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专题 18 解直角三角形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 锐角三角函数的定义】
1．（2022·山东济南·山东省实验初级中学校考模拟预测）在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，
则cosB的值为（ ）
√5 2√5 1
A． B． C． D．2
5 5 2
【答案】A
【分析】在直角△EBD中，利用勾股定理即可求得EB的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】如图，
在直角△EBD中，BD=2，ED=4，
∴ EB=√BD2+ED2=√22+42=2√5，
BD 2 √5
则cosB= = = ．
EB 2√5 5
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直
角三角形的边长的比．
2．（2022·吉林长春·校考二模）如图是一架人字梯，已知AB=AC，AC与地面BC的夹角为α，两梯脚之间的距离BC=8米，则线段AB长为（ ）
4
A．4cosα B．4sinα C．4tanα D．
cosa
【答案】D
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形的三线合一求出CD，然后根据余弦的定义求出AC
即可．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，BC=8米，
1
∴CD= BC=4米，
2
CD
在Rt△ADC中，cosα= ，
AC
4
∴AC= ，
cosα
4
∴AB=AC= ．
cosα
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、等腰三角形的性质，熟记余弦的定义是解题的关键．
3．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格
点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（ ）2√13 3√13 2 √5
A． B． C． D．
13 13 3 3
【答案】B
【分析】首先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据圆周角定理的推论得出∠ADC=∠CBA，
∠ACB=90°，计算出cos∠CBA即可得到cos∠ADC．
【详解】解：∵AB为直径，CB=3，AC=2，
∴∠ACB=90°，AB2=CB2+AC2，
∴AB=√13，
CB 3 3√13
∴cos∠CBA= = = ，
AB √13 13
∵A´C=A´C，
∴∠ADC=∠CBA，
3√13
∴cos∠ADC=
13
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键．
4．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，点D是AC上一点，
1 1
连接BD．若tan∠A= ，tan∠ABD= ，则CD的长为（ ）
2 3
A．2√5 B．3 C．√5 D．2
【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出AC=2√5，再由勾股定理求出AB=5,过点D作DE⊥AB于点E，依
1 1 3
据三角函数值可得DE= AE,DE= BE,从而得BE= AE，再由AE+BE=5得AE=2，DE=1，由勾股
2 3 2
定理得AD=√5，从而可求出CD．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=√5，
BC 1
∴tan∠A= =
AC 2
∴AC=2BC=2√5,
由勾股定理得,AB=√AC2+BC2=√ (2√5) 2+(√5) 2=5
过点D作DE⊥AB于点E，如图，
1 1
∵tan∠A= ，tan∠ABD= ，
2 3
DE 1 DE 1
∴ = , = ,
AE 2 BE 3
1 1
∴DE= AE,DE= BE,
2 3
1 1
∴ AE= BE
2 3
3
∴BE= AE
2
∵AE+BE=5,
3
∴AE+ AE=5
2
∴AE=2,
∴DE=1,
在Rt ΔADE中,AD2=AE2+DE2
∴AD=√AE2+DE2=√22+12=√5∵AD+CD=AC=2√5,
∴CD=AC−AD=2√5−√5=√5,
故选：C
【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．
5．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光
线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
m m
A．m(cosα−sinα) B．m(sinα−cosα) C．m(cosα−tanα) D． −
sinα cosα
【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt CDB中，CD=mcosα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，
AD=C△D×tan45°
=m×cosα×tan45°
=mcosα，
∴AB=AD-BD
=（mcosα-msinα）=m（cosα-sinα）．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函
数时要注意各边相对．
【考点2 锐角三角函数的增减性】
6．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（ ）
A．sinA
