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专题 03 三角形及基本性质
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）三角形的分类
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
（二）三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（三）三角形的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离 相等 ， 到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判
定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
（四）三角形相关角的性质
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
1 1
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=2 ∠BAC-∠CAE=2 （180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
1
=2 （∠C-∠B）；
1
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=2 ∠A+90°；
1 1
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=2 ∠A，∠O’=2 ∠O；
1
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-2 ∠A．
模块三 考点一遍过
考点1：三角形相关线段——三角形分类、稳定性
典例1：如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（ ）
A．10个 B．12个 C．13个 D．15个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键；
根据三角形的特征即可求解；【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有9个，三个小三角形组成一个三角形有3个，
加上1整个大三角形，共9+3+1=13个；
故选：C
【变式1】在一个三角形中最小的角是50°，按角分这是一个（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断
【答案】A
【分析】分类解答，当一个角是直角时，则第三个角为180°−90°−50°=40°，这与三角形中最小
的角是50°，故不可能有大于等于直角的角，判定解答即可．
本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类，熟练掌握分类是解题的关键．
【详解】解：当一个角是直角时，则第三个角为180°−90°−50°=40°，
这与三角形中最小的角是50°，
故不可能有大于等于直角的角，
只能是锐角三角形．
故选A．
【变式2】在三角形ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:6，按角的特点分类，此三角形是
三角形．
【答案】钝角
6
【分析】根据∠A:∠B:∠C=1:2:6得到最大角为 ×180°=120°，大于90°，根据三角
1+2+6
形的分类解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类标准是解题的关键．
【详解】解：根据∠A:∠B:∠C=1:2:6，
6
故三角形的最大角为 ×180°=120°，
1+2+6
大于90°，
故该三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【变式3】如图在△ABC的BC边上取三个点D，E，F，连接AD，AE，AF，则BC边上有
条线段，以 A 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．
【答案】 10 10 10【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段
都与点A组成角，即以 A 为顶点的角有10个；以 A 为顶点的角即组成对应的三角形．
【详解】解：根据题意得，线段有BD,BE,BF,BC,DE,DF,DC,EF,EC,FC共10条线段；
以 A 为顶点的角∠ABD，∠ABE，∠ABF，∠ABC，∠ADE，∠ADF，
∠ACD，∠AEF，∠AEC，∠AFC,
三角形有
△ABD，△ABE，△ABF，△ABC，△ADE，△ADF，△ACD，△AEF，△AEC，△AFC,
上述线段都与点A组成交，即以 A 为顶点的角有10个；
以 A 为顶点的角即组成对应的三角形．
故答案为：10，10，10．
考点2：三角形相关线段——三边关系
典例2：已知等腰三角形的周长为9，且一边长为4，则腰长为（ ）
A．4 B．9 C．2.5 D．4或2.5
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分4为等腰三角形的腰长和底边长两
种情况，结合三角形的三边关系即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：①若一腰长为4，则另一腰长也为4，
∵等腰三角形的周长为9，
∴底边长为9−4−4=1，
∵4−1<4<4+1，
∴此种情况能构成三角形，符合题意；
②若底边长为4，则腰长为(9−4)÷2=2.5，
∵4−2.5<2.5<4+2.5，
∴此种情况能构成三角形，符合题意；
综上可知：腰长为4或2.5，
故选：D．
【变式1】已知a，b，c为三角形的三边，则式子|a+b−c|−|a−b−c|=（ ）
A．2a B．2b C．0 D．2a−2c
【答案】D
【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形
的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a+b−c>0，
a−b−c<0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得到a+b−c>0，a−b−c<0，∴ |a+b−c|−|a−b−c|=a+b−c+(a−b−c)=2a−2c．
故选：D．
【变式2】在△ABC中，AC=3，BC=2，将△ABC绕C点按逆时针旋转，旋转角为
α(0°≤α≤360°)得到△DEC，A与D对应，B与E对应，则线段AE长度的取值范围 ．
【答案】1≤AE≤5
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，由旋转可得CE=BC=2，再根据三角形三边关
系可得AC−CE≤AE≤AC+CE，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AE，
由旋转得，CE=BC=2，
∵AC−CE≤AE≤AC+CE，
∴3−2≤AE≤3+2，
即1≤AE≤5，
故答案为：1≤AE≤5．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是BC边中点，设AD=x，则x的取值范围是
．
【答案】1<x<7
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系的应用，延长AD至E，使得
AD=DE，连接CE，则AE=2AD=2x，证明△ADB≌△EDC(SAS)，得出CE=AB=6，再由三
角形三边关系求解即可．
【详解】解：如图，延长AD至E，使得AD=DE，连接CE，则AE=2AD=2x，∵点D是BC边中点，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠EDC，
∴△ADB≌△EDC(SAS)，
∴CE=AB=6，
∵AC−CE<AE<AC+CE，
∴8−6<2x<8+6，
