专题10反比例函数考点精讲（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_2023年中考复习资料_专项复习_中考高分导航备战2023年中考数学考点总复习（全国通用）

专题 10 反比例函数 1．反比例函数的定义 k y= x 如果两个变量x，y之间的关系可以表示成 (k为常数,且k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数. 2．反比例函数的图象和性质 k y= x （1）图象的特征:反比例函数 的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三 象限或第二、四象限. k y= x （2）反比例函数 (k≠0,k为常数)的图象和性质: 函数 图象 所在象限 性质 一、三象限 在每个象限内,y随x增 k k>0 y= (x,y同号) 大而减小 x (k≠0,k为常数) 二、四象限 在每个象限内,y随x增 k<0 (x,y异号) 大而增大 3．反比例函数的解析式的确定 求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法. 【考点1】反比例函数图象与性质k y= x 【例1】（反比例函数的图象）如图，函数 与y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图 象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题． k y= x 【详解】解：在函数 和y＝﹣kx+2（k≠0）中， k y= x 当k＞0时，函数 的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、 D错误，选项B正确， k y= x 当k＜0时，函数 的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错 误， 故选：B． 【例2】（反比例函数的图象性质）（2021·山西）已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是 （ ） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D． 随 的增大而减小 【分析】根据反比例函数图像的性质判断即可．【详解】 解：A、反比例函数 ， ，经过一、三象限，此选项正确，不符合题意； B、将点 代入 中，等式成立，故此选项正确，不符合题意； C、反比例函数不可能坐标轴相交，此选项正确，不符合题意； D、反比例函数图像分为两部分，不能一起研究增减性，故此选项错误，符合题意； 故选：D． （1）当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小; （2）当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大. 1．（2022·湖南）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分 或 ，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：当 时，一次函数 经过第一、二、三象限，反比例函数 位于第一、三象限； 当 时，一次函数 经过第一、二、四象限，反比例函数 位于第二、四象限； 故选：D． 2．（2021·黑龙江大庆市）已知反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小，那么一次的数 的图像经过第（ ）A．一，二，三象限 B．一，二，四象限 C．一，三，四象限 D．二，三，四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的增减性得到 ，再利用一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】 解：∵反比例函数 ，当 时， 随 的增大而减小， ∴ ， ∴ 的图像经过第一，二，四象限， 故选：B． 3．（2022·湖北荆州）如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象．观察图象可得不等式 的解集为（ ） A． B． 或 C． 或 D． 或 【答案】D 【分析】根据图象进行分析即可得结果； 【详解】解：∵ ∴ 由图象可知，函数 和 分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为 ，由图象可以看出当 或 时，函数 在 上方，即 ，故选：D． 4.（2022·广东）点 ， ， ， 在反比例函数 图象上，则 ， ， ， 中最 小的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式 可知： ， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点 ， ， ， 在反比例函数 图象上， ∴ ，故选D． 5．（2021·陕西）若 ， 是反比例函数 图象上的两点，则 、 的 大小关系是 ______ （填“>”、“=”或“<”） 【分析】 先根据不等式的性质判断 ，再根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】 解：∵ ∴ 即 ∴反比例函数图像每一个象限内，y随x的增大而增大 ∵1<3 ∴ <故答案为：<． 【考点2】确定反比例关系式 【例3】（求解析式）（2022·江苏常州）某城市市区人口 万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥 有绿地 平方米，则 与 之间的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据：平均每人拥有绿地 ，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地 ． 故选：C 【例4】（系数k）（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的 顶点B在反比例函数 的图象上，顶点A在反比例函数 的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若 平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得 ，AB∥OD，再根 据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解． 