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专题 05 特殊三角形（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=6，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积
是（ ）
A．6√3 B．9√3 C．18√3 D．36
【答案】C
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质及勾股定理，用“倍长中线法”
构造全等三角形，得 △BCD≌△AHD，再利用全等三角形的性质得，BC=AH，∠AHD=90°，
并将求△ABC的面积转化为求△ACH的面积，最后利用含30°直角三角形的性质、勾股定理及三角
形的面积公式即可求得结果，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图所示，延长CD到点H，使DH=CD，连接AH，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
在△BCD和△AHD中，
¿，
∴△BCD≌△AHD(SAS)，
∴∠BCD=∠AHD，BC=AH，S =S ，
△BCD △AHD
∵DC⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠AHD=90°，
△ACH为直角三角形，
∵BC=6，
∴AH=6，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACH=120°−∠BCD=120°−90°=30°，∴AC=2AH=2×6=12，
在Rt△ACH中 ，CH=√AC2−AH2=√122−62=6√3，
∴S =S +S ，
△ABC △BCD △ACD
=S +S ，
△AHD △ACD
=S ，
△ACH
1
= AH·CH，
2
1
= ×6×6√3，
2
=18√3，
故选：C．
2．如图，点A的坐标为(0,4)，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°
得到线段AC．若点C的坐标为(m,6)，则m的值为（ ）
8 8 10 10
A． √3 B． √21 C． √3 D． √21
3 3 3 3
【答案】C
【知识点】坐标与图形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表
示相关线段的长度．
过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
可得△ABC是等边三角形，又点A的坐标为(0,4)，点C的坐标为(m,6)，即得
AC=√m2+4=BC=AB，可得BD=√m2−32，OB=√m2−12，从而√m2−32+√m2−12=m，即
可求解．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示：∵CD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE=90°，
∴四边形EODC是矩形，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，
∴AB=AC,∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵点A的坐标为(0,4)，点C的坐标为(m,6)，
∴CE=m=OD,CD=6,OA=4，
∴AE=OE−OA=CD−OA=2，
∴AC=√AE2+CE2=√m2+4=BC=AB，
在Rt△BCD中，BD=√BC2−CD2=√m2+4−36=√m2−32，
在Rt△AOB中，OB=√AB2−OA2=√m2+4−16=√m2−12，
∵OB+BD=OD=m，
∴√m2−32+√m2−12=m，
10√3 10√3
解得：m= 或m=− （舍去），
3 3
10√3
∴m= ，
3
故选：C．
3．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM=CN，连
BM、BN，当BM+BN最小时，则∠MBN=（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、
等边三角形的性质
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH=BC，连接NH，BH．证明△ABM≌CHN，推出
BM=HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN=NH+BN的值最小，求出此时
∠MBN即可解决问题．
【详解】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH=BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC=∠DAB=30°， AD∥CH，
∴∠HCN=∠CAD=∠BAM=30°，
∵AM=CN，AB=BC=CH，
∴△ABM≌△CHN，
∴BM=HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN=NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌CHN，
∴∠ABM=∠CHB=∠CBH=45°，
∵∠ABD=60°，
∴∠DBM=15°，
∴∠MBN=45°−15°=30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全
等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
4．如图，在△ABC中，∠CAD=90°,AD=3,AC=4,BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则
DF=（ ）
5 5
A． B． C．2 D．1
4 2
【答案】A
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形
【解析】略
5．如图，在等腰直角ΔDEF中，∠EDF=90∘，点M为EF上一点，连接DM，以D为直角顶点作
等腰直角ΔMDN，连接NE,MN交DE于点Q，若MQ=NQ+DQ，则∠MNE的度数为（ ）A．90∘ B．75∘ C．60∘ D．45∘
【答案】B
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】如图，在MN上截取MH=NQ，由“SAS”可证 DFM≌△DEN， DMH≌△DNQ可得
∠DEN=∠DFM=45°，DH=DQ，可证 DHQ是等边三角△形，由三角形内角△和可求解．
【详解】如图，在MN上截取MH=N△Q，
∵△DEF和 DNM是等腰直角三角形，
∴DE=DF，△DM=DN，∠FDE=∠MDN=90°，
∴∠DEF=∠DFE=∠DMN=∠DNM=45°，
∵∠FDE=∠MDN=90°，
∴∠MDF=∠NDE，且DF=DE，DM=DN，
∴△DFM≌△DEN（SAS），
∴∠DFM=∠DEN=45°，
∵DM=DE，∠DMN=∠DNM，MH=NQ，
∴△DMH≌△DNQ（SAS），
∴DH=DQ，
∵MQ=DQ+NQ，且MQ=MH+HQ，
∴DQ=HQ，
∴DH=DQ=HQ，
∴△DHQ是等边三角形，
∴∠DQH=60°=∠NQE，
∴∠MNE=180°-∠QNE-∠QEN=75°，
故选：B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，添加
恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AO的中点，连接
EF、BF．若AF=1,AE=√3，则FB的长为( )A．3√2 B．2√2 C．7 D．3
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长
【分析】根据菱形的性质和三角形中位线定理得出EF∥OB，进而利用勾股定理得出EF和BF即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵点E、F分别是AB、AO的中点，
1
∴EF∥OB，EF= OB，
2
∴EF⊥AC，
在Rt△AEF中，EF=√AE2−AF2=√3−1=√2
∴OB=2√2
在Rt△OFB中，OF=AF=1，
∴BF=√OB2+OF2=√8+1=3
故选D．
【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线垂直解答．
7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=√6，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△
AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长是（ ）
3
A．3−√3 B． C．√3−1 D．√3
2
【答案】A
【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根
据旋转的性质求解
【分析】如图，作辅助线；证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′=∠MBA=30°；求出BM、C′M的长，即可解决问题
【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M．
由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′ A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′=60°，AB=B′B；
在△ABC′与△B′BC′中，
¿，
∴△ABC′≌△B′BC′ (SSS)，
∴∠MBB′=∠MBA=30°，
∴BM⊥AB′，且AM=B′M；
由题意得：AB2=12，
∴AB′=AB=2√3，AM=√3，
1
∴C′M= AB′=√3，
2
由勾股定理可求：BM=3，
∴C′B=BM−C′M=3−√3，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角
三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本
题的难点．
8．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理．如图，直角三角形的三
边a，b，c满足c>a>b，分别以a、b、c为边作三个正方形：正方形CBFG、正方形HDEF、正方
形ABEJ，把它们拼成如图所示形状，使E、F、G三点在一条直线上，若a+b=7，四边形ABFK
与△DEL面积之和为7，则正方形ABEJ的面积为（ ）A．49 B．28 C．21 D．14
【答案】C
【知识点】全等三角形综合问题、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形全等，根据图
形面积得到相应等式，从而进行计算．证明Rt△ABC≌Rt△EBF，得到AC=FE=b，再证明
ab (a−b+a)a
△AGK≌△BHL(ASA)，从而推出S +S + = +b2 ，化简得到
四边形ABFK △DEL 2 2
a2+b2−ab=7，再根据a+b=7，得到a2+b2+2ab=49，结合两式可得a2+b2=21，从而计算结果．
【详解】解：在△ABC与△FBE中¿，
∴Rt△ABC≌Rt△EBF(HL)，
∴AC=FE=b，
∴AG=a−b=BH，
又∵CG∥BF，
∴∠CAB=∠ABF，
∴∠GAK=90°−∠CAB=90°−∠ABF=∠HBL，
在△AGK与△BHL中，
¿，
∴△AGK≌△BHL(ASA)，
∴S +S +S +S =S +S +S +S ，
四边形ABFK △BHL 四边形HFEL △DEL 四边形ABFK △AGK 四边形HFEL △DEL
∴S +S +S =S +S ，
四边形ABFK △BFE △DEL 四边形AGFB 四边形HFED
ab (a−b+a)a
即S +S + = +b2 ，
四边形ABFK △DEL 2 2
化简得：a2+b2−ab=7①，
∵a+b=7，
∴a2+b2+2ab=49②，
①×2+②
，得：a2+b2=21，
3
∴S =c2=a2+b2=21．
正方形ABEJ故选：C．
9．如图所示，Rt△ABC中AB边在数轴上，若BC=3，则以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交
数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A．3 B．4 C．3或−5 D．4或−6
【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了数轴，勾股定理，数轴上两点之间的距离公式，掌握勾股定理是解题关键．由
数轴可知，AB=4，根据勾股定理得到AC=5，则点D表示的数与点A距离为5，据此即可求解．
【详解】解：由数轴可知，AB=3−(−1)=4，
在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=5，
∴点D表示的数与点A距离为5，
∴点D表示的数是−1+5=4或−1−5=−6，
故选：D．
10．如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为（ ）
1 √5 2√5
A． B． C． D．2
2 5 5
【答案】B
【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值
【分析】本题考查网格中求三角函数值，三角函数定义，勾股定理及其逆定理，连接CB，设小正方
形边长为1，求出AB=√22+42=2√5，AC=√32+42=5，CB=√22+12=√5，即可证明△ABC是
直角三角形，问题随之得解．
【详解】解：连接CB，如图所示：设小正方形边长为1，
∴ AB=√22+42=2√5，AC=√32+42=5，CB=√22+12=√5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
CB √5
在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，
AC 5
故选：B．
11．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=4，DA=2√6，且∠ABC=90°，则四边
形ABCD的面积是（ ）
A．4 B．1+2√2 C．2+4√2 D．1+√2
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解
【分析】连接AC，根据勾股定理可得AC=√AB2+BC2=2√2，再由勾股定理的逆定理可得
∠ACD=90°，再根据四边形ABCD的面积等于S +S ，即可求解．
△ACD △ACB
【详解】解：如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2，
