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专题 16 全等三角形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 全等三角形的概念及其性质】
1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A′B′C′．若∠A=40°，
∠B′=110°，则∠BCA的度数是（ ）
A．90° B．80° C．50° D．30°
2．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形是全等形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点
D．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点
3．（2022·河南·模拟预测）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于()
A．72° B．60° C．58° D．50°
4．（2022·上海静安·统考二模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合B．面积相等的两个圆一定能够重合
C．面积相等的两个正方形一定能够重合 D．周长相等的两个菱形一定能够重合
5.（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【考点2 一次证明全等三角形】
6．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE,BD∥CE，求证：
△ABD≌△BCE．
7．（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AB=AD．
8．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交
AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1) DOF≌ BOE；
(2)△DE=BF．△
9.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1，∠B=∠D=90°，E是BD的中
点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．
（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别
交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；
若不成立，请说明理由．
10.（2022·江苏徐州·校考二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为
(0,4)，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E．
∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．
(1)求证：AB=AC；
(2)如图2，若点D的坐标为(−3,0)，求线段BC的长度；
(3)在旋转过程中，若点D的坐标从(−8,0)变化到(−2,0)，则点P的运动路径长为___________（直接写出
结果）
【考点3 多次证明全等三角形】
11．（2022·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝
OD．12．（2022·二模）已知：如图， BD 为 ΔABC 的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，
BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：
(1)ΔABD≅ΔEBC；
(2)AE=CE；
(3)BA+BC=2BF．
13．（2022·山东济南·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，AH⊥BD于点H，以
AH为边在AH右侧作等边△AEH，EH交BC于点F，求证：点F是BC的中点．
14.（2022·河南·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连
接CD，EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF．15.（2022·福建福州·校考模拟预测）如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角
ABC．
△
（1）求C点的坐标.
（2）如图2，OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角 APD，过D作
DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值. △
（3）如图3，点F坐标为（－4，－4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）在x轴的正半轴，且
FH⊥FG，求m+n的值.
【考点4 网格中的全等三角形】
16.（2022·浙江宁波·统考一模）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别
在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．
（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．
17.（2022·河北·模拟预测）如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于()A．585° B．540 C．270 D．315
18.（2022·河北·模拟预测）如图° ，在5×5方格中，每°个小方格都是边长为1°的正方形，△ABC是格点三角
形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
19.（2022·北京海淀·统考一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出
一个△≝¿，使得△≝¿与△ABC全等______．
20.（2022·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落
在格点上，则∠BAC+∠ACD＝_____°．
【考点5 尺规作图与全等三角形】
21．（2022·吉林白山·统考二模）仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，
请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
22.（2022·甘肃武威·校考二模）已知：AC是 ▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=3,BC=5，求△DCE的周长．
23.（2022·广东广州·校考二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，DF⊥AE于点F．
(1)过点B作AE的垂线交AE于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，若BP=3，PF=1，求AB的长．
24.（2022·江西吉安·校考一模）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造
出许多带有美感的图形．尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔
细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，
我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的
背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′使∠A′O′B′=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′ A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′ A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，____________________；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′
求证：∠A′O′B′=∠AOB
证明：∵¿
∴ΔOCD≅ΔO′C′D′( )
所以∠A′O′B′=∠AOB(
)【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l′，使得l//l′．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥
有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的
设计意图．
25.（2022·河北唐山·统考一模）【提出问题】课间，一位同学拿着方格本遇人便问：“如图所示，在边长
为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，如何证明点A、B、C在同一直线上呢？”
【分析问题】一时间，大家议论开了. 同学甲说：“可以利用代数方法，建立平面直角坐标系，利用函数
的知识解决”，同学乙说：“也可以利用几何方法…”同学丙说：“我还有其他的几何证法”……
【解决问题】请你用两种方法解决问题方法一（用代数方法）：
方法二（用几何方法）：
【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】
26.（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD的取值
范围是_________．
27.（2022·安徽·模拟预测）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根
据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A．6<AD<8 B．12<AD<16 C．1<AD<7 D．2<AD<14
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
28.（2022·山西·统考一模）阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，
∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的
计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交
AC于点E，求证：AE=EF．29.（2022·浙江宁波·统考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，且
AM
∠MAN＝∠ABC，则 的值是______．
AB
1
30.（2022·广东深圳·统考三模）如图，矩形ABCD中，AE＝ AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延
3
长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为_____．
【考点7 利用垂线模型证明全等三角形】
31．（2022·贵州黔东南·校考一模）如图，在平面直角坐标系中A(0,4)、C(6,0)，BC⊥x轴，存在第一象
限的一点P(a,2a−5)使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（ ）．
A．(3,1)或(3,3) B．(5,5) C．(3,1)或(5,5) D．(3,3)
32．（2022·浙江湖州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，
4），则点A的坐标为（ ）(5 3) ( 3 5)
A．（3，1） B． , C． − , D．（4，1）
2 2 2 2
33．（2022·浙江温州·校考一模）如图，在 ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，
连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD△于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为
（ ）
√7 3
A． B．√2 C． D．√3
2 2
34．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，点P、D落在正方形ABCD边AB的两侧，连接PA、PD、PB．AP
＝3，PB＝5，∠APB＝45°，则PD的长为______．
35．（2022·宁夏吴忠·统考一模）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B(2,0)，
以AB为边构造菱形ABEF（点E在x轴正半轴上），将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时
针旋转，每次旋转90°，则第27次旋转结束时，点F 的坐标为________．
27【考点8 利用旋转模型证明全等三角形】
36．（2022·山东济南·统考二模）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A
重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．
(1)问题发现：
如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为 ，∠ACE的度数是 ．
(2)问题探究：
如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．
(3)问题解决：
当∠AEC=30°时，求出线段BO的长
37．（2022·河南新乡·模拟预测）问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60° ，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕
点A逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD
绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量关系，并
说明理由；
解决问题：
(3)如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．
38．（2022·重庆·模拟预测）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，D是BC的中点，E为边AC上任意
一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．
(1)若AB=6，AE=√2，求ED的长；
(2)如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD=√2BF；
(3)如图3，将△BDF沿DF翻折，使得点B落在点P处，连接AP、EP，若AB=6，当AP+DP最小时，直
接写出△AEP的面积．
39．（2022·广东梅州·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一动点，连
接CD，并将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE、DE，点F为DE中点，连接BF．
（1）求证：△ACD≅△BCE；
AD
（2）如图2所示，在点D的运动过程中，当 =n时（n＞1），分别延长AC、BF相交于G：
BD
3
①当n= 时，求CG与AB的数量关系；
2
AD AB
②当 ＝n时（n＞1）， ＝ ．
BD CG
（3）当点D运动时，在线段CD上存在一点M，使得AM+BM+CM的值最小，若CM＝2，则BE＝ ．
40．（2022·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）已知 ABC和 DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝
△ △90°，将 ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点．
△
(1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 ；
(2)当 ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图
③其中△一种情况进行证明．
【考点9 连接两点作辅助线证明全等三角形】
41．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若
∠BDC=25°，AD=4，DE=√13，则CD的长为（ ）
√13
A．√2 B．√3 C． D．2
2
42．（2022春·江苏南通·模拟预测）如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，F是AB边上的中点，
点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结
论：(1)△≝¿是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连
1 14
接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE= 或 其中正确的结论个数是( )
3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个43．（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，
CD∥AO，求证：AC是⊙O的切线．
44．（2022秋·河北·模拟预测）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=
（ ）
A．50∘ B．40∘ C．40∘或70∘ D．30∘
45．（2022春·四川广安·四川省岳池县第一中学校模拟预测）如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（ ）
A．3√7 B．6 C．9 D．4√7
【考点10 全等三角形的实际应用】
46．（2022·甘肃陇南·模拟预测）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧
面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着
舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度为_____.47．（2022秋·陕西渭南·模拟预测）如图为秋千摇摆的示意图，秋千绳长OA=OB=OC，当秋千位于OB
位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD=3m，当秋千位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，求此时
秋千到OA的水平距离CE的长(CE⊥OA)．
48．（2022秋·陕西西安·模拟预测）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处
有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了
30步到达D处，然后他左转90°向正南方向直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直
线时，他从D到E走了80步．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)如果小刚一步大约0.5米，估计小刚在点A处时他与B处电线塔的距离，并说明理由．
49．（2022秋·山东淄博·模拟预测）为了测量一个池塘旁两棵树A，B之间的距离（如图），小刚利用数学
课中学到的知识进行了如下的测量：先站在B树处，正面对准A树；然后向右转90°，并向正前方走了6
米，标上记号C后，继续向前又走了6米到点D，再向右转90°又向前走，当又走了15米时，发现所处的
位置E与A，C在一条直线上．(1)画出小刚所走路线的示意图，并用字母标出小刚行走过程中的关键位置；
(2)树A与树B之间的距离是多少？并请说明理由．
50．（2022秋·江西赣州·模拟预测）数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现
了一个可以使用的工具－－卡钳，卡钳示意图如下，AD=BC，O是线段AD和BC的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A、B两端伸入在被测物内；
②打开卡钳，使得A、B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
(1)请写出第③步的理由；
(2)小组成员利用上述方法测得CD=12cm，同时测得外径为16cm，请求出花瓶内壁厚度x．
