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专题 7 反比例函数
1.反比例函数的三种形式是 、 、 (k≠0,k 是常数),其自变量的取值范围是 .
反比例函数的图象是 ，当k 时，双曲线的两个分支在第一、三象限，在 ，y随x的增大
而 ；当k 时，双曲线的两个分支在第二、四象限，在 ，y随x的增大而 .反比
例函数的图象是关于 对称的中心对称图形，又是 图形，其对称轴为 .双曲线与 x 轴、y
轴都没有 ，两个分支 坐标轴，但永远 坐标轴.
k
2.反比例函数的反比例系数|k|的几何意义：过反比例函数 y= (k≠0)的图象上任一点 P 作 、
x
k
的垂线 PM,PN,则所得的矩形 PMON 的面积为S= PM⋅PN=__________.∵y= ,∴xy=k,即S=
x
¯
.
实战演练
6
1.反比例函数 y= 的图象分别位于 ( )
x
A.第一、第三象限
B.第一、第四象限
C.第二、第三象限
D.第二、第四象限
4
2.点(1,y ),(2,y ),(3,y ),(4，y)在反比例函数 y= 图象上,则 y,y,y,y 中最小的是 ( )
1 2 3 4 x 1 2 3 4
A. y B. y
1 2
C. y D. y
3 4
6
3.已知点 A(x ,y),B(x ,y)在反比例函数 y= 的图象上，且 x₁<00
C.y₁y₂
m
4.一次函数y= mx+n的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A、B，其中点 A、B的坐标为
x
( 1 )
A − ,−2m 、B(m,1),则△OAB的面积是 ( )
m
13
A.3 B.
4
7 15
C. D.
2 4
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k
5.一次函数 y₁=k₁x+b (k₁≠0)与反比例函数 y = 2 (k ≠0)的图象交于点 A(-1,-2),点 B(2,1).当.y2
C.0y,则a的取值范围是( )
1 2 x 1 2
A. a<-1
B.-11
D. a<-1或a>1
7.根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p(Pa)是它的受力面积 S(m²)的反比例函数，其
函数图象如图所示.当S=0.25 m²时，该物体承受的压强p的值为 Pa.
6
8.已知反比例函数 y=− 的 图 象 经 过 点 (4, a),则 a 的 值为 .
x
2m−1 1
9.若A(1,y ),B(3,y )是反比例函数 y= (m< )图象上的两点，则y、y 的大小关系是 y y.(填
1 2 x 2 1 2 1 2
“>”、“=”或“<”)
m2+1
10.已知点A(a,y ),B(a+1,y )在反比例函数 y= (m是常数)的图象上，且. y₁0,x>0)与函数 y₂=k₂x(k₂是常数， k₂≠0)的图象交
1 x 1 1
于点 A，点A 关于 y轴的对称点为点 B.
(1)若点 B 的坐标为(-1,2),
①求 k , k₂的值;
1
②当y < y₂时，直接写出x的取值范围；
1
k
(2)若点 B 在函数 y = 3 (k 是常数，k₃≠0)的图象上,求 k₁+k₃的值.
3 x 3
k
14.如图,反比例函数 y= (k≠0,x⟩0)的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点 A(a,8)作 AB⊥y轴交于点
x
B，交反比例函数图象于点 D,且AB=4BD.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求四边形OCDB 的面积.
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压轴预测
k
1.已知点 A(2,-3)关于x轴的对称点A'在反比例函数 y= 的图象上，则实数 k 的值为 ( )
x
1
A. -6 B.
6
1
C.6 D.−
6
k k k
2.如图，是三个反比例函数 y = 1,y = 2, y = 3 在y 轴右侧的图象，则 ( )
1 x 2 x 3 x
A.k₁>k₂>k₃ B.k₂>k₁>k₃
C.k₃>k₂>k₁ D.k₃>k₁>k₂
k
3.已知点A(x₁, y₁),B(x₁+1, y₂)都在反比例函数 y= (k<0)的图象上, ( )
x
A.若 −2y₂
B.若 −1y₂
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD四个顶点 的坐标分别为 A (-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),当双曲线
k
y= (k⟩0)与矩形有四个交点时，k的取值范围是 ( )
x
A.01 D.0 的解集.
x
1 k
7.如图，一次函数 y= x+b与反比例函数 y= (k<0)图象交于点 A(-4,m),B(-1,2),AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴
2 x
于点 D.
(1)填空:m= ,b= ,k= ;
(2)观察图象，直接写出在第二象限内x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
(3)P 是线段AB 上一点,连接 PC,PD,若S =S ,求点 P 的坐标.
△PCA △PDB
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参考答案
k
1.y= y=kx−1xy=kx≠0 双曲线 >0 每一象限内 减小 <0每一象限内 增大 原点 轴对称直线 y=±x 交
x
点 无限接近于交不到
2. x轴 y轴|y|·|x|=| xy| |k|
6
1. A 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.因为反比例函数 y= 中k=6>0,所以其图象位于第一、第
x
三象限，故选 A.