∴AC=√AB2+BC2=2√2，∵CD=4，DA=2√6，
∴AC2+CD2=(2√2) 2+42=24=(2√6) 2=DA2，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积是
1 1 1 1
S +S = CD⋅AC+ AB⋅BC= ×4×2√2+ ×2×2=2+4√2 ．
△ACD △ACB 2 2 2 2
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
12．如图，已知正方形OABC的顶点A(2,0),C(0,2)，D是AB的中点，以顶点O为圆心，适当长为
1
半径画弧，分别交OC,OD于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧
2
交于点G，作射线OG交边BC于点H，则点H的坐标为（ ）
(4 )
A．(4−√5,2) B．(3−√3,2) C． ,2 D．(√5−1,2)
3
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、相似三角形的判定
与性质综合
【分析】延长AB交射线OG于点I，由勾股定理可得OD，由∠DOI=∠DIO可得DI，进而可得IB，
CH CO
由△COH∽△BIH可得 = ，再解关于CH的分式方程便可解答；
BH BI
【详解】解：如图，延长AB交射线OG于点I，
由题意可知OA=AB=BC=OC=2，
∵D是AB的中点，
∴AD=BD=1，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=√5，由作图的步骤可知OG平分∠COD，
∴∠COG=∠IOD，
∵AB∥OC，
∴∠COG=∠DIO，
∴∠DIO=∠IOD，∴DI=DO=√5，BI=√5−1，
AB∥OC，则△COH∽△BIH，
CH CO CH 2
∴ = ， = ，解得CH=√5−1，
BH BI 2−CH √5−1
经检验CH=√5−1是原分式方程的解，且符合题意，
∴H(√5−1,2)，
故选： D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知
识；根据相似三角形的性质列方程是解题关键．
13．如图，点A在⊙O上，BC为⊙O的直径，AB＝4，AC＝3，D是A´B的中点，CD与AB相交于
点P，则CP的长为（ ）
√5 3 7 3√5
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、圆周角定理
【分析】如图作PH⊥BC于H．首先证明AP=PH，设PA=PH=x，根据勾股定理构建方程即可解决问
题；
【详解】如图作PH⊥BC于H．∵弧AD=弧BD，
∴∠ACD=∠BCD，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴PA⊥AC，∵PH⊥BC，
∴PA=PH，设PA=PH=x，
∵PC=PC，
∴Rt PCA≌Rt PCH，
∴AC△=CH=3，△
∵BC=√AB2+AC2=5，
∴BH=2，
在Rt PBH中，∵PB2=PH2+BH2，
∴（4△-x）2=x2+22，
3
解得x= ，
2
√ 3 2 3
∴PC= ( ) +32= √5 ，
2 2
故选：D．
【点睛】此题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理，解题的
关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1，AB=10，则CD的长为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值【分析】连接OA，设圆的半径为x，则OE=x-1，由垂径定理可得AB⊥CD，AE =5，Rt△OAE中由
勾股定理建立方程求解即可；
【详解】如图，连接OA，
设圆的半径为x，则OE=x-1，
1
由垂径定理可得AB⊥CD，AE=BE= AB=5，
2
Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，
x2=25+（x-1）2，
解得：x=13，，
∴CD=26，
故选： D．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
15．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接
EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②PD=√2EC；③∠PFE=∠BAP；④
PB2+PD2=2PA2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、
用勾股定理解三角形
【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明
△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；③∠PFE=∠BAP；在此基础上，再证明△DPF是等腰
直角三角形，即可判断②；根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=2PF2，在Rt△PEB中，PB2=PE2+BE2=2PE2，在Rt△EPF中，PA2=EF2=PE2+PF2，从而即可得出结论．
【详解】解：过P作PG⊥AB于点G，
ABCD
∵四边形 是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边PGBE是矩形，四边形PECF是矩形，
∴PG=BE，PE=BG=CF，PF=CE，∠BGP=90°，∠PFC=90°， GF∥BC，
∴∠AGP=90°，∠PFD=90°，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP=PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB−GB，FP=GF−GP=AB−GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF，故①正确，∠PFE=∠GAP，
∴∠PFE=∠BAP,PG=PE，故③正确，
∵ PF∥BC，
∴ ∠DPF=∠CBD=45°，
∵ ∠PFD=90°，
∴ ∠PDF=45°，
∴ △DPF是等腰直角三角形，
∴ PF2+FD2=PD2，即2PF2=PD2，
√2
∴PF= PD，
2
∵ PF=CE，
√2
∴CE= PD，即PD=√2CE，故②正确，
2
∵在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=2PF2，
在Rt△PEB中，PB2=PE2+BE2=2PE2，在Rt△EPF中，PA2=EF2=PE2+PF2，
∴PB2+PD2=2PA2，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，
等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二、填空题
16．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=32，则⊙O的
半径为 ．
【答案】4
【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值
【分析】过点O作OE⊥CD, 连接OC,根据垂径定理可得CE=DE,根据∠APC=45°，得到
EP=OE,对式子PC2+PD2=32进行变换，即可求出半径.
