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专题 03 一元二次方程及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．一元二次方程(x+1)(x−3)=2的根的情况是（ ）
A．无法确定 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】D
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式Δ=b2−4ac来判断即可，当
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程没有
实数根．
【详解】解：(x+1)(x−3)=2整理得：x2−2x−5=0，
其中a=1，b=−2，c=−5，
Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1×(−5)=4+20=24>0，
∴
一元二次方程(x+1)(x−3)=2有两个不相等的实数根，
∴故选：D．
2021
2．已知双曲线y= 与直线y=kx+b交于A(x ,y )，B(x ,y )，若x +x >0，y + y >0，则
x 1 1 2 2 1 2 1 2
（ ）
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的综合、根据一次函数增减性求参数、不等式的性质、一元二次
方程的根与系数的关系
【分析】根据交点坐标的意义，把问题转化方程，不等式问题判定即可．
【详解】由题意得方程kx2+bx−2021=0的两根分别为x ，x ，
1 2
b −2021
∴x +x =− ，x x = ，
1 2 k 1 2 k
∵x +x >0
1 2
b
∴− >0，
k
b
∴ <0，
k∴k、b异号，
2021 2021
∵y = ,y = ，
1 x 2 x
1 2
2021 2021 2021(x +x )
∴y + y = + = 1 2 ，
1 2 x x x x
1 2 1 2
∵y + y >0，
1 2
2021(x +x )
1 2
∴ ＞0，
x x
1 2
∵x +x >0，
1 2
∴x x ＞0，
1 2
−2021
∴ >0，
k
∴k<0，b>0．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数关系定理，不等式
思想，熟练运用交点坐标的意义，把问题转化为方程问题，不等式问题求解是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的解
【分析】把x=0代入原方程即可求出a的值，注意二次项系数不为0.
【详解】把x=0代入原方程得a2-4=0，即a= ±2,
又∵a＋2≠0，∴a=2，选A.
【点睛】此题主要考查一元二次方程的解.
4．把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm；
②这两个正方形的面积之和可以是198 cm2；
③这两个正方形的面积之和可以是288 cm2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③【答案】C
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及正方形的性质，找准等量关系，正确列
出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：①当AF的长是12cm时，BC的长是(80−4×12)÷4=8cm，
故结论①正确；
②假设这两个正方形的面积之和可以是198 cm2，
设AF的长为xcm，则BC的长为(80−4x)÷4=(20−x)cm，
根据题意得：x2+(20−x) 2=198，
整理得：x2−20x+101=0，
∵Δ=(−20) 2−4×101=−4<0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即这两个正方形的面积之和不可以是198 cm2，
故结论②不正确；
③假设这两个正方形的面积之和可以是288 cm2，
设AF的长为ycm，则BC的长为(80−4 y)÷4=(20−y)cm，
根据题意得：y2+(20−y) 2=288，
整理得：y2−20 y+56=0，
解得：y =10−2√11，y =10+2√11，
1 2
∵1<10−2√11<10+2√11<20，
∴符合题意，
∴假设成立，即这两个正方形的面积之和可以是288 cm2，
故结论③正确，
综上所述：①③正确，
故选：C．
1 1
5．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x，x，且 + +x x =0，则k的值为（ ）
1 2 x x 1 2
1 2
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】根据根与系数关系列出方程求解即可．【详解】解：由题意知，x+x＝﹣k，x•x＝2．
1 2 1 2
1 1
则由 + +x x =0得，
x x 1 2
1 2
x +x −k
2 1+x x =0，即 +2=0．
x ⋅x 1 2 2
1 2
解得k＝4．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常
使用的解题方法．
．
6．某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到
下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（ ）
A．15 B．18 C．21 D．35
【答案】C
【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)
x(x−1)
【分析】共x人，每2人一班，轮流值班，则有 种组合，一天是24小时，8小时1班，24
2
除以8=每天3个班，所以总组合数除以3可得出最长需要的天数，解方程即可得出答案．
x(x−1)
【详解】解：由已知护士x人，每2人一班，轮流值班，可得共有 种组合，
2
x(x−1)
又已知每8小时换班一次，每天3个班次，所以由题意得： ÷(24÷8)=70
2
解得：x=21，即有21名护士．
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出x人，每2人一班有多少种组合，
再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数．