∴1<x<7，
故答案为：1<x<7．
考点3：三角形相关线段——高线
典例3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若∠A=30°，BC=2，则
AD的长是（ ）
A．3 B．√3 C．3√3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、高的定义、含30°的直角三角
形性质等知识，先由直角三角形两锐角互余得到∠BCD=∠A=30°，在Rt△BCD和Rt△ABC中，
由、含30°的直角三角形性质求出AB、BD，数形结合表示出AD即可得到答案，熟练掌握直角三
角形两锐角互余、含30°的直角三角形性质等知识是解决问题的关键．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，则∠ACD+∠BCD=90°，
∵ CD是AB边上的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴ ∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，1
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠BCD=30°，BC=2，则BD= BC=1，
2
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=2BC=4，
∴AD=AB−BD=4−1=3，
故选：A．
【变式1】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直，若
AD=6，BC=10，则△BCP的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．80
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
过点P作PE⊥BC于点E，根据平行线的性质证AD⊥CD，再根据角平分线的性质得出
PE=PD=AP=3，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：过点P作PE⊥BC于点E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP=180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP=90°，
∴∠CDP=90°，即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA=PE，PE=PD，
∴PA=PD，
∵AD=6，
∴PE=PD=AP=3，
∵BC=10，1 1
∴S = ×BC×PE= ×10×3=15，
△BCP 2 2
故选：A．
【变式2】如图，已知D是BC的中点，AE、AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论正
确的是（ ）
1
A．AD=CD B．∠CAE= ∠BAC C．∠AEB=90° D．
2
DF=CF
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义
判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键．
【详解】A、∵D是BC的中点，∴BD=DC，但AD不一定等于CD，故本选项结论错误，不符合
题意；
1
B、∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE= ∠BAC，本选项结论正确，符合题意；
2
C、∵AE是△ABC的角平分线，不是高线，∴∠AEB不等于90°，故本选项结论错误，不符合题意；
D、DF与CF的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意；
故选：B．
【变式3】如图，△ABC的面积为12，AE垂直∠ABC的平分线BD于点D，AE交BC于E，若
BE:CE=2:1，则△ABD的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了三角形高的计算，全等三角形的判定和性质，掌握三角形等高的性质得到
1
S =2S ，全等三角形的判定和性质得到S =S = S 是解题的关键．
△ABE △ACE △ABD △EBD 2 △ABE1
BE·AF
S 2 BE
根据题意，如图所示，过点A作AF⊥BC于点F，可得 △ABE = = =2，则
S 1 CE
△ACE CE·AF
2
S =2S ，再根据角平分线的定义，垂直的定义可证△ABD≌△EBD(ASA)，则有
△ABE △ACE
1
S =S = S ，由此即可求解．
△ABD △EBD 2 △ABE
【详解】解：如图所示，过点A作AF⊥BC于点F，
1 1
∴S = BE·AF，S = CE·AF，
△ABE 2 △ACE 2
1
BE·AF
S 2 BE
∴ △ABE = = =2，则S =2S ，
S 1 CE △ABE △ACE
△ACE CE·AF
2
∵△ABC的面积为12，
2 2
∴S = S = ×12=8，
△ABE 3 △ABC 3
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
∵BD⊥AE，
∴∠ADB=∠EDB=90°，
在△ABD和△EBD中，
¿，
∴△ABD≌△EBD(ASA)，
1 1
∴S =S = S = ×8=4，
△ABD △EBD 2 △ABE 2
故选：B ．
【变式4】如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠ACB=78°，F
为边AB上一点．当△BDF为直角三角形时，∠ADF的度数为 ．【答案】60°或18°
【分析】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，分情况讨论：
①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】解：如图所示，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=∠DAC=30°，
∵∠ACB=78°，
∴∠ADB=∠DAC+∠ACB=30°+78°=108°，
∴∠ADF=∠ADB−∠BDF=108°−90°=18°，
综上所述：∠ADF的度数为60°或18°．
故答案为：60°或18°．
【变式5】如图，AD,AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B=50°,∠C=70°，则∠EAD=
．【答案】10°/10度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图
找出各角度之间的关系是解题的关键．
根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形
两锐角互余求出∠BAE，然后根据∠EAD=∠BAE−∠BAD代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵∠B=50°,∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−70°=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
1 1
∴∠BAD= ∠BAC= ×60°=30°，
2 2
∵AE是△ABC的高线，
∴∠BAE=90°−∠B=90°−50°=40°，
∴∠EAD=∠BAE−∠BAD=40°−30°=10°．
故答案为：10°．
【变式6】如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于
点F、E，连接CF，若DF=1，AF=3，BE:EC=3:1，则S = ．
△ABC
【答案】21
【分析】本题考查三角形中线的性质，根据题中的边长之比得出对应的三角形的面积之比是解题的
3
关键．由中线的性质可得出S =S = ，S =S ．再根据BE:EC=3:1，可得出
