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专题 16 全等三角形（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 全等三角形的概念及其性质】
1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A′B′C′．若∠A=40°，
∠B′=110°，则∠BCA的度数是（ ）
A．90° B．80° C．50° D．30°
【答案】D
【分析】旋转前后的图形全等，根据三角形的内角等于180°即可算出∠BCA的度数．
【详解】由题意可得△ABC≌△A′B′C
∴∠B=∠B′=110°
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−40°−110°=30°
故选：D
【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形的内角和，理解和熟记相应的知识，仔细理解题意是解决本题的
关键．
2．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形是全等形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点
D．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定知两个等边三角形不一定全等即可判定A错误；面积相等的三角形不一定
是全等三角形可判定B错误； 根据到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，可判定C错误； 根
据到三角形三个顶点距离相等的点是三边中垂线的交点即可判定D正确．【详解】解：A、两个等边三角形不一定全等，故此选项不符合题意；
B、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此选项不符合题意；
C、到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点， 故此选项不符合题意；
D、到三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定的判定定理，等边三角形的性质，三角
形三边垂直平分线的交点的性质，三角形内角平分线的交点性质是解题的关键．
3．（2022·河南·模拟预测）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于()
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】D
【分析】根据图形得出DE=AB=a，DF=AC=c，根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=50°，即可
得出选项．
【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，
又∵△ABC和△≝¿全等，
∴∠D=∠A=50°，
∴∠α=50°，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的
对应边相等，对应角相等．
4．（2022·上海静安·统考二模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合B．面积相等的两个圆一定能够重合
C．面积相等的两个正方形一定能够重合 D．周长相等的两个菱形一定能够重合
【答案】D
【分析】利用全等图形的定义，以及等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质分析选项
即可．
【详解】解：由题意可知：A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合，周长相等说明等边三角形的边长相等，且等边三角形的每一
个角都为60°，故说法正确，不符合题意；
B. 面积相等的两个圆一定能够重合，面积相等说明圆的直径相等，故说法正确，不符合题意；
C. 面积相等的两个正方形一定能够重合，面积相等说明正方形的边长相等，且正方形的每个角都为90°，
故说法正确，不符合题意；
D. 周长相等的两个菱形一定能够重合，周长相等虽然可以说明菱形的边长相等，但是不能保证菱形的每个
角对应相等，故说法不正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查全等图形的定义，等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质，解题的
关键是掌握性质，并进行分析．
5.（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【考点2 一次证明全等三角形】
6．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE,BD∥CE，求证：
△ABD≌△BCE．【答案】证明过程见详解
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵AD∥BE，
∴∠A=∠EBC，
∵BD∥EC，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
¿，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的
关键．
7．（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AB=AD．
【答案】见解析
【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质
即得结论．
【详解】解：∵∠3=∠4，∠ACB+∠3=180°，∠ACD+∠4=180°，
∴∠ACB=∠ACD，
∵¿ ，
∴△ACB≌△ACD，
∴AB=AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键．
8．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交
AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1) DOF≌ BOE；
(2)△DE=BF．△
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明 DOF≌ BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论． △ △
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在 BOE和 DOF中，¿，
∴△△BOE≌△D△OF（ASA）；
