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专题 11 反比例函数的核心知识点精讲
1.了解反比例函数的概念，以及反比例函数解析式的变形.
2.掌握反比例函数的图象与性质.
3.掌握用待定系数法求反比例函数的解析式.
4.熟悉反比例函数与其他几何图形结合.
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例
1. （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取
反比例
值范围是非零的一切实数． 例：函数y=3xm+1，当m= － 2 时，则该
函数的 （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： 函数是反比例函数．
概念 ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上
的方法：①把点的横、纵坐标代入看
是否满足其解析式；②把点的横、纵
k>0 图象经过第 每个象限内，函数y的值 坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
一、三象限 随x的增大而减小. 失分点警示
2.
反比例
（ x 、 y 同
（2）反比例函数值大小的比较时，首
函数的图 先要判断自变量的取值是否同号，即
号）
象和性质 是否在同一个象限内，若不在则不能
k<0 图象经过第 每个象限内，函数y的值 运用性质进行比较，可以画出草图，
二、四象限 随x的增大而增大. 直观地判断.
（ x 、 y 异
号）
3. （1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
反比例
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
函数的 例：若(a，b)在反比例函数 的
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别
图象特 图象上，则(－a，－b)在该函数图象
是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
征 上.(填“在"、"不在")
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k 例：已知反比例函数图象过点（－3，
4.
待定系 即可.
数法
－1），则它的解析式是y= .
知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与 失分点警示
坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面 已知相关面积，求反比例函数的表达
积为1/2|k|. 式，注意若函数图象在第二、四象
（2）常见的面积类型： 限，则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作
5. 坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反
系数 k
的几何
意义 比 例 函 数 解 析 式 为 ： 或
.
6. （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称 涉及与面积有关的问题时，①要善于
与一次
性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用 把点的横、纵坐标转化为图形的边
函数的
方程思想求解. 长，对于不好直接求的面积往往可分
综合 割转化为较好求的三角形面积；②也
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要注意系数k的几何意义.
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系， 例：如图所示，三个阴影部分的面积
可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也 按从小到大的顺序排列为：S△AOC =S△OPE
可逐一选项判断、排除. ＞ S△BOD .
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方
的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
知识点三：反比例函数的实际应用
7 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
.
（3）依题意求解函数表达式；
一 般 （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
步骤
【题型1：反比例函数的图像和性质】
【典例1】（2023•武汉）关于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小
D．图象经过点（a，a+2），则a＝1
1.（2023•重庆）反比例函数y＝﹣ 的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，2） D．（2，2）
2．（2023•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y＝﹣kx+k与 的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
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3．（2023•济南）已知点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（3，y ）都在反比例函数y＝ （k＜0）的图象
1 2 3
上，则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
3 2 1 1 3 2 3 1 2 2 3 1
【题型2：求反比例函数解析式】
【典例2】（2022•湖北）在反比例函数y＝ 的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2﹣
kx+4是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
1．（2023•青岛）反比例函数y＝ 的图象经过点A（m， ），则反比例函数的表达式为 ．
【答案】见试题解答内容
2．（2022•陕西）已知点A（﹣2，m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对称．若点A'在
正比例函数y＝ x的图象上，则这个反比例函数的表达式为 ．
故答案为：y＝﹣ ．
3．（2022•黔东南州）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的斜边BC⊥x轴于点B，直角顶
点A在y轴上，双曲线y＝ （k≠0）经过AC边的中点D，若BC＝2 ，则k＝ ．
4．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，
tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝ ，则图
象经过点D的反比例函数的解析式是 ．
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【题型3：反比例函数系数K的几何意义】
【典例3】（2023•连云港）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，顶点B、C
在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝ ，则k＝
．
1．（2023•锦州）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC
的中点，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ．
2．（2023•黄石）如图，点A（a， ） 和B（b， ）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，其中a＞b
＞0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为 ，则 ＝ ．
3．（2023•衢州）如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF，
反比例函数y＝ （k＞0）的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点
N．若OA＝2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
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【题型4：与反比例函数有关的综合题】
【典例4】（2023•广安）如图，一次函数y＝kx+ （k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝ （m为常
数，m≠0）的图象在第一象限交于点A（1，n），与x轴交于点B（﹣3，0）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
1．（2023•淄博）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝ 相交于点A（2，3），B（n，1）．
（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，求△ABD的
面积；
（3）请直接写出关于x的不等式kx+b＞ 的解集．
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2．（2023•营口）如图，点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB＝ ，
AB＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
一．选择题（共9小题）
1．若点（﹣1，4）在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A． B．（﹣4，﹣1） C． D．（﹣4，1）
2．已知反比例函数y＝﹣ ，下列结论不正确的是（ ）
A．图象必经过点（﹣1，2）
B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内
D．若x＞1，则﹣2＜y＜0
3．反比例函数 的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ）
A．a≥﹣3 B．a＞﹣3 C．a≤﹣3 D．a＜﹣3
4．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度y（m）是面条横截面面积S（mm2）的反比例函数，
其图象经过A（4，30），B（2，b）两点（如图），则下列说法错误的是（ ）
