专题 18 解直角三角形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 锐角三角函数的定义】
1．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，
则cosB的值为（ ）
√5 2√5 1
A． B． C． D．2
5 5 2
【答案】A
【分析】在直角△EBD中，利用勾股定理即可求得EB的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】如图，
在直角△EBD中，BD=2，ED=4，
∴ EB=√BD2+ED2=√22+42=2√5，
BD 2 √5
则cosB= = = ．
EB 2√5 5
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直
角三角形的边长的比．
2．（2022·吉林长春·校考二模）如图是一架人字梯，已知AB=AC，AC与地面BC的夹角为α，两梯脚之间的距离BC=8米，则线段AB长为（ ）
4
A．4cosα B．4sinα C．4tanα D．
cosa
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的三线合一求出CD，然后根据余弦的定义求出AC
即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，BC=8米，
1
∴CD= BC=4米，
2
CD
在Rt△ADC中，cosα= ，
AC
4
∴AC= ，
cosα
4
∴AB=AC= ．
cosα
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟记余弦的定义是解题的关键．
3．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格
点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）2√13 3√13 2 √5
A． B． C． D．
13 13 3 3
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出∠ADC=∠CBA，
∠ACB=90°，计算出cos∠CBA即可得到cos∠ADC．
【详解】解：∵AB为直径，CB=3，AC=2，
∴∠ACB=90°，AB2=CB2+AC2，
∴AB=√13，
CB 3 3√13
∴cos∠CBA= = = ，
AB √13 13
∵A´C=A´C，
∴∠ADC=∠CBA，
3√13
∴cos∠ADC=
13
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
4．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，点D是AC上一点，
1 1
连接BD．若tan∠A= ，tan∠ABD= ，则CD的长为（ ）
2 3
A．2√5 B．3 C．√5 D．2
【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出AC=2√5，再由勾股定理求出AB=5,过点D作DE⊥AB于点E，依
1 1 3
据三角函数值可得DE= AE,DE= BE,从而得BE= AE，再由AE+BE=5得AE=2，DE=1，由勾股
2 3 2
定理得AD=√5，从而可求出CD．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，
BC 1
∴tan∠A= =
AC 2
∴AC=2BC=2√5,
由勾股定理得,AB=√AC2+BC2=√ (2√5) 2+(√5) 2=5
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
1 1
∵tan∠A= ，tan∠ABD= ，
2 3
DE 1 DE 1
∴ = , = ,
AE 2 BE 3
1 1
∴DE= AE,DE= BE,
2 3
1 1
∴ AE= BE
2 3
3
∴BE= AE
2
∵AE+BE=5,
3
∴AE+ AE=5
2
∴AE=2,
∴DE=1,
在Rt ΔADE中,AD2=AE2+DE2
∴AD=√AE2+DE2=√22+12=√5∵AD+CD=AC=2√5,
∴CD=AC−AD=2√5−√5=√5,
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光
线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
m m
A．m(cosα−sinα) B．m(sinα−cosα) C．m(cosα−tanα) D． −
sinα cosα
【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，
AD=C△D×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函
数时要注意各边相对．
【考点2 锐角三角函数的增减性】
6．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA<sinB B．sinB<sinC C．sinA<sinC D．sinC<sinA
【答案】B
【分析】大边对大角，可得∠C＞∠B，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而
增大（或减小）；依此即可求解．
【详解】解：△ABC是锐角三角形，若AB＞AC，
则∠C＞∠B，
则sinB＜sinC．
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减
小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增
大（或减小）而增大（或减小）．
1
7．（2022·浙江金华·校联考一模）若∠A是锐角，且sinA＝ ，则（ ）
3
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【答案】A
【分析】根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求出.
1 1
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA＝ ＜ ＝sin30°，
3 2
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减
小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．
8．（2022·山东临沂·统考一模）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L =L⋅cosα，阻力臂
1
L =l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化
2
情况是（ ）A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及cosα的值随着α的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时α的度数越来越小，此时cosα的值越来越大，
又∵动力臂L =L⋅cosα，
1
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本
题的关键．
9．（2022·浙江宁波·统考一模）红领巾的形状是等腰三角形，底边长为100厘米，腰长为60厘米，则底角
（ ）
A．小于30° B．大于30°且小于45°C．等于30° D．大于45°且小于60°
【答案】B
1
【分析】过A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD= BC=50，根据三角函数的定义
2
50 5
得到cosB= = ，再利用锐角三角函数的增减性进行判断进而得到结论．
60 6
【详解】如图，过A作AD⊥BC于D∵AB=AC=60
1
∴BD=CD= BC=50
2
50 5
∴cosB= =
60 6
√2 5 √3
∵ ＜ ＜
2 6 2
√2 √3
∴ ＜cosB＜
2 2
∴30°＜∠B＜45°
故选：B
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质锐角三角函数的定义以及性质，熟练掌握锐角三角函数的增减性是
解题的关键．
√3
10．（2022·四川成都·统考一模）已知 ＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________
2
【答案】20°＜∠A＜30°．
√3
【详解】∵ ＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，
2
∴cos30°＜cosA＜cos20°，
∴20°＜∠A＜30°．
【考点3 同角三角函数的关系】
1 cosα
11．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α为锐角， cosα= ，求tanα− 的值．
3 1−sinα
【答案】−3
sinα
【分析】根据sin2α+cos2α=1，tanα= ，可得sinα，tanα，代入所求式子可得答案．
cosα
1
【详解】解：α为锐角，cosα= ，得
32√2
sinα=√1−cos2α=
，
3
2√2
sinα 3
tanα= = =2√2．
cosα 1
3
1
cosα 3
tanα− =2√2− =−3．
1−sinα 2√2
1−
3
sinα
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用sin2α+cos2α=1，tanα= 是解题关键．
cosα
12．（2022·广东·九年级统考竞赛）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分
√5−1
割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为 ；（2）黄
2
金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形；（3）有一个内角为36°的等
腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°=______．
√5+1
【答案】
4
√5+1
【分析】如图作三角形，设AB=BC=a，AC=b，先求出cos36°= ，再由sin126°=cos36°，进
4
√5+1
而求出sin126°= ．
4
【详解】解：如图，等腰三角形△ABC，∠ABC=36°，AB=BC=a，AC=b，
b √5−1
取AC中点D，连接BD，可得 = ，
a 2b
由题意可得 ∠ABC 2 b 1 √5−1 1 √5−1，
sin = = ⋅ = ⋅ =
2 a a 2 2 2 4
所以cos∠ABC=1−2sin2
∠ABC
=1−2
(√5−1) 2
=
√5+1
，
2 4 4
√5+1
所以cos36°= ，
4
√5+1
所以sin126°=cos36°= ．
4
√5+1
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了余弦定理以及诱导公式的应用，读懂题意，熟悉掌握余弦定理和诱导公式是本题的解
题关键．
13．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+cosβ=√3，
则α=________．
【答案】60°
√3
【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出cosβ=sinα，求出sinα= ，即可得出答案．
2
【详解】解：∵α+β=90°，
∴cosβ=sinα，
∵sinα+cosβ=√3，
√3
2sinα=√3，sinα= ，
2
∴锐角α=60°.
