC BC
∵∠C＜∠AOB，
∴∠C≠90°．
当∠ABC＝90°时，k •k ＝﹣1，
AB BC
解得a＝ （负值舍去），
∴点B（0，﹣2 ），
∴L＝6AB2＝6×24＝144．
当∠BAC＝90°时，k •k ＝﹣1，
AB CA
解得a＝2 （负值舍去），
∴点B（0，﹣4 ），
∴L＝6AB2＝6×48＝288．
综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．
解法二：由点A（4，0），B（0，﹣2a），C（﹣4，2a），
∵点D是BC的中点，点E是AC的中点，
∴点D（﹣2，0），E（0，a）．
∵∠C＜∠AOB，
∴∠C≠90°．当∠ABC＝90°时，在△ABD 中，由射影定理得OB2＝OA•OD，
∴4a2＝8，解得 ＝ （负值舍去），
α
∴点B（0，﹣2 ），
∴L＝6AB2＝6×24＝144．
当∠BAC＝90°时，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB•OE，
∴16＝2a2，解得a＝2 （负值舍去），
∴点B（0，﹣4 ），
∴L＝6AB2＝6×48＝288．
综上所述，△ABC的方周长L的值为144或288．