【详解】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C， ∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5， ∴ ，AB∥OD，∴AB⊥y轴，∵点B在反比例函数 的图象上，顶点A在反比例函数 的图象上， ∴ ，∴ ，解得： ．故选：D． k y= x 求函数解析式关键在于掌握利用待定系数法求函数的解析式。即解设求该函数解析式为 (k≠0,k 为常数)，再将函数上一个点坐标代入即可解得。 k k y= y= x x 反比例函数 （k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数 （k≠0）图象上任意一点向x轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|。常见模型如图： 1．（2022·湖北十堰）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象 上．若 轴，点 的横坐标为3，则 （ ）A．36 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【分析】设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），先确定出D（3， ），C（3-t， +t），由点C在反比例函数y= 的图象上，推出t=3- ，进而求出点B的坐标（3，6- ），再点C在反比例函数y= 的图象上，整 理后，即可得出结论． 【详解】解：连接AC，与BD相交于点P， 设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）． ∴点D的坐标为（3， ）， ∴点C的坐标为（3-t， +t）． ∵点C在反比例函数y= 的图象上， ∴（3-t）（ +t）=k2，化简得：t=3- ，∴点B的纵坐标为 +2t= +2（3- ）=6- ， ∴点B的坐标为（3，6- ）， ∴3×（6- ）= ，整理，得： + =18． 故选：B． 2．（2022·辽宁）如图，在平面直角坐标系中， AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且 △ BD=AD，反比例函数y= (x>0)的图像经过点A，若S△OAB=1，则k的值为___________． 【答案】2 【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明 ADC≌△BDO，推出S△OAC = S△OAB=1，由此即可求 得答案． △ 【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ， 则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB， ∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO， ∴△ADC≌△BDO， ∴S△ADC=S△BDO，∴S△OAC=S△AOD+ S△ADC=S△AOD+ S△BDO= S△OAB=1， ∴ ×OC×AC= ab=1， ∴ab=2， ∵A(a，b) 在y= 上， ∴k=ab=2 ． 故答案为：2 ． 3．（2021·内蒙古呼和浩特市）正比例函数 与反比例函数 的图象交于A，B两点，若A点坐 标为 ，则 __________． 【分析】将A点坐标为 分别代入正比例函数 与反比例函数 的解析式中即可求解． 【详解】 和 过点A 故答案为 ． 4．（2022·贵州铜仁）如图，点A、B在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为D， ． 若四边形 间面积为6， ，则k的值为_______．【答案】3 【分析】设点 ，可得 ， ，从而得到CD=3a，再由 ．可得点B ，从 而得到 ，然后根据 ，即可求解． 【详解】解∶设点 ， ∵ 轴， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴CD=3a， ∵ ． 轴， ∴BC∥y轴， ∴点B ， ∴ ， ∵ ，四边形 间面积为6， ∴ ， 解得： ．5．（2022·贵州遵义）反比例函数 与一次函数 交于点 ，则 的值为__________． 【答案】6 【分析】将点 ，代入 ，求得 ，进而即可求解． 【详解】解：将点 ，代入 ， 即 ， ， ， 故答案为：6． 6．（2022·湖北武汉）在反比例 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式 是 一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断可求出k的值，再根据反比例函数的性质即可确定k的值． 【详解】解：∵x2-kx+4是一个完全平方式， ∴-k=±4，即k=±4， ∵在在反比例函数y= 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴k-1＞0， ∴k＞1． 解得：k=4， ∴反比例函数解析式为 ， 故答案为： ． 7．已知y＝y﹣y，y 与x成反比例，y 与x﹣2成正比例，并且当x＝3时，y＝5；当x＝1时，y＝﹣1． 1 2 1 2 （1）y与x的函数表达式； （2）当x＝﹣1时，求y的值． 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求得比例系数即可求得其解析式； （2）代入x的值即可求得函数值．a a 【答案】解：（1）设y = ，y＝b（x﹣2），则y= −b（x﹣2）， 1 x 2 x a { −b(3−2)=5 3 { a=3 根据题意得 ，解得 ， a b=−4 −b(1−2)=−1 1 3 所以y关于x的函数关系式为y= +4（x﹣2）； x 3 （2）把x＝﹣1代入y= +4（x﹣2）； x 得y＝﹣3+4×（﹣1﹣2）＝﹣15． 