【详解】解：设⊙O的半径为R
过点O作OE⊥CD, 连接OC,
∴CE=DE,
∵∠APC=45°，
∴EP=OE,
PC2+PD2=(CE+EP) 2+(DE−EP) 2,
=CE2+2CE⋅EP+EP2+DE2−2DE⋅EP+EP2,
=2CE2+2EP2,
=2(CE2+EP2 ),
=2(CE2+OE2 ),∴2R2=32,
解得：R=4.
故答案为：4
【点睛】此题考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子PC2+PD2=32进行变形是解题的
关键.
17．如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF、EF与AC交于点O．若AE=5，
BF=3，则AC的长为 ．
【答案】4√5
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠
问题
【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理；三角形全等的判定与性质，再得到相等的
线段是解题关键．根据折叠的性质，证明△AOE≌△COF，则有AF=CF=AE=5，由勾股定理算
出AB=4，则可计算出AC．
【详解】解：由折叠的性质得：AF=FC，AO=OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ AD∥BC
∴ ∠AEO=∠CFO，
∵∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌△COF（AAS）,
∴ AE=CF，
∵AE=5，BF=3，
∴ AF=CF=AE=5，
∴AB=√AF2−BF2=√25−9=4，
∴BC=BF+CF=3+5=8，
∴AC=√AB2+BC2=√42+82=4√5，
故答案为：4√5．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于1
AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若
2
AB=BD=2，则△ACD的面积为 ．
【答案】√3
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、由平行判断成比例
的线段
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例、勾股定理，熟练掌握和应用相
关的性质与定理是解题的关键．
设MN与AC交于点E，则有∠DEC=90°=∠BAC，CE=AE，从而求得BC=4，然后求出AC长，
1
再S = S 计算解题即可．
△ADC 2 △ABC
【详解】解：设MN与AC交于点E，
根据作图可以得到∠DEC=90°=∠BAC，CE=AE，
∴DE∥AB，
CD CE
∴ = =1，即CD=BD=2，
BD AE
∴BC=4，
∴AC=√BC2−AB2=√42−22=2√3，
1 1 1
∴S = S = × ×2×2√3=√3，
△ADC 2 △ABC 2 2
故答案为：√3．
19．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为2m，水面
宽AB为8m，则输水管的半径为 m．【答案】5
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
1
【分析】由垂径定理可知AC= AB，设OA=r，则OC=r−2，根据勾股定理计算即可；
2
【详解】由图可知：OD⊥AB，
1 1
∴AC= AB= ×8=4m，
2 2
设OA=r，则OC=r−2，
在Rt 中，OA2=OC2+AC2，
△AOC
∴r2=(r−2) 2+42，
解得：r=5m．
∴该输水管的半径为5m．
故答案是：5．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键．
20．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,BC=9,AC=3，点D是BC上的一点，且
BD:DC=3:1，则tan∠CAD= ．
2√2 2
【答案】 / √2
3 3
【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点，证得△CDH∽△CBA
并根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
如图：过D作DH∥AB交AC于H，由平行线的性质得到∠DHA=90°，由勾股定理求出
AB=6√2，由△CDH∽△CBA，推出CH：AC=DH：AB=CD：BC，求出
3 3√2 9
CH= ，DH= 得到AH=AC−CH= ，然后根据正切的定义即可解答．
4 2 4【详解】解：如图：过D作DH∥AB交AC于H，
∴∠BAH+∠AHD=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DHA=90°，
∵BC=9，AC=3，
∴AB=√BC2−AC2=6√2,
∵DH∥AB，
∴△CDH∽△CBA，
∴CH：AC=DH：AB=CD：BC，
∵BD：DC=3：1，
∴CD：BC=1：4，
∴CH:3=DH:6√2=1:4，
3 3√2
∴CH= ，DH= ,
4 2
9
∴AH=AC−CH= ,
4
DH 2√2
∴tan∠CAD= = ．
AH 3
2√2
故答案为： ．
3
21．如图，△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D为边AB上一动点（不与A、B重合），⊙D与
BC切于E点，E点关于CD的对称点F在△ABC的一边上，则BD= ．
【答案】2√2或4√2−4；
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、切线的性质定理
【分析】分为当E点关于CD的对称点F在AB或者AC上进行讨论：
1
①当F在AB边上时，根据对称性得出CE=CF，DE=DF，作CH⊥AB，则CH= AB=2√2 ,设
2