△CDF △ADF 2 △ABD △CBD
S :S =3:1，S :S =3:1．设S =x，则S =3x，再分别用x表示求出S 和
△BEF △CEF △ABE △ACE △CEF △BEF △ACE
S ，最后列等式求解即可．
△ABE
【详解】解：∵BD为△ABC的中线，AE⊥BD，
1 1 3
∴S =S = AF⋅DF= ×3×1= ，S =S ．
△CDF △ADF 2 2 2 △ABD △CBD∵BE:EC=3:1，
∴S :S =3:1，S :S =3:1．
△BEF △CEF △ABE △ACE
设S =x，则S =3x，
△CEF △BEF
3
∴S =S +S +S =4x+ =S ，
△BCD △BEF △CEF △CDF 2 △ABD
3 3
∴S =S −S =4x+ − =4x，
△ABF △ABD △ADF 2 2
∴S =S +S =7x，S =S +S +S =x+3，
△ABE △BEF △ABF △ACE △CEF △CDF △ADF
∴7x:(x+3)=3:1，
9
解得：x= ，
4
9 9
∴S = S +S =7× + +3=21．
△ABC △ABE △ACE 4 4
故答案为：21．
【变式7】在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，将这三条边上的高依次记为h ，
a
h ，h ．
b c
（1）当a=6，h =2，h =4时，b= ．
a b
（2）当h =2，h =4时，h 的取值范围是 ．
a b c
3
【答案】 3 <h <4
4 c
【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的三边关系；
（1）根据等面积法即可求解；
1 1 1 1 1 1
（2）根据三角形的三边关系得出两个不等式 < + ， − < ，进而即可求解．
h 2 4 2 4 h
c c
1 1
【详解】解：（1）∵S = ah = bh ，a=6，h =2，h =4
△ABC 2 a 2 b a b
ah 2×6
∴b= a= =3；
h 4
b
故答案为：3．
1 1 1
（2）∵a+b>c，设S = ah = bh = ch =S，
△ABC 2 a 2 b 2 c
S S S
+ >
∴
h h h
a b c
1 1 1
+ >
即
h h h
a b c
∵h =2，h =4
a b1 1 1 3
∴ < + ，即h > ，
h 2 4 c 4
c
1 1 1
∵a−b<c，同理可得 − <
h h h
a b c
1 1 1
∴ − < ，即h <4
2 4 h c
c
3
∴ <h <4
4 c
3
故答案为： <h <4．
4 c
考点4：三角形相关线段——中线
典例4：如图，AD是△ABC的中线，DE=DF，下列说法：① CE=BF；② ∠BAF=∠CAF；
③ △ABD和△ACD面积相等；④ BF∥CE；⑤ △BDF≌△CDE． 其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，由
三角形中线的性质可判断②③；证明△BDF≌△CDE(SAS)，可判断①⑤；由全等三角形的性质得
∠DBF=∠DCE，从而可判断④熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD等底同高，
∴△ABD和△ACD面积相等；故③正确；
在△BDF和△CDE中，
¿，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，故⑤正确；
∴CE=BF，∠DBF=∠DCE，①正确；
∴BF∥CE，故④正确；
∵AD是△ABC的中线，∴∠BAF与∠CAF不一定相等，故②错误；
综上可知：说法正确的有①③④⑤正确，共4个，
故选：B．
【变式1】如图，△ABC的中线BD，CE交于点G，且△ABC的面积为12，则结论正确的是（ ）
A．∠ADE=∠AEC B．BG=2DG
C．CD2=DG⋅DB D．△DEG的面积为1.5
【答案】B
【分析】该题主要考查了三角形的中线，三角形的重心等知识点，解题的关键是掌握三角形的重心．
根据题意得出点G是△ABC的重心，即可得出CG=2EG，BG=2DG，再根据三角形中线平分三
CD DG
角形的面积即可判断D，A选项不能证明，C选项需证明△DGC∽△DCB，才能得出 = ，
DB CD
即CD2=DG⋅DB，即需要证明∠DCG=∠DBC，但题目不能证明∠DCG=∠DBC，C选项不
能证明．
【详解】解：∵BD，CE是△ABC的中线，点G是△ABC的中线的交点，
∴点G是△ABC的重心，
∴CG=2EG，BG=2DG，故B正确；
∵BD，CE是△ABC的中线，△ABC的面积为12，
1
∴S = S =6，
△AEC 2 △ABC
∵BD是△ABC的中线，
∴点D是AC的中点，
1
∴S = S =3，
△DEC 2 △ACE
∵CG=2EG，
1
∴S = S =1，故D错误；
△DEG 3 △DCE
选项A不能证明；
CD DG
C选项需证明△DGC∽△DCB，才能得出 = ，即CD2=DG⋅DB，
DB CD而这需要证明∠DCG=∠DBC，但题目不能证明∠DCG=∠DBC，故选项C不能证明；
故选：B．
【变式2】如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S =3，则S = （ ）
△ABE △ADC
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线的性质，由D、E分别是BC、AD的中点可得S =S ，
△ABD △ACD
S =2S ，据此即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
△ABD △ABE
【详解】解：∵D、E分别是BC、AD的中点，
1
∴BD=CD，AE=DE= AD，
2
∴S =S ，S =2S =2×3=6，
△ABD △ACD △ABD △ABE
∴S =6，
△ACD
故选：A．
【变式3】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，连接CD，若△BCD的面积为
8，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的定义，关键是判定
△ABD≌△EBD(ASA)，推出AD=DE．
延长AD交BC于E，判定△ABD≌△EBD(ASA)，推出AD=DE，得到△ABD的面积= △EBD的
面积，△ADC的面积= △EDC的面积，即可得出S =2S ．
△ABC △DBC
【详解】解：延长AD交BC于E，∵BD ∠ABC
平分 ，
∴∠ABD=∠EBD，
∵AD⊥BD于点D，
∴∠ADB=∠EDB=90°，
∵BD=BD，
∴ △ABD≌△EBD(ASA)，
∴AD=DE，
∴ △ABD的面积= △EBD的面积，△ADC的面积= △EDC的面积，
∴S =2S =2×8=16．
△ABC △DBC
故选：B．
【变式4】如图，△ABC中，AB−AC=3，BC=8，BD垂直于∠BAC的角平分线AD于点D，E
为AC的中点，连接BE交AD于F，则△BDF、△AEF的面积之差的最大值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线求面积等知识，正确的作出辅助线是解
题关键．延长AC、BD交于点H，证明△ABD≌△AHD(ASA)，得到AB=AH，BD=HD，进而
得出CH=3，根据三角形中线推出
1 1
S −S =S −S = (S −S )= S ，再根据当BC⊥AH时，△BCH的面
△BDF △AEF △ABD △ABE 2 △ABH △ABC 2 △BCH
积有最大值，即可求解．
【详解】解：如图，延长AC、BD交于点H，∵BD垂直于∠BAC的角平分线AD于点D，
∴∠BAD=∠HAD，∠ADB=∠ADH=90°，
在△ABD和△AHD中
¿，
∴△ABD≌△AHD(ASA)，
∴AB=AH，BD=HD，
∵AB−AC=3，
∴AH−AC=CH=3，
∵BD=HD，E为AC的中点，
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ABD 2 △ABH △ABE 2 △ABC