7．对任意实数x，点P(x,x2+2x)一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】判断点所在的象限、因式分解法解一元二次方程
【分析】由x2+2x=0，解得x=0,x=−2,分情况讨论x2+2x的符号．根据点在平面直角坐标系中各
个象限坐标的符号特点解答即可．【详解】解：x2+2x=0,
解得x=0,x=−2,
（1）当-2＜x＜0时，x+2＞0，x＜0，x 2+2x=x（x+2）＜0，故点P在第三象限；
（2）当x＞0时， x 2+2x=x（x+2）＞0，故点P在第一象限；
（3）当x＜-2时，x+2＜0,x 2+2x=x（x+2）＞0，点P在第二象限．
（4）当x=0,x=−2时点P（x, x2+2x）为P（0，0）或（-2，0）在x轴上，
故对任意实数x，点P可能在第一、二、三象限或x轴上，一定不在第四象限，
故选D．
【点睛】本题考查象限点的特征，根据点的横坐标的取值范围，分类考虑函数值的符号是解题关键．
8．若m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，则2m2−3m+n的值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．5
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，求解即可．
【详解】解：m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，
则2m2−4m−7=0，m+n=2，
∴2m2=4m+7，
2m2−3m+n=4m+7−3m+n=m+n+7=9，
故选：A
【点睛】此题考查了一元二次方程根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础
知识．
9．解下列方程：①3x2−27=0；②2x2−3x−1=0；③2x2−5x+2=0；④2(3x−1) 2=3x−1．
较简便的方法是（ ）
A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法
C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
【答案】D
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方
程
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，
结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
根据各方程的特点逐一判别即可．【详解】①3x2−27=0，适合③直接开平方法；
②2x2−3x−1=0，适合公式法；
③2x2−5x+2=0，适合因式分解法；
④2(3x−1) 2=3x−1，适合因式分解法．
故选：D．
10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对
全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a＝3，b＝4，
则该三角形的面积为（ ）
99 53
A．10 B．12 C． D．
8 4
【答案】B
【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、勾股定理的证明方法
【分析】设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，利用
整体代入的思想解决问题，进而可求出该三角形的面积．
【详解】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
x2+7x+12＝12+12＝24
(x+3)(x+4) x2+7x+12 12+12
∴该三角形的面积为 = = =12，
2 2 2
故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题
的关键．
11．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2−2x+1=0 B．x2−2x−1=0
C．x2+x+1=0 D．x2+x−1=0
【答案】A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟练
掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．分别求出根
的判别式求解即可．
【详解】解：A．∵Δ=(−2) 2−4×1×1=0，∴方程有两个相等的实数根，故符合题意；
B．∵Δ=(−2) 2−4×1×(−1)=8>0，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
C．∵Δ=12−4×1×1=−3<0，∴方程没有实数根，故不符合题意；
D．∵Δ=12−4×1×(−1)=5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
故选A．
12．已知x 、x 是一元二次方程x2+4x+3=0的两根，则x +x +2x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．−2 B．−1 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】利用根与系数的关系得到x +x =−4，x x =3，然后利用整体代入的方法计算
1 2 1 2
x +x +2x x 的值．
1 2 1 2
【详解】解：根据题意得：x +x =−4，x x =3，
1 2 1 2
所以x +x +2x x =−4+2×3=2．
1 2 1 2
故选：D．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 、x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，
1 2
b c
x +x =− ，x x = ．
1 2 a 1 2 a
13．已知x ，x 是方程x2−3x=2的两根，则x ⋅x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．2 B．-2 C．-3 D．3
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】先将一元二次方程化为一般式，再根据根与系数的关系即可得到答案．
【详解】x2−3x=2整理得x2−3x−2=0，
−2
∴x ⋅x = =−2，
