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模型介绍
【模型】 平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．
【结论】分类讨论：
若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；
若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；
若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.
例题精讲
【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线 ，若点C在已知直
线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是 （ 3 ， ），（ 9 ， 6 ），（ ， ） ．
解；当点C在C 处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（3， ），
1
当点C在C 处时，△ABC为直角三角形，C的坐标是（9，6）
2
当点C在C 处时，△ABC为直角三角形，过C 作C M⊥AB，
3 3 3
设C 的横坐标是x，
3
则C M＝ ，AM＝x﹣3，BM＝9﹣x，
3
∵△AC B是直角三角形，
3∴△AMC ∽△C MB，
3 3
∴AM：C M＝C M：BM，
3 3
∴C M2＝AM•BM，
3
∴（ ）2＝（x﹣3）（9﹣x），
解得：x＝ ，
点C的纵坐标是： ﹣ ＝ ，
∴点C的坐标是：（ ， ）；
故答案为：（3， ），（9，6），（ ， ）．
变式训练
【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB是等腰直角
三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．（0，﹣8） B．（﹣8，0） C．（﹣16，0） D．（0，8）
解：如图，△OAB是等腰直角三角形，
∵A（﹣8，﹣8），
∴OB＝8，∴B（﹣8，0）；
如图，△OAB是等腰直角三角形，
∵A（﹣8，﹣8），
∴OB＝16，
∴B（﹣16，0）；
如图，△OAB是等腰直角三角形，
∵A（﹣8，﹣8），
∴OB＝8，
∴B（0，﹣8）．
故B点的坐标不可能是（0，8）， 故选：D．
【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过
（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的
坐标．解：设点C的坐标为（﹣1，b），
AB2＝22+42＝20，
AC2＝32+b2，
BC2＝（4﹣b）2+12，
当∠ABC＝90°时，（4﹣b）2+12+20＝32+b2，
解得，b＝ ；
当∠BAC＝90°时，（4﹣b）2+12＝20+32+b2，
解得，b＝﹣ ；
当∠ACB＝90°时，（4﹣b）2+12+32+b2＝20，
解得b ＝1，b ＝3，
1 2
∴△ABC为直角三角形时，点C的坐标为（﹣1， ），（﹣1，﹣ ），（﹣1，1），（﹣1，3）．
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB外部作等腰
直角△ABC．则点C的坐标为 （ 7 ， 4 ）或（ 3 ， 7 ）或（ ） ．
解：如图，当AB＝AC，∠BAC＝90°时，作CE⊥x轴于E．∵∠BAC＝∠AOB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠OAB+∠CAE＝90°，
∴∠ABO＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴△AOB≌△CEA（AAS），
∴AE＝OB＝3，CE＝OA＝4，
∴C（7，4），
同法可得，当AB＝BC′，∠ABC′＝90°，C′（3，7），
当AB是等腰直角三角形的斜边时，C″是BC的中点，C″（ ， ），
综上所述，满足条件的点C的坐标为（7，4）或（3，7）或（ ， ）．
故答案为：（7，4）或（3，7）或（ ， ）．
变式训练
【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点
上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：点C的位置如图所示，共有3个． 故选：C．【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C
（m，0）为x轴正半轴上一个动点．
（1）当m＝4时，写出线段AC＝ 2 ，BC＝ 4 ．
（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）
（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；
如果不存在，请说明理由．
解：（1）如图，过点B作BE⊥x轴于E，
∵点A（0，2），点B（8，8），点C（4，0）
∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝4，
