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模型介绍
【模型】 平面内有两点A，B，再找一点C，使得ΔABC为直角三角形．
【结论】分类讨论：
若∠A＝90°，则点C在过点A且垂直于AB的直线上(除点A外)；
若∠B＝90°，则点C在过点B且垂直于AB的直线上(除点B外)；
若∠C＝90°，则点C在以AB为直径的圆上(除点A，B外)．以上简称“两垂一圆”．
“两垂一圆”上的点能构成直角三角形，但要除去A，B两点.
例题精讲
【例1】．在平面直角坐标系中，有两点A（3，0），B（9，0）及一条直线 ，若点C在已知直
线上，且使△ABC为直角三角形，则点C的坐标是 ．
【变式1-1】.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣8，﹣8），点B在坐标轴上，且△OAB是等腰直角
三角形，则点B的坐标不可能是（ ）
A．（0，﹣8） B．（﹣8，0） C．（﹣16，0） D．（0，8）
【变式1-2】．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），直线l经过（﹣1，0）并且与x轴垂直于点D，请你在直线l上找一点C，使△ABC为直角三角形，并求出点C的
坐标．
【例2】．如图，在平面直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，3），以AB为一边在△AOB外部作等腰
直角△ABC．则点C的坐标为 ．
【变式2-1】．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．在格点
上确定点C，使△ABC为直角三角形，且面积为4，则这样的点C的共有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（0，2），B（8，8），点C
（m，0）为x轴正半轴上一个动点．
（1）当m＝4时，写出线段AC＝ ，BC＝ ．
（2）求△ABC的面积．（用含m的代数式表示）
（3）当点C在运动时，是否存在点C使△ABC为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；
如果不存在，请说明理由．1．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P在反比例函数y＝ 的图象
上．若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个
2．如图，已知A（2，6）、B（8，﹣2），C为坐标轴上一点，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C
点有（ ）个．
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），在y轴正半轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，则
满足条件的点P的坐标为 ．
4．如图，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；
（2）在y轴上画点C，使△ABC为直角三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（6，0），点B坐标为（2，﹣2），直线AB与y轴交于点
C．
（1）求直线AB的函数表达式及线段AC的长；
（2）点B关于y轴的对称点为点D．
①请直接写出点D的坐标为 ；
②在直线BD上找点E，使△ACE是直角三角形，请直接写出点E的横坐标为 ．
6．图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸的每个小正方形的边长均为1，点A，B在小正
方形的顶点上．
（1）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为直角三角形，并且面积为4；（画一个即可）
（2）在图1中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为钝角三角形，并且面积为4．（画
一个即可）
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（3，
1）．
（1）求点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求出点P的坐标；
（3）在第四象限是否存在一点M，使得以点O，A，M为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请
直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知：直线y＝ +6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，
点O恰好落在AB边上点D处．
（1）直接写出A、B两点的坐标：A： ，B： ；（2）求出OC的长；
（3）如图，点E、F是直线BC上的两点，若△AEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（4）取AB的中点M，若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、M、P、Q为顶点的四边形
为平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y轴相交于点C，直线l是抛物
线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直
线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
11．如图，顶点为A（﹣4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于
点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P的坐标是（﹣6，3），求△OPN的面积；
（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：
①求证：∠PNM＝∠ONM；
②若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为经过点（1，0）的直线，其图象与x轴
交于点A、B，且过点C（0，﹣3），其顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折得到△AQD，求点Q的坐标．
13．如图，一次函数y＝ x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝ x2+bx+c的图象与
一次函数y＝ x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐
标，若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在点 P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点 P的坐标及
△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若
不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， ），点B的坐标（﹣2，0），点O为原点．
（1）求过点A，O，B的抛物线解析式；
（2）在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形，请直接写出满足条件的点C的坐标；
（3）将原点O绕点B逆时针旋转120°后得点O′，判断点O′是否在抛物线上，请说明理由；
（4）在x轴下方的抛物线上是否存在一点 P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点E，线段OE把
△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOE面积比为2：3，若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由．