故答案为：60°.
【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出sinα
的值．
14．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）化简：√1−2sinα⋅cosα（其中0°≤α<90°）
=___________．
【答案】cosα−sinα或sinα−cosα或0
【分析】根据α的度数分别讨论，依据三角函数值及算术平方根的性质将式子化简即可．
【详解】解：∵0°≤α<90°，∴①当0°≤α<45°时，√1−2sinα⋅cosα=√(sinα−cosα) 2=cosα−sinα；
②当45°<α<90°是，√1−2sinα⋅cosα=√(sinα−cosα) 2=sinα−cosα；
③当α=45°时，√1−2sinα⋅cosα=√(sinα−cosα) 2=0，
故答案为：cosα−sinα或sinα−cosα或0．
【点睛】此题考查算术平方根的化简，锐角三角函数值的确定，算术平方根的性质，熟记锐角三角函数值
的计算公式是解题的关键．
15．（2022秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别∠A，∠B，∠C
的对边．
(1)求sin2A+sin2B的值；
(2)填空：当α为锐角时，sin2α+sin2(90°−α)=______；
(3)利用上述规律，求下列式子的值：sin21°+sin22°+sin23°+⋅⋅⋅+sin289°．
【答案】(1)1
(2)1
(3)44.5
【分析】（1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明；
（2）由（1）得出的结论解答即可；
（3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可；
(1)
证明：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2+b2=c2．
a b
又∵sin A= ,sinB= ，
c c
∴sin2A+sin2B=
(a) 2
+
(b) 2
=
a2+b2
=1；
c c c2(2)
当α为锐角时，sin2α+sin2(90°−α)=1，
故答案为 1；
(3)
sin21°+sin22°+sin23°+⋅⋅⋅+sin289°
=(sin21°++sin289°)+(sin22°+sin288°)+⋅⋅⋅+(sin244°+sin246°)+sin245°
1
=1+1+1+...+1+ （44个1相加）
2
=44.5
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键．
【考点4 互余两角三角函数的关系】
1
16．（2022·浙江杭州·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= ，则sinB=______．
3
1
【答案】
3
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．
【详解】解：∵在ΔABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
1
∴sinB=cosA= ．
3
1
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查互为余角的两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的余弦等于它余角的正弦．
17．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：
①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④s△inα=cosβ.其中正确的结论有_____.
【答案】①②③④
【分析】根据∠A=90°，AD⊥BC，可得∠α=∠B，∠β=∠C，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断．
【详解】∵∠A=90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°，
∴∠α=∠B，∠β=∠C，
∴sinα=sinB，故①正确；
sinβ=sinC，故②正确；
AC AC
∵在Rt ABC中sinB= ，cosC= ，
BC BC
△
∴sinB=cosC，故③正确；
∵sinα=sinB，cos∠β=cosC，
∴sinα=cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
【点睛】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系．
7
18．（2022·四川内江·统考一模）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB= ，则sinA−sinB =___．
5
1
【答案】± ．
5
a b
【详解】根据题意，设AB=c，BC=a，AC=b，则sinA= ，sinB= ，a2+b2=c2 ．
c c
7
∵sinA+sinB= ，
5
49 a b 2 49 a2+b2+2ab 49 c2+2ab 49 2ab 24
∴(sinA+sinB) 2= ⇒( + ) = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ．
25 c c 25 c2 25 c2 25 c2 25
a b 2 a2+b2−2ab c2−2ab 2ab 24 1
∴(sinA−sinB) 2=( − ) = = =1− =1− = ．
c c c2 c2 c2 25 25
1
∴sinA−sinB=± ．
5
19．（2012·湖南衡阳·中考真题）观察下列等式
1 1
①sin30°= cos60°=
2 2
√2 √2
②sin45°= cos=45°=
2 2
√3 √3
③sin60°= cos30°=
2 2
…
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）= ．【答案】1.
【分析】根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案
1 3
【详解】由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）= sin230°+sin260°= + =1；
4 4
1 1
sin245°+sin2（90°﹣45°）= sin245°+sin245°= + =1；
2 2
3 1
sin260°+sin2（90°﹣60°）= sin260°+sin230°= + =1；
4 4
…
∴sin2a+sin2（90°﹣a）=1.
故答案为1.
