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专题 03 三角形及基本性质（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠3=65°，连接BE，点D恰好在
BE上，则∠2=（ ）
A．80° B．40° C．45° D．无法计算
2．下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm B．1cm，2cm，3cm C．3cm，4cm，5cm D．
4cm，5cm，6cm
3．如图，点O是△ABC内一点，∠A=60°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（ ）
A．105° B．115° C．125° D．无法确定
4．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b−c|−|c−a−b|=（ ）
A．2a−b B．2c C．0 D．a−b
5．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于110°，∠B，∠D应分别是25°和15°，则
∠BCD应是下列哪个度数（ ）
A．150° B．140° C．155° D．120°6．将长分别为3，4．6，8的木棍用4颗螺丝按如图所示的方式安在一起，且相邻两木根之间的夹
角均可调整，则任意两颗螺丝的距离的最大值是（ ）
A．8 B．10 C．11 D．14
7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD、AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2，
，则 （ ）
S =√5 CE＝
△ABD
3
A．√5－1 B．√3－1 C．1 D．
2
8．△ABC中，AC=2，BC=3，AD⊥AB，AD=2AB，连接CD，则CD最大值为（ ）
A．7√2 B．8+√3 C．2√13 D．6+2√5
9．如图，在△ABC中，D，E是△ABC内的两点，且
∠EBC=∠EBD=∠DBA，∠ECB=∠ECD=∠DCA，若∠BAC=60°，则∠BDE=（ ）
A．45° B．50° C．55° D．75°
10．已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边AC的长可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，直线AB∥CD,∠ABE=45°,∠D=20°，则∠E的度数为（ ）A．20° B．25° C．30° D．35°
12．如图， ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD的
度数是（ △ ）
A．25° B．20° C．30° D．15°
13．如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC=60°，
∠EOD=20°，则∠C的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
14．已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三
角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，
显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC=110°，若直线BD是
△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是（ ）A．40°或140° B．90°或140° C．40°或75°或140° D．40°或90°或140°
CE
15．已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD,∠BAD=∠ACE．则 的值为
AC
（ ）
3−√5 √2 2 √5−1
A． B． C． D．
2 2 3 2
二、填空题
16．如图，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转30°，得到Rt△A′B′C′，点B′恰好落在斜边AC上，连接
A A′，则∠A A′B′= ．
17．如图，已知∠A=α，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线相交于点
A ，得∠A ；若∠A BC的平分线与∠A CD的平分线相交于点A ，得∠A ；…∠A BC的平
1 1 1 1 2 2 2023
分线与∠A CD的平分线相交于点A ，得∠A ．则∠A = ．（用含α的式子表
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示）
18．若△ABC≌△A′B′C′，且∠C=50°，∠BAC−∠A′B′C′=10°，则∠BAC= ．
19．如图，在△ABC中，∠B=40°，E是△ABC两外角平分线的交点，则∠AEC= ．20．如图，△ABC≌△ADE，∠C=80°，∠D=30°，∠BAD=40°，则∠CAD= °．
21．如图，直线l ∥l ，有一个含30°的直角三角板的直角顶点A在直线l 上，若边AC与直线l 的
1 2 2 2
夹角∠1=70°，则边BC与直线l 的夹角∠2= °．
1
22．如图，在 ▱ABCD中，∠A=40°，AD=BD，将△BCD沿对角线BD翻折，点C的对应点为
点F，DF交AB于点E，则∠BEF的度数是 ．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，点P是平面内一个动点，且AP=3，Q
为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是 ．
24．如图，在⊙O中，直径AB，弦CD相交于点P．连接OC．且OC⊥AB，若∠A=20°，则
∠BPD的度数为 ．25．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连接AD．
（1）如图①，AD是∠BAC的平分线．若AB=m，AC=n，则S :S = ；（用含m，
△ABD △ACD
n的式子表示）
（2）如图②，AD平分∠BAC，延长AD到点E，使得AD=DE，连接BE．若AC=3，AB=5，
S =10，则△ABC的面积为 ．
△BDE
三、解答题
26．如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)利用尺规，作AB边的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹）
(2)在（1）中，连接BD，若AB=10，BC=4，则△BCD的周长为__________．
(3)在（1）中，连接BD，若∠DBC=27°，试求出∠A的度数．
27．如图，△ABC中，DE∥BC，CD⊥ΑB于点D，FG⊥AB于点G．(1)求证∠1=∠2；