∵S =S −S ，S =S −S ，
△BDF △ABD △ABF △AEF △ABE △ABF
1 1
∴S −S =S −S = (S −S )= S ，
△BDF △AEF △ABD △ABE 2 △ABH △ABC 2 △BCH
1 1
∵当BC⊥AH时，△BCH的面积有最大值，为 BC⋅CH= ×8×3=12，
2 2
∴ △BDF、△AEF的面积之差的最大值为6，
故答案为：6．
【变式5】如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG:GD=2:1，S =12，则图
△ABC
中阴影部分的面积和为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的中线是连接三角形的一个顶点和这个点对边中点的线
段，三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，解决本题的关键是根据高相等的两个三角
形的面积比等于它们的底边的比．根据AD是△ABC的中线可得S =S =6，根据
△ABD △ACD2
AG:GD=2:1可得S =S = ×6=4，根据点E、F分别是AC、AB的中点可得
△AGC △AGB 3
1
S =S = ×4=2，从而可得S =4．
△GFB △GEC 2 阴影
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，
1 1
∴S =S = S = ×12=6，
△ABD △ACD 2 △ABC 2
∵AG:GD=2:1，
2 2 2 2
∴S = S = ×6=4，S = S = ×6=4，
△ABG 3 △ABD 3 △AGC 3 △ACD 3
又∵BE、CF是△ABC的中线，
∴点E、F分别是AC、AB的中点，
1 1 1 1
∴S = S = ×4=2，S = S = ×4=2，
△GFB 2 △ABG 2 △GCE 2 △AGC 2
∴S =S +S =2+2=4．
阴影 △GFB △GCE
故答案为：4 ．
【变式6】如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，
延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S =1，则为S ．
△ABC △≝¿=¿
【答案】18
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．根据同高的三角形底边之间的关系分别求
出△ABF、△DBC、△DCE、△ACE、△AFE、△DBF，即可求出△≝¿的面积．
【详解】解：如图，连接AE、BF、CD，
∵AF=CA S =1
△ABC
， ，
∴S =S =1，S =S ，
△ABF △ABC △ACE △AFE
∵BD=2AB，
∴S =2S =2，S =2S =2，
△DBF △ABF △DBC △ABC
∵CE=3CB，∴S =3S =3×2=6，S =3S =3，
△CED △DBC △ACE △ABC
∴S =3，
△AFE
∴S
△≝¿=S +S +S +S +S +S +S ¿
△ABC △ABF △DBC △DBF △ACE △AFE △CED
=1+1+2+2+3+3+6
=18，
故答案为：18．
【变式7】如图，锐角△ABC和Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD平分∠BAC，连接
CD,CD=AC．
（1）判断：S S （填“>”“=”或“<”）；
△ABC △ABD
（2）作△ABC中线BE，交AD于点F，若S =27，则S −S = ．
四边形ABDC △BDF △AEF
【答案】 = 9
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角形中线的运用，掌
握三角形中线，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）延长AC,BD交于点G，可证△ABD≌△AGD(ASA)，得到BD=DG,S =S ，进而得
△ABD △AGD
1
到S = S ，再证明AB∥CD，由此即可求解；
△ABD 2 △ABC
1 1
（2）根据题意可得，S = S = S ，S +S =18,S =S =18，BE是
△ACD 2 △ADG 2 △ABD △ABF △BDF △ABC △ABD
△ABC的中线，S +S =9，由此即可求解．
△ABF △AEF
【详解】解：（1）如图所示，延长AC,BD交于点G，
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADG=90°，
在△ABD和△AGD中，
¿，
∴△ABD≌△AGD(ASA)，
∴BD=DG，S =S ，
△ABD △AGD
1
∴S = S ，
△ABD 2 △ABC
∵CD=AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD，
∴S =S ，
△ABC △ABD
故答案为：=；
（2）∵∠2+∠G=90°，∠3+∠CDG=90°，∠2=∠3
∴∠CDG=∠G
∴CD=CG
∴AC=CG
1 1
∴S = S = S ，
△ACD 2 △ADG 2 △ABD
∵S =27，
四边形ABDC
∴S +S =S =27，
△ABD △ACD 四边形ABDC
1
∴S + S =27，
△ABD 2 △ABD
解得，S =18，
△ABD
∴S +S =18,S =S =18，
△ABF △BDF △ABC △ABD
∵BE是△ABC的中线，
1
∴S = S =9，
△ABE 2 △ABC
∴S +S =9，
△ABF △AEF
∴S −S =9，
△BDF △AEF
故答案为：9．
故答案为：=；9．
考点5：三角形的相关线段——重心性质典例5：如图，已知G为Rt△ABC的重心，∠ABC=90°且AB=12cm，BC=9cm，连结BG交
AC于点D，则△AGD的面积是 （ ）
A．9cm2 B．4.5cm2 C．10.5cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】本题考查重心的定义与性质，根据重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重
心到对边中点的距离之比为2:1求解即可．
【详解】解：∵G为Rt△ABC的重心，
1
∴AD=CD= AC，BG=2GD，
2
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ABD 2 △ABC △AGD 3 △ABD
∵∠ABC=90°且AB=12cm，BC=9cm，
1 1
∴S = AB⋅BC= ×12×9=54(cm2)，
△ABC 2 2
1 1
∴S = S = ×54=27(cm2)，
△ABD 2 △ABC 2
1 1
∴S = S = ×27=9(cm2)，
△AGD 3 △ABD 3
故选：A．
【变式1】如图，已知，AD是△ABC的中线， 点G是△ABC的重心， 过G作¿∥AB交BC于点
E，GF∥AC交BC于点F． 若△ABC面积为36， 则△EFG的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
GD GD 1
根据重心的性质可得 = = ，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得
AD AG+GD 3
S =S =18，接着证明△DEG∽△DBA，△DFG∽△DCA，然后根据相似三角形的面积之
△ABD △ACD
比等于相似比的平方可得
S
△DEG=
(DG) 2
=
1
，
S
△DFG=
(DG) 2
=
1
，从而求出S =
1
S =2，
S DA 9 S DA 9 △DEG 9 △DBA
△DBA △DCA
1
S = S =2，进而可求解．
△DFG 9 △DCA
【详解】解：∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
GD GD 1
∴ = = ，
AD AG+GD 3
∵AD是△ABC的中线，
1 1
∴S =S = S = ×36=18，