4 4
2. D 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由题意知 y =4,y =2,y = ,y =1.∵1< <2<4,最.小
1 2 3 3 4 3
的是 y₄,故选 D.
6
3. C 【解析】本题考查反比例函数的图象和性质.∵双曲线 y= 分别位于第一、三象限，且
x
x₁<0y₂,∴a-1>a+1,此不等式无解;当点A(a-1,y₁),B(a+1，y₂)分别在图象的两支
上时，∵ y₁>y₂,∴a−1<0,a+1>0,解得 - 10,，∴反比例函数的图象在第一、三象限，
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在每一象限内 y随x的增大而减小.∵a0,解得-10,k≠0).
V
k k
把V=4,ρ=2.5代入 ρ= ,得 2.5= .
V 4
解得k=10.
10
所以密度ρ关于体积V的函数解析式为 ρ= (V⟩0).
V
10
(2)当V=10时. ,ρ= =1.
10
所以该气体的密度为1 kg/m³.
评分说明：(1)k写成m 等其他字母均可.
(2)不写V>0,k≠0均不扣分.
3
12.(1)① y = ,y =−x+4② y 1 (2)0
8
14.(1)y= (2)10
x
(1)根据点 A 纵坐标求得a 的值，然后根据 AB⊥y轴与AB=4BD求得点D 的坐标，从而求得反比例函数的
解析式；(2)先求得两函数交点 C 的坐标，再利用△ABO与△ADC面积之差计算四边形OCDB 的面积.
解:(1)由点A(a,8)在y=2x上,则a=4,
∴A(4,8).
∵AB⊥ y 轴, 与 反 比 例 函 数 图 象 交 于 点 D,且 AB=4BD,
∴BD=1,即 D(1,8).
8
∴k=8，反比例函数解析式为 y= .
x
8 8
(2)∵C是直线y=2x与反比例函数 y= 图象的交点， ∴2x= ,
x x
∵x>0,
∴x=2,则C(2,4).
1
S = ×4×8=16,
ABO 2
1
S = ×3×4=6,
ADC 2
S =S −S =10.
四 边 形OCDABBO ADC
压轴预测
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1. C 【解析】本题考查反比例函数图象和对称性.由题意得点 A(2,-3)关于x轴的对称点A'的坐标为(2,3),把点
k
A'(2,3)代入 y= 得k=2×3=6,故选C.
x
2. C 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由反比例函数的性质可知，若k>0，那么k的值越大，图象
离坐标轴越远，. ∴k₃>k₂>0..又y₁ 的图象在第四象限，∴k₁< 0,∴k₃>k₂>k₁,,故选 C.
3. C
k
4. D 【解析】本题考查反比例函数的图象与性质.由题可知，当双曲线 y= (k⟩0)经过点 B(-1,-1)时,双曲线
x
与矩形ABCD有三个交点,此时k=-1×(-1)=1.根据反比例函数的对称性，结合图象可知，当00,则点 B的坐标为(-a,-k/a).∵AB=AC,∴BF=CF=a-(-a)=2a,∴ BC = 2BF =
4a,∴ 点 C 的 坐标为 ( 3a,− k) .设直线AB的解析式为y= mx，代入点A的坐标，得 k =ma,∴m= k , 即直线
a a a2
k
AB 的解析式为y= kzx.∵CD∥AB,∴设直线CD的解析式为
y= x+b,
将点 C坐标代入得
a2
k k 4k k 4k k 4k k
− = ⋅3a+b,∴b=− ,: 直线CD的解析式为 y= x− . 由 x− = 可得 x=2a+√5a( 舍负 ),
a a2 a a2 a a2 a x
( k )
∴点 D 的 坐 标 为 2a+√5a, .∵AB∥CD,∴S△BCD = S△ACD = 4√5−4.又
2a+√5a
1 1 ( k k)
S = BC⋅(y −y ),∴ ⋅4a⋅ + =4√5−4,解得k=2.
BCD 2 D B 2 2a+√5a a
6.(1)m=0,k=3 (2)x>1或-1 的解集有以下两种解法：
x
3
解法一：如图，在平面直角坐标系中画出y=3x与 y= 的图象.
x
3
∵y=3x与 y= 的图象都是中心对称图形，
x
点 A(1,3)关于原点的对称点为(-1,-3).
3
由图象可知:当x>1或-1 .
x
k
∴不等式 3x+m> 的解集为x>1或-1 ,
x
1
∴x> .
x
{x>0, {x<0,
∴
或
x2>1 x2<1.
{x>0, { x<0,
∴ 或 或x<-1
x>1 −11或-1 的解集为x>1或-1