1 2 1
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根
b c
是x ,x ，那么x +x =− ，x x = ；也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根
1 2 1 2 a 1 2 a
之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系
数所得的商．
1 1
14．已知x 、x 是方程x2−6x−3=0的两个实数根，则 + =（ ）
1 2 x x
1 2
1 1
A．−2 B．− C．2 D．
2 2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
1 1 x +x
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x +x =6，x x =−3，再由 + = 1 2 进行
1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
求解即可．
【详解】解：∵x 、x 是方程x2−6x−3=0的两个实数根，
1 2
∴x +x =6，x x =−3，
1 2 1 2
1 1 x +x 6
∴ + = 1 2=− =−2，
x x x x 3
1 2 1 2
故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
b c
若x ，x 是该方程的两个实数根，则x +x =− ，x x = ．
1 2 1 2 a 1 2 a
15．若x 和x 为一元二次方程x2+2x−1=0的两个根，则x2x +x x2的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．2 B．3 C．4 D．4√2
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x +x =−2,x x −1，化简代入求值即可．
1 2 1 2
【详解】∵ x 和x 为一元二次方程x2+2x−1=0的两个根
1 2
∴x +x =−2,x x −1
1 2 1 2
∵x2x +x x2=x x (x +x )=−1×(−2)=2．
1 2 1 2 1 2 1 2
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，代数式求值，利用一元二次方程根
与系数的关系求出x +x ,x x 是解题的关键．
1 2 1 2
二、填空题
x 2
16．若 和 互为相反数，则x＝ ．
1−x x2−1
【答案】−2
【知识点】解分式方程、因式分解法解一元二次方程、相反数的应用
【分析】根据相反数的性质列出方程，解分式方程求解即可．
x 2
【详解】解：∵ 和 互为相反数，
1−x x2−1
x 2
∴
+ =0
1−x x2−1
x(x+1)−2=0
x2+x−2=0
(x+2)(x−1)=0
解得：x =1，x =−2，
1 2
经检验x=1是原方程的增根，x=−2是原方程的根
故答案为：−2
【点睛】本题考查了相反数的性质，解分式方程，解一元二次方程，根据题意列出方程是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若AD=2√2，
则AC的长为 ．
【答案】4
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、因式分解法解一元二次方程
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设
AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量关系即可
解答．
【详解】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB=AC，BD=AC，
∴设AB=AC=BD=x，
∵CD=2，
∴BC=BD+CD=x+2，
∵AB=AC，AE⊥BC，
1
∴BE=EC=1+ x，
2
1
∴DE=BD-BE= x-1，
2
1 1
在Rt AED中，AE2=AD2-DE2=（2√2）2-（ x-1）2=− x2+x+7，
2 4
△
1 3
在Rt AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+ x）2= x2-x-1，
2 4
△
1 3
∴− x2+x+7= x2-x-1，
4 4
解得：x=4，x=-2（不符合题意，舍去），
1 2
∴AC=4，
故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两次利用勾股定理建立等量关系，列出方程是
解题的关键．
18．某商品经过两次连续涨价，由原来的每件100元上涨为每件144元．若两次涨价的百分比相同，
则每次涨 ％．
【答案】20
【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题可设平均每次涨价的百分率为x，那么第一次涨价后的单价是原来的（1+x），那么第
二次涨价后的单价是原来的（1+x）2，根据题意列方程解答即可．
【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x，根据题意列方程得
100（1+x）2＝144，
解得x＝0.2，x＝-2.2（不符合题意，舍去），
1 2
即该商品平均每次涨价的百分率为20%．
故答案是：20．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决
问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
19．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+c=b，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x=x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax +b) 2 ；
0 0
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①②④
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求根公式的运用，理解一元二次方程有根的含
