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专题 03 三角形及基本性质
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）三角形的分类
三角形定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形
（1）按角的关系分类：
（2）按边的关系分类：
（二）三角形的三边关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
（三）三角形的相关线段
（1）角平分线：
①角平线上的点到角两边的距离 相等 ， 到角两边距离相等的点在角平分线上（角平分线的判
定）
②三角形的三条角平分线的相交于一点叫内心，内心到三边的距离相等．
（2）中线：
①三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
（3）高线：
①三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心②高线参考应用：互余关系的等量代换，等面积法求高线
（4）中位线：三角形两边中点的连线段．平行于第三边，且等于第三边的一半
（四）三角形相关角的性质
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余．
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角．
（3）三角形内外角角平分线模型总结：
1 1
如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=2 ∠BAC-∠CAE=2 （180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）
1
=2 （∠C-∠B）；
1
如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=2 ∠A+90°；
1 1
如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=2 ∠A，∠O’=2 ∠O；
1
如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-2 ∠A．
模块三 考点一遍过
考点1：三角形相关线段——三角形分类、稳定性
典例1：如图所示的是一个由几个小三角形拼成的大三角形，则该图中三角形的个数为（ ）
A．10个 B．12个 C．13个 D．15个
【变式1】在一个三角形中最小的角是50°，按角分这是一个（ ）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．无法判断
【变式2】在三角形ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:2:6，按角的特点分类，此三角形是三角形．
【变式3】如图在△ABC的BC边上取三个点D，E，F，连接AD，AE，AF，则BC边上有
条线段，以 A 为顶点的角有 个，图中共有 个三角形．
考点2：三角形相关线段——三边关系
典例2：已知等腰三角形的周长为9，且一边长为4，则腰长为（ ）
A．4 B．9 C．2.5 D．4或2.5
【变式1】已知a，b，c为三角形的三边，则式子|a+b−c|−|a−b−c|=（ ）
A．2a B．2b C．0 D．2a−2c
【变式2】在△ABC中，AC=3，BC=2，将△ABC绕C点按逆时针旋转，旋转角为
α(0°≤α≤360°)得到△DEC，A与D对应，B与E对应，则线段AE长度的取值范围 ．
【变式3】如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，点D是BC边中点，设AD=x，则x的取值范围是
．
考点3：三角形相关线段——高线
典例3：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若∠A=30°，BC=2，则
AD的长是（ ）
A．3 B．√3 C．3√3 D．4
【变式1】如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直，若
AD=6，BC=10，则△BCP的面积为（ ）A．15 B．20 C．30 D．80
【变式2】如图，已知D是BC的中点，AE、AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论正
确的是（ ）
1
A．AD=CD B．∠CAE= ∠BAC C．∠AEB=90° D．
2
DF=CF
【变式3】如图，△ABC的面积为12，AE垂直∠ABC的平分线BD于点D，AE交BC于E，若
BE:CE=2:1，则△ABD的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式4】如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠ACB=78°，F
为边AB上一点．当△BDF为直角三角形时，∠ADF的度数为 ．
【变式5】如图，AD,AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B=50°,∠C=70°，则∠EAD=
．【变式6】如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD、BC于
点F、E，连接CF，若DF=1，AF=3，BE:EC=3:1，则S = ．
△ABC
【变式7】在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，将这三条边上的高依次记为h ，
a
h ，h ．
b c
（1）当a=6，h =2，h =4时，b= ．
a b
（2）当h =2，h =4时，h 的取值范围是 ．
a b c
考点4：三角形相关线段——中线
典例4：如图，AD是△ABC的中线，DE=DF，下列说法：① CE=BF；② ∠BAF=∠CAF；
③ △ABD和△ACD面积相等；④ BF∥CE；⑤ △BDF≌△CDE． 其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式1】如图，△ABC的中线BD，CE交于点G，且△ABC的面积为12，则结论正确的是（ ）
A．∠ADE=∠AEC B．BG=2DGC．CD2=DG⋅DB D．△DEG的面积为1.5
【变式2】如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S =3，则S = （ ）
△ABE △ADC
A．6 B．9 C．12 D．15
【变式3】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，连接CD，若△BCD的面积为
8，则△ABC的面积为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【变式4】如图，△ABC中，AB−AC=3，BC=8，BD垂直于∠BAC的角平分线AD于点D，E
为AC的中点，连接BE交AD于F，则△BDF、△AEF的面积之差的最大值为 ．
【变式5】如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG:GD=2:1，S =12，则图
△ABC
中阴影部分的面积和为 ．
【变式6】如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，
延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S =1，则为S ．