△ABD △ACD 2 △ABC 2
∵¿∥AB，GF∥AC，
∴△DEG∽△DBA，△DFG∽△DCA，
∴
S
△DEG=
(DG) 2
=
1
，
S
△DFG=
(DG) 2
=
1
，
S DA 9 S DA 9
△DBA △DCA
1 1
∴S = S =2，S = S =2，
△DEG 9 △DBA △DFG 9 △DCA
∴S =S +S =4，
△EFG △DEG △DFG
故选：A．
【变式2】如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的
重心，那么S :S 的值为 ．
△ADE 四边形DECB
4
【答案】
5
【分析】本题考查了三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题．
设△ABC的重心为O点，延长AO交BC于F点，如图则利用三角形重心的性质得到AO:AF=2:3，
S 4
再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得到 △ADE= ，然后根据比例的性质得到
S 9
△ABC
S :S 的值．
△ADE 四边形DECB
【详解】解：设△ABC的重心为O点，延长AO交BC于F点，如图，
∵ O △ABC
点 为 的重心，
∴AO=2OF，
∴AO:AF=2:3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
S
△ADE=
(AO) 2
=
(2) 2
=
4
，
S AF 3 9
△ABC
∴S :S =4:5，
△ADE 四边形DECB
故答案为：4:5．
【变式3】如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果
S =36，那么S = ．
△ABC 四边形BGDC
【答案】16
【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接AG，延
长AG交BC于点H，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：连接AG，延长AG交BC于点H，并延长至F，使得GH=HF，延长BG交AC于点E，
连接CG,BG∵点G是重心，
∴H,E分别为BC,AC的中点，
∴BH=CH，
∴四边形CGBF是平行四边形，
∴CF∥BE
AG AE
∴ = =1
FG EC
∴AG=GF=2GH
∵S =36，
△ABC
1
∴S =S = S =18，
△ABH △ACH 2 △ABC
∴S =12，S =6，
△ABG △BGH
∵GD∥BC，
∴△AGD∽△AHC，
∴ S △AGD= ( AG) 2 = 4 ，
S AH 9
△AHC
∵S +S =S =18，
△AGD 四边形GHCD △AHC
∴S =8，S =10，
△AGD 四边形GHCD
∴S =S +S =6+10=16，
四边形BGDC △BGH 四边形GHCD
故答案为：16．
考点6：三角形的相关线段——角平分线
典例6：如图，BD、BE、BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是
（ ）1
A．AE=EC B．∠ABE= ∠ABC C．S =2S D．
2 △ABC △BCF
BD⊥DC
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形高、中线、角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三
角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.∵BF是△ABC的中线，
∴AF=CF，
∴AE=AF−EF<CF+EF=CE，故该选项错误，符合题意；
B. ∵BE是△ABC的角平分线，
1
∴∠ABE= ∠ABC，故该选项正确，不符合题意；
2
C. ∵BF是△ABC的中线，
1
∴S =S = S ，即2S =2S =S ，故该选项正确，不符合题意；
△ABF △CBF 2 △ABC △ABF △CBF △ABC
D. ∵BD是△ABC的高，
∴BD⊥CD，故该选项正确，不符合题意．
故选：A．
【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD
于点G，交BE于点H，下面说法正确的有（ ）
①S =S ；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH；
△ABE △BCE
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据三角形的中线性质、三角形的面积公式即可得；②先根据角平分线的定义可得
∠ACF=∠DCG，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得∠AFG=∠CGD，再根据对
顶角相等可得∠CGD=∠AGF，由此即可得；③先根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得
∠FAG=∠ACB，再根据角平分线的定义即可得；④根据等腰三角形的判定即可得．
【详解】解：∵ BE是△ABC的AC边上的中线，
∴AE=CE，
∵△ABE与△BCE等底同高，∴S =S ，则说法①正确；
△ABE △BCE
∵CF是∠ACB的角平分线，
1
∴∠ACF=∠DCG= ∠ACB，
2
∵∠BAC=90°，AD是高，
∴∠AFG+∠ACF=90°,∠CGD+∠DCG=90°，
∴∠AFG=∠CGD，
由对顶角相等得：∠CGD=∠AGF，
∴∠AFG=∠AGF，则说法②正确；
∵∠BAC=90°，AD是高，
∴∠FAG+∠CAD=90°,∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠FAG=∠ACB，
1
又∵∠ACF= ∠ACB，即∠ACB=2∠ACF，
2
∴∠FAG=2∠ACF，则结论③正确；
∵根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，
∴不能推出BH=CH，则说法④错误；
综上，说法正确的是①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线、直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等腰三角形的判
定等知识点，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的性质是解题关键．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交
BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．
12
【答案】
5
【分析】在AB上取一点F′，使AF′=AF，连接EF′，判断出△AEF≌△AEF′ (SAS)，得出
EF=EF′，进而得出当点C，E，F′在同一条线上，且CE⊥AB时，CE+EF′最小，即CE+EF最
小，其值为CH，最后用面积法，即可求出答案．
【详解】解：如图，在AB上取一点F′，使AF′=AF，连接EF′，作CH⊥AB，∵AD ∠BAC
平分 ，
∴∠DAC=∠DAB，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEF′ (SAS)，
∴EF=EF′，
∴CE+EF=CE+EF′，
∴当点C，E，F′在同一条线上，且CE⊥AB时，CE+EF′最小，即CE+EF最小，其值为CH，
1 1
∵S = AC⋅BC= AB⋅CH，
△ABC 2 2
AC⋅BC 3×4 12
∴CH= = = ，
AB 5 5
12
即CE+EF的最小值为 ，
5
12
故答案为： ．
5
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离，垂线段最
短，三角形的面积公式，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E与作
EF∥AD，交AC于F，交BA的延长线于G，若AF=1.5，CF=4.5，则△ABC的面积为 ．