义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据b2−4ac=(a+c) 2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c) 2≥0，由偶次幂的非负性即可判定结论①；根
据方程有两个不相等的实数根可得Δ=0−4ac>0，由此再运用根的判别式进行判定即可得到结论②；
把x=c代入方程，当x=c=0时，ac+b+1=0不成立，可判定结论③；运用求根公式进行计算可判
定结论④；由此即可求解．
【详解】解：①若a+c=b，∴b2−4ac=(a+c) 2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c) 2≥0，即b2−4ac≥0，故①正确；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，
∴Δ=0−4ac>0，即−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0中，Δ=b2−4ac，
∵b2≥0，
∴b2−4ac>0，即方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；
③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴ac2+bc+c=0，
当x=c=0时，ac+b+1=0不成立，故③错误；
④若x=x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，
0
∴ax 2+bx +c=0，
0 0
−b−√b2−4ac −b+√b2−4ac
∴x = 或x = ，
0 2a 0 2a
−b−√b2−4ac
∴第一种情况，2ax =2a× =−b−√b2−4ac，
0 2a
∴2ax +b=−√b2−4ac，
0
∴b2−4ac=(2ax +b) 2 ；
0
−b+√b2−4ac
第二种情况，2ax =2a× =−b+√b2−4ac，
0 2a
∴2ax +b=√b2−4ac，
0
∴b2−4ac=(2ax +b) 2 ，
0
综上，④正确；
∴正确的有①②④，
故答案为：①②④ ．
20．关于x的一元二次方程(m+2)x2+x+m2−4=0有一根为0，则m的值为 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，掌握此概念是关键．根据一元二次方程解的含义，把解代入所给的方程中，即可求得m的值，然后结合一元二次方程二
次项系数不等于零求解即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程(m+2)x2+x+m2−4=0有一根为0，
∴m2−4=0，m+2≠0
∴m =2或m =−2，且m≠−2
1 2
∴m=2．
故答案为：2．
21．若关于x的方程x2+2x+k−3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k<4
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数k的范围，一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有
两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+k−3=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4×1×(k−3)=16−4k>0，
解得：k<4，
∴k的取值范围是k<4，
故答案为：k<4．
22．已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
【答案】9
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】根据根的判别式的意义得到△=62−4m=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据题意得△=62−4m=0，
解得m=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△
=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实
数根；当△<0时，方程无实数根．
23．已知关于x的方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】k<1且k≠0【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的定义
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴22 −4k>0且k≠0，
解得：k<1且k≠0，
故答案为：k<1且k≠0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，
当Δ=b2 −4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2 −4ac=0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ=b2 −4ac<0时，方程没有实数根是解题的关键．
24．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十
步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长
和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为 ．
【答案】x(60−x)=864
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面
积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：若设这块矩形田地的长为x步，则宽为(60−x)步，依题意，得
x(60−x)=864．
故答案为： x(60−x)=864．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
25．对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=¿，若2★m=4，则实数m=
．
【答案】−2或2
【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分类讨论：①当m<2时，2m2−4=4解方程即可；当
m≥2时，4m−m2=4，解方程可得答案.