∴CE＝4，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，BC＝ ＝4 ，
故答案为：2 ，4 ；
（2）当点C在OE上时，
∵点A（0，2），点B（8，8），点C（m，0）
∴BE＝8，OE＝8，AO＝2，OC＝m，
∴S△ABC ＝ ×（AO+BE）×OE﹣ ×AO×OC﹣ ×BE×CE，
∴S△ABC ＝ ×（2+8）×8﹣ ×2×m﹣ ×8×（8﹣m）＝8+3m；当点C在线段OE的延长线上时，
∵S△ABC ＝ ×（AO+BE）×OE+ ×BE×CE﹣ ×AO×OC
∴S△ABC ＝ ×（2+8）×8+ ×8×（m﹣8）﹣ ×2×m＝3m+8，
综上所述：S△ABC ＝3m+8；
（3）当∠BAC＝90°时，BC2＝AB2+AC2，
则64+（8﹣m）2＝64+（8﹣2）2+4+m2，
解得m＝ ，
∴S△ABC ＝3× +8＝ ；
当∠ACB＝90°时，AB2＝AC2+BC2，
则64+（8﹣2）2＝4+m2+64+（8﹣m）2，
解得m＝4，
∴S△ABC ＝3×4+8＝20；
当∠ABC＝90°时，AC2＝AB2+BC2，
则4+m2＝64+（8﹣2）2+64+（8﹣m）2，
解得m＝14，
∴S△ABC ＝3×14+8＝50；
综上所述：存在m的值为 或4或14，使△ABC为直角三角形，面积为 或20或50．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y＝ 的图象
上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
解：设点P的坐标为（x，y），
当∠APB＝90°时，以AB为直径作圆，如图所示，
∵圆与双曲线无交点，
∴点P不存在；
当∠PAB＝90°时，x＝﹣3，
y＝ ＝﹣3，
∴点P的坐标（﹣3，﹣3）；
当∠PBA＝90°时，x＝3，
y＝ ＝3，
∴点P的坐标为（3，3）．
综上所述：满足条件的点P有2个．
故选：A．2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C
点有（ ）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
解：分三种情况考虑：
①当A为直角顶点时，过A作AC⊥AB，交x轴于点C ，交y轴于点C ，此时满足题意的点为C ，
1 2 1
C ；
2
②当B为直角顶点时，过B作BC⊥AB，交x轴于点C ，交y轴于点C ，此时满足题意的点为C ，
3 4 3
C ；
4
③当C为直角顶点时，以AB为直径作圆，由A（2，6）、B（8，﹣2），可得此圆与y轴相切，
则此圆与y轴有1个交点，与x轴有2个交点，分别为C ，C ，C ．
5 6 7
综上，所有满足题意的C有7个．
故选：B．3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则
满足条件的点P的坐标为 （ 0 ， 3 ）或（ 0 ， 1+ ） ．
解：如图，过B作BP⊥AB，交y轴于P，过B作BD⊥CP于D，则∠ABP＝90°，BD＝1，
∵点A（﹣1，0）和点B（1，2），
∴直线AB的表达式为y＝x+1，
令x＝0，则y＝1，
∴C（0，1），即OC＝1＝OA，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°＝∠BCP，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴CP＝2BD＝2，
∴OP＝1+2＝3，
∴P（0，3）；
如图，当∠APB＝90°时，△ABP是直角三角形，∵点A（﹣1，0），点B（1，2），点C（0，1），
∴C为AB的中点，AB＝2 ，
∴CP＝ AB＝ ，
∴OP＝1+ ，
∴P（0，1+ ），
综上所述，点P的坐标为（0，3）或（0，1+ ）．
故答案为：（0，3）或（0，1+ ）．
4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点
坐标．
解：（1）如图所示：（2）满足条件的点有2个，C（0，﹣2）或（0，0）．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点
C．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
（2）点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为 或 7 或 3+ 或 3
﹣ ．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝ x﹣3；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．∴OC＝3，
∵点A坐标为（6，0），
∴OA＝6，
∴AC＝ ＝ ＝3 ；
（2）①∵点B与点D关于y轴的对称，
∴D（﹣2，﹣2）；
故答案为：（﹣2，﹣2）；
②当∠ACE＝90°时，如图，
∵EC⊥AC，
∴直线EC的解析式为y＝﹣2x﹣3，
令y＝﹣2，则﹣2x﹣3＝﹣2，
∴x＝﹣ ，
∴E（ ，﹣2）；
当∠CAE＝90°时，如图，
∵EC⊥AC，
∴设直线EC的解析式为y＝﹣2x+m，
∴0＝﹣2×6+m＝0，∴m＝12，
∴直线EC的解析式为y＝﹣2x+12，
令y＝﹣2，则﹣2＝﹣2x+12，
∴x＝7，
E（7，﹣2）；
当∠AEC＝90°时，如图，