20．（2022·湖南娄底·统考中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为
了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方
向，BE⊥AB,∠CBE=α，过B作AD的垂线，垂足为A′（A点的视觉错觉点），若
sinα=0.05,AB=300mm，则A A′=________mm．
【答案】15．
【分析】根据同角的余角相等得到∠A′BA=∠α，进一步根据三角函数求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵A′B⊥AD且四边形ABCD为平行四边形，
∴A′B⊥BC，∠A′BC=∠ABC+∠A′BA=90°，
又∵BE⊥AB,∴∠ABE=∠ABC+∠α=90°，
∴∠A′BA=∠α，
A A′
∴sin∠A′BA=sinα= =0.05,
AB
又∵AB=300mm，
∴A A′=AB·sin∠A′BA=300×0.05=15mm．
故答案为：15．
【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角
函数关系求值．
【考点5 特殊角的三角函数】
21．（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)=
√2 √3 √2 1 √6+√2
× + × = ，则sin15°的值为_______．
2 2 2 2 4
√6−√2
【答案】
4
【分析】根据sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ代入进行计算即可．
【详解】解：sin15°=sin(45°−30°)
=sin45°cos30°−cos45°sin30°
√2 √3 √2 1
= × − ×
2 2 2 2
√6 √2
= −
4 4
√6−√2
= ．
4
√6−√2
故答案为： ．
4
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
22．（2022·浙江杭州·杭州绿城育华学校校考模拟预测）已知α为锐角，若√3tan2α−4tanα+√3=0，则
α的度数为______ ．
【答案】60°或30°
【分析】因数分解√3tan2α−4tanα+√3=0，即可求解．【详解】解：原式化为√3tan2α−4tanα+√3=(tanα−√3)(√3tanα−1)=0，
√3
∴tanα=√3或tanα= ，α为锐角，
3
由特殊角的三角函数值得，α=60°或α=30°，
故答案为：60°或30°．
【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值，解特殊角的三角函数的方程是解
题的关键．
| √3| (1 ) 2
23．（2022·四川自贡·校考一模）在△ABC中，若 sinA− + −cosB =0，∠A，∠B都是锐角，
2 2
则△ABC是______三角形．
【答案】等边
【分析】根据非负数的性质分别求出∠A和∠B，继而可判断△ABC的形状．
| √3| (1 ) 2
【详解】解：∵ sinA− + −cosB =0，
2 2
| √3| (1 ) 2
∴ sinA− =0， −cosB =0，
2 2
√3 1
∴sin A= ，cosB= ，
2 2
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：等边．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质，等边三角形的判断，解题关键是熟记特殊角的三
角函数值．
24．（2022·辽宁丹东·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(2,0)，点M是y轴上的一个
动点，当∠BMA=30°时，点M的坐标为________．
【答案】(0,3√3+√35)或(0,−3√3−√35)
【分析】分M在y轴的正半轴和负半轴两种情况计算，结合对称性求解即可．
【详解】如图，当M在y轴的正半轴上时，
将AB绕点A逆时针旋转60°，得到等边三角形ABC，∵A(−4,0)，B(2,0)，
∴AB=BC=CA=6，AO=4，
过点C作CE⊥y轴，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，
1 √3
则AF=ABcos60∘=6× =3，CF=ABsin60∘=6× =3√3，OF=OA-AF=1，
2 2
四边形CEOF是矩形，
∴OE=CF=3√3，CE=OF=1，
以点C为圆心，以AC长为半径作圆，交y轴于点M，连接AM，BM，根据圆周角定理，得∠BMA=30°，
连接CM，
则EM=√CM2−CE2=√62−12=√35，
∴OM=OE+EM=3√3+√35，
∴M（0，3√3+√35）；
根据对称性，当点M在y轴的负半轴时，M（0，−3√3−√35）
故答案为：（0，3√3+√35）或（0，−3√3−√35）．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理，勾股定理，熟
练掌握旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，圆周角定理是解题的关键．
25．（2022·上海静安·统考一模）计算：√cos230°−sin230°+
(cot45°−sin45°) 2
．
tan45°
3−√2
【答案】
2【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
2
√2
( )
1−
【详解】解：原式 √ (√3) 2 (1) 2 2
= − +
2 2 1
√3 1 1
= − +1+ −√2
4 4 2
√2 1
= +1+ −√2
2 2
3−√2
= ．
2
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【考点6 解直角三角形】
26.（2022·江苏无锡·无锡市天一实验学校校考模拟预测）如图，△ABC中，分别以AB、AC为底边向外作
等腰△ABD和等腰△AEC，连接DE，点F为BC的中点，连接EF并延长交DB的延长线于点G，
15 4
DE= FG，DG=4√10，若∠G+∠DAE−∠CEF=180°，tan∠DEG= ，则tan∠EDG的值为
4 3
______．
13
【答案】
9
【分析】作BK∥EC交EF的延长线于K，连接DF，DK，作ER⊥DG于R，首先证明
△BFK≌△CFE进而证明出△DAE≌△DBK，推出DE=DK，由EF=FK，推出DF⊥EK，设
15 4
FG=4a，由DE= FG，可得DE=15a，由tan∠DEG= ，推出DF=12a，EF=9a，在
4 3
Rt△DFG中，根据DF2+FG2=DG2，构建方程求出a，再解直角三角形求出RG，ER即可解决问题．
【详解】解：作BK∥EC交EF的延长线于K，连接DF，DK，作ER⊥DG于R，∵BF=CK，∠K=∠FEC，
在△BFK和△CFE中，
¿，
∴△BFK≌△CFE(ASA)，
∴CE=BK，EF=FK，
∵AE=EC，
∴AE=BK，
∵∠KBG=∠BGF−∠BKG=∠BGF−∠FEC，
又∵∠BGF+∠DAE−∠CEF=180°，
∴∠KBG+∠DAE=180°，
∵∠KBG+∠DBK=180°，
∴∠DBK=∠DAE，
在△DAE和△DBK中，
¿，
∴△DAE≌△DBK(SAS)，
∴DE=DK，
∵EF=FK，
∴DF⊥EK，设FG=4a，
15
∵DE= FG，
4
∴DE=15a，
4
∵tan∠DEG= ，
3
∴DF=12a，EF=9a，
在Rt△DFG中，∵DF2+FG2=DG2，∴(12a) 2+(4a) 2=(4√10) 2 ，
解得a=1或−1（舍弃），
∴EG=13，
12a
∵tan∠DGE= =3，
4a
13√10 39√10
∴RG= ，ER= ，
10 10
13√10 27√10
∴DR=DG−RG=4√10− = ，
10 10
39√10
ER 10 13
∴tan∠EDG= = = ，
RD 27√10 9
10
13
故答案为： ．
9