【详解】解：当m<2时，2m2−4=4，解得m=2（舍去）或m=−2；
当m≥2时，4m−m2=4，解得m =m =2，
1 2
故答案为：−2或2．
三、解答题
26．某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话：领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？
旅行社：如果人数不超过25人，人均费用为100元．
领队：超过25人呢？
旅行社：如果超过25人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于70元．
该单位组团旅游结束后，共支付2700元，则该单位参加旅游的共有多少人？
【答案】30人
【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
求出人数为25人时的总费用，由该值小于2700元，可得出该单位参加旅游的人数超过25人，设该
单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为(150−2x)，利用总费用＝人均费用×人数，可列出关
于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合人均旅行费用不得低于70元，即可确定结论．
【详解】解：∵100×25=2500（元），2500<2700元，
∴该单位参加旅游的人数超过25人．
设该单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为100−2(x−25)=(150−2x)，
根据题意得：(150−2x)x=2700，
整理得：x2−75x+1350=0，
解得：x =30,x =45，
1 2
当x=30时，150−2x=150−2×30=90>70，符合题意；
当x=45时，150−2x=150−2×45=60<70，不符合题意，舍去．
答：该单位参加旅游的共有30人．
27．如图1 是一个边长为1 的无盖正方体纸盒的展开图.过点 A 的直线分别与BC ,BE交于点
1 ❑1
M，N，展开图被直线MN分成面积相等的上、下两部分．
(1)填空：S =______；
△MNB
1 1
(2)若 + =1，求NC+B M的值；
MB NB 1
(3)将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒后，求图2 中点 M，N之间的距离．
5
【答案】(1)
2
(2)1
(3)1【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、一元二次方程的根与
系数的关系、公式法解一元二次方程
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解一元二次方程和根与系数关系、矩形的判定和性
质等知识．
（1）根据展开图被直线MN分成面积相等的上、下两部分．即可求出答案；
1 5 1 1
（2）由（1）可知，S = BM⋅BN= ，得到BM⋅BN=5，由 + =1得到
△MNB 2 2 MB NB
MB+NB=MB⋅NB=5，设MB=a,NB=b，则a+b=5，ab=5，a,b可以看作方程x2−5x+5=0
5−√5 5+√5 3−√5
的两个根，则MB= ,NB= ，则B M=MB−BB = ，再求出
2 2 ❑1 ❑1 2
3−√5 √5−1
NC=EC−EN=1− = ，即可得到答案；
2 2
（3）证明△A B M∽△NBM，进一步得到MB+BN＝MB⋅BN，根据图1被直线MN分成面积
1 1
相等的上、下两部分，则MB⋅BN=5，即MB+BN=5，得到CN+B M=5−4=1；如图2，连接
1
MN，证明EN=B M，即BN=B M,即可证明四边形BB MN为矩形，即可得到MN=BB =1．
1 1 1 1
【详解】（1）解：∵如图1 是一个边长为1 的无盖正方体纸盒的展开图. 展开图被直线MN分成面
积相等的上、下两部分．
1 5
∴S = ×1×1×5=
△MNB 2 2
5
故答案为：
2
1 5
（2）由（1）可知，S = BM⋅BN= ，
△MNB 2 2
∴BM⋅BN=5，
1 1
∵ + =1，
MB NB
∴MB+NB=MB⋅NB=5，
设MB=a,NB=b，
∵MB0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方
程无实数根．
（1）计算根的判别式的值得到Δ=n2−8m，结合n=m+2得到(m−2) 2≥0，然后根据根的判别式的
意义判断方程根的情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到Δ=n2−8m=0，设m=2 n=4，方程变形为x2+2x+1=0，
然后解方程即可．
【详解】（1）证明：∵n=m+2，
∴Δ=n2−8m=(m+2) 2−8m=(m−2) 2≥0，
