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专题 03 一元二次方程及其应用（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．一元二次方程(x+1)(x−3)=2的根的情况是（ ）
A．无法确定 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2021
2．已知双曲线y= 与直线y=kx+b交于A(x ,y )，B(x ,y )，若x +x >0，y + y >0，则
x 1 1 2 2 1 2 1 2
（ ）
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
3．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．0
4．把一根长为80cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当AF的长是12cm时，BC的长为8cm；
②这两个正方形的面积之和可以是198 cm2；
③这两个正方形的面积之和可以是288 cm2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．②③
1 1
5．已知关于x的方程x2+kx+2＝0的两个根为x，x，且 + +x x =0，则k的值为（ ）
1 2 x x 1 2
1 2
A．0 B．2 C．4 D．8
6．某医院内科病房有护士x人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到
下次两人再同班，最长需要的天数是70天，则x=（ ）
A．15 B．18 C．21 D．35
7．对任意实数x，点 一定不在（ ）
P(x,x2+2x)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．若m，n是方程2x2−4x−7=0的两个根，则2m2−3m+n的值为（ ）A．9 B．8 C．7 D．5
9．解下列方程：① ；② ；③ ；④ ．
3x2−27=0 2x2−3x−1=0 2x2−5x+2=0 2(3x−1) 2=3x−1
较简便的方法是（ ）
A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法
C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对
全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a＝3，b＝4，
则该三角形的面积为（ ）
99 53
A．10 B．12 C． D．
8 4
11．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．x2−2x+1=0 B．x2−2x−1=0
C．x2+x+1=0 D．x2+x−1=0
12．已知x 、x 是一元二次方程x2+4x+3=0的两根，则x +x +2x x 的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．−2 B．−1 C．1 D．2
13．已知x ，x 是方程x2−3x=2的两根，则x ⋅x 的值为（ ）
1 2 1 2
A．2 B．-2 C．-3 D．3
1 1
14．已知x 、x 是方程x2−6x−3=0的两个实数根，则 + =（ ）
1 2 x x
1 2
1 1
A．−2 B．− C．2 D．
2 2
15．若 和 为一元二次方程 的两个根，则 的值为（ ）
x x x2+2x−1=0 x2x +x x2
1 2 1 2 1 2
A．2 B．3 C．4 D．4√2
二、填空题x 2
16．若 和 互为相反数，则x＝ ．
1−x x2−1
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若AD=2√2，
则AC的长为 ．
18．某商品经过两次连续涨价，由原来的每件100元上涨为每件144元．若两次涨价的百分比相同，
则每次涨 ％．
19．对于一元二次方程 ，下列说法：
ax2+bx+c=0(a≠0)
①若a+c=b，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若 是一元二次方程 的根，则 ；
x=x ax2+bx+c=0 b2−4ac=(2ax +b) 2
0 0
其中正确的是 ．（填序号）
20．关于x的一元二次方程 有一根为0，则m的值为 ．
(m+2)x2+x+m2−4=0
21．若关于x的方程x2+2x+k−3=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
22．已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
23．已知关于x的方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
24．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十
步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长
和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为 ．
25．对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=¿，若2★m=4，则实数m=
．
三、解答题
26．某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话：
领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？
旅行社：如果人数不超过25人，人均费用为100元．
领队：超过25人呢？
旅行社：如果超过25人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于70元．该单位组团旅游结束后，共支付2700元，则该单位参加旅游的共有多少人？
27．如图1 是一个边长为1 的无盖正方体纸盒的展开图.过点 A 的直线分别与BC ,BE交于点
1 ❑1
M，N，展开图被直线MN分成面积相等的上、下两部分．
(1)填空：S =______；
△MNB
1 1
(2)若 + =1，求NC+B M的值；
MB NB 1
(3)将图1沿虚线折成一个无盖的正方体纸盒后，求图2 中点 M，N之间的距离．
28．给定一个矩形A，如果存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半，
那么称矩形B是矩形A的“对半矩形”
(1)填空：
当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B的一边是x，则另一
7 7
边为（ -x），由题意得方程：x（ -x）=3，化简得：2x2-7x+6=0
2 2
∵b2-4ac=49-48＞0，∴x=_______________，x=_________________
1 2
∴矩形A存在对半矩形B．
小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：¿消去y化简后也得到：
2x2-7x+6=0，然后通过解该一元二次方程我们可以求出对半矩形B的两边长．