过点E作EF⊥x轴于点F，过点C作CG⊥FE，交FE的延长线于点G，
∵∠AEC＝90°，
∴∠FEA+∠CEG＝90°，
∵CG⊥FE，
∴∠GCE+∠CEG＝90°，
∠GCE＝∠FEA，
∵∠CGE＝∠AFE＝90°，
∴△CGE∽△EFA，
∴ ．
由题意得：CG＝OF＝6+AF，EF＝OH＝2，EG＝CH＝1，
∴ ．
∴AF＝ ﹣3．
∴OF＝3+ ，
∴E（3+ ，﹣2），
同理可求当点E在y轴左侧时，E（3﹣ ，﹣2）．综上，在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，点E的横坐标为 或7或3+ 或3﹣ ．
故答案为： 或7或3+ 或3﹣ ．
6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正
方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画
一个即可）
（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画
一个即可）
解：（1）如图1：
（2）如图2：7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，
1）．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请
直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
∵点A的坐标为（3，1），
∴OC＝3，AC＝1，
又∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠AOC＝90°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△OBD（AAS），
∴OC＝BD＝3，AC＝OD＝1，
∴点B的坐标为（﹣1，3）；
（2）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，
由对称性可知BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P≥AB'，
∴当A、B'、P三点共线时PA+PB的值最小，连接BB'交x轴于点E，则E（﹣1，0），
∵点B与B'关于x轴对称，
∴点B'的坐标为（﹣1，﹣3），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴y＝x﹣2，
∴P（2，0）；
（3）存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
①当∠AOM＝90°时，AO＝OM，
如图3，过点A作AF⊥y轴交于点F，过点M作ME⊥y轴交于点E，
∵∠FOA+∠FAO＝90°，∠FOA+∠EOM＝90°，
∴∠FAO＝∠EOM，
∵AO＝OM，
∴△FAO≌△EOM（AAS），
∴OF＝EM，OE＝FA，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（1，﹣3）；
②如图4，当∠OAM＝90°时，OA＝AM，
过点A作AF⊥y轴交于F点，过点M作MG⊥AF交于点G，
∵∠FAO+∠FOA＝90°，∠FAO+∠GAM＝90°，
∴∠AFO＝∠GAM，
∴△FAO≌△GMA（AAS），
∴AF＝GM，OF＝AF，
∵A（3，1），
∴AF＝3，OF＝1，
∴M（4，﹣2）；
③如图5，当∠OMA＝90°时，OM＝AM，
过点M作MQ⊥y轴交于Q点，过点A作AP⊥QM交于P点，∵∠OMQ+∠QOM＝90°，∠OMQ+∠AM＝90°，
∴∠QOM＝∠AMP，
∴△OQM≌△MPA（AAS），
∴OQ＝MP，QM＝AP，
∵A（3，1），
∴QM+MP＝3，1+QO＝QM，
∴1+QO+OQ＝3，
∴QO＝1，
∴M（2，﹣1）；
综上所述：M点坐标为（1，﹣3）或（4，﹣2）或（2，﹣1）．8．已知：直线y＝ +6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，
点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A： （﹣ 8 ， 0 ） ，B： （ 0 ， 6 ） ；
（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，直线y＝ +6，当y＝0时，由0＝ +6得，x＝﹣8；当x＝0时，y＝6，
∴A（﹣8，0），B（0，6），
故答案为：（﹣8，0），（0，6）．
（2）如图1，由折叠得，DB＝OB＝6，DC＝OC，∠BDC＝∠BOC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，AC＝8﹣OC，
∵AB＝ ＝ ＝10，
∴AD＝10﹣6＝4，∵CD2+AD2＝AC2，
∴OC2+42＝（8﹣OC）2，
解得，OC＝3．
（3）如图2，作AG⊥EF于点G，GT⊥x轴于点T，
∵OC＝3，
∴BC＝ ＝ ＝ ，AC＝8﹣3＝5，
由 BC•AG＝ AC•OB＝S△ABC 得， × AG＝ ×5×6，解得，AG＝ ，
∵AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴EG＝FG，
∴AG＝ EF＝EG＝FG＝ ，
∵∠AGC＝90°，