（2）证明：∵ BOE≌△DOF，
∴EO=FO， △
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判
定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
9.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1，∠B=∠D=90°，E是BD的中
点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．
（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别
交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；
若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AC=AB+CD；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）过E作EF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得EF=BE，从而求出EF=DE，然后根据
角平分线的判定证明即可；
（2）过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE=EF，证得
Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形的性质得到AF=AB，同理CF=CD，等量代换得到结论；
（3）成立，在AC上截取AF=AB，根据角平分线定义得到∠BAE=∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根
据角平分线的性质得到∠ABE+∠CDE=180°，求得∠CFE=∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全
等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，
∵∠B=90°，AE平分∠BAC，
∴EF=BE，
∵E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴EF=DE，
∵∠D=90°，
∴CE平分∠ACD；（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴BD⊥CD，
∵AE平分∠BAC，
∴BE=EF，
在Rt△AEF与Rt△ABE中，
¿，
∴Rt△AEF≌Rt△ABE，
∴AF=AB，
同理CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD；
（3）成立，如图3，在AC上截取AF=AB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE与△AFE中，
¿，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABE，
∵AM∥CN，
∴∠ABE+∠CDE=180°，
∵∠AFE+∠EFC=180°，
∴∠CFE=∠CDE，∵CE平分∠ACD，
∴∠FCE=∠DCE，
在△CEF与△CDE中，
¿，
∴△CEF≌△CDE，
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的
作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10.（2022·江苏徐州·校考二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为
(0,4)，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E．
∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．
(1)求证：AB=AC；
(2)如图2，若点D的坐标为(−3,0)，求线段BC的长度；
(3)在旋转过程中，若点D的坐标从(−8,0)变化到(−2,0)，则点P的运动路径长为___________（直接写出
结果）
【答案】(1)见解析
20√2
(2)
7
4
(3)
3
【分析】（1）直接根据角平分线作出辅助线构造全等三角形即可证明．4 3
（2）首先根据坐标求出直线AD的表达式y= x+4，然后由垂直得出直线AN的表达式y=− x+4，最
3 4
后联立直线方程求出B、C两点的坐标即可得出答案．
1
（3）设直线AM的表达式为y=mx+4，根据垂直得出AN的表达式为y=− x+4，联立直线方程得出点
m
4 4 4m 4m
C的坐标为(− , )，点B的坐标为( , )，再根据中点坐标公式求得点P的坐标为
m+1 m+1 m+1 m+1
2m−2
( ,2)，得出点P的运动路径在y=2这条直线上，最后根据条件即可求出答案
m+1
（1）
过点A作AF垂直OH于点F，AT垂直OG于点T，
∵ OG，OH分别平分∠AOE，∠AOD，
∴∠COA=∠BOA=45°，
∴AF=AT，
∵∠CAB=∠COB=90°，
∴∠ACO+∠ABO=180°，
∵ACO+∠ACF=180°，
∴∠ACF=∠ABO，
在Rt ΔACF和Rt ΔABT中，有
¿，
∴ΔAFC≅ATB，
∴AC=AB．
（2）由题意得可知：l :y=−x，l :y=x，
OH OG
设l :y=kx+b，
AD
∵D(−3,0)，A(0,4)，
∴¿，
4
∴ l :y= x+4，
AD 3
∵ AN⊥AM，
3
∴ l :y=− x+4，
AN 4
联立¿，解得¿，
12 12
∴点C的坐标为(− , )，
7 7
16 16
同理可得点B的坐标为( , )，
7 7
√ 16 12 2 16 12 2 20√2
∴ BC= ( + ) +( − ) = ．
7 7 7 7 7
（3）
1
设直线AM的表达式为y=mx+4，则AN的表达式为y=− x+4，
m
联立¿，解得¿，
4 4
∴点C的坐标为(− , )，
m+1 m+1
4m 4m
同理可得点B的坐标为( , )，
m+1 m+1
设点P的坐标为(x ,y )，
p p
∵ P为BC中点，
∴ ¿，
2m−2
∴点P的坐标为( ,2)，
m+1
即点P始终在直线y=2上运动，
由此可知P点的运动路径长度为起始横坐标之差，
1
当D的坐标为(−8,0)时，代入y=mx+4，得m= ，
22
此时点P的坐标为(− ,2)，
3
当D的坐标为(−2,0)时，代入y=mx+4，得m=2，
2
此时点P的坐标为( ,2)，
3
2 2 4
∴点P的运动路径长为 −（− ）= ．
3 3 3
【点睛】本题属于一次函数与几何综合，内容涉及广泛，包括证明全等，求点的坐标以及路径长度，解题
的难点在于求路径的长度，而关键在于求出点的路径轨迹，根据轨迹去求长度，本题难度较大，属于压轴
