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例题精讲
【例1】．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确
定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：
等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作
sadA，这时sadA＝ ＝ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据
上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ；
（3）如图，已知cosA＝ ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
变式训练
【变1-1】．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．
若△ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为 ．【变1-2】．定义：如果三角形的两个内角 与 满足 +2 ＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三
角形”． α β α β
（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求证：△ABD为“奇妙三角形”
（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；
（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的
度数．
【例2】．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为120°的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．
【解决问题】
（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ，点D在AC边上，若△BCD是“准
等边三角形”，求BD的长．变式训练
【变2-1】．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE
是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝
6，那么此时AC的长为 ．
【变2-2】．【了解概念】
定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，
这条中线叫这条边的半线．
【理解运用】
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；
【拓展提升】
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC
和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；
（3）在（2）的条件下，若MD＝ ，AM＝1，直接写出BM的长．1．当三角形中一个内角 是另外一个内角 的 时，我们称此三角形为“友好三角形”， 为友好角．如
果一个“友好三角形”β中有一个内角为α42°，那么这个“友好三角形”的“友好角 ”的α度数为
． α
2．当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中 称为“奇
妙角”．如果一个“奇α妙三角形”的一β个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角α的度数为
．
3．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下
问题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长为
．4．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形ABC的每条边上各取一
点D，E，F，△DEF称为△ABC的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三角形ABC的所有内接三
角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，点D，E，F分别为AB，BC，AC
上的动点，AB＝AC＝5，BC＝6，则△DEF周长的最小值为 ．
5．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角
A的正对记作sadA，这时sadA＝ ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确
定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°＝ ．
（2）sad90°＝ ．
（3）如图②，已知sinA＝ ，其中∠A为锐角，试求sadA的值．6．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）如图①，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，判断△DAB与
△EBC是否相似： （填“是”或“否”）；
（2）如图②，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，则△ABC的三分线的长为 ．7．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角
形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形
分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三
角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用：
（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．
动手操作：
（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数．
8．定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三
角形”．请根据以上定义解决下列问题：（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题．
（2）如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A，求证：△ABC为“类勾股三角形”．志明
同学想到可以在AB上找一点D使得AD＝CD，再作CE⊥BD，请你帮助志明完成证明过程.
9．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．
如图1，在△ABC中，AB＝AC， 的值为△ABC的正度．
已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC边上的动点（D与A，B，C不重合）．（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为 ；
（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△ACD，保留作图痕迹；
若△ACD的正度是 ，求∠A的度数．
（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为 ，△ABC的周长为22，是否存在点D，使△ACD具有
正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．
10．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有 （只填写序号）．
①顶角是30°的等腰三角形；
②等腰直角三角形；③有一个角是30°的直角三角形．
（2）如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC≥90°，将△ABC 沿边 AB 所在的直线翻折 180°得到
△ABD，延长DA到点E，连接BE．
①若BC＝BE，求证：△ABE是“倍角三角形”；
②点P在线段AE上，连接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一
个是“倍角三角形”，请直接写出∠E的度数．
11．定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若
能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1
阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为 2
阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整
数），设此时小三角形的面积为S ．
N
①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2＜S ＜3？（请用计算器进行探索，要求至少写出三次的
n
尝试估算过程）
②当n＞1时，请写出一个反映S
n﹣1
，S
n
，S
n+1
之间关系的等式．（不必证明）
12．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的
平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若
AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出）AB边上的所
有“好点”点D；（2）△ABC中，BC＝7， ，tanC＝1，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长；
（3）如图3，△ABC是 O的内接三角形，点H在AB上，连结CH并延长交 O于点D．若点H是
△BCD中CD边上的“好⊙点”． ⊙
①求证：OH⊥AB；
②若OH∥BD， O的半径为r，且r＝3OH，求 的值．
⊙
13．定义1：如图1，若点H在直线l上，在l的同侧有两条以H为端点的线段MH、NH，满足∠1＝∠2，
则称MH和NH关于直线l满足“光学性质”；
定义2：如图2，在△ABC中，△PQR的三个顶点P、Q、R分别在BC，AC、AB上，若RP和QP关于
BC满足“光学性质”，PQ和RQ关于AC满足“光学性质”，PR和QR关于AB满足“光学性质”，
则称△PQR为△ABC的光线三角形．
阅读以上定义，并探究问题：
在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三个顶点D、E、F分别在BC、AC，AB上．（1）如图3，若FE∥BC，DE和FE关于AC满足“光学性质”，求∠EDC的度数；
（2）如图4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点E，D．
①证明：△DEF为△ABC的光线三角形；
②证明：△ABC的光线三角形是唯一的．
14．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和
∠BAE之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，
连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
（3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由．15．我们定义：三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，那么称这个三角形是2倍角三角形．
（1）定义应用
如果一个等腰三角形是2倍角三角形，则其底角的度数为 ；
（2）性质探索
小思同学通过从“特殊到一般”的过程，对2倍角三角形进行研究，得出结论：
如图1，在△ABC中，如果∠A＝2∠B，那么BC2＝AC（AB+AC）．
下面是小思同学对其中一种特殊情形的证明方法．
已知：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求证：BC2＝AC（AB+AC）．
16．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一半时，称
这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．
（1）已知A（2，0），B（0，4），C（1，2），D（4，1），这个点中，能与点O组成“和谐三角
形”的点是 ，“和谐距离”是 ；
（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN
是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；
（3）已知 O的半径为2，点P是 O上的一动点，直线y＝−x+b与x轴、y轴分别交于点H、G，点
Q是线段H⊙G上一点，若存在△OPQ⊙是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，直接写出b的取值范围．17．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角
形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．
（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC＝ ，则BD长
为 ，∠B的度数为 ．
（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为
直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连结
EC，EB．当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线．
（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝ ．若△BCD是智慧三角形，且 AC为智慧线，求
△BCD的面积．
18．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．
性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．
理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且
S△ACD ＝S△BCD ．
应用：如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝BF，AF与BE
交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．
探究：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角
形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于
△ABC面积的 ，求出△ABC的面积．19．定义：如果一个三角形中有两个内角 ， 满足 +2 ＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠αB＞β90°，α∠Cβ＝50°，则∠A＝ °；
（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，
①求证：△BDC是“近直角三角形”；
②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的
长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连
结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求AD的长．20．爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂
直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN 是ABC的中线，
AM⊥BN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
【特例探究】
（1）如图1，当∠PAB＝45°，c＝ 时，a＝ ，b＝ ；如图2，当∠PAB＝30°，c＝2时，
a2+b2＝ ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证
明你的结论．
【拓展证明】（3）如图4，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD＝3AE，BC＝3BF，连接AF、
BE、CE，且BE⊥▱CE于E，AF与BE相交点G，AD＝3 ，AB＝3，求AF的长．
21．定义：若△ABC中，其中一个内角是另一个内角的一半，则称△ABC为“半角三角形”．
（1）若Rt△ABC为半角三角形，∠A＝90°，则其余两个角的度数为 ．
（2）如图1，在 ABCD中，∠C＝72°，点E在边CD上，以BE为折痕，将△BCE向上翻折，点E恰
好落在AD边上的▱点F，若BF⊥AD，求证：△EDF为半角三角形；
（3）如图2，以△ABC的边AB为直径画圆，与边AC交于M，与边BC交于N，已知△ABC的面积是
△CMN面积的4倍．
①求证：∠C＝60°．
②若△ABC是半角三角形，直接写出∠B的度数．22．定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角
形称为邻等三角形．
例如：如图1，△ABC中，AD＝AD，AB＝AC，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD是邻等三角形．
（1）如图2， O中，点D是 的中点，那么请判断△ABD与△ACD是否为邻等三角形，并说明理由．
⊙
（2）如图3，以点A（2，2）为圆心，OA为半径的 A交x轴于点B（4，0），△OBC是 A的内接三
角形，∠COB＝30°． ⊙ ⊙
①求∠C的度数和OC的长；
②点P在 A上，若△OCP与△OBC是邻等三角形时，请直接写出点P的坐标．
⊙23．定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做
△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．
（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝BC，求证：
△AOB是等腰直角三角形；
（2）如图2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分别是边BC，AC上的中线，且AE⊥BD于点O，试探究
△ABC的方周长L与AB2之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，已知抛物线y＝ 与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点
B的直线与该抛物线相交于点C，与x轴负半轴相交于点D，且BD＝CD，连接AC交y轴于点E．
①求证：△ABC是中垂三角形；②若△ABC为直角三角形，求△ABC的方周长L的值．