△ABC △≝¿=¿【变式7】如图，锐角△ABC和Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD平分∠BAC，连接
CD,CD=AC．
（1）判断：S S （填“>”“=”或“<”）；
△ABC △ABD
（2）作△ABC中线BE，交AD于点F，若S =27，则S −S = ．
四边形ABDC △BDF △AEF
考点5：三角形的相关线段——重心性质
典例5：如图，已知G为Rt△ABC的重心，∠ABC=90°且AB=12cm，BC=9cm，连结BG交
AC于点D，则△AGD的面积是 （ ）
A．9cm2 B．4.5cm2 C．10.5cm2 D．12cm2
【变式1】如图，已知，AD是△ABC的中线， 点G是△ABC的重心， 过G作¿∥AB交BC于点
E，GF∥AC交BC于点F． 若△ABC面积为36， 则△EFG的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【变式2】如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过△ABC的
重心，那么S :S 的值为 ．
△ADE 四边形DECB【变式3】如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果
S =36，那么S = ．
△ABC 四边形BGDC
考点6：三角形的相关线段——角平分线
典例6：如图，BD、BE、BF分别是△ABC的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是
（ ）
1
A．AE=EC B．∠ABE= ∠ABC C．S =2S D．
2 △ABC △BCF
BD⊥DC
【变式1】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD
于点G，交BE于点H，下面说法正确的有（ ）
①S =S ；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH；
△ABE △BCE
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD平分∠CAB交
BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为 ．【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD平分∠BAC，点E为BC边的中点，过点E与作
EF∥AD，交AC于F，交BA的延长线于G，若AF=1.5，CF=4.5，则△ABC的面积为 ．
考点7：三角形相关的角——内角和
典例7：如图，在△ABC中，∠A=α，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且
BE=CF，BD=CE．则∠EDF的度数是（ ）
a a a a
A．45°+ B． C．45°− D．90°−
4 4 4 2
【变式1】在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与
1
∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①∠BOC=90°+ ∠A；
2
1 2
②∠D= ∠A；③∠A= ∠E；④∠E+∠DCF=90°+∠ABD．
2 3
其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【变式2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【变式3】如图，点P是∠AOB内一点，点P关于OA的对称点为C，点P于OB的对称点为D，连结
CD交OA、OB于点M和点N，连结PM、PN．若∠AOB=50°，则∠MPN的大小为( )
A．50° B．60° C．80° D．70°
【变式4】将直角三角板ABC如图所示放置，已知∠ABC=60°，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，
EC∥AB，点D为直线CE上的一个点且满足∠BDC=40°，则∠EBD的度数为 .
【变式5】如图，点C在线段BF上，∠DCA=∠DAC且∠ACD+∠ACF=180°，点E在AC上，
若∠CBE=∠D，∠ABE:∠ABC=1:3，∠BAC=44°，则∠DAC的度数为 .【变式6】△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，则∠C= ．
【变式7】如图，在△ABC中，∠B=39°，△ABC的外角∠DAC和∠FCA的平分线交于点E，则
∠AEC的度数为 ．
考点8：三角形相关的角——外角定理
典例8：如图，在△ABC中，点P、Q、R分别是BC、AB、AC上的点，已知∠B=∠C，
PB=CR，PC=BQ，若∠A=40°，则∠QPR的度数为（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【变式1】如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°,∠BAC=50°,D为AC的中点，E是射线
CB上一点，将△CDE沿着直线DE翻折得到△FDE．当DF∥AB时，∠DEB的度数为 ．【变式2】如图，在△AB C 中，AC =B C ，∠C =20°，在B C 上取一点C ，延长AB 到点
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
B ，使得B B =B C ，在B C 上取一点C ，延长AB 到点B ，使得B B =B C ，在B C 上取
2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3
一点C ，延长AB 到点B ，使得B B =B C ⋯，按此操作进行下去，那么第n个三角形的内角
4 3 4 3 4 3 4
∠AB C = （用含n的式子表示）．
n n
【变式3】如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A=50°，则
∠BPC= ．
【变式4】如图，在△ABC中，三个内角的角平分线交于点D，其中∠CAB=n°，∠CBA=m°，
4 3
延长DB至点G，∠FCB与∠CBG的平分线交于点E，若BE∥AC，则 n+ m= ．
7 7
【变式5】如图，△ABC中，∠ACB=85°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对
应点D恰好落在A边上，AC、ED交于点F，若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（ ）（用含α的
代数式表示）3 3 3 3
A．85°+ α B．175°+ α C．175°− α D．95°+ α
2 2 2 2
【变式6】如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，
使得点A落在△ADC的外部A′处，如图2所示．若∠1=100°,∠2=60°，则∠A的度数为（ ）
A．18° B．20° C．21° D．22°
【变式7】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α(0°<α<180°)，得到△ADE，这时点B
旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC=∠ADB B．∠ACD=∠EAD
C．∠EAC=α D．∠EDC=180°−α