(2)若∠1=40°，若CD平分∠ACB，直接写出∠A的度数．
28．【发现】（1）如图1，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=70°，AD是角平分线，AM是高，
求∠BAD及∠DAM的度数；
【探究】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB−∠B=α，AD是角平分线，动点F在线段AD上（不
与点A，D重合），FG⊥BC，垂足为G．求∠DFG的度数；（用含α的式子表示）
【拓展】（3）将【探究】中“动点F的线段AD上”改为“动点F在射线AD上”．其余条件不变，
分别作DP平分∠ADC，GQ平分∠FGC，且DP所在的直线与射线GQ交于点N，直接写出
∠DNG的度数．（用含α的式子表示）
29．如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和
∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
解决问题：
(1)若∠OBA=80°，∠OAB=40°，则∠ACG=________；(2)若∠MON=a，求出∠ACG的度数．
30．如图，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），连接AM，作∠AME=60°．
(1)尺规作图：作射线CN∥AB，交ME与点N；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）
(2)求证：AM=MN．
31．如图，P为△ABC内一点，过点P作线段MN交AC于M、N．
(1)若∠B =80°，PA平分∠BAC，PC平分∠BCA，求∠APC的度数；
(2)若∠APC =110°，且M、N分别在PA、PC的垂直平分线上，求∠B的度数．
32．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
(1)已知∠B=70°，∠C=40°，求∠DAE的度数；
(2)设∠B=α，∠C=β(α>β)，请直接写出用α，β表示∠DAE的关系式．
33．阅读作答：
（1）等腰三角形中两个底角为72°，顶角为36°，这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比约为
0.618；
（2）等腰三角形中两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比0.618．
我们把满足上述条件之一的三角形都叫做“黄金三角形”．
已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，AB=AC，BD=AD=BC，该图中有黄金三角形吗？
若有，有几个，请说明理由．34．如图，在凹四边形ABCD中，∠A=55°，∠B=30°，∠D=20°，求∠BCD的度数．
下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法：
方法一：作射线AC；
方法二：延长BC交AD于点E；
方法三：连接BD．
请选择上述一种方法，求∠BCD的度数．
35．如图，D是△ABC中BC边上一点，∠C=∠DAC．
（1）尺规作图：作∠ADB的平分线，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，求证：DE∥AC．
【能力提升】
36．如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠EAC，连接BC，DE交于点F，且B，A，E三点共
线．【模型建立】
（1）如图①，△ABD和△ACE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE，
①求证：△ABC≌△ADE；
②判断∠BAD与∠BFE的数量关系，并说明理由；
【模型应用】
（2）如图②，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接AF，求证：FA平分∠BFE；
【模型迁移】
（3）在（2）的条件下，若AB=2AE=2，求AF的长．
37．如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割
线”；如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金
分割线”．
(1)填空：等边三角形_________（填“存在"或“不存在”）“分割线”；顶角为钝角的等腰三角形
________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
(2)在△ABC中，∠A=30°，∠B为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出∠B的所有可
能______．
38．在△ABC中，AD是角平分线．∠B<∠C．
(1)如图（1），AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
(2)如图（2），点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系，并证明你的
结论（提示：过点A作AG⊥BC于G）；
(3)如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠≝¿与∠B、∠C的大小关系是
______．（直接写出结论，不需证明）
39．设△ABC的面积为a．(1)如图1，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=AB，B C=BC，C A=CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S = ______．（用含a的式子表示）
1 1 1 1 1
(2)如图2，延长△ABC的各边得到△A B C ，且A B=2AB，B C=2BC，C A=2CA，记
1 1 1 1 1 1
△A B C 的面积为S ，则S = ________．（用含a的式子表示）
1 1 1 2 2
(3)如图3，P为△ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F，
则把△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，则计算得到△ABC的面积
a=________．
40．已知AB=AC,D、A、E三点均在直线MN上，且∠BDA=∠BAC=∠AEC．
(1)如图①，若∠BAC=90°,BD=3,CE=2，则线段DE的长为_________；
(2)如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，若将题中的“∠BDA=∠BAC=∠AEC”变为“∠BDM=∠BAC=∠MEC”，其
他条件不变，且BD=5,CE=8，请直接写出DE的长．