【考点3】反比例函数的综合运用 k y  1k 0,x0 【例5】（2021·江苏扬州市）如图，点P是函数 x 1 的图像上一点，过点P分别作x轴和 k y  2 k 0,x0 y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数 x 2 的图像于点C、D，连接OC 、OD、 k k 2 k k S  1 2 S  1 2 CD 、 AB ，其中k 1 k 2 ，下列结论：① CD//AB ；② △OCD 2 ；③ △DCP 2k 1 ，其中正 确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①k PD PC 1 【分析】设P（m，m ），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断 PB 和 PA 的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用 S  S S S S △OCD OAPB △OBD △OCA △DPC计算△OCD的面积，可判断②． 【详解】 k k y  1 y  2 解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在 x 上，点C，D在 x 上， k 1 设P（m，m ）， k k k k 2 1 1  2 则C（m， m ），A（m，0），B（0，m ），令m x ， k m k m k x 2 2 1 则 k ，即D（ k ，m ）， 1 1 k k k k k m mk k  1  2 1 2 m 2 1 2 ∴PC=m m = m ，PD= k = k ， 1 1 k k mk k  1 2 1 2 PC m k k   1 2 ∵PD  k 1  k 1 k 2 ， PA k 1 k 1 ，即PD  PC ， PB m k m PB PA 1 又∠DPC=∠BPA， ∴△PDC∽△PBA， ∴∠PDC=∠PBC， ∴CD∥AB，故①正确； 1 1 mk k  k k k 1 k 2 2 △PDC的面积= PDPC=  1 2  1 2 = ，故③正确； 2 2 k 1 m 2k 1 S  S S S S △OCD OAPB △OBD △OCA △DPC1 1 k k 2 k  k  k  1 2 = 1 2 2 2 2 2k 1 k k 2 k k  1 2 = 1 2 2k 1 2k k k  k k 2 1 1 2  1 2 = 2k 2k 1 1 2k2 2k k k k 2 1 1 2 1 2 = 2k 1 k2 k 2 1 2 = 2k ，故②错误； 1 故选B． 【例6】（2022·山东潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定 的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ） A．海拔越高，大气压越大 B．图中曲线是反比例函数的图象 C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕 D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系 【答案】D 【分析】根据图象中的数据回答即可． 【详解】解：A．海拔越高，大气压越小，该选项不符合题意； B．∵图象经过点(2，80)，(4，60)， ∴2×80=160，4×60=240，而160≠240， ∴图中曲线不是反比例函数的图象，该选项不符合题意；C．∵图象经过点 (4，60)， ∴海拔为4千米时，大气压约为60千帕，该选项不符合题意； D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系，该选项符合题意； 故选：D． 利用反比例函数解决实际问题，要做到①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模 型；②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然 后在作答中说明. 【失分警示】 1．利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2．利用出数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义。 1．（2022·湖南郴州）如图，在函数 的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图像于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由 即可求解； 【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，∵ ， ∴ ∵ ∴ 故选：B． 2．（2022·河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体 传感器是一种气敏电阻（图1中的 ）， 的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精 浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ） A．呼气酒精浓度K越大， 的阻值越小 B．当K＝0时， 的阻值为100 C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当 时，该驾驶员为醉驾状态 【答案】C 【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D． 【详解】解：根据函数图象可得， A. 随 的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大， 的阻值越小，故正确，不符合题意；B. 当K＝0时， 的阻值为100，故正确，不符合题意； C. 当K＝10时，则 ，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不 正确，符合题意； D. 当 时， ，则 ，该驾驶员为醉驾状态， 故该选项正确，不符合题意； 故选:C. Ax,y 3．（2021·浙江宁波市）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 1 1 B ,   x y   称为点A的“倒数点”．如图，矩形 OCDE 的顶点C为3,0，顶点E在y轴上，函数 2 y  x0 x 的图象与DE 交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE 的一边上，则 △OBC 的面积为_________． 