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A．y与S之间满足的函数关系式为
B．点B的坐标为（2，60）
C．若面条的总长度为100m，则面条的横截面面积为1.2mm2
D．若面条的横截面面积不超过0.8mm2，则面条的总长度不超过150m
5．函数 和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数 （k＞0，x＞0）的图象与线
段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．
8．如图，正比例函数y ＝k x的图象与反比例函数y ＝ 的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为
1 1 2
3，当y ＜y 时，x的取值范围是（ ）
1 2
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
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C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
9．如图，点A是反比例函数 图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数 图
象交于点B，AC＝3BC，连接OA，OB，若△OAB的面积为2，则m+n＝（ ）
A．﹣4 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
二．填空题（共4小题）
10．若反比例函数 的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 ．
11．反比例函数y＝ 的图象经过点（2，﹣1），则k的值为 ．
12．反比例函数 在第一象限的图象如图，过y 上的任意一点A，作x轴的平行线
1
交y
2
于点B，交y轴于点C，连接OA、OB，若S△AOB ＝2，则k的值为 ．
13．已知近视眼镜的度数D（度）与镜片焦距f（米）成反比例关系，且400度近视眼镜镜片的焦距为0.25
米．小慧原来戴400度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗后，现在只需戴镜片焦距为 0.4米的眼镜
了，则小慧所戴眼镜的度数降低了 度．
三．解答题（共3小题）
14．已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝12．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当y＝﹣6时，求x的值．
15．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y℃，从加热开始计算的时间为x
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分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4℃，
加热一段时间使材料温度达到28℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成
反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是14℃．
（1）分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；
（2）根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？
16．已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式kx+b 的解集．
1．反比例函数 的图象一定经过点（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（2，4） D．（3，2）
2．如图，点A是反比例图数 图象上一点，AC⊥x轴于点C，与反比例函数y＝ 图
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象交于点B，AB＝2BC，连接OA、OB，若△OAB的面积为6，则m+n＝（ ）
A．﹣8 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣24
3．如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，AD
＝OB，双曲线 经过AB的中点F，交BC于点E，下列四个结论：
① ；
②S菱形OABC ＝40；
③E点的坐标是 ；
④连OF、CF，则S△COF ＝10，则正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，函数y＝kx+b（k≠0）与 的图象交于点A（﹣2，3），B（1，﹣6）两点，则不等
式 的解集为（ ）
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜0或x＞1
C．x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
5．在如图，Rt△AOB中，∠BAO＝90°，∠B＝60°，△AOB的面积为6，AO与x轴负半轴的夹角为30°，
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双曲线y＝ 经过点A，则k的值为（ ）
A． B．﹣9 C． D．﹣6
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形OABC是边长为3的正方形，反
比例函数 的图象与BC，AB边分别交于E，D两点，△DOE的面积为4，点P为y轴上一
点，则PD+PE的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝k x+b的图象与反比例函数 的图象交于A（m，1），
1
两点，与x轴、y轴交于点C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P是第四象限内反比例函数图象上的一点，△COP的面积是△AOD的面积的2倍，求点P的
坐标．
8．如图，已知反比例函数 和一次函数y＝2x﹣1交于点A，其中一次函数的图象经过（a，b）、
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（a+k，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的坐标为（1，1），在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/2 23:38:05；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713
1．（2023•上海）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣
2．（2023•海南）若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
3．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数 的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一
定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.（2023•浙江）已知点A（﹣2，y ），B（﹣1，y ），C（1，y ）均在反比例函数y＝ 的图象上，则
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
5．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F
为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A． B．
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C． D．
6．（2022•广西）已知反比例函数y＝ （b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次
函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且AD＝
AB，反比例函数y＝ （k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．
若△ODM的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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8．（2023•内蒙古）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝ （k≠0）交于点A（﹣2，4）和点B
（m，﹣2），则不等式0＜ax+b＜ 的解集是（ ）
A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0
C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4
9．（2023•绥化）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是
3，BC＝2，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，D，则k的
值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．（2023•广西）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交 的图象于
B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为 S ，S ，S ，
1 2 3
S ，若 ，则k的值为（ ）
4
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2023•温州）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸
壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压
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强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了 mL．
12．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，
PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 ．
15