∴CG＝ ＝ ＝ ，
∴CE＝ + ＝ ，
∴CE＝BC，
∴点E与点B关于点C对称，
∵C（﹣3，0），B（0，6），
∴E（﹣6，﹣6）；
由 AC•GT＝ AG•CG＝S△AGC 得， ×5GT＝ × × ，解得，GT＝2，
∵∠ATG＝90°，
∴AT＝ ＝ ＝4，
∴OT＝8﹣4＝4，
∴G（﹣4，﹣2），
∵CF＝FG﹣CG＝ ﹣ ＝ ，
∴CF＝CG，
∴点F与点G（﹣4，﹣2）关于点C（﹣3，0）对称，
∴F（﹣2，2），
综上所述，点F的坐标为（﹣6，﹣6）或（﹣2，2）．（4）存在．
如图3，四边形PQMC是平行四边形，则CP∥QM，PQ∥CM，
设直线PC的解析式为y＝ x+a，则 ×（﹣3）+a＝0，解得，a＝ ，
∴y＝ x+ ，
∴P（0， ）；
∵M是AB的中点，
∴M（﹣4，3），
设直线CM的解析式为y＝kx+b，则 ，解得， ，
∴y＝﹣3x﹣9，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x+ ，
由 得， ，
∴Q（﹣1， ）；
如图3，四边形P′Q′CM是平行四边形，则P′Q′∥CM∥PQ，P′Q′＝CM＝PQ，
∴∠BP′Q′＝∠BPQ，∠BQ′P′＝∠BQP，
∴△BP′Q′≌△BPQ（ASA），
∴BQ′＝BQ，
∴点Q′与点Q关于点B（0，6）对称，
∴Q′（1， ）；
如图3，L为CM的中点，PL的延长线交AB于点Q ，连接CQ ，
1 1
∵∠LQ M＝∠LPC，∠LMQ ＝∠MCP，ML＝CL，
1 1
∴△LMQ ≌△LCP（AAS），
1
∴Q M＝CP，
1
∵Q M∥CP，
1
∴四边形PMQ C是平行四边形，
1∴点Q 与点P关于点L对称，
1
∵L（ ， ），P（0， ），
∴Q （﹣7， ），
1
综上所述，点Q的坐标为（﹣1， ）或（1， ）或（﹣7， ）．
9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物
线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴ ，∴ ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
（2）如图1，∵点A，B关于直线l对称，
∴连接BC交直线l于点P，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴直线l：x＝1，C（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝﹣2，
∴P（1，﹣2），
（3）设点M（1，m），
∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴AC2＝10，AM2＝m2+4，CM2＝（m+3）2+1＝m2+6m+10，
∵△MAC为直角三角形，
∴当∠ACM＝90°时，∴AC2+CM2＝AM2，
∴10+m2+6m+10＝m2+4，
∴m＝﹣ ，
∴M（1，﹣ ）
当∠CAM＝90°时，∴AC2+AM2＝CM2，
∴10+m2+4＝m2+6m+10，
∴m＝ ，
∴M（1， ）
当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，
∴m2+4+m2+6m+10＝10，
∴m＝﹣1或m＝﹣2，
∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）．
10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直
线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12）＝ax2﹣4ax﹣12a，
即：﹣12a＝6，解得：a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+2x+6，
令y＝0，解得：x＝4或﹣2，故点A（﹣2，0），
函数的对称轴为：x＝2，故点D（2，8）；
（2）由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝2x+4，
设点N（n，2n+4），
∵MN＝OA＝2，则点M（n+2，2n+4），
①将点M的坐标代入抛物线表达式得：2n+4＝﹣ （n+2）2+2（n+2）+6，
解得：n＝﹣2±2 ，故点M的坐标为（2 ，4 ）或（﹣2 ，﹣4 ）；
②点M（n+2，2n+4），点B、D的坐标分别为（6，0）、（2，8），
则BD2＝（6﹣2）2+82，MB2＝（n﹣4）2+（2n+4）2，MD2＝n2+（2n﹣4）2，
当∠BMD为直角时，
由勾股定理得：（6﹣2）2+82＝（n﹣4）2+（2n+4）2+n2+（2n﹣4）2，
解得：n＝ ；
当∠MBD为直角时，
同理可得：n＝﹣4，
当∠MDB为直角时，
同理可得：n＝ ，
故点 M 的坐标为：（﹣2，﹣4）或（ ， ）或（ ， ）或（ ，
）．
11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于
点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；
（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：∠PNM＝∠ONM；