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，解决本题的关键是学会添加辅助线，构造
全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
27.（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分
∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．
(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
3
(2)若sin∠ECD＝ ，CE＝5，求⊙O的半径．
5
【答案】(1)CD是⊙O的切线，理由见解析
25
(2)⊙O的半径为
6
【分析】（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．证明四边形CDEJ是矩形，推出CD＝EJ＝4，CJ＝DE＝3，再
利用勾股定理构建方程求解．
（1）
解：结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）
设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
DE 3
∵sin∠ECD＝ ＝ ，CE＝5，
CE 5
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
25
∴r＝ ，
625
∴⊙O的半径为 ．
6
【点睛】本题考查解直角三角形，切线的判定，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
28.（2022·上海·统考中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值．
【答案】(1)y=x+1
√5
(2)
5
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1，
把A（2，3）代入，得3=2k+1，
解得：k=1，
∴这个一次函数的解析式为y=x+1；
（2）解：如图，
m
设反比例函数解析式为y= ，
x
m
把A（2，3）代入，得3= ，
2
解得：m=6，6
∴反比例函数解析式为y= ，
x
6
当x=6时，则y= =1，
6
∴B（6，1），
∴AB=√(6−2) 2+(1−3) 2=2√5，
∵将点B向上平移2个单位得到点C，
∴C（6，3），BC=2，
∵A（2，3），C（6，3），
∴AC∥x轴，
∵B（6，1），C（6，3），
∴BC⊥x轴，
∴AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形，
BC 2 √5
∴cos∠ABC= = = ．
AB 2√5 5
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的
关键．
29.（2022·山东烟台·统考中考真题）
(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请BD
直接写出 的值．
CE
AB AD 3
(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ．连
BC DE 4
接BD，CE．
BD
①求 的值；
CE
②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．
【答案】(1)见解析
√2
(2)
2
3 4
(3)① ；②
5 5
【分析】（1）证明 BAD≌△CAE，从而得出结论；
（2）证明 BAD∽△△CAE，进而得出结果；
（3）①先△证明 ABC∽△ADE，再证得 CAE∽△BAD，进而得出结果；
②在①的基础上△得出∠ACE＝∠ABD，△进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC和 ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠△BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
AB AB 1
∴ = = ，∠DAE＝∠BAC＝45°，
AE AC √2
∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD∽△CAE，
BD AB 1 √2
∴ = = = ；
CE AC √2 2AB AD 3
（3）解：① = = ，∠ABC＝∠ADE＝90°，
AC DE 4
∴△ABC∽△ADE，
AB AD 3
∴∠BAC＝∠DAE， = = ，
AC AE 5
∴∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
BD AD 3
∴ = = ；
CE AE 5
②由①得：△CAE∽△BAD，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BFC＝∠BAC，
BC 4
∴sin∠BFC= = ．
AC 5
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解
决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
5
30.（2023·上海静安·统考一模）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cosB= ，
13
AB=13,BC=21．
(1)求AC的长；
(2)求∠BAC的正弦值．
【答案】(1)AC长为20．
63
(2)∠BAC的正弦 ．
65
【分析】（1）由∠B的余弦求出BD的长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题．（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．
BD 3
【详解】（1）∵cosB= = ,AB=13,
AB 15
5
∴BD=13× =5,
13
∴CD=BC−BD=21=5=16
∵AD=√AB2−BD2=√132−52=12
∴AC=√AD2+CD2=√122+162=20
（2）作CH⊥AB于H
1 1
∵△ABC的面积= AB⋅CH= BC⋅AD
2 2
∴13CH=21×12
252
∴CH=
13
252
∴∠BAC的正弦值是CH 13 63
= =
AC 20 65
【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．
【考点7 解直角三角形的应用之仰角俯角问题】
31．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高
度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部
的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：√3≈1.732，结果按四舍五八保留一位小数）【答案】12.7
【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE=x m，在
DE x √3
DE x tan30°= = =
Rt△BDE中，tan60°= = =√3，进而求得AE，在Rt△ADE中， AE √3 3 ，
BE BE 20+ x
3
求得x，根据CD=CE-DE可得出答案．
【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，
则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
DE x
在Rt△BDE中，tan60°= = =√3
BE BE
√3
解得BE= x
3
√3
则AE=AB+BE=(20+ x)m，
3
DE x √3
tan30°= = =
在Rt△ADE中， AE √3 3 ，
20+ x
3