【答案】9
【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定及性质，等腰三角形的判定和性质等．根据题意过
点B作BM∥AC交GE延长线于点M，继而证明△BEM≌△CEF(ASA)，再利用角平分线定义得到
∠M=∠G，AG=AF，继而得到AC=AF+FC=1.5+4.5=6，再利用三角形面积公式即可得到
答案．
【详解】解：过点B作BM∥AC交GE延长线于点M，，
∴∠C=∠MBC，
∵∠BEM=∠CEF，BE=CE，
∴在△BEM和△CEF中，
¿，
∴△BEM≌△CEF(ASA)，
∴∠M=∠MFC=∠AFG，BM=CF=4.5，
∵AD平分∠BAC，EF∥AD，
∴∠BAD=∠DAC=45°=∠G=∠AFG，∠M=∠AFG=45°，
∴∠M=∠G，AG=AF=1.5，
∴BM=BG=4.5，
∴AB=4.5−1.5=3，
∵AC=AF+FC=1.5+4.5=6，
1 1
∴△ABC的面积： AB⋅AC= ×3×6=9，
2 2
故答案为：9．
考点7：三角形相关的角——内角和
典例7：如图，在△ABC中，∠A=α，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且
BE=CF，BD=CE．则∠EDF的度数是（ ）
a a a a
A．45°+ B． C．45°− D．90°−
4 4 4 2
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．由
AB=AC得到∠ABC=∠ACB，结合BE=CF，BD=CE，利用边角边定理证明△DBE≌△ECF，得DE=EF，推出∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE，再利用三角形内角和定理即可求出
∠EDF的度数．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
¿，
∴△DBE≌△ECF(SAS)，
∴DE=EF，∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
1 1
∴∠B= (180°−α)=90°− α，
2 2
( 1 ) 1
∴∠BDE+∠BED=180°−∠B=180°− 90°− α =90°+ α，
2 2
1
∴∠CEF+∠BED=90°+ α，
2
1
∴∠≝=180°−(∠CEF+∠BED)=90°− α，
2
∵ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD=180°−∠≝ ¿ = 1( 180°−90°+ 1 α ) =45°+ 1 α¿．
2 2 2 4
故选：A．
【变式1】在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与
1
∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①∠BOC=90°+ ∠A；
2
1 2
②∠D= ∠A；③∠A= ∠E；④∠E+∠DCF=90°+∠ABD．
2 3
其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平
分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；
1 1
由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=90°− ∠A，再由三角形的内角
2 2
1
和定理可求解∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=90°+ ∠A，即可判定①；由角平分线的定
2
1
义可得∠DCF= ∠ACF，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得
2
∠MBC+∠NCB=180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三
角形外角的性质可得∠E+∠DCF=90°+∠DBC，结合∠ABD=∠DBC可判定④；
【详解】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
1 1
∴∠ABD=∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠ACO= ∠ACB，
2 2
1 1 1
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)= (180°−∠A)=90°− ∠A，
2 2 2
( 1 ) 1
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°− 90°− ∠A =90°+ ∠A，
2 2
故①正确，符合题意；
∵CD平分∠ACF，
1
∴∠DCF= ∠ACF，
2
∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，
∴2∠OBC+2∠D=∠ABC+∠A，
1
∴∠D= ∠A，
2
故②正确，符合题意；
如图，
∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴∠MBC=2∠EBC ∠BCN=2∠BCE
， ，
1
∴∠EBC+∠ECB=90°+ ∠A，
2
1
∴∠E=180°−(∠EBC+∠ECB)−90°− ∠A，
2
∴∠A=180°−2∠E，
故③错误，不符合题意；
∵∠DCF=∠DBC+∠D，
1 1
∴∠E+∠DCF=90°− ∠A+∠DBC+ ∠A=90°+∠DBC，
2 2
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠E+∠DCF=90°+∠ABD，
故④正确，符合题意；
综上正确的有：①②④；
故选：C
【变式2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和及三角形内角和，连接CF，四边形ABCF的内角和为
(4−2)×180°=360°，利用三角形的内角和可得∠E+∠D=∠FCD+∠CFE，进而可得
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
【详解】解：如图，连接CF，四边形ABCF的内角和为(4−2)×180°=360°，
∵∠E+∠D=∠FCD+∠CFE，
∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFA=∠A+∠B+∠BCF+∠CFA=360°．
故选：B．
【变式3】如图，点P是∠AOB内一点，点P关于OA的对称点为C，点P于OB的对称点为D，连结
CD交OA、OB于点M和点N，连结PM、PN．若∠AOB=50°，则∠MPN的大小为( )
A．50° B．60° C．80° D．70°
【答案】C
【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理的应用；根据轴对称的性质得出
∠COD=2∠AOB=100°，由∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OCM+∠ADN，可得结论．
【详解】解：如图所示，连接OC，OD，OP，
∵ P ∠AOB P OA C P OB
点 是 内一点，点 关于 的对称点为 ，点 关于 的对称点
为D，
∴OC=OP=OD，∠AOP=∠AOC，∠POB=∠BOD，∠OPM=∠OCM，∠OPN=∠ODN，
∵∠AOB=50°，
∴∠COD=2∠AOB=100°．∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OCM+∠ODN=180°−2∠AOB=80°．
故选：C．
【变式4】将直角三角板ABC如图所示放置，已知∠ABC=60°，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
EC∥AB，点D为直线CE上的一个点且满足∠BDC=40°，则∠EBD的度数为 .