题．
【考点3 多次证明全等三角形】
11．（2022·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝
OD．
【答案】见解析
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．
【详解】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
¿，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴BD＝AC，
在△AOC和△BOD中，
¿，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等．
12．（2022·二模）已知：如图， BD 为 ΔABC 的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：
(1)ΔABD≅ΔEBC；
(2)AE=CE；
(3)BA+BC=2BF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由角平分线得出∠ABD=∠EBC，利用全等三角形的判定证明即可；
（2）由（1）中结论得出∠BCE=∠BDA，ΔBCD和ΔBEA为等腰三角形，结合条件可得出
∠DCE=∠DAE，由等角对等边即可证明；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，利用角平分线的性质可得EF=EG，根据直角三角形的判
定得出RtΔBFE≅RtΔBGE，RtΔAFE≅RtΔCGE，FA=CG，结合图形，利用线段间的数量关系即可证
明．
【详解】（1）∵BD为ΔABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC，
在ΔABD与ΔEBC中，
¿，
∴ΔABD≅ΔEBC(SAS)；
（2）∵ΔABD≅ΔEBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，
∴∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，
∵BD=BC，BE=BA，
∴ΔBCD和ΔBEA为等腰三角形，
∵∠ABD=∠EBC，∴∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴AE=EC；
（3）如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，
∴EF=EG，
在RtΔBFE与RtΔBGE中，
¿，
∴RtΔBFE≅RtΔBGE(HL)，
∴BF=BG，
在Rt ΔAFE与RtΔCGE中，
¿，
∴RtΔAFE≅RtΔCGE(HL)，
∴FA=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG−CG=BF+BG=2BF．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边及角平分线的性质等，理解题意，熟练掌握
运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
13．（2022·山东济南·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，AH⊥BD于点H，以
AH为边在AH右侧作等边△AEH，EH交BC于点F，求证：点F是BC的中点．
【答案】见解析
【分析】利用SAS证明△BAH≌△CAE，得∠AHB=∠AEC，从而得出∠FEC=30°，作GB∥CE，交EF的延长线于G，说明∠G=∠BHG=30°，得BG=BH，由△BAH≌△CAE可得，BH=CE，则
BG=CE，再利用AAS证明△BGF≌△CEF，得BF=CF．
【详解】证明：∵△ABC、△AEH是等边三角形，
∴AB=AC，AH=AE，∠BAC=∠HAE，
∴∠BAH=∠CAE，
在△BAH和△CAE中，
¿，
∴△BAH≌△CAE(SAS)，
∴∠AHB=∠AEC，
∵AH⊥BD，
∴∠AHB=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠AEH=60°，
∴∠FEC=30°；
作GB∥CE，交EF的延长线于G，
∴∠G=∠FEC=30°，
∵∠AHE=60°，∠AHB=90°，
∴∠BHG=30°，
∴∠G=∠BHG，
∴BG=BH，
∵△BAH≌△CAE
∴BH=CE，
∴BG=CE，
在△BGF和△CEF中，
¿，∴△BGF≌△CEF(AAS)，
∴BF=CF，
∴点F为BC的中点．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作
辅助线构造全等三角形．
14.（2022·河南·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连
接CD，EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF．
【答案】(1) ADC≌△ABE， CDF≌△EBF；(2)证明见解析.
【分析】（1）△根据Rt△ABC≌△Rt△ADE，得出AC=AE，BC=DE，AB=AD，∠ACB=∠AED，∠BAC=∠DAE，从而
推出∠CAD=∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF；
（2）先证得△CDF≌△EBF，进而得到CF=EF．
【详解】（1）图中其它的全等三角形为：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD，
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB．
即∠CAD=∠EAB．
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=EB，∠ADC=∠ABE．
又∵∠ADE=∠ABC，
∴∠CDF=∠EBF．
又∵∠DFC=∠BFE，
∴△CDF≌△EBF．
∴CF=EF．
15.（2022·福建福州·校考模拟预测）如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角ABC．
△
（1）求C点的坐标.
（2）如图2，OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角 APD，过D作
DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值. △
（3）如图3，点F坐标为（－4，－4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）在x轴的正半轴，且
FH⊥FG，求m+n的值.
【答案】答案见解析.