【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B △OBC 在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出 的面积即可． 【详解】 解：根据题意， 1 1 B , ∵点   x y   称为点Ax,y的“倒数点”，x0 y 0 ∴ ， ， ∴点B不可能在坐标轴上； 2 y  x0 ∵点A在函数 x 的图像上， 2 1 x (x, ) ( , ) 设点A为 x ，则点B为 x 2 ， 3,0 ∵点C为 ， ∴OC 3， ①当点B在边DE上时； 点A与点B都在边DE上， ∴点A与点B的纵坐标相同， 2 x  即 x 2 ，解得：x2， 经检验，x2是原分式方程的解； 1 ( ,1) ∴点B为 2 ， 1 3 S  31 ∴△OBC的面积为： 2 2 ； ②当点B在边CD上时； 点B与点C的横坐标相同， 1 1 3 x ∴ x ，解得： 3， 1 x 经检验， 3是原分式方程的解； 1 (3, ) ∴点B为 6 ，1 1 1 S  3  ∴△OBC的面积为： 2 6 4； 1 3 故答案为：4 或2 ． 4．（2022·山东临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利 用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下： 第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点 ，并用细麻绳固定，在支点 左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣． （1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重 物的质量变化时， 的长度随之变化．设重物的质量为 ， 的长为 ．写出y关于x的函数解析 式；若 ，求 的取值范围． （2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设 重物的质量为 ， 的长为 ，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象． …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… ……【答案】(1) ； (2) ，表、图见解析 【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可； （2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答． 【解析】(1)解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴重物×OA=秤砣×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为 ， 的长为 ，秤砣为0.5kg， ∴2x=0.5y， ∴ ； ∵4>0， ∴y随x的增大而增大， ∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12， ∴ ． (2)解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴秤砣×OA=重物×OB． ∵OA=2cm，重物的质量为 ， 的长为 ，秤砣为0.5kg， ∴2×0.5=xy， ∴ ； 当x=0.25时， ； 当x=0.5时， ；当x=1时， ； 当x=2时， ； 当x=4时， ； 填表如下： …… 0.25 0.5 1 2 4 …… …… 4 2 1 …… 画图如下： 【考点4】一次函数与反比例函数的综合运用 【例7】（2021·山东威海市）已知点A为直线 上一点，过点A作 轴，交双曲线 于点 B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为_____________． 【分析】设点A坐标为 ，则点B的坐标为 ，将点B坐标代入 ，解出x的值即可 求得A点坐标． 【详解】 解：∵点A为直线 上一点，∴设点A坐标为 ， 则点B的坐标为 ， ∵点B在双曲线 上， 将 代入 中得： ， 解得： ， 当 时， ， 当 时， ， ∴点A的坐标为 或 ， 故答案为： 或 ． 【例8】（2022·黑龙江大庆）已知反比例函数 和一次函数 ，其中一次函数图象过 ， 两点． （1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数 的图象分别与函数 图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点 P，使得 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式； （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，进行计算即可； 【解析】(1)解：把 代入 ，得 ， 解得， ， 所以反比例函数解析式是 ； (2)存在点P使△ABP周长最小，理由： 解 和 得， 和 ， ， 和 ， ， 作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，当点 、 、 在一条直线上时，线段 的长 度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，△ABP的周长= ， ， ， ． 1．解答本考点的有关题目需要注意以下要点：反比例函数与一次函数的交点问题，可以利用待定系数法. 2．反比函数图像常见的辅助线作法：过反比例函数图象上任意一点作x轴、y轴的垂线段构成三角形或四 边形，求面积。 k y  (k 0) y axa 0 1．（2021·贵州安顺市）已知反比例函数 x 的图象与正比例函数 的图象相交于 A,B 1,2 两点，若点A的坐标是 ，则点B的坐标是（ ） 1,2 1,2 1,2 2,1 A． B． C． D． A,B 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得 关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】 k 解：∵反比例函数 y  x (k 0) 的图象与正比例函数 y axa 0 的图象相交于A,B两点，A,B ∴ 关于原点中心对称， 1,2 ∵点A的坐标是 ， 1,2 ∴点B的坐标是 ． 