∴方程有有的实数根；
（2）解：方程有两个相等的非零实数根，
∴Δ=n2−8m=0，
若m=2，n=4时，方程变形为 x2+2x+1=0，解得x =x =−1 （答案不唯一）．
1 2
37．材料：为解方程x4−x2−6=0，可设x2= y，于是原方程可化为y2−y−6=0，解得y =−2，
1
y =3．当y=−2时，x2=−2不合题意舍去；当y=3时，x2=3，解得x =√3，x =−√3，故原方程
2 1 2
的根为：x =√3，x =−√3．
1 2
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：(1)(x2+x) 2 +2(x2+x)−8=0；
3x+2 2x
(2) + =3．
x 3x+2
【答案】(1)x =1，x =−2
1 2
(2)x =−2，x =−1
1 2
【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、解分式方程
【分析】本题考查解一元二次方程、解分式方程，
（1）根据题意设x2+x=a，则原方程可化为a2+2a−8=0，解方程得a =2，a =−4，当a=2时，
1 2
x2+x=2；当a=−4时，x2+x=−4，分别解方程即可求解；
3x+2 2
（2）根据题意设 =b，原方程可化为b+ =3，解方程得b =2，b =1，并检验，当b=2时，
x b 1 2
3x+2 3x+2
=2，当b=1时， =1，分别解方程，再检验即可．
x x
【详解】（1）解：设x2+x=a，则原方程可化为a2+2a−8=0，
即(a+1) 2=9，
解得，a =2，a =−4，
1 2
当a=2时，x2+x=2，
解得x =1，x =−2，
1 2
当a=−4时，x2+x=−4，
∵b2−4ac=1−16=−15<0，
∴此方程无解，
∴原方程的根为x =1，x =−2．
1 2
3x+2 2x
（2） + =3．
x 3x+2
3x+2 2
解：设 =b，原方程可化为b+ =3，
x b
化为整式方程为b2−3b+2=0，
解得b =2，b =1，
1 2
2
经检验，b =2，b =1是方程b+ =3的解，
1 2 b
3x+2
当b=2时， =2，
x
解得x=−2，
经检验，x=−2是方程的解，3x+2
当b=1时， =1，
x
解得x=−1，
经检验，x=−1是方程的解，
∴原方程的解为x =−2，x =−1．
1 2
38．阅读材料，解答问题：
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，则m，n是方程x2−x−1=0的两个不
相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
已知实数a，b满足：a2−5a+3=0，b2−5b+3=0且a≠b，则a+b=________，ab=________；
(2)间接应用：
2mn+2
已知实数m，n满足：3m2−7m+1=0，n2−7n+3=0且mn≠1，求 的值；
mn+3n+1
(3)拓展应用：
1 1
已知实数p，q满足：p2−2p=3−t， q2−q= (3−t)且p≠q，求(q2+1)(2p+4−t)的取值范围．
2 2
【答案】(1)5，3
7
(2)
8
(3)(q2+1)(2p+4−t)>4
【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一
元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
（1）先判断出a,b是方程x2−5x+3=0的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数的
关系求解即可得；
1
（2）先判断出 ,n是方程x2−7x+3=0的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与系数
m
1 1
的关系可得 +n=7， ⋅n=3，从而可得1+mn=7m，n=3m代入计算即可得；
m m
（3）先判断出p,q是方程x2−2x−(3−t)=0的两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的根与
系数的关系可得p+q=2,pq=−(3−t)=t−3，q2=2q+3−t，代入化简，利用一元二次方程根的
判别式求出t的取值范围，由此即可得．【详解】（1）解：∵实数a,b满足：a2−5a+3=0，b2−5b+3=0且a≠b，
∴a,b是方程x2−5x+3=0的两个不相等的实数根，
−5 3
∴a+b=− =5，ab= =3，
1 1
故答案为：5，3．
（2）解：当m=0时，3m2−7m+1=1≠0，
∴m=0不是方程3m2−7m+1=0的解，
( 1) 2 7
将方程3m2−7m+1=0两边同除以m2得： − +3=0，
m m
∵实数m,n满足：3m2−7m+1=0，n2−7n+3=0且mn≠1，
1 ( 1) 2 7 1