②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
（1）解：设二次函数的表达式为y＝a（x+4）2+4，
把点（0，0）代入表达式，解得 ．∴二次函数的表达式为 ，
即 ；
（2）解：设直线OP为y＝kx（k≠0），
将P（﹣6，3）代入y＝kx，解得 ，
∴ ．
当x＝﹣4时，y＝2．
∴M（﹣4，2）．
∵点M、N关于点A对称，
∴N（﹣4，6）．
∴MN＝4．
∴S△PON ＝S△OMN +S△PMN ＝12；
（3）①证明：设点P的坐标为 ，
其中t＜﹣4，
设直线OP为y＝k′x（k′≠0），
将P 代入y＝k′x，解得 ．
∴ ．
当x＝﹣4时，y＝t+8．
∴M（﹣4，t+8）．
∴AN＝AM＝4﹣（t+8）＝﹣t﹣4．
设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，
则B（﹣4，0），C ．
∴OB＝4，NB＝4+（﹣t﹣4）＝﹣t，PC＝﹣4﹣t，
NC＝ ＝ ．则 ， ．
∴ ．
又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，
∴△NCP∽△NBO．
∴∠PNM＝∠ONM．
②△OPN能为直角三角形，理由如下：
解：分三种情况考虑：
（i）若∠ONP为直角，由①得：∠PNM＝∠ONM＝45°，
∴△PCN为等腰直角三角形，
∴CP＝NC，即m﹣4＝ m2﹣m，
整理得：m2﹣8m+16＝0，即（m﹣4）2＝0，
解得：m＝4，
此时点A与点P重合，故不存在P点使△OPN为直角三角形；
（ii）若∠PON为直角，根据勾股定理得：OP2+ON2＝PN2，
∵OP2＝m2+（﹣ m2﹣2m）2，ON2＝42+m2，AN2＝（m﹣4）2+（﹣ m2﹣2m+m）2，
∴m2+（﹣ m2﹣2m）2+42+m2＝（m﹣4）2+（﹣ m2﹣2m+m）2，
整理得：m（m2﹣8m﹣16）＝0，
解得：m＝0或m＝﹣4﹣4 或﹣4+4 （舍去），
当m＝0时，P点与原点重合，故∠PON不能为直角，
当m＝﹣4﹣4 ，即P（﹣4﹣4 ，4）时，N为第四象限点，成立，故∠PON能为直角；
（iii）若∠NPO为直角，可得∠NPM＝∠OBM＝90°，且∠PMN＝∠BMO，
∴△PMN∽△BMO，
又∵∠MPN＝∠OBN＝90°，且∠PNM＝∠OND，
∴△PMN∽△BON，
∴△PMN∽△BMO∽△BON，
∴ ＝ ，即 ＝ ，整理得：（m﹣4）2＝0，
解得：m＝4，
此时A与P重合，故∠NPO不能为直角，
综上，点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，△OPN能为直角三角形，当m＝4+4 ，即P（
）时，N为第四象限的点成立．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴
交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．解：（1）由题意得二次函数图象的对称轴x＝1，则﹣ ＝1，b＝﹣2．
又二次过点C（0，﹣3），
∴﹣3＝c，c＝﹣3．
即二次函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得
顶点坐标D为：（1，﹣4）；
（2）（2）解法一：设P（0，m）
由题意，得PA＝ ，PD＝ ，AD＝2 ，
∵∠APD＝90°，∴PA2+PD2＝AD2，即（ ）2+（ ）2＝（2 ）2
解得m ＝﹣1，m ＝﹣3（不合题意，舍去）．
1 2
∴P（0，﹣1）；
解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得 DE＝1，OE＝4…（1分）
由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，
由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠OAP＝∠EPD
又∠AOP＝∠OED＝90°，∴△OAP∽△EPD
∴ ＝ ，
设OP＝m，PE＝4﹣m
则 ＝ ，
解得m ＝1，m ＝3（不合题意，舍去），
1 2
∴P（0，﹣1）；
（3）解法一：
如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝ ，∠PAQ＝90°，
∴四边形APDQ为正方形．
由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA
∴△AOP≌△AHQ，
∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3．
∴Q（4，﹣3）；
解法二：
设Q（m，n），
则AQ＝ ＝ ，QD＝ ＝ ，
解得 ， （不合题意，舍去），
∴Q（4，﹣3）．13．如图，一次函数y＝ x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与
一次函数y＝ x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐
标，若不存在，请说明理由．
解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝ x2+bx+c，
得： ，
解得 ，
∴解析式y＝ x2﹣ x+1．