(2)如果已知矩形A的边长分别为3和2．请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存在对边矩形
B．
(3)方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题．如图，在同一平面直角
坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两
边长，请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形A的面积为________________；周长为_______________．
②对半矩形B的两边长为______________和________________29．用适当的方法解下列方程：
(1)x2−6x+5=0；
(2) ．
(x−2) 2+12=4x
30．阅读与思考
下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．
形如ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利
用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二
次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果：
−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x = ，x =
1 2a 2 2a
，计算：a(x−x )(x−x )．
1 2
解：a(x−x )(x−x )
1 2
( −b+√b2−4ac)( −b−√b2−4ac)
=a x− x−
2a 2a
=a ( x2+ b x+ c)
a a
=ax2+bx+c．
即ax2+bx+c=a(x−x )(x−x )．
1 2
这就是说，在因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)时，可先求一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的两个实数根，然后写成ax2+bx+c=a(x−x )(x−x )的形式，即通过解一元二次方程可以将一些
1 2
二次三项式分解因式．
任务：
(1)已知p，q是两个常数，一元二次方程x2+px+q=0的两个实数根为x =−7，x =3，则二次三
1 2
项式x2+px+q分解因式的结果是_______；
(2)分解因式：x2−x−20=_______；
(3)请用阅读内容中的方法，因式分解：3x2+9x−12；
(4)通过阅读上述代数推理过程，请直接写出一个你发现的与一元二次方程的根相关的结论．
31．南宁海吉星水果批发市场李大姐家的水果店销售三华李，根据前段时间的销售经验，每天的售
价x（元/箱）与销售量y（箱）有如表关系，且已知 y 与 x 之间的函数关系是一次函数．
每箱售价x（元） 68 67 66 65 … 40
每天销量y（箱） 40 45 50 55 … 180
（1）求y 与x的函数解析式；
（2）三华李的进价是 40 元/箱，如果设每天获得的盈利为 W元，要使该店每天获得最大盈利，则
每箱售价多少元？（3）4 月份（按 30 天算）连续阴雨，销售量减少．该店决定采取降价销售，故在（2）的条件下
销售了 18 天之后，三华李开始降价，售价比之前下降了m%，同时三华李的进价降为 29 元/箱，
销售量也因此比原来每天获得最大盈利时上涨了2m%（m＜100），降价销售了 12 天的三华李
销售总盈利比降价销售前的销售总盈利少 5670 元，求m的值．
32．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙的长度不限），另外三边用木栏围成，
木栏长40m．
(1)怎样围成一个面积为200m2的矩形场地？
(2)能围成面积能为220m2的矩形场地吗？若不能，说明理由？
33．用适当的方法解下列方程：
(1)2x2−4x−1=0；
(2) ．
2(x+3) 2=x(x+3)
34．已知x、x 是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
1 2
（1）求a的取值范围；
（2）若（x+1）（x+1）是负整数，求实数a的整数值．
1 2
35．已知关于 的一元二次方程 ．
x x2−(m+3)x+m+2=0
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．
【能力提升】
36．关于x的一元二次方程mx2+nx+2=0．
(1)求证：当n=m+2时，此方程必有实数根；
(2)若方程有两个相等的整数根，写出满足条件的一组m,n的值，并求此时方程的根．
37．材料：为解方程x4−x2−6=0，可设x2= y，于是原方程可化为y2−y−6=0，解得y =−2，
1
．当 时， 不合题意舍去；当 时， ，解得 ， ，故原方程
y =3 y=−2 x2=−2 y=3 x2=3 x =√3 x =−√3
2 1 2
的根为： ， ．
x =√3 x =−√3
1 2
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程：
(1) ；
(x2+x) 2 +2(x2+x)−8=0
3x+2 2x
(2) + =3．
x 3x+2
38．阅读材料，解答问题：已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，则m，n是方程x2−x−1=0的两个不
相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
已知实数a，b满足：a2−5a+3=0，b2−5b+3=0且a≠b，则a+b=________，ab=________；
(2)间接应用：
2mn+2
已知实数m，n满足：3m2−7m+1=0，n2−7n+3=0且mn≠1，求 的值；
mn+3n+1
(3)拓展应用：
1 1
已知实数p，q满足：p2−2p=3−t， q2−q= (3−t)且p≠q，求(q2+1)(2p+4−t)的取值范围．
2 2
39．阅读下面的材料：
材料一：∵ −1和3是方程x2−2x−3=0的解．
；
∴(−1) 2−2×(−1)−3=0 32−2×3−3=0
材料二：如果实数a，b满足a+b=2024，ab=2025，则可以将a，b看作是方程
x2−2024x+2025=0的两实数根．
问题解决：
(1)若两个不同的实数m、n满足m2=m+1，n2−n=1，求m2+n2的值；
16
(2)已知实数a，b，c满足a+b=c−6，ab= ，且c<6，求c的最大值．
6−c
40．阅读下列材料：
已知实数x，y满足 ，试求 的值，
(x2+ y2+1)(x2+ y2−1)=63 x2+ y2
解：设x2+ y2=a，则原方程变为(a+1)(a−1)=63，整理得a2−1=63、a2=64，根据平方根意义
可得a=±8，由于x2+ y2≥0，所以可以求得x2+ y2=8．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代
替比较复杂的单项式、多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
(1)已知实数x，y满足(2x+2y+3)(2x+2y−3)=27求x+ y的值
(2)填空：已知关于x，y的方程组¿的解是¿，关于x，y的方程组¿的解是 ；