DE=DF=x，则BD=√2x，CE=CF=4−x，在直角三角形CHF中，用勾股定理解出x即可得出答案；
②当F在AC边上时，根据对称性知圆与AC、BC均相切，此时D在AB的中点，从而求解．
【详解】解：①当F在AB边上时，作CH⊥AB，连接DF、CF，如图：
根据对称性知：CE=CF，DE=DF
又∵AC=BC=4，∠ACB=90°
∴AB=4√2,CH=AH=BH=2√2 , DEB是等腰直角三角形
设DE=DF=x，则BD=√2x，CE= △CF=4−x
∴HF=2√2−x−√2x
在直角三角形CHF中：CH2+H F2=CF2
即：(2√2) 2+(2√2−x−√2x) 2=(4−x) 2 解得：x=4−2√2
∴BD=√2x=4√2−4
②当F在AC边上时，根据对称性知圆与AC、BC均相切，此时此时D在AB的中点，如图：
1
∴BD= AB=2√2
2
故答案为：2√2或4√2−4
【点睛】本题考查等腰直角三角形与圆综合的题目，转化相关线段之间的关系是解题关键，注意分
类讨论．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分
别用S ，S ，S 表示．若S =10，S =3，则S 的值是 ．
1 2 3 1 3 2
【答案】7【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积
【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据勾股定理，结合正方形的面积公式得出
S =S −S 是解题的关键．
2 1 3
【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC2=AB2−AC2，
∵以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S ，S ，S 表示，S =10，S =3，
1 2 3 1 3
∴S =BC2 ，S =AB2=10，S =AC2=3，
2 1 3
∴S =BC2=AB2−AC2=10−3=7，
2
故答案为：7．
23．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△ADC，有下列结论：①
∠AOD=90°；②CB=CD；③DA=DC；④AC垂直平分BD．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，解题
的关键是掌握相关知识．由△ABC≌△ADC，可得AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC，推出
AC⊥BD，BO=DO，即可求解．
【详解】解：∵ △ABC≌△ADC，
∴ AB=AD，BC=CD，∠BAC=∠DAC，
∴ AC⊥BD，BO=DO，
∴ ∠AOD=90°，AC垂直平分BD，
∴①②④正确，
无法得出DA=DC，故③错误，
故答案为：①②④．
24．如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，M为腰上一点，且△ADM为等边三角形，则
S
△CDM = ．
S
△ABM【答案】2:1
【知识点】等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】过点D作DF⊥AB交于点F，根据三个直角三角形的斜边相等，运用勾股定理求出DC，
CM的长，即可得到答案．
【详解】解：过点D作DF⊥AB交于点F，
则四边形BCDF是矩形，CD=BF，DF=CB，
∵△ADF,△DCM,△ABM为直角三角形，△ADM为等边三角形，且AB=BC=4，
∴AD2=AF2+DF2①，
DM2=CD2+CM2②，
AM2=AB2+BM2③，
设CD=x，CM= y，
由①②故可得x2+ y2=42+(4−x) 2④，
①③得42+(4−x) 2=42+(4−y) 2⑤，
由⑤得x= y，代入④得，
x=4√3−4，
1
S = (4√3−4) 2 ，
△CDM 2
1
S = ×4×(4−4√3+4)，
△ABM 2
S
∴ △CDM = 2:1．
S
△ABM
故答案为：2:1．
【点睛】本题考查了梯形，矩形，直角三角形，等边三角形的性质，把梯形分割成矩形和直角三角形，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．
25．如图，在四边形ABCD中和，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°．对角线AC与BD
相交于点E，若BE=3DE，则ED= ．
【答案】3√6
【知识点】化为最简二次根式、全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三
角形
【分析】过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BM于点N，连接DM并延长到H，使得
MH=MD，连接AH，先证明∴△ABC为等边三角形，得到AC=AB=6，再由三线合一定理得到
1
CM=AM= AC=3．则由勾股定理可得BM=√BC2−CM2=3√3；证明
2
△AHM≌△CDM(SAS)，得到AH=CD，∠MAH=∠MCD，再证明△ADH≌△DAC，得到
1
BM⋅ME
1 BE 3 2 3
DH=AC，则DM= AC=3；由BE=3DE，得到 = ，则 = ，据此得到
2 BD 4 1 4
BM⋅DN
2
ME 3
= ，设ME=3x，DN=4x，BE=3 y，BD=4 y在Rt△BME中，由勾股定理得
DN 4
BE2−M E2=BM2，可推出y2−x2=3，
在Rt△BDN中，由勾股定理得BN2=16 y2−16x2=48，则BN=4√3，MN=√3．利用勾股定理
得到DN=√DM2−M N2=√6．则BD=√BN2+DN2=3√6．
【详解】解：过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BM于点N，连接DM并延长到H，使得
MH=MD，连接AH，
∵AB=BC=6 ∠ABC=60°
， ，∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=6，