∴实数 ,n满足： − +3=0，n2−7n+3=0且 ≠n，
m m m m
1
∴ ,n是方程x2−7x+3=0的两个不相等的实数根，
m
1 1
∴ +n=7， ⋅n=3，
m m
∴1+mn=7m，n=3m，
2mn+2 2(mn+1) 2×7m 14m 7
∴ = = = = ．
mn+3n+1 (mn+1)+3n 7m+3×3m 16m 8
1 1
（3）解：将方程 q2−q= (3−t)两边同乘以2得：q2−2q=(3−t)，
2 2
1 1
∵实数p,q满足：p2−2p=3−t， q2−q= (3−t)且p≠q，
2 2
∴p,q是方程x2−2x−(3−t)=0的两个不相等的实数根，
∴p+q=2，pq=−(3−t)=t−3，q2=2q+3−t，
∴(q2+1)(2p+4−t)
=(2q+3−t+1)(2p+4−t)
=(2q+4−t)(2p+4−t)
=4 pq+2(4−t)(p+q)+(4−t) 2
=4(t−3)+4(4−t)+(t−4) 2
=(t−4) 2+4，又∵p,q是方程x2−2x−(3−t)=0的两个不相等的实数根，
∴方程根的判别式Δ=4+4(3−t)>0，
解得t<4，
∴(t−4) 2+4>4，
即(q2+1)(2p+4−t)>4．
39．阅读下面的材料：
材料一：∵ −1和3是方程x2−2x−3=0的解．
∴(−1) 2−2×(−1)−3=0；32−2×3−3=0
材料二：如果实数a，b满足a+b=2024，ab=2025，则可以将a，b看作是方程
x2−2024x+2025=0的两实数根．
问题解决：
(1)若两个不同的实数m、n满足m2=m+1，n2−n=1，求m2+n2的值；
16
(2)已知实数a，b，c满足a+b=c−6，ab= ，且c<6，求c的最大值．
6−c
【答案】(1)3
(2)2
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系、
根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x ,x 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
1 2
b c
的两根时，x +x =− ,x x = ，也考查了判别式的意义．
1 2 a 1 2 a
（1）根据m≠n,m、n是方程x2−x−1=0的两根，利用根与系数的关系可求得m+n和mn的值，然
后利用整体代入的方法计算原式的值；
16
（2）将a、b看作是方程x2−(c−6)x+ =0的两实数根，利用判别式的意义得到
6−c
16
Δ=(c−6) 2−4× ≥0，所以(6−c) 3≥64，解得c≤2，从而得到c的最大值．
6−c
【详解】（1）解：∵m≠n，实数m、n满足m2−m−1=0,n2−n−1=0，
∴m、n可看作方程x2−x−1=0的两根，
∴m+n=1,mn=−1，∴m2+n2=(m+n) 2−2mn=12−2×(−1)=3．
16
（2）解：∵a+b=c−6、ab= ，
6−c
16
∴将a,b看作是方程x2−(c−6)x+ =0得两实数根；
6−c
16 16
∵Δ=(c−6) 2−4× =(6−c) 2−4× ≥0，
6−c 6−c
而c<6，
∴(6−c) 3≥64，
∴6−c≥4，即c≤2，
∴c的最大值为2．
40．阅读下列材料：
已知实数x，y满足(x2+ y2+1)(x2+ y2−1)=63，试求x2+ y2的值，
解：设x2+ y2=a，则原方程变为(a+1)(a−1)=63，整理得a2−1=63、a2=64，根据平方根意义
可得a=±8，由于x2+ y2≥0，所以可以求得x2+ y2=8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代
替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
(1)已知实数x，y满足(2x+2y+3)(2x+2y−3)=27求x+ y的值
(2)填空：已知关于x，y的方程组¿的解是¿，关于x，y的方程组¿的解是 ；
【答案】(1)x+ y=3或x+ y=−3
(2)¿
【知识点】换元法解一元二次方程、方程组相同解问题、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、平方差公式及完全平方公式，熟练掌握各个运算是解
题的关键；
（1）设x+ y=t，则原方程变为(2t+3)(2t−3)=27，然后根据平方差公式及开平方法可进行求解
方程；
（2）由题意易得方程组可变为¿，然后根据同解方程组可得¿，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设x+ y=t，则原方程变为(2t+3)(2t−3)=27，
∴4t2−9=27，
解得：t =3,t =−3，
1 2
即x+ y=3或x+ y=−3；
（2）解：由方程组¿可变形为¿，即¿，
∵关于x，y的方程组¿的解是¿，
∴方程组¿的解为¿，
∴¿．
