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→➌题型突破←→➍专题精练←
题型一反比例函数的基本性质
1．下列函数中，为反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的定义即可得出答案.
【详解】
根据反比例函数解析式的三种形式： ， ， ，其中 ；
A. 为正比例函数，错误；
B. 为正比例函数，错误；
C. 不是反比例函数，错误；
D. 是反比例函数，正确；
故答案选D.
【点睛】
本题考查反比例函数的判断，熟练掌握函数解析式的三种形式是本题解题关键.
2．若函数 的图象经过点A（－1，2），则 的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】D
【分析】
把已知点的坐标代入计算即可．
【详解】
∵函数 的图象经过点A（－1，2），
∴ ，
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∴k= -2；
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数与点的关系，根据图像过点，点的坐标满足函数的解析式求解是解
题的关键．
3．下列函数：①y＝﹣2x；②y＝ ；③y＝x﹣1；④y＝5x2+1，是反比例函数的个数有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】
利用反比例函数定义可得答案．
【详解】
解：①y＝﹣2x是正比例函数；
②y＝ 是反比例函数；
③y＝x﹣1是反比例函数；
④y＝5x2+1是二次函数，
反比例函数共2个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比
例函数．
4．下式中表示 是 的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的概念：形如y= （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自
变量，y是函数进行分析即可．
【详解】
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解：A、 是一次函数，错误；
B、 是二次函数，错误；
C、 中，y是x2的反比例函数，错误；
D、 表示y是x的反比例函数，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握反比例函数的形式．
5．已知反比例函数 的图象经过点P（3，2），则下列各点在这个函数图象上
的是（ ）
A．（-3，-2） B．（3，-2） C．（2，-3） D．（-2，3）
【答案】A
【分析】
求出反比例函数解析式，代入即可．
【详解】
解：把点P（3，2）代入 得，
，解得， ，反比例函数解析式为： ，
把（-3，-2）代入 ，左边=-2，右边= ，左边=右边，
故选：A．
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式．
6．若函数 是反比例函数，则m的值为（ ）
A．m＝－2
B．m＝1
C．m＝2或m＝1
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D．m＝－2或m＝－1
【答案】A
【解析】
根据反比例函数定义可知 解得
∴m＝－2．故选A．
7．若函数y=（3﹣k） 是反比例函数，那么k的值是（ ）
A．0 B．3 C．0或3 D．不能确定
【答案】A
【分析】
直接利用反比例函数的定义分析得出答案．
【详解】
解：∵函数y=（3﹣k） 是反比例函数，
∴k2﹣3k﹣1=﹣1，3﹣k≠0，
解得：k =0，k =3，（不合题意舍去）
1 2
那么k的值是：0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题的关键．
8．已知点 在反比例函数 的图象上，则 的值是（ ）
A．50 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】
将点 代入反比例函数 ，即可求出m的值．
【详解】
解：将点 代入反比例函数 得，
．
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故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的
符合函数的解析式是解题的关键．
9．下列关系式中，不是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．xy＝2 B．y＝ C．x＝ D．x＝5y﹣1
【答案】B
【分析】
形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数，叫反比例函数，根据以上定义逐个判断即可．
【详解】
解：A．∵xy＝2，
∴y＝ ，即y是关于x的反比例函数，故本选项不符合题意；
B．∵y＝ ，
∴y是关于x的正比例函数，不是y关于x的反比例函数，故本选项符合题意；
C．∵x＝ ，
∴y＝ ，即y是关于x的反比例函数，故本选项不符合题意；
D．∵x＝5y﹣1，
∴y＝ ，即y是关于x的反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，解题关键是明确形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数，叫
反比例函数，根据定义判断即可．
10．若反比例函数 的图象经过点 ，则 的取值范围是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将点 代入反比例函数解析式得到 ，再由a≠0即可得到k的取值范围．
【详解】
解：将点 代入反比例函数 中得：
，
∴ ，
又∵反比例函数 的图象与坐标轴无交点，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的特征，解题的关键是将点代入反比例函数解析式，并能
判定a≠0．
11．已知点 ， 都在反比例函数 的图象上，且 ，则 ，
的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先判断两个点是否在同一象限内，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】
∵点 ， 都在反比例函数 的图象上，∴ ，图象位于第二、
四象限内，且 随 增大而增大，
∵ ，
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∴点 在第四象限，点 在第二象限，
∴ ，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性
质，并会用数形结合的思想解决问题．
12．函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数图象的特点，以原点为对称中心的中心对称的两条曲线，因为 ，
即可得出结论．
【详解】
∵ 是反比例函数，其中 ，
∴函数图象是双曲线，位于第一、第三象限，
只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象特点，正确掌握图象的特点是解题的关键．
13．若反比例函数 的图象经过点 ，则该函数图象位于（ ）
A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限
【答案】D
【分析】
先求出k，然后根据反比例函数的图象特征即可解答．
【详解】
解：∵反比例函数 的图象经过点
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∴k=（-2）×（-3）=6＞0
∴该函数图像位于第一、三象限．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数图象，对于反比例函数 ，当k＞0，函数图象在一、三象
限；当k＜0，函数图象在二、四象限．
14．下列说法正确的是（ ）