∵BM⊥AC，
1
∴CM=AM= AC=3．
2
∴BM=√BC2−CM2=3√3；
∵AM=CM，∠AMH=∠CMD，HM=DM，
∴△AHM≌△CDM(SAS)，
∴AH=CD，∠MAH=∠MCD，
∵∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD+∠CAH=90°，
∴DAH=90°=∠ADC，
又∵AD=DA，
∴△ADH≌△DAC，
∴DH=AC，
1
∴DM= AC=3；
2
∵BE=3DE，
BE 3
∴ = ，
BD 4
S BE 3
∴ △BDM = = ，
S BD 4
△BME
1
BM⋅ME
2 3
∴ = ，
1 4
BM⋅DN
2
ME 3
∴ = ，
DN 4
设ME=3x，DN=4x，BE=3 y，BD=4 y，
在Rt△BME中，由勾股定理得BE2−M E2=BM2，
∴9 y2−9x2=27，
∴y2−x2=3，
在Rt△BDN中，由勾股定理得BN2=BD2−DN2，
∴BN2=16 y2−16x2=48，∴BN=4√3，
∴MN=√3．
∴DN=√DM2−M N2=√6．
∴BD=√BN2+DN2=√48+6=√54=3√6．
故答案为：3√6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正
确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）请用尺规作图法，在BC边上求作一点P，使PA=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）连接AP，若∠ABC=30°，BC=5，求AP的长度．
10
【答案】（1）见解析；（2）
3
【知识点】作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形
【分析】（1）在BC边上求作一点P，使PA=PB,实际就是求作AB的垂直平分线与BC交点，尺规
作图AB的垂直平分线交BC与点P即可；
（2）求出∠PAC=30°，设AP=x，根据含30°直角三角形性质构造方程求解即可．
【详解】解：（1）如答图所示，点P即为所求．
（2）∵PA=PB，∠B=30°，∴∠BAP=30°，
∵∠C=90°，∴∠BAC=60°，∴∠PAC=∠BAC−∠BAP=30°，
设AP=x，则PC=5−x，10
在Rt△ACP中，AP=2CP，即x=2(5−x)，解得x= ，
3
10
∴AP的长度为 ．
3
【点睛】本题考查了尺规作图，含30°角直角三角形性质，熟记相关知识是解题关键．
27．如图，△ABC中，AB=AC=4√3，∠A=30°，C A′从CA开始绕点C逆时针旋转α角
(0°<α<150°)，与射线AB相交于点E，∠AC A′的角平分线所在的直线交射线AB相交于点D，连
接A′D．
(1)求证：A′D=AD；
(2)若△A′DE为轴对称图形时，求α；
(3)当A′E、A′D、DE的中垂线的交点落在△A′DE的某一边上时，直接写出点D到AC的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)α=45°或α=90°
(3)D到AC的距离为2或3−√3
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股
定理，含30度角的直角三角形的性质等等：
（1）由旋转得：C A′=CA，由角平分线的定义得到∠A′CD=∠ACD，再证明△A′CD≌△ACD，
即可证明A′D=AD；
（2）△A′DE为轴对称图形，即△A′DE为等腰三角形，先求出∠ACB=∠ABC=75°，由全等三
角形的性质可得∠A′=∠A=30°，再分如图，当A′D=A′E时，当DE=A′E时，两种情况讨论求
解即可；
（3）当A′E、A′D、DE的中垂线的交点落在△A′DE的某一边上时，△A′DE为直角三角形，然
后分当∠DEA′=90°时， 当∠EDA′=90°时，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）证明：由旋转得：C A′=CA，
∵CD平分∠AC A′，∴∠A′CD=∠ACD，
∵CD=CD，
∴△A′CD≌△ACD(SAS)，
∴A′D=AD；
（2）解：△A′DE为轴对称图形，即△A′DE为等腰三角形，
∵AB=AC，∠A=30°，
∴∠ACB=∠ABC=75°，
∵△A′CD≌△ACD，
∴∠A′=∠A=30°，
如图，当A′D=A′E时，则∠DE A′=ED A′=75°，
∵∠CEB=∠DE A′=75°，
∴∠ECB=180°−∠DE A′−∠ABC=30°，
∴α=75°−30°=45°；
如图，当DE=A′E时，∠DA′E=ED′ A=30°，
∴∠CEA=∠DA′E+ED′ A=60°
∴∠ECB=CBA−∠CEA=75°−60°=15°，
∴α=75°+15°=90°；
（3）解：当A′E、A′D、DE的中垂线的交点落在△A′DE的某一边上时，△A′DE为直角三角形，
当∠DE A′=90°时，则∠AEC=90°，
∵∠A=30°，
1
∴CE= AC=2√3，∠ACE=60°，
2∵CD平分∠AC A′，
∴∠A′CD=∠ACD=30°，
√3
∴DE= CE=2，
3
∴由角平分线的性质可得D到AC的距离等于DE的长，即为2；
当∠ED A′=90°时，则∠AEC=∠A′+∠A′DE=120°，
∴∠ACE=30°=∠A，
如图所示，过点E作EH⊥AC于H，过点D作DT⊥AC于T，
1
∴CH= AC=2√3，
2
2√3
∴CE= CH=4，
3
∴A′E=4√3−4，
∴DE=2√3−2，
∴AD=AE−DE=6−2√3，
1
∴DT= AD=3−√3，
2
∴D到AC的距离为3−√3．
综上所述，D到AC的距离为2或3−√3．
28．如图，已知△ABC中，AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm，动点P从点C出发，沿着△ABC的
三条边逆时针走一圈回到C点，速度为2cm/s，设运动时间为t秒．
(1)t为何值时，AP平分∠CAB？
