文档内容
专题 03 三角形及基本性质
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）三角形的分类
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
（二）三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（三）三角形的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离 相等 ， 到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判
定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
（四）三角形相关角的性质
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
1 1
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=2 ∠BAC-∠CAE=2 （180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
1
=2 （∠C-∠B）；
1
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=2 ∠A+90°；
1 1
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=2 ∠A，∠O’=2 ∠O；
1
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-2 ∠A．
模块三 考点一遍过
考点1：三角形相关线段——三角形分类、稳定性
典例1：如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（ ）
A．10个 B．12个 C．13个 D．15个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的特征，熟练掌握三角形的特征是解题的关键；
根据三角形的特征即可求解；【详解】解：根据图形观察，可以得到：一个小三角形有9个，三个小三角形组成一个三角形有3个，
加上1整个大三角形，共9+3+1=13个；
故选：C
【变式1】在一个三角形中最小的角是50°，按角分这是一个（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断
【答案】A
【分析】分类解答，当一个角是直角时，则第三个角为180°−90°−50°=40°，这与三角形中最小
的角是50°，故不可能有大于等于直角的角，判定解答即可．
本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形的分类，熟练掌握分类是解题的关键．
【详解】解：当一个角是直角时，则第三个角为180°−90°−50°=40°，
这与三角形中最小的角是50°，
故不可能有大于等于直角的角，
只能是锐角三角形．
故选A．
【变式2】在三角形ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:6，按角的特点分类，此三角形是
三角形．
【答案】钝角
6
【分析】根据∠A:∠B:∠C=1:2:6得到最大角为 ×180°=120°，大于90°，根据三角
1+2+6
形的分类解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类，熟练掌握定理和分类标准是解题的关键．
【详解】解：根据∠A:∠B:∠C=1:2:6，
6
故三角形的最大角为 ×180°=120°，
1+2+6
大于90°，
故该三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【变式3】如图在△ABC的BC边上取三个点D，E，F，连接AD，AE，AF，则BC边上有
条线段，以 A 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．
【答案】 10 10 10【分析】本题主要考查线段数量、角度的数量和三角形的个数，利用固定点可得到线段，上述线段
都与点A组成角，即以 A 为顶点的角有10个；以 A 为顶点的角即组成对应的三角形．
【详解】解：根据题意得，线段有BD,BE,BF,BC,DE,DF,DC,EF,EC,FC共10条线段；
以 A 为顶点的角∠ABD，∠ABE，∠ABF，∠ABC，∠ADE，∠ADF，
∠ACD，∠AEF，∠AEC，∠AFC,
三角形有
△ABD，△ABE，△ABF，△ABC，△ADE，△ADF，△ACD，△AEF，△AEC，△AFC,
上述线段都与点A组成交，即以 A 为顶点的角有10个；
以 A 为顶点的角即组成对应的三角形．
故答案为：10，10，10．
考点2：三角形相关线段——三边关系
典例2：已知等腰三角形的周长为9，且一边长为4，则腰长为（ ）
A．4 B．9 C．2.5 D．4或2.5
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分4为等腰三角形的腰长和底边长两
种情况，结合三角形的三边关系即可解答，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：①若一腰长为4，则另一腰长也为4，
∵等腰三角形的周长为9，
∴底边长为9−4−4=1，
∵4−1<4<4+1，
∴此种情况能构成三角形，符合题意；
②若底边长为4，则腰长为(9−4)÷2=2.5，
∵4−2.5<2.5<4+2.5，
∴此种情况能构成三角形，符合题意；