①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ；
②点 在反比例函数 的图象上；
③反比例函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】
根据反比例函数的图象与性质可直接进行判断求解．
【详解】
解：①反比例函数 中自变量x的取值范围是 ，正确；
②把 代入反比例函数 得： ，
∴点 在反比例函数 的图象上，正确；
③由反比例函数 可得 ，则有在每一个象限内，y随x的增大而减小，错误；
∴说法正确的有①②；
故选A．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
15．反比例函数 的图象如图所示，以下结论：
①常数 ；
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②若函数 的图象与 的图象关于y轴对称，则 ；
③若 ， 在图象上，则 ；
④若 在图象上，则 也在图象上．
其中正确的结论个数有是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据反比例函数的性质得到 ，则可对①③进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标
特征对②④进行判断．
【详解】
解： 反比例函数图象经过第一、三象限，
，所以①错误；
函数 的图象与 的图象关于 轴对称，
,
,所以②正确；
， 在图象上，
在第三象限， 在第一象限，
，所以③正确；
，
若 在图象上，则 也在图象上，所以④正确．
故选：C．
【点睛】
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本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 为常数， 的图象是
双曲线，图象上的点 的横纵坐标的积是定值 ，即 ．
16.（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点 在反比例函数 的图
像上，且 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出 、 的大小关系．
【详解】解：∵点 ， ）是反比例函数 的图像上的两点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解
析式是解题的关键．
17．双曲线 有三个点 ， ， ，若 ，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据反比例的图象与性质即可得．
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【详解】
解： 点 ， ， 是双曲线 上的三个点，且 ，
，
又 当 时， 随 的增大而减小，
，
则 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例的图象与性质，熟练掌握反比例的图象与性质是解题关键．
18．下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象是过原点的射线 B．直线 经过第一､二､三象限
C．函数 ，y随x增大而增大 D．函数 ，y随x增大而减小
【答案】C
【分析】
根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．
【详解】
A、函数 的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；
B、直线 经过第一､二､四象限，则此项说法错误，不符题意；
C、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法正确，符合题意；
D、函数 ， 随 增大而增大，则此项说法错误，不符题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象
与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．
19．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为
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，则， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点 求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，
将点 代入得： ，
则反比例函数的解析式为 ，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大，
又 点 在函数 的图象上，且 ，
，即 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例
函数的图象与性质是解题关键．
20．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知点 均在反比例函数
的图象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
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【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数 (k是常数， )的图象
是双曲线，当 ，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x
的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y
随x的增大而增大．
21．若点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分别把 ， ， 代入反比例函数 求解 ，再比较大小
即可得到答案．
【详解】
解： 点 ， ， 在反比例函数 的图象上，
＞ ＞
，
故选：
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，求解反比例函数值以及函数值的大小比较，掌握以上知
识是解题的关键．
22．若点 ， ， 都在反比例函数 的图像上，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B．
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C． D．
【答案】A
【分析】
将点的坐标代入解析式分别求的 ， ， ，从而比较大小．
【详解】
解：将 ， ， 分别代入
得： ， ，
解得： ， ，
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y的值求出进行比较，本题属
于基础题型．
23．下列各点中，在反比例函数 图象上点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】
解：∵1×2=2，-2×1=-2，2× =1， ×2=1，
∴点 在反比例函数 图象上的点．
故选：A．
【点睛】
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本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象
是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
24．（2023·云南·统考中考真题）若点 是反比例函数 图象上一点，则常
数 的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】将点 代入反比例函数 ，即可求解．
【详解】解：∵点 是反比例函数 图象上一点，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