(2)求当t为何值时，△ACP为等腰三角形？(3)若P出发时，同时另有一点Q，从点C开始，按顺时针方向运动一圈回到点C，且速度为每秒1cm．
当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．是否存在某一时刻，直线PQ将△ABC的周长
分成相等的两部分？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．
3
【答案】(1)t=
2
27 13
(2)t=3或t=6或t= 或t=
5 2
(3)t=4或t=12
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用
勾股定理解三角形
【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，根据勾股定理逆定理得出∠C=90°，根据角平分线的性
质得出PC=PD，通过证明Rt△APC≌Rt△APD，得出AC=AD=6cm，根据PC=PD=2t，则
PB=8−2t，根据勾股定理列出方程求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论①当点P在BC上时；②当点P在AB上时：Ⅰ、当AC=AP=6cm时；
Ⅱ、当AC=PC=6cm时，过点C作CH⊥AB于点H；Ⅲ、当AP=CP时，过点P作PG⊥AC于
点G；即可解答；
（3）根据题意进行分类讨论①当03（舍去），
3
10−√37
∴x= ；
3
②当MG=PG时，∠MPG=∠PMG，∠MOC=∠MPG，
∴CM=CO，
∵∠OCP=∠MCP，
∴∠OPC=∠MPC=90°，
∴CP⊥OP，
∴△AOP， DPC， OPC均为直角三角形，
∴AP2+AO2=△OP2，PD△2+CD2=CP2，OP2+CP2=OC2，
∴AP2+AO2+DP2+CD2=BC2，
∴x2+22+（5-x）2+22=52，
∴x2-5x+4=0，解得：x=1或x=4＞3（舍去），
10−√37
综上，AP为 或1，
310−√37
∴P（ ，2）或（1，2）．
3
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数的应用，勾股定理等知识点，分类讨论是
解题的关键．
35．如图，在等边△ABC中，点D、点E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE相交于点
F．
(1)求∠AFE的度数；
(2)连接FC，若∠AFC=90°，BF=3，求AF的长．
【答案】(1)∠AFE=60°
(2)AF=6
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角形的三个
内角都相等，且都等于60°；三条边相等．
（1）因为ΔABC为等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以
用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外
角性质解答即可；
（2）利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进而解答即可．
【详解】（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
¿，
∴△ABD≌△BCE(SAS)；
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
（2）延长BE至H，使FH=AF，连接AH、CH，由（1）知∠AFE=60°，∠BAD=∠CBE，
∴△AFH是等边三角形，
∴∠FAH=60°，AF=AH，
∴∠BAC=∠FAH=60°，
∴∠BAC−∠CAD=∠FAH−∠CAD，
即∠BAF=∠CAH，
在△BAF和△CAH中，
∵AB=AC，∠BAF=∠CAH，AF=AH，
∴△BAF≌△CAH(SAS)，
∴∠ABF=∠ACH，CH=BF=3；
又∵∠ABC=∠BAC，∠BAD=∠CBE，
∴∠ABC−∠CBE=∠BAC−∠BAD，
即∠ABF=∠CAF，
∴∠ACH=∠CAF，
∴AF∥CH，
∵∠AFC=90°，∠AFE=60°，
∴CF⊥CH，∠CFH=30°，
∴FH=2CH=6，
∴AF=FH=6，
即AF的长为6
【能力提升】
36．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向240km的O处，以每小时30km的速度向南偏
东60°的OB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域．
(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？【答案】(1)A城受到这次台风的影响，理由见解析；(2)受台风影响的时间有6小时．
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)、方位角问题(解直角三角形的应用)
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BO作垂线，垂足为H，若AH>150则
A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BO的长为150千米的点有两点，分别设为R、T，则△ART是等腰三角形，由于
AH⊥BO，则H是RT的中点，
在Rt△ARH中，解出RH的长，则可求RT长，在RT长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距
离的关系则可求时间．
【详解】(1)如图，作AH⊥OB于H．
在Rt△AOH中，∵∠AHO＝90°，OA＝240km，∠AOH＝30°，
1
∴AH＝ OA＝120km，
2
∵120＜150，
∴A城受到这次台风的影响．
(2)如图，设AR＝AT＝150km，
则易知：RH＝HT＝√1502−1202＝90(km)，
∴RT＝180km，
∴受台风影响的时间有180÷30＝6小时．
【点睛】熟练掌握点到直线的距离垂线段最短，在和勾股定理结合可以得到结果.