解得x=10√3≈17.3m，
∴CD=CE-DE=12.7m．
故答案为：12.7．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
32．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，校园内有一株枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼
CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°，小青计算
后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对
教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.其中正确的是
_______．（填写序号，参考数值：√3≈1.7，√2≈1.4）【答案】①③④
【分析】过点D的水平线交AB于E，先证四边形EACD为矩形，ED=AC=12米，①利用三角函数求出
AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°，②利用CD=AE=DEtan30°=4√3≈6.8米， ③利用AB=18.8米＞12米，④
点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜12，判断即可．
【详解】解：过点D的水平线交AB于E，
∵DE∥AC，EA∥CD，∠DCA=90°，
∴四边形EACD为矩形，
∴ED=AC=12米，
①AB=BE+AE=DEtan45°+DEtan30°=12+4√3≈12+4×1.7=18.8故①正确；
②∵CD=AE=DEtan30°=4√3≈6.8米，故②不正确；
③∵AD=2CD,故AD≈13.6米AB=18.8米＞13.8米，∴直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教
学楼有影响；故③正确；
④∵第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，
∴点B到砍伐点的距离为：18.8-8=10.8＜13.8，
∴第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害.故④正确
∴其中正确的是①③④．
故答案为①③④．
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判断与性质，掌握解直角三角形方法，矩形的判断与性质是解题
关键．33．（2022·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼
的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知
楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为
30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
【答案】(1)75；60
(100 )
(2) √3+10 米
3
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求∠APD，过点A作AE⊥DC于点E，再利用三角形内角和求∠ADC；
（2）在Rt△AED中，∠DAE=30°求出DE的长度再根据CD=DE+EC计算即可；
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE即可．
【详解】（1）过点A作AE⊥DC于点E，由题意得：∠MPA=60°,∠NPD=45°,∠DAE=30°,
∴∠APD=180°−∠MPA−∠NPD=75°
∠ADC=90°−∠DAE=60°
（2）由题意得：AE=BC=100米，EC=AB=10．
在Rt△AED中，∠DAE=30°，
√3 100
∴DE=AE⋅tan30°=100× = √3(米)，
3 3
100
∴CD=DE+EC= √3+10(米)
3
(100 )
∴楼CD的高度为 √3+10 米．
3
（3）作PG⊥BC于点G，交AE于点F，则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10(米)
∵MN∥AE，
∴∠PAF=∠MPA=60°．
∵∠ADE=60°，
∴∠PAF=∠ADE．
∵∠DAE=30°，
∴∠PAD=30°．
∵∠APD=75°，
∴∠ADP=75°．
∴∠ADP=∠APD．
∴AP=AD．
∴△APF≌△DAE（AAS）．
∴PF=AE=100．
∴PG=PF+FG=100+10=110(米)
∴无人机距离地面BC的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯
角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
34．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院
作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如图，为测量景区中一座雕像AB的高度，
某数学兴趣小组在D处用测角仪测得雕像顶部A的仰角为30°，测得底部B的俯角为10°．已知测角仪CD
与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函数及根式表示即可）( √3 )
【答案】 1+ 米
3tan10°
【分析】过点C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE是矩形，则CD=BE =1，在Rt△ACE与Rt△EBC中，
分别表示出AE,EB，根据AB=AE+EB即可求解．
【详解】如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE是矩形，
∴ CD=BE =1，
AE √3
Rt△ACE中，tan∠ACE= =tan30°= ，
CE 3
√3
∴AE= CE，
3
EB
Rt△EBC中，tan∠ECB= =tan10°，
EC
∵EB=CD=1
EB 1
∴EC= = ，
tan10° tan10°
√3
∴AB=AE+EB= +1（米）
3tan10°
( √3 )
答：雕像AB的高为 1+ 米
3tan10°【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
35．（2022·四川宜宾·统考中考真题）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新
建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼
的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B
处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：√3≈1.7，√2≈1.4）
【答案】40米
【分析】根据i=7:24，AB=25米，设BF=7a，则AF=24a，根据勾股定理求得a=1，又设BE=x米，
则FC=BE=x米，CE=BF=7米，求出DE，根据AC=DC列出方程，解方程进而根据DE=√3x即可求
解．
【详解】解：在Rt△ABF中，i=7:24，AB=25米，
设BF=7a，则AF=24a，由AF2+BF2=AB2，
得(24a) 2+(7a) 2=252，
解得：a=1，
∴BF=7米，AF=24米
又设BE=x米，则FC=BE=x米，CE=BF=7米
在Rt△BDE中，∠DBE=60°，
则DE=√3BE=√3x，
∴DC=DE+EC=√3x+7（米），
在Rt△ACD中，∠DAC=45°，则AC=DC，
∴AF+FC=24+x，
∴24+x=√3x+7，
17
解得：x= (1+√3)，
2
17 17
∴DE=√3x= ×3+ √3≈40（米）．