【分析】（1）作CD⊥AD，易证∠ACD=∠OAB，即可求证 ACD≌△BAO，可得AD=OB，CD=OA即可解题；
（2）作DF⊥OP，易证∠APO=∠PDF，即可证明 AOP≌△P△FD，可得AO=PF，DE=OF，即可解题；
（3）作FD⊥HD，FE⊥OG，易证∠EFG=∠DFH，即△可证明 EFG≌△DFH，可得EG=DH，即-m-4=n+4，即可解题．
【详解】解：如图， △
（1）过点C作CD⊥AD，
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠OAB=90°，
∴∠ACD=∠OAB，
在 ACD和 BAO中，
¿ △ △
∴△ACD≌△BAO，（AAS）
∴AD=OB，CD=OA，
∴点C坐标为（-6，-2）；(2)作DF⊥OP，
∵∠APO+∠DPF=90°，∠PDF+∠DPF=90°，
∴∠APO=∠PDF，
在△AOP和△PFD中，
¿
∴△AOP≌△PFD，（AAS）
∴AO=PF，DE=OF，
∴OP-DE=OP-OF=FP=AO=2；
(3)作FD⊥HD，FE⊥OG，则FE=FD=4，
∵∠EFG+∠OFE=90°，∠OFE+∠DFH=90°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，¿ ，
∴△EFG≌△DFH，（ASA）
∴EG=DH，即-m-4=n+4，
∴m+n=-8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证
△ACD≌△BAO，△AOP≌△PFD，△EFG≌△DFH是解题的关键．
【考点4 网格中的全等三角形】
16.（2022·浙江宁波·统考一模）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别
在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．
（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）如图1，根据三边对应相等的两三角形全等作图即可；（2）根据三组对应边成比例的两个三角形相似作图．
【详解】解：（1）如图1，
∴△ACD为所求；
（2）如图2，
∴△ABD为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理
解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．此题灵活应用
相似三角形的判定与性质．
17.（2022·河北·模拟预测）如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于()
A．585° B．540 C．270 D．315
【答案】A ° ° °
【分析】观察图形，可知△ABC≅△AZV，根据全等三角形的性质可知∠1=∠AZV，进而有
∠1+∠7=180°，同理可得∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°，∠4=45°然后即可得出答案.
【详解】
在△ABC和△AZV中，¿
△ABC≅△AZV(SAS)∴∠1=∠AZV
∴∠1+∠7=180°
同理可得
∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°，
∵∠4=45°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=180°×3+45°=585°
故选A
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
18.（2022·河北·模拟预测）如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角
形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等．
【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示
以BC为公共边的三角形有8个，分别是△BCD，△BCE，△BCF
以AB为公共边的三角形有0个
以AC为公共边的三角形有1个，为△ACG
共3+0+1=4个
故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．解题时考虑
要全面，不要漏解．
19.（2022·北京海淀·统考一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出
一个△≝¿，使得△≝¿与△ABC全等______．
【答案】见解析（只要画出一种即可）
【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等进行作图即可．
【详解】解：∵DE=AB，
∴分两种情况：∠≝=∠ABC=135°或∠EDF=∠ABC=135°，找出点F的位置，连接DF、EF，
BC=EF或FD=CB，
∴△ABC≌△DEF（SAS）或△ABC≌△EDF（SAS），
即为要求作的△≝¿，如图所示：
故答案为：见解析（只要画出其中一种即可）
【点睛】本题主要考查了在方格纸中作一个三角形与已知三角形全等，解题的关键是确定点F的位置．
20.（2022·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落
在格点上，则∠BAC+∠ACD＝_____°．【答案】90
【分析】先证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．
【详解】在△DCE和△ABD中，
∵¿，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∴∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为90．
【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角
形是关键．
【考点5 尺规作图与全等三角形】
21．（2022·吉林白山·统考二模）仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，
请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【分析】根据作图过程可知O′C′=OC，C′D′=CD，O′D′=OD，所以运用的是三边对应相等，两三角
形全等作为依据．
【详解】解：根据作图过程可知O′C′=OC，C′D′=CD，O′D′=OD，
在△OCD和△O′C′D′中，
¿，∴△OCD≌△O′C′D′ (SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选：B．
【点睛】本题考查基本作图—作一个角等于已知角，其理论依据是三角形全等的判定“SSS”，解题的关
键是熟练掌握相关的判定定理．
22.（2022·甘肃武威·校考二模）已知：AC是▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作
法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=3,BC=5，求△DCE的周长．
【答案】(1)见解析；（2）8
1
【分析】（1）以A、C为圆心，以大于 AC的长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即可；
2