故选C． OABC OC OA 2．（2021·山东菏泽市）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的两边 、 分别在坐标轴上，且 k y  1 OA2，OC 4，连接OB．反比例函数 x （x0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、 BC E F y k xb E F 分别交于点 、 ．一次函数 2 的图象经过 、 两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P是 x 轴上一动点，当PEPF的值最小时，点P的坐标为______． 【分析】 k y  1 （1）先求出B点的坐标，再由反比例函数过点D，求出点D的坐标，代入 x 即可， y k xb E F 由矩形的性质可得 、 坐标，代入 2 即可求出解析式； F x F EF EF x （2）“将军饮马问题”，作 关于 轴的对称点 ，连接 ,直线 与 轴交点即为所求． 【详解】 ∵ OABC OA2 OC 4 （1） 四边形 是矩形， ， B(4,2)∵ D OB 为线段 的中点 D(2,1) k y  1 将D(2,1)代入 x ，得 k 2 1 2 y  x ∵ AB//OC,AO//BC y 2,x 4 E F 1 E(1,2),F(4, ) 2 1 E(1,2),F(4, ) y k xb 将 2 ，代入 ，得： 2  1 k  2k b   2 2  2  1 ，解得 5  4k b b  2 2  2 1 5 y  x 2 2 F x F EF x （2）如图：作 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点P ∵ PEPF  PEPF EF  E,F,P PEPF EF 当 三点共线时， 有最小值 1 ∵ F(4, ) 2 1 F(4, ) 2 ， 设直线EF的解析式为 y mxn1 E(1,2),F(4, ) 将 2 ，代入y mxn，得  5 m 2mn   6    1 ，解得 17   4mn n   2  6 5 17 y  x 6 6 17 x 令y0，得 5 17 P( ,0) 5 k y  2 y k xb 3．（2021·山东东营市）如图所示，直线 与双曲线 x 交于A、B两点，已知点B的纵坐标 1 1 D0,2 tanAOC  为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点 ，OA 5， 2．（1）求直线AB的解析式； △OCP △ODB （2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点， 的面积是 的面积的2倍，求点P的 坐标； k k xb 2 （3）直接写出不等式 1 x 的解集． 【分析】 k 2,1 2,1 y  2 （1）过点A作AE  x轴于点E，根据三角函数的性质，得点A ，将点A 代入 x ，得 2 y  x ；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案； 2  ,3   （2）连接OB、PC、PO，结合（1）的结论，得点B3 ；结合题意得S ；把y0代入 VOCP 3  4  y  2 x2 ，得点C    3 ,0  ；设点 P 的坐标为 x,y ，通过计算即可得到答案； （3）根据（1）和（2）的结论，结合反比例和一次函数的图像，即可得到答案． 【详解】 AE  x （1）如图，过点A作 轴于点E，1 tanAOC  ∵ 2，OA 5， ∴AE 1，OE 2， 2,1 ∴点A ， 2 y  ∴双曲线的解析式为 x ， A2,1 D0,2 y k xb 把 ， 分别代入 1 ， 2k b1 1  得： b2 ，  3 k   1 2 解得： ，  b2 3 y  x2 ∴直线AB的解析式为 2 ； PC PO （2）如图，连接OB、 、 3 2 y  x2 x 把y 3代入 2 ，得 3 ， 2  ,3   ∴点B3 ，1 2 2 S  2  ∴ △ODB 2 3 3， 4 S 2S  ∴ △OCP △ODB 3 ， 3 4 y  x2 x 把y0代入 2 ，得 3，  4   ,0   ∴点C 3  x,y 设点P的坐标为 ， 1 4 4 S   y  ∵ △OCP 2 3 3 y 2 ∴ ， 2 y  ∵ x ， (-1,2) ∴点P的坐标为 ； 2  ,3 （3）根据（1）和（2）的结论，结合点A 2,1 、点B  3   2 x  ∴2 x0或 3． 4．（2022·黑龙江绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点，且与反比例函数 的图象在第一象限内交于P，K两点，连接 ， 的面积为 ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）当 时，求x的取值范围； （3）若C为线段 上的一个动点，当 最小时，求 的面积． 【答案】(1) (2) 或 ， (3) 【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据 的面积为 和直线解析式求出点P坐标， 从而可求出反比例函数解析式； （2）联立方程组并求解可得点K的坐标，结合函数图象可得出x的取值范围； （3）作点K关于x轴的对称点 ，连接 ， 交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，求出 点C的坐标，再根据 求解即可． 【解析】(1) 解：∵一次函数 与坐标轴分别交于 ， 两点， ∴把 ， 代入 得， ，解得， ， ∴一次函数解析式为过点P作 轴于点H， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ， ∴ ∴ ∵ 在双曲线上， ∴ ∴ (2) 解：联立方程组得，解得， ， ∴ 根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有 或 ， ∴当 时，求x的取值范围为 或 ， (3) 解：作点K关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点M，则 （1，-2），OM=1， 连接 交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小， 设直线 的解析式为 把 代入得， 解得， ∴直线 的解析式为 当 时， ，解得， ， ∴ ∴ ∴ ， ∴