综上可知：腰长为4或2.5，
故选：D．
【变式1】已知a，b，c为三角形的三边，则式子|a+b−c|−|a−b−c|=（ ）
A．2a B．2b C．0 D．2a−2c
【答案】D
【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形
的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到a+b−c>0，
a−b−c<0，再根据绝对值的性质进行化简计算．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得到a+b−c>0，a−b−c<0，∴ |a+b−c|−|a−b−c|=a+b−c+(a−b−c)=2a−2c．
故选：D．
【变式2】在△ABC中，AC=3，BC=2，将△ABC绕C点按逆时针旋转，旋转角为
α(0°≤α≤360°)得到△DEC，A与D对应，B与E对应，则线段AE长度的取值范围 ．
【答案】1≤AE≤5
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形三边关系，由旋转可得CE=BC=2，再根据三角形三边关
系可得AC−CE≤AE≤AC+CE，据此即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接AE，
由旋转得，CE=BC=2，
∵AC−CE≤AE≤AC+CE，
∴3−2≤AE≤3+2，
即1≤AE≤5，
故答案为：1≤AE≤5．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是BC边中点，设AD=x，则x的取值范围是
．
【答案】1c，设S = ah = bh = ch =S，
△ABC 2 a 2 b 2 c
S S S
+ >
∴
h h h
a b c
1 1 1
+ >
即
h h h
a b c
∵h =2，h =4
a b1 1 1 3
∴ < + ，即h > ，
h 2 4 c 4
c
1 1 1
∵a−b”“=”或“<”）；
△ABC △ABD
（2）作△ABC中线BE，交AD于点F，若S =27，则S −S = ．
四边形ABDC △BDF △AEF
【答案】 = 9
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，三角形中线的运用，掌
握三角形中线，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）延长AC,BD交于点G，可证△ABD≌△AGD(ASA)，得到BD=DG,S =S ，进而得
△ABD △AGD
1
到S = S ，再证明AB∥CD，由此即可求解；
△ABD 2 △ABC
1 1
（2）根据题意可得，S = S = S ，S +S =18,S =S =18，BE是
△ACD 2 △ADG 2 △ABD △ABF △BDF △ABC △ABD
△ABC的中线，S +S =9，由此即可求解．
△ABF △AEF
【详解】解：（1）如图所示，延长AC,BD交于点G，
∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠ADG=90°，
在△ABD和△AGD中，
¿，
∴△ABD≌△AGD(ASA)，
∴BD=DG，S =S ，
△ABD △AGD
1
∴S = S ，
△ABD 2 △ABC
∵CD=AC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD，
∴S =S ，
△ABC △ABD
故答案为：=；
（2）∵∠2+∠G=90°，∠3+∠CDG=90°，∠2=∠3
∴∠CDG=∠G
∴CD=CG
∴AC=CG
1 1
∴S = S = S ，
△ACD 2 △ADG 2 △ABD
∵S =27，
四边形ABDC
∴S +S =S =27，
△ABD △ACD 四边形ABDC
1
∴S + S =27，
△ABD 2 △ABD
解得，S =18，
△ABD
∴S +S =18,S =S =18，
△ABF △BDF △ABC △ABD
∵BE是△ABC的中线，
1
∴S = S =9，
△ABE 2 △ABC
∴S +S =9，
△ABF △AEF
∴S −S =9，
△BDF △AEF
故答案为：9．
故答案为：=；9．
考点5：三角形的相关线段——重心性质典例5：如图，已知G为Rt△ABC的重心，∠ABC=90°且AB=12cm，BC=9cm，连结BG交
AC于点D，则△AGD的面积是 （ ）
A．9cm2 B．4.5cm2 C．10.5cm2 D．12cm2
【答案】A
【分析】本题考查重心的定义与性质，根据重心是三角形三条中线的交点，重心到顶点的距离与重
心到对边中点的距离之比为2:1求解即可．
【详解】解：∵G为Rt△ABC的重心，
1
∴AD=CD= AC，BG=2GD，
2
1 1
∴S = S ，S = S ，
△ABD 2 △ABC △AGD 3 △ABD
∵∠ABC=90°且AB=12cm，BC=9cm，
1 1
∴S = AB⋅BC= ×12×9=54(cm2)，
△ABC 2 2
1 1
∴S = S = ×54=27(cm2)，
△ABD 2 △ABC 2
1 1
∴S = S = ×27=9(cm2)，
△AGD 3 △ABD 3
故选：A．
【变式1】如图，已知，AD是△ABC的中线， 点G是△ABC的重心， 过G作¿∥AB交BC于点
E，GF∥AC交BC于点F． 若△ABC面积为36， 则△EFG的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
GD GD 1
根据重心的性质可得 = = ，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得