37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交AB和AC于点D，E，并且BE平分
∠ABC．(1)求∠A的度数；
(2)若CE=1，求AB的长．
【答案】(1)30°
(2)AB=2√3
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定
理解三角形
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到EA=EB，进而得到∠EBA=∠A，由角平分线的概念得
到∠EBA=∠CBE，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据含30°角直角三角形的性质得到BE=2CE=2，然后利用勾股定理得到
BC=√BE2−CE2=√3，进而求解即可．
【详解】（1）∵DE的垂直平分AB
∴EA=EB
∴∠EBA=∠A．
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBA=∠CBE，而∠C=90°，
又∵∠CBE+∠EBA+∠A+90°=180°，
∴∠A=30°．
（2）∵∠CBE=∠ABE=∠A=30°，∠C=90°，CE=1
∴BE=2CE=2
∴BC=√BE2−CE2=√3
∴AB=2BC=2√3．
【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理和含30°角直角三角形的性
质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
38．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点B为圆心，BD长为半径画弧，交线段BC于点E．
(1)当∠B=30°时，点D （填“在”或“不在”）线段BC的垂直平分线上；
(2)若AC=8，BC=15，判断点E是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
【答案】(1)在
(2)点E不在∠BAC的平分线上，理由见解析
【知识点】角平分线的判定定理、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理
解三角形
【分析】（1）根据题意可得AC=AD，连接CD，根据三角形内角和定理可得∠A=60°，根据直
1
角三角形的性质得出AC= AB，推得AD=BD，根据等边三角形的判定和性质得出CD=AD，推
2
得CD=DB，根据垂直平分线的判定即可求解；
（2）连接AE，过点E作EF⊥AB交于点F，根据勾股定理求出AB=17，求得BD=9，CE=6，
72
根据三角形的面积求出EF= ，根据角平分线的判定即可求解．
17
【详解】（1）解：根据题意可得AC=AD，BD=BE，
如图，连接CD，
∵∠B=30°，∠ACB=90°，
1
∴∠A=90°−30°=60°，AC= AB，
2
1
∵AC=AD，AC= AB，
2
1
∴AD= AB，
2
∴AD=BD，∵AC=AD，∠A=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD=AD，
∴CD=DB，
故点D在线段BC的垂直平分线上；
故答案为：在．
（2）解：点E不在∠BAC的平分线上，理由如下：
连接AE，过点E作EF⊥AB交于点F，如图：
在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+152=17，
根据题意可得AC=AD=8，BD=BE=AB−AD=17−8=9，
∴CE=BC−BE=15−9=6，
1 1
在△ABE中， ×BE×AC= ×AB×EF，
2 2
1 1
即 ×9×8= ×17×EF，
2 2
72
解得：EF= ，
17
∵EC⊥AC，EF⊥AB，CE≠EF，
故点E不在∠BAC的平分线上．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分
线的判定定理，勾股定理，三角形的面积，角平分线的判定定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
39．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一动点，
边DE与AC相交，AB=17．求证：(1)求证：∠EAC=∠B；
(2)若BD=5，求DE的长；
(3)在点D的运动过程中，求DE的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)13
17
(3) √2
2
【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证明△AEC≌△BCD，进而可证∠EAC=∠B；
（2）证明∠EAD=90°，根据勾股定理AE2+AD2=DE2，进而求出DE的值．
（3）由勾股定理得DE=√2CD，则CD最小时，DE最小，当CD⊥AB时即可，再根据直角三角
1
形的性质得到CD= AB，即可求解．
2
【详解】（1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴∠ACE+∠ACD=∠ECD=90°，∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，
∴EC=CD，CA=CB，
在△ACE和△BCD中，
¿，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠EAC=∠B；
（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠DBC=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，AE=BD，
∴∠EAD=90°，
∴AE2+AD2=DE2，
∵AB=17，BD=5，
∴AD=AB−BD=12，AE=BD=5，
∴DE2=AE2+AD2=52+122=169，
∴DE=13（负值舍去）；
（3）解：如图：∵△ECD是等腰直角三角形，∠ECD=90°，CD=CE
∴DE=√CD2+CE2=√2CD
当CD⊥AB时，CD最小，则DE最小，
∵CA=CB，∠ACB=90°
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵CD⊥AB
∴△ACD和△BCD均是等腰直角三角形，
17
∴CD=DA=DB= ，
2
17
∴DE= √2，
2
17
∴DE的最小值为 √2．
2
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，能够灵活运动勾
股定理是解本题的关键，综合性较强．
40．如图①，D是∠ABC平分线上一点，点E、F分别在射线BA和射线BC上．
(1)若∠EBF与∠EDF互补，求证：DF=DE．
(2)反过来，如果DF=DE，那么∠EBF和∠EDF一定互补吗？如果是，简述理由；如果不是，请
在图②中画出反例．
(3)若∠ABC=60°，BD=4，DE=DF．点F的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出点F
的个数及对应的BE的长的取值范围．填空：当BE____________时，点F有1个；当
____________________时，点F有2个．
【答案】(1)见解析
(2)不一定互补，图见解析
(3)BE=2√3或BE>4√3，0≤BE<2√3或2√34√3时，点F只有1个，
综上所述，当BE=2√3或BE>4√3时，点F只有1个，当0≤BE<2√3或2√34√3，0≤BE<2√3或2√3