（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB﹣PC|＜BC，当
点P在点A 处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．
∵直线y＝ x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），
∴P（﹣2，0）．
（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：
当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；
∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，
∴Rt△BOP∽Rt△PFC，
∴ ，
即 ，
整理得a2﹣4a+3＝0，
解得a＝1或a＝3；
∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述：满足条件的点P共有2个．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点 P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点 P的坐标及
△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．
解：（1）将A（2，0）、B（﹣4，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴ ，
解得 ，∴y＝﹣x2﹣2x+8；
（2）存在，理由如下：
如图1，过点P作PF⊥x轴交BC于点F，
设BC的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
解得 ，
∴y＝2x+8，
设P（t，﹣t2﹣2t+8），则F（t，2t+8），
∴PF＝﹣t2﹣4t，
∴S△PBC ＝ ×4×（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，
∴当t＝﹣2时，S△PBC 的面积有最大值8，
此时P（﹣2，8）；
（3）存在，理由如下：
令x＝0，则y＝8，
∴C（0，8），
∴OC＝8，
∵A（2，0），
∴AO＝2，
设Q（﹣1，m），
①如图2，当∠CAQ＝90°时，
过点Q作QG⊥x轴交于点G，
∵∠CAO+∠GAQ＝90°，∠CAO+∠OCA＝90°，
∴∠GAQ＝∠ACO，
∵tan∠OCA＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴m＝﹣ ，∴Q（﹣1，﹣ ）；
②如图3，当∠ACQ＝90°时，
过点Q作QH⊥y轴交于点H，
∵∠QCH+∠OCA＝90°，∠QCH+∠CQH＝90°，
∴∠OCA＝∠CQH，
∵tan∠OCA＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴m＝ ，
∴Q（﹣1， ）；
③如图4，当∠CQA＝90°时，
∵A（2，0），C（0，8），
∴AC＝2 ，AC的中点N（1，4），
∴QN＝ ，
∴ ＝ ，
∴m＝4+ 或m＝4﹣ ，
∴Q（﹣1，4+ ）或Q（﹣1，4﹣ ）；
综上所述：Q点坐标为（﹣1，﹣ ）或（﹣1， ）或（﹣1，4+ ）或（﹣1，4﹣ ）．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ），点B的坐标（﹣2，0），点O为原点．
（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；
（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；
（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点 P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把
△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）设y＝ax2+bx+c，根据题意得
，
解得 ，
所以y＝ x2+ x．
（2）C（1，0）或C（2，0）
（3）由题意得O′（﹣3， ），将O′（﹣3， ）代入y＝ x2+ x，左边＝右边
∴点O′在函数图象上．
（4）点P坐标为（﹣ ，﹣ ）．
∵A的坐标为（1， ），点B的坐标（﹣2，0），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有
解得： ，∴直线AB的解析式为：y＝ x+
假设存在这样的点P，它的横坐标为h，则点P坐标为（h， h2+ h），
点E坐标为（h， h+ ），分两种情况：
①△OBE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，
则[ ×2×（ h+ ）]：[ ×2×（ h+ ）+ ×2×（﹣ h2﹣ h）]＝2：3，
解得h＝﹣ ，此时点P坐标为（﹣ ，﹣ ）；
②△AOE的面积：四边形BPOE面积＝2：3，
则[ ﹣ ×2×（ h+ ）]：[ ×2×（ h+ ）+ ×2×（﹣ h2﹣ h）]＝2：3，
解得：h＝﹣ ，或h＝﹣2（不合题意，舍去），
此时点P坐标为（﹣ ，﹣ ）．
综上所述：点P坐标为（﹣ ，﹣ ）．