【答案】110°或10°
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
根据题意，分情况D在C的右边和D在C的左边讨论，即可求解；
【详解】解：∵BE平分∠ABC，
1
∴∠ABE= ∠ABC=30°，
2
若D在C的右边，如下图，
∵CE∥AB，
∴∠ABD=180°−∠BDC=140°，
∴∠EBD=∠ABD−∠ABE
=140°−30°
=110°；
若D在C的左边，如下图，
∵CE∥AB
，
∴∠ABD=∠BDC=40°，
∴∠EBD=∠ABD−∠ABE
=40°−30°
=10°，
故∠EBD=10°或110°，
故答案为：110°或10°
【变式5】如图，点C在线段BF上，∠DCA=∠DAC且∠ACD+∠ACF=180°，点E在AC上，
若∠CBE=∠D，∠ABE:∠ABC=1:3，∠BAC=44°，则∠DAC的度数为 .【答案】67°
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的
关键．根据题意，设∠ABE=α，则∠CBE=2α，在△DAC中，∠DCA=∠DAC=90°−α，证
AD∥BC，得∠DAB+∠ABC=180°，从而有134°−α+3α=180°，解得α=23°，最后由
∠DAC=90°−α，求得∠DAC的值．
【详解】解：∵ ∠ABE:∠ABC=1:3，
∴ ∠ABE:∠CBE=1:2，
设∠ABE=α，则∠CBE=2α，
∵ ∠CBE=∠D，
∴ ∠D=2α，
∵在△DAC中，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，
又∵ ∠DCA=∠DAC，
∴ ∠DCA=∠DAC=90°−α．
∵ ∠ACD+∠ACF=180°，∠ACB+∠ACF=180°，
∴ ∠ACD=∠ACB，
∵ ∠DCA=∠DAC，
∴ ∠DAC=∠ACB，
∴ AD∥BC，
∴ ∠DAB+∠ABC=180°．
∵ ∠DAB=∠DAC+∠CAB，∠DAC=90°−α，∠BAC=44°，
又∵ ∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ABE=α，∠CBE=2α，
∴ ∠DAB=∠DAC+∠CAB=134°−α，∠ABC=∠ABE+∠EBC=3α，
∵ ∠DAB+∠ABC=180°，
∴ 134°−α+3α=180°，
解得α=23°，
∵ ∠DAC=90°−α，
∴ ∠DAC=90°−23°=67°，
故答案为：67°．
【变式6】△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，则∠C= ．【答案】36°/36度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识点，先设∠B=x度，然后根据
AB=AC=CD,BD=AD，三角形内角和为180°，得出关于x的方程，解方程即可得解，熟练掌握
等腰三角形的性质是解决此题的关键．
【详解】解：设∠B=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=∠B+∠BAD=x°+x°=2x°，
∵∠CAD+∠ADC+∠C=180°，
∴2x°+2x°+x°=180°，
∴5x°=180°，
∴x°=36°，
∴∠C=x°=36°，
故答案为：36°．
【变式7】如图，在△ABC中，∠B=39°，△ABC的外角∠DAC和∠FCA的平分线交于点E，则
∠AEC的度数为 ．
【答案】70.5°
【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠BAC+∠BCA=180°−∠B=141°，则利邻补角定义
计算出∠DAC+∠FCA=180°−∠BAC+180°−∠BCA=219°，再根据角平分线定义得到
1 1 1
∠EAC= ∠DAC，∠ECA= ∠FCA，所以∠EAC+∠ECA= (∠DAC+∠FCA)=109.5°，
2 2 2
然后再利用三角形内角和计算∠AEC的度数.
【详解】解：在△ABC中，∵∠B=39°，∴∠BAC+∠BCA=180°−39°=141°，
∵∠DAC+∠BAC=180°，∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°−141°=219°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，
1
∴∠EAC+∠ECA= (∠DAC+∠ACF)=109.5°，
2
∴∠AEC=180°−109.5°=70.5°．
故答案为：70.5°
考点8：三角形相关的角——外角定理
典例8：如图，在△ABC中，点P、Q、R分别是BC、AB、AC上的点，已知∠B=∠C，
PB=CR，PC=BQ，若∠A=40°，则∠QPR的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质等知识，证
明三角形全等是解题的关键．由三角形内角和定理可求∠B=∠C=70°，再证
△BPQ≌△CRP(SAS)得∠BQP=∠CPR,∠BPQ=∠CRP，然后由三角形的外角性质可求解．
【详解】解：∵∠A=40°，∠B=∠C，
1 1
∴∠B=∠C= (180°−∠A)= ×(180°−40°)=70°，
2 2
在△BPQ和△CRP中，
¿，
∴△BPQ≌△CRP(SAS)，
∴∠BQP=∠CPR,∠BPQ=∠CRP，
∴∠BQP+∠BPQ=∠CPR+∠CRP，
∵∠BQP+∠B=∠CPQ=∠QPR+∠CPR，
∴∠QPR=∠B=70°，
故选：C．
【变式1】如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°,∠BAC=50°,D为AC的中点，E是射线CB上一点，将△CDE沿着直线DE翻折得到△FDE．当DF∥AB时，∠DEB的度数为 ．
【答案】65°或25°
【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形外角的性质及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、
三角形外角的性质及折叠的性质是解题的关键；由题意可分当点E在线段CB上时和当点E在线段CB
的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解
【详解】解：如图1，当点E在线段CB上时，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠BAC=50°，
∴∠CDE=∠FDE=25°．
∵∠ABC=90°,∠BAC=50°，
∴∠C=40°，
∴∠DEB=∠C+∠CDE=65°．
如图2，当点E在线段CB的延长线上时，
∵DF∥AB，
∴∠ADF=∠BAC=50°，
∴∠CDF=130°，
∴∠CDE=∠FDE=115°．
∵∠C=40°，
∴∠DEB=180°−∠C−∠CDE=25°．
综上所述，∠DEB的度数为65°或25°；故答案为65°或25°．
【变式2】如图，在△AB C 中，AC =B C ，∠C =20°，在B C 上取一点C ，延长AB 到点
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
B ，使得B B =B C ，在B C 上取一点C ，延长AB 到点B ，使得B B =B C ，在B C 上取
2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3
一点C ，延长AB 到点B ，使得B B =B C ⋯，按此操作进行下去，那么第n个三角形的内角
4 3 4 3 4 3 4
∠AB C = （用含n的式子表示）．
n n
80°
【答案】
2n−1
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形外角的性质，先根据等腰三角形的性质求出，