2 2∴东楼的高度约为40米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．
【考点8 解直角三角形的应用之方位角问题】
36．（2022·辽宁葫芦岛·统考一模）如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B在A的正东
方向，D在A的北偏东60°方向上，与A相距300米，E在D的正东方向140米处，C在A的北偏东45°方
向上，C，E均在B的正北方向．
(1)求景点B，E之间的距离；
(2)求景点A，C之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)150米
(2)（140√2+150√6）米
【分析】（1）过点D作DH⊥AB，由30°的直角三角形的性质，即可进行解答；
（2）由勾股定理可得出AH=150√3米，故AB=（140+150√3）米，由∠CAB=45°，∠ABC=90° 可
得出AC的长度．
（1）过点D作DH⊥AB，垂足为点H， 由题意可知：∠DAF=60°，
1 √3
∴∠DAB=30°，∵AD=300米，∴在Rt△ADH中，DH= AD=150米，AH=AD·cos30º=300× =150√3米，
2 2
∵∠DHB=∠ABE=∠DEB=90º，∴四边形BEDH是矩形，∴BE=DH=150米，答：景点B，E之间的距离为
150米．
（2）由（1）可知：BH=DE=140米，AH=150√3米，∴AB=（140+150√3）米，∵∠CAB=45º，√2
∠ABC=90º，∴AC=AB÷cos45º=（140+150√3）÷ =（140√2+150√6）米，答：景点A，C之间的距离
2
为（140√2+150√6）米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
37．（2022·重庆·统考二模）一天，爸爸带着他的一儿一女去海边玩，爸爸和哥哥在距海岸线（抽象为直
线l）一定距离的A处休息，妹妹带上游泳圈在距海岸线40米的B处游泳．过了一会儿，海浪逐渐变大，
妹妹由于过度紧张，无法继续游动，只好在B处呼救，爸爸和哥哥听到妹妹呼救，立刻起身．情急之下，
哥哥沿AB方向奔跑，由E处下海，沿EB游向妹妹；爸爸沿AD方向奔跑，由D处下海，再沿DB游向妹
妹．如图所示，BD⊥l于点D，点B在点A北偏西37°方向，点D在点A北偏西60°方向，A、E、B三点共
线．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√3≈1.73）
(1)求点A到海岸线的距离（结果精确到0.1米）；
(2)若爸爸和哥哥在沙滩上奔跑的速度均为2m/s，在水中游泳的速度均为0.5m/s，请用数据说明，爸爸和哥
哥谁先到达妹妹身边？
【答案】(1)点A到海岸线的距离约为30.6米
(2)爸爸先到达妹妹身边，数据说明过程见解析
【分析】（1）过点A作AC⊥l于点C，设AC=x米，先解直角三角形分别求出DE,CE的长，从而可得
CD的长，然后在Rt△ACD中，解直角三角形即可得；
（2）过点A作AC⊥l于点C，先解直角三角形分别求出BE,AE,AD的长，再分别求出爸爸到达妹妹身
边所需时间和哥哥到达妹妹身边所需时间，由此即可得．A AC⊥l C
（1）解：如图，过点 作 于点 ， 则
∠CAB=37°,∠CAD=60°，∵BD⊥l，∴∠B=∠CAB=37°，∴DE=BD⋅tanB=40tan37°
（米），设AC=x米，∴CE=AC⋅tan∠CAB=xtan37°（米），
∴CD=DE+CE=(40tan37°+xtan37°)米，在Rt△ACD中，CD=AC⋅tan∠CAD，即
40tan37°
40tan37°+xtan37°=xtan60°=√3x，解得x= ≈30.6，即AC≈30.6米，答：点A到海岸
√3−tan37°
线的距离约为30.6米．
A AC⊥l C ∵BD=40
（2）解：如图，过点 作 于点 ， 米，
BD AC AC
AC≈30.6米，∴BE= ≈50米，AE= ≈38.25米，AD= ≈61.2米，则爸爸
cosB cos∠CAB cos∠CAD
AD BD 61.2 40
到达妹妹身边所需时间为 + ≈ + =110.6(s)，哥哥到达妹妹身边所需时间为
2 0.5 2 0.5
AE BE 38.25 50
+ ≈ + =119.125(s)，因为110.6<119.125，所以爸爸先到达妹妹身边．
2 0.5 2 0.5
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．
38．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）北京冬奥会的成功举办，点燃了小明和小代的健身热情，两人立即制定好计划积极投入到健身中，如图，小明家住在A地，小代家住在B地，健身馆在C地，在A处测
得健身馆C在A的北偏东15°方向上，在B处测得健身馆C在B的北偏西45°方向上，B在A的北偏东60°
方向上．某天小明和小代分别从自己家出发到C地健身，他们约定先在AC上的D处汇合，小明沿着AC
方慢跑，小代沿着正西方向以180m/min的速度跑了5分钟到D．（参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41，
√6≈2.45）
(1)求小明家A到小代家B的距离；（结果精确到0.1m）
(2)他们在D处汇合的时间恰好为13：57，若他们要在预定的14：00到达健身馆C，请问他们汇合之后的
速度至少应为多少？
【答案】(1)小明家A到小代家B的距离约为1229.4m；
(2)他们汇合之后的速度至少应为245m/min．
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于点E，根据题意可得∠DAE=45°，∠DBA=30°，BD=180×5=900（m），
然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据题意可得∠C=60°，∠DBF=45°，BD=180×5=900（m），利用锐角三
角函数可得CD，设他们汇合之后的速度为v m/min，进而列式3v=300√6，进而即可解决问题．
（1）如图，过点D作DE⊥AB于点E， 根据题意可知：1
∠DAE=45°，∠DBA=30°，BD=180×5=900（m），∴DE=AE= BD=450m，∴BE=√3DE=450√3m，
2
∴AB=AE+BE=450+450√3=450（√3+1）≈1229.4（m）．∴小明家A到小代家B的距离约为1229.4m；
（2）如图，过点D作DF⊥BC于点F，根据题意可知：∠C=60°，∠DBF=45°，BD=900m，
DF 450√2
√2 CD= = =300√6
∴DF=BD×sin45°=900× =450√2（m），∴CD= sin60° √3 （m），设他们汇合之后
2
2
的速度为v m/min，∴CD=（14：00-13：57）v=3v（m），∴3v=300√6，∴v=100√6≈245（m/min），∴
他们汇合之后的速度至少应为245m/min．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
39．（2022·湖南怀化·统考模拟预测）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径
为800米的圆形纪念园．如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和B村南偏东60°方向上，C村在B村的
正东方向且两村相距2.4千米．有关部门计划在B、C两村之间修一条笔直的公路来连接两村．问该公路是
否穿过纪念园？试通过计算加以说明． （参考数据：√3≈1.73，√2≈1.41）
【答案】不穿过，理由见解析
【分析】先作AD⊥BC，再根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，可表示AD和BD，然后根据
特殊角三角函数值列出方程，求出AD，与800米比较得出答案即可．
【详解】不穿过，理由如下：
过点A作AD⊥BC，交BC于点D，根据题意可知∠ACD=45°，∠ABD=30°.