AD AG+GD 3
S =S =18，接着证明△DEG∽△DBA，△DFG∽△DCA，然后根据相似三角形的面积之
△ABD △ACD
比等于相似比的平方可得
S
△DEG=
(DG) 2
=
1
，
S
△DFG=
(DG) 2
=
1
，从而求出S =
1
S =2，
S DA 9 S DA 9 △DEG 9 △DBA
△DBA △DCA
1
S = S =2，进而可求解．
△DFG 9 △DCA
【详解】解：∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2GD，
GD GD 1
∴ = = ，
AD AG+GD 3
∵AD是△ABC的中线，
1 1
∴S =S = S = ×36=18，
△ABD △ACD 2 △ABC 2
∵¿∥AB，GF∥AC，
∴△DEG∽△DBA，△DFG∽△DCA，
∴
S
△DEG=
(DG) 2
=
1
，
S
△DFG=
(DG) 2
=
1
，
S DA 9 S DA 9
△DBA △DCA
1 1
∴S = S =2，S = S =2，
△DEG 9 △DBA △DFG 9 △DCA
∴S =S +S =4，
△EFG △DEG △DFG
故选：A．
【变式2】如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的
重心，那么S :S 的值为 ．
△ADE 四边形DECB
4
【答案】
5
【分析】本题考查了三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题．
设△ABC的重心为O点，延长AO交BC于F点，如图则利用三角形重心的性质得到AO:AF=2:3，
S 4
再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得到 △ADE= ，然后根据比例的性质得到
S 9
△ABC
S :S 的值．
△ADE 四边形DECB
【详解】解：设△ABC的重心为O点，延长AO交BC于F点，如图，
∵ O △ABC
点 为 的重心，
∴AO=2OF，
∴AO:AF=2:3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
S
△ADE=
(AO) 2
=
(2) 2
=
4
，
S AF 3 9
△ABC
∴S :S =4:5，
△ADE 四边形DECB
故答案为：4:5．
【变式3】如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果
S =36，那么S = ．
△ABC 四边形BGDC
【答案】16
【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，连接AG，延
长AG交BC于点H，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：连接AG，延长AG交BC于点H，并延长至F，使得GH=HF，延长BG交AC于点E，
连接CG,BG∵点G是重心，
∴H,E分别为BC,AC的中点，
∴BH=CH，
∴四边形CGBF是平行四边形，
∴CF∥BE
AG AE
∴ = =1
FG EC
∴AG=GF=2GH
∵S =36，
△ABC
1
∴S =S = S =18，
△ABH △ACH 2 △ABC
∴S =12，S =6，
△ABG △BGH
∵GD∥BC，
∴△AGD∽△AHC，
∴ S △AGD= ( AG) 2 = 4 ，
S AH 9
△AHC
∵S +S =S =18，
△AGD 四边形GHCD △AHC
∴S =8，S =10，
△AGD 四边形GHCD
∴S =S +S =6+10=16，
四边形BGDC △BGH 四边形GHCD
故答案为：16．
考点6：三角形的相关线段——角平分线
典例6：如图，BD、BE、BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是
（ ）1
A．AE=EC B．∠ABE= ∠ABC C．S =2S D．
2 △ABC △BCF
BD⊥DC
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形高、中线、角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三
角形高、中线、角平分线的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.∵BF是△ABC的中线，
∴AF=CF，
∴AE=AF−EF∠BAC=∠DAE，可判断B；根据∠EAC为
旋转角，得出∠EAC=α，可判断C；根据∠ADE=∠ABC=∠ADB，∠BAD=α，可得
∠EDC=∠ADB+∠ADE=∠ADB+∠ABC=180°−∠BAD=180°−α，可判断D，据此即可
求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，得到△ADE，
∴AD=AB，∠EAD=∠CAB，∠ADE=∠ABC，
∵点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，
∴∠ABC=∠ADB，故选项A正确；
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠CAB+∠ABC>∠CAB，
∴∠ACD>∠EAD，故选项B不正确；
∵∠EAC为旋转角，
∴∠EAC=α，故选项C正确；
∵∠ADE=∠ABC=∠ADB，∠BAD=α，
∴∠EDC=∠ADB+∠ADE=∠ADB+∠ABC=180°−∠BAD=180°−α，故选项D正确；
故选：B．