（2）由（1）可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再由平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，根据AAS即可证明全
等．
【详解】解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=5,CD=AB=3，
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA=EC，
∴ △DCE的周长=CE+DE+CD=EA+DE+CD=AD+CD=5+3=8．
【点睛】本题考查作图，熟练掌握基本作图是解题关键
23.（2022·广东广州·校考二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，DF⊥AE于点F．(1)过点B作AE的垂线交AE于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，若BP=3，PF=1，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据过直线外一点作垂线的方法即可求解．
（2）根据正方形的性质可证明△ADF≅△BAP,从而得到AF=BP=3,进而可得AP=4,利用勾股定理即
可计算出AB的长．
（1）
如图所示，
点P即为所求．
（2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90°，
∵DF⊥AE,BP⊥AE,
∴∠DFA=∠APB=90°，
∴∠BAP+∠DAP=∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠ADF=∠BAP，
在△ADF和△BAP中，∵¿
∴△ADF≅△BAP（AAS），
∴AF=BP=3，
∵PF=1，
∴AP=4，
∴AB=√AP2+BP2=√42+32=5,
∴AB的长为5．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，勾股定理．正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是
根据题意作图，证明全等三角形．
24.（2022·江西吉安·校考一模）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造
出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔
细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，
我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的
背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′使∠A′O′B′=∠AOB作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′ A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′ A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，____________________；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′
求证：∠A′O′B′=∠AOB
证明：∵¿
∴ΔOCD≅ΔO′C′D′( )
所以∠A′O′B′=∠AOB(
)
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l′，使得l//l′．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥
有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的
设计意图．【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点C′为圆心，以CD
为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于D′；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见
解析；【创新应用】答案见解析．
【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．
【详解】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；
（2）过两点作一条直线．可以求作；
（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
求证：∠A'O'B'＝∠AOB．OC＝O′C′
证明：在△OCD和△O'C'D'中{OD＝O′D′，
CD＝C′D′
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
；
[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键
是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25.（2022·河北唐山·统考一模）【提出问题】课间，一位同学拿着方格本遇人便问：“如图所示，在边长
为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，如何证明点A、B、C在同一直线上呢？”
【分析问题】一时间，大家议论开了. 同学甲说：“可以利用代数方法，建立平面直角坐标系，利用函数的知识解决”，同学乙说：“也可以利用几何方法…”同学丙说：“我还有其他的几何证法”……
【解决问题】请你用两种方法解决问题
方法一（用代数方法）：
方法二（用几何方法）：
【答案】（1）见详解；（2）见详解.
【分析】（1）以点B为原点建立平面直角坐标系，则点C为（1，2），利用待定系数法求出直线BC的解
析式，然后判断点A是否在直线BC上即可；
（2）在格点中构造两个三角形，证明△ABD≌△BCE，得到∠ABD=∠BCE，利用平角的定义，得到
∠ABC=180°，即可得到点A、B、C在同一条直线上.
【详解】解：（1）如图，以点B为原点建立平面直角坐标系，
则点C坐标为（1，2），
设直线BC的解析式为：y=kx，解得：k=2，
∴直线BC的解析式为：y=2x；
当x=−1时，y=2×(−1)=−2，
∴点A（−1，−2）在直线BC上，
∴A、B、C三点在同一条直线上；
（2）如图，在网格中构造两个三角形，△ABD和△BCE；
∵网格的边长为1，
∴AD=BE=1，BD=CE=2，∠D=∠E=90°，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠CBE=90°+90°=180°，
∴A、B、C三点在同一条直线上.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及平角的定义，解题的关键是掌握证
明全等三角形的方法和利用待定系数法求一次函数的解析式.
【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】
26.（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD的取值
范围是_________．
【答案】1