设CD=x，则BD=2.4-x，
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，
∴∠CAD=45°，
∴AD=CD=x．
AD
在Rt△ABD中，tan30°= ，
BDx √3
即 = ，
2.4−x 3
解得x=0.88，
可知AD=0.88千米=880米，
因为880米＞800米，所以公路不穿过纪念园．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
40．（2022·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，
它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距深圳正南
200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一级，该台
风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过
六级，则称受台风影响．
（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？
（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？
3
（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈ ，cos42°≈
4
29 9
，tan42°≈ ）
40 10【答案】（1）会受影响，见解析；（2）7级；（3）3√11．
【分析】（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，利用解直角三角形确定AD的值，与影响半径180千米比较，
作出判断；
（2）这次台风最大风力为：12﹣（AD÷30）（级）；
（3）利用垂径定理，计算出影响的距离，除以风速即为影响时间．
【详解】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．
理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于D，
在Rt 中，
△AC3D
∵sin43°≈ ，，AC＝200千米，
4
3
∴CD＝AC•sin43°≈200× ＝150（千米），
4
∵城市受到的风力达到或超过六级，则称受台风影响，
∴受台风影响范围的半径为30×（12﹣6）＝180（千米），
∵150（千米）＜180（千米），
∴该城市会受到这次台风的影响．
（2）∵AD距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12﹣（150÷30）＝7（级）．
答：受到台风影响的最大风力为7级；
（3）如图以C为圆心，180为半径作⊙C交AB于E、F．则CE＝CF＝180．
∴台风影响该市持续的路程为：EF＝2DE＝2×√1802−1502＝60√11（千米）．
∴台风影响该市的持续时间：t＝60√11÷20＝3√11（时）；
答：台风影响该城市的持续时间为3√11小时．
【点睛】本题考查了解直角三角形，垂线段最短原理，垂径定理，熟练将生活问题转化为解直角三角形模
型和圆的模型计算是解题的关键．
【考点9 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
41．（2022·贵州毕节·统考中考真题）如图，某地修建一座高BC=5m的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为
1:√3，则斜坡AB的长度为（ ）
A．10m B．10√3m C．5m D．5√3m
【答案】A
【分析】直接利用坡度的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．
【详解】∵i=1:√3，BC=5m，
BC 5 1
∴ = = ，
AC AC √3
解得：AC=5√3m，
则AB=√BC2+AC2=√52+(5√3) 2=10m．
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC的长是解答本题的关键．
42．（2022·山东济南·统考一模）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与
建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续
前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、
4
C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i=1: ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精
3
确到1．参考数据：sin59°≈0.86，cos59°≈0.52，tan59°≈1.66）（ ）A．158米 B．161米 C．159米 D．160米
【答案】D
【分析】先利用斜坡AD的坡度求出DF，再利用矩形的性质和等腰三角形的性质求出
EH=BH=EG=DF=60，之后利用正切求出CH的值，最后通过求和即可得到建筑物BC的高度．
【详解】解：如图：过点D作DF⊥AB于点F，过点E作EG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BC于点H
4
∵斜坡AD的坡度i=1:
3
4
∴DF:AF=1:
3
4
∴可设DF=x，AF= x
3
∵在Rt△ADF中，DF2+AF2=AD2，
∴x2+ (4 x ) 2 =1002
3
∴x=60∴EH=EG=DF=60
∵在Rt△BEH中，∠BEH=45°
∴EH=BH=60
∵在Rt△CEH中，tan∠CEH≈1.66
∴CH≈EH⋅tan△CEH≈60×1.66≈90
∴CB=CH+BH=100+60=160
故选：D．
【点睛】本题考查坡度的意义，等腰直角三角形的性质和解直角三角形，选取恰当的方法正确求出线段长
度是解题关键．
43．（2022·内蒙古·中考真题）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C
处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已
3
知山坡坡度i=3:4，即tanθ= ，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：
4
√3≈1.732）
【答案】该建筑物AB的高度约为31.9m
【分析】如图，作DE⊥AC交AC于点E，作DF⊥AB交AB于点F，作CH⊥DF交DF于点H，根据题
意分别求出BF和AF的长，再根据AB=AF+BF即可求解．
【详解】作DE⊥AC交AC于点E，作DF⊥AB交AB于点F，作CH⊥DF交DF于点H
则DE=AF，HF=AC，DH=CE
3
∵tanθ=
4
∴设DE=3x，则CE=4x在Rt△CDE中，∠E=90°
∴DE2+CE2=CD2
∴(3x) 2+(4x) 2=202
∴x=4（负值舍去）
∴DE=12，CE=16
∴AF=DE=12，DH=CE=16
设BF= y，则AB=(y+12)
在Rt△BDF中，∠BDF=30°
BF
∵tan∠BDF=
DF
∴DF=√3 y
在Rt△ABC中，∠ACB=60°
AB
∵tan∠ACB=
AC
√3
∴AC= (y+12)
3
√3
即HF=AC= (y+12)
3
∵DF−FH=DH
√3
∴√3 y− (y+12)=16
3
∴y=(6+8√3)
∴AB=BF+FA=6+8√3+12=18+8√3≈31.9(m)
答：该建筑物AB的高度约为31.9m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三
角形是解题的关键．44．（2022·宁夏·中考真题）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影
近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方
向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为(4,12)，着陆坡顶端C与落地点D
CE 3
的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i=3:4（即 = ）．求：
DE 4
(1)点A的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）（参考数据：√3≈1.73）
【答案】(1)A(0,4)
1
(2)y=− (x−4) 2+12
2
(3)OC的长约为7.2米
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的
长可得出结论．
【详解】（1）解：∵OA=4，且点A在y轴正半轴，
∴A(0,4)．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为(4,12)，
∴设抛物线的解析式为：y=a(x−4) 2+12，
∵A(0,4)，∴a(0−4) 2+12=4，
1
解得a=− ．
2
1
∴抛物线的解析式为：y=− (x−4) 2+12．
2
CE 3
（3）在Rt△CDE中， = ，CD=2.5，
DE 4
设CE＝3x，DE＝4x，
∴CE2+DE2=CD2，
即(3x) 2+(4x) 2=2.52，
解得x＝0.5，
∴CE=1.5，DE=2．
∴点D的纵坐标为−1.5，
1
令− (x−4) 2+12=−1.5，
2
解得，x=4+3√3≈9.19或x=4−3√3≈−1.19(不合题意，舍去)，
∴D(9.19,−1.5)．
∴OC=9.19−2=7.19≈7.2(m)．
∴OC的长约为7.2米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点、解一元
二次方程等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
45．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯
共有五级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖
边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结
果精确到1）
（参考数据表）计算结果（已精
计算器按键顺序
确到0.001）
11.310
0.003
14.744
0.005
【答案】不得小于12度
1
【分析】根据题意可得DF＝ AB＝0.15米，然后根据斜坡AC的坡比为1：2，可求出BC，CD的长，从
5
而求出EB的长，最后在Rt△AEB中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：
1
DF＝ AB＝0.15（米），
5
∵斜坡AC的坡比为1：2，
AB 1 DF 1
∴ ＝ ， ＝ ，
BC 2 CD 2
∴BC＝2AB＝1.5（米），CD＝2DF＝0.3（米），
∵ED＝2.55米，
∴EB＝ED+BC﹣CD＝2.55+1.5﹣0.3＝3.75（米），
AB 0.75 1
在Rt△AEB中，tan∠AEB＝ ＝ ＝ ，
EB 3.75 5
查表可得，∠AEB≈11.310°≈12°，
∴为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12度．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟练掌握坡比是解题的关键．【考点10 解直角三角形应用之其他问题】
46．（2022·山东威海·模拟预测）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降
低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33° 到40° 之间时
（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．
(1)小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3．5米，
小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果
精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54 ，tan33°≈0.65 ，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84 ，
sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）
(2)由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价
比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今
年这款激光电视每台的售价是多少元？
【答案】(1)2.10m−2.52m之间
(2)16000元
【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB=AC，当∠BAC=33°时，当∠BAC=40°
时，利用锐角三角函数即可解决问题；
（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即
可解决问题．
【详解】（1）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB=AC，AD⊥BC，
1
∴BC=2BD，∠BAD=∠CAD= ∠BAC，
2
当∠BAC=33° 时，∠BAD=∠CAD=16.5° ，
在△ABD 中，BD=AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05(m) ，
∴BC=2BD=2.10（m），
当∠BAC=40° 时，∠BAD=∠CAD=20° ，
在△ABD中，BD=AD×tan20°≈3.5×0.36=1.26(m)，
∴BC=2BD=2.52m ，
答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m−2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；
（2）解：设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．
1000000 1000000×(1−20%)
由题意可得： = ，
x+4000 x
解得：x=16000，
经检验x=16000是原方程的解，符合题意，
答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的应用以及分式方程的应用，视点，视角和盲区，
解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．
47．（2022·浙江绍兴·一模）如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的
角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时(如图②)，人观看屏幕最舒适．此
时测得∠BAO=15°，AO=30cm，∠OBC=45°，求AB的长度．(结果精确到0.1 cm)（参考数据：
sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，√2≈1.414）
【答案】37cm
【分析】过O点作OD⊥AB交AB于D点．构造直角三角形，在Rt△ADO中，计算出OD,AD，在
Rt△BDO中， 计算出BD.