∠C B A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 ∠B B C ，
1 1 1 2 2
∠C B B 及∠C B B 的度数，找出规律即可得出. ∠AB C 的度数，根据题意得出∠B B C ，
3 3 2 4 3 2 n n 1 2 2
∠C B B 及∠C B B 的度数，找出规律是解题的关键．
3 3 2 4 3 2
【详解】解：∵AC =B C ，∠C =20°，
1 1 1 1
180°−∠C 180°−20°
∴∠C B A= = =80°，
1 1 2 2
∵B B =B C ，∠C B A是△B B C 的外角，
1 2 1 2 1 1 1 2 2
∠C B A 80°
∴∠B B C = 1 1 = =40°，
1 2 2 2 2
同理可得，∠C B B =20°，∠C B B =10°，⋯，
3 3 2 4 3 2
80°
∴∠AB C =
n n 2n−1
80°
故答案为： ．
2n−1
【变式3】如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A=50°，则
∠BPC= ．【答案】100°/100度
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，
正确作出辅助线是解题关键．连接AP并延长交BC于点Q，首先根据垂直平分线的性质可得
PB=PA，进而可得∠PBA=∠PAB，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可
得∠BPQ=∠PBA+∠PAB=2∠PAB，同理可得∠CPQ=2∠PAC，然后由
∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=2∠BAC即可获得答案．
【详解】解：如下图，连接AP并延长交BC于点Q，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，∠BAC=50°，
∴PB=PA，
∴∠PBA=∠PAB，
∴∠BPQ=∠PBA+∠PAB=2∠PAB，同理可得∠CPQ=2∠PAC，
∴∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=2(∠PAB+∠PAC)=2∠BAC=100°．
故答案为：100°．
【变式4】如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB=n°，∠CBA=m°，
4 3
延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 n+ m= ．
7 7360
【答案】
7
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由角平分线的定
1 1 1
义可得∠CBD= ∠CBA= m°，求出∠CBG=180°−∠CBD=180°− m°，再由角平分线的
2 2 2
1 1
定义可得∠CBE= ∠CBG=90°− m°，由平行线的性质可得∠FCB+∠CBE=180°得出
2 4
3
m+n=90，代入式子计算即可得解．
4
【详解】解：∵BD平分∠CBA，且∠CBA=m°，
1 1
∴∠CBD= ∠CBA= m°，
2 2
∵延长DB至点G，
∴∠CBD+∠CBG=180°，
1
∴∠CBG=180°−∠CBD=180°− m°，
2
∵BE平分∠CBG，
1 1( 1 ) 1
∴∠CBE= ∠CBG= 180°− m° =90°− m°，
2 2 2 4
∵∠FCB是△ABC的外角，且∠CAB=n°，
∴∠FCB=∠CBA+∠CAB=m°+n°，
∵BE∥AC，
∴∠FCB+∠CBE=180°，
1
∴m°+n°+90°− m°=180°，
4
3
∴ m+n=90，
44 3 4 (3 ) 4 360
∴ n+ m= × m+n = ×90= ，
7 7 7 4 7 7
360
故答案为： ．
7
【变式5】如图，△ABC中，∠ACB=85°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对
应点D恰好落在A边上，AC、ED交于点F，若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（ ）（用含α的
代数式表示）
3 3 3 3
A．85°+ α B．175°+ α C．175°− α D．95°+ α
2 2 2 2
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握旋转
1
的性质．由旋转可得：BC=CD，∠B=∠CDF，推出∠B=∠CDB=∠CDF=90°− α，由
2
∠ACB=85°，可得∠DCF=85°−α，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：由旋转可得：BC=CD，∠B=∠CDF，
∴ ∠B=∠CDB=∠CDF，
∵ ∠BCD=α，
1 1
∴ ∠B=∠CDB=∠CDF= (180°−∠BCD)=90°− α，
2 2
∵ ∠ACB=85°，
∴ ∠DCF=∠ACB−∠BCD=85°−α，
1 3
∴ ∠EFC=∠DCF+∠CDF=85°−α+90°− α=175°− α，
2 2
故选：C．
【变式6】如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，
使得点A落在△ADC的外部A′处，如图2所示．若∠1=100°,∠2=60°，则∠A的度数为（ ）A．18° B．20° C．21° D．22°
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠前后对应角相等可得∠A=∠A′，结合
三角形外角的性质可得∠1=∠A+∠2+∠A′=2∠A+∠2，由此可解．
【详解】解：如图，标记A′E与AC的交点为点B，
由三角形外角的性质得，∠1=∠A+∠ABE，∠ABE=∠2+∠A′，
由折叠得∠A=∠A′，
∴ ∠1=∠A+∠2+∠A′=2∠A+∠2，
∵ ∠1=100°,∠2=60°，
∴ 100°=2∠A+60°，
∴ ∠A=20°，
故选B．
【变式7】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，得到△ADE，这时点B
旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论错误的是（ ）A．∠ABC=∠ADB B．∠ACD=∠EAD
C．∠EAC=α D．∠EDC=180°−α
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由旋转得AB=AD，即可
判断A；根据∠ACD是△ABC的外角，可得∠ACD>∠BAC=∠DAE，可判断B；根据∠EAC为
旋转角，得出∠EAC=α，可判断C；根据∠ADE=∠ABC=∠ADB，∠BAD=α，可得
∠EDC=∠ADB+∠ADE=∠ADB+∠ABC=180°−∠BAD=180°−α，可判断D，据此即可
求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，得到△ADE，
∴AD=AB，∠EAD=∠CAB，∠ADE=∠ABC，
∵点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，
∴∠ABC=∠ADB，故选项A正确；
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠CAB+∠ABC>∠CAB，
∴∠ACD>∠EAD，故选项B不正确；
∵∠EAC为旋转角，
∴∠EAC=α，故选项C正确；
∵∠ADE=∠ABC=∠ADB，∠BAD=α，
∴∠EDC=∠ADB+∠ADE=∠ADB+∠ABC=180°−∠BAD=180°−α，故选项D正确；
故选：B．