【详解】解：如图所示：过O点作OD⊥AB交AB于D点．在Rt△ADO中，
∵∠A=15°,AO=30，
∴OD=AO⋅sin15°=30×0.259=7.77(cm).
AD=AO⋅cos15°=30×0.966=28.98(cm).
又∵在Rt△BDO中，∠OBC=45°.
∴BD=OD=7.77(cm)，
∴AB=AD+BD=36.75≈37(cm)．
答：AB的长度为37cm．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
48．（2022·广东广州·校考二模）C919大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣．如图是某校
航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD,AM∥BN∥ED,AE⊥DE，
其中AB=17cm,ED=25cm，求出线段BE和CD的长．
（sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75，结果保留小数点后两位）
【答案】线段BE的长约为18.75cm，CD的长约为10.75cm．
【分析】延长DC交BN于点G，交AM于点F，在Rt BGD中，∠GBD＝37°，求得ND，即可得到BE，
再求得DF，在Rt AFC中，∠FAC＝45°，求得FC，△进一步求得CD即可．
△【详解】解：延长DC交BN于点G，交AM于点F，
由题意得：
∠BGC＝∠AFC＝90°，AE＝DF，BE＝GD，AF＝BG＝ED＝25cm，
在Rt BGD中，∠GBD＝37°，
∴ND＝△BN•tan37°≈25×0.75＝18.75（cm），
∴BE＝ND＝18.75cm，
∵AB＝17cm，
∴DF＝AE＝AB+BE＝17+18.75＝35.75（cm），
在Rt△AFC中，∠FAC＝45°，
∴FC＝AF•tan45°＝25（cm），
∴CD＝DF﹣FC＝35.75﹣25＝10.75（cm），
∴线段BE的长约为18.75cm，CD的长约为10.75cm．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关
键．
49．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防
雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后
系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，
AC=AD=2m，BF=3m．
(1)天晴时打开“天幕”，若∠α=65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；
(2)下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，√2≈1.41）
【答案】(1)遮阳宽度CD约为3.6m
(2)点E下降的高度约为1.6m
【分析】（1）在Rt△AOD中，利用正弦可得OD的长，由此即可得；
（2）设点E下降到点E′，过点E作EM⊥AB于点M，过点E′作E′N⊥AB于点N，先根据矩形的判定与
性质可得EM=BF=3m,E′N=BF=3m,BM=EF,BN=E′F，从而可得MN=EE′，再分别解直角三角
形可得AM,AN的长，然后根据线段和差即可得．
【详解】（1）解：由题意得：△ACD是轴对称图形，
1
∴∠AOC=∠AOD=90°,OC=OD= CD，
2
∵AC=AD=2m，∠α=65°，
∴OD=AD⋅sinα=2sin65°≈1.80(m)，
∴CD=2OD≈3.6m，
答：遮阳宽度CD约为3.6m．
（2）解：如图，设点E下降到点E′，过点E作EM⊥AB于点M，过点E′作E′N⊥AB于点N，
则四边形BFEM和四边形BFE′N都是矩形，
∴EM=BF=3m,E′N=BF=3m,BM=EF,BN=E′F，
∴BM−BN=EF−E′F，即MN=EE′，
EM
当∠α=65°时，AM= ≈1.40m，
tan65°
E′N
当∠α=45°时，AN= =3m，
tan45°
则EE′=MN=AN−AM≈1.6m，
答：点E下降的高度约为1.6m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方
法是解题关键．50．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度
（结果保留小数点后一位，√3≈1.7）.
【答案】AB的长度约为10.2米
【分析】延长BA交CE的垂线DG于点F，AC,DF交于点G,则四边形DFBE是矩形，根据图示，可得四
边形DFBE是正方形，解Rt△CGD,Rt△AGF，即可求解．
【详解】解：如图，延长BA交CE的垂线DG于点F，AC,DF交于点G,则四边形DFBE是矩形，
∵∠FDB=45°,
∴DF=FB，
∴四边形DFBE是正方形，
∴BF=EB=14，
∵∠DCG=90°−60°=30°，AF∥CD，
∴∠FAG=∠DCG=30°，√3 20√3
Rt△CDG中，DG=tan∠DCG⋅CD= ×20= ，
3 3
20√3
∴GF=DF−DG=14− ，
3
20√3
14−
FG FG 3
Rt△AFG中，AF= = = =14√3−20，
tan∠FAG tan30° √3
3
∴ AB=BF−AF=14−14√3+20=34−14√3≈10.2（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