25．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，其中
a，k为常数，且 ﹐则点M一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据反比例函数中的 ，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M点
的横坐标判断点M所在的象限，即可解答
【详解】解： ，
反比例函数 的图象经过第一、三象限，
故点M可能在第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的
图象所经过的象限与k值的关系是解题的关键．
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26．下列各点中，在反比例函数 图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】
解：∵-2×（-6）=12，-2×6=-12，3×4=12，-4×（-3）=12，
∴点（-2，6）在反比例函数 图象上．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象
是双曲线；图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
27．若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小
关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出y 、y 与y 的值，然后进行比较即可．
1 2 3
【详解】
解：分别把x=-2、1、4代入 得 、 、 ；
∴y ＞y ＞y
1 3 2
故选：D.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将y的值求出进行比较，本题属
于基础题型．
28．下列函数中，表示 是 的反比例函数的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用反比例函数定义进行解答即可．
【详解】
解：A、 不是反比例函数，故此选项不合题意；
B、 ，若a=0，则不是反比例函数，故此选项不合题意；
C、 ，自变量的次数不为-1，不是反比例函数，故此选项不合题意；
D、 是反比例函数，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如 （k为常数，k≠0）的函数称为反
比例函数．
29．已知 是反比例函数 图象上三点，若 ，
，则下列关系式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由 ，则点 、 在第三象限，点 在第一象限，然后根据各象限点的坐标特征对
各选项进行判断．
【详解】
解： ，
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反比例函数 图象在一，三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小，
， ，
点 、 在第三象限，点 在第一象限，
．
，
关系式不正确的是 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
30．在反比例函数 中，当x＝1时，y的值为（ ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】A
【分析】
x＝1时代入计算即可．
【详解】
中，当x＝1时， ．
故选A
【点睛】
此题考查反比例函数，掌握自变量和因变量的关系式解题的关键．
31．（2023·天津·统考中考真题）若点 都在反比例函数 的
图象上，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
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【详解】解： ， ，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限， 随 的增大而增大；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
32．（2023·湖北随州·统考中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流
I(单位：A)与电阻R(单位： )是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为 时，
电流为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解
析式为 ，再把 代入，即可求出电流I．
【详解】解：设该反比函数解析式为 ，
由题意可知，当 时， ，
，
解得： ，
设该反比函数解析式为 ，
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当 时， ，
即电流为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．
33．（2023·山西·统考中考真题）已知 都在反比例函数 的图象
上，则a、b、c的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据反比例函数中 判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐
标的特点即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数 中 ，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵
∴ 位于第三象限，
∴
∵
∴
∵
∴点 位于第一象限，
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐
标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
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34．（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数 的图象上有两点 ，
当 时，有 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得反比例函数 的图象在一三象限，进而可得 ，解不
等式即可求解．
【详解】解：∵当 时，有 ，
∴反比例函数 的图象在一三象限，
∴
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数 的图象在
一三象限是解题的关键．
35．（2023·广东·统考中考真题）某蓄电池的电压为 ，使用此蓄电池时，电流 (单位：
)与电阻 (单位： )的函数表达式为 ，当 时， 的值为_______ ．
【答案】4
【分析】将 代入 中计算即可；
【详解】解：∵ ，
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
36．（2023·四川成都·统考中考真题）若点 都在反比例函数 的图
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象上，则 _______ （填“ ”或“ ”）．
【答案】
【分析】根据题意求得 ， ，进而即可求解．
【详解】解：∵点 都在反比例函数 的图象上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
37．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点 ，反比例函数 图
像的一支与线段 有交点，写出一个符合条件的k的数值：_________．
【答案】4（答案不唯一，满足 均可）
【分析】先分别求得反比例函数 图像过A、B时k的值，从而确定k的取值范
围，然后确定符合条件k的值即可．
【详解】解：当反比例函数 图像过 时， ；
当反比例函数 图像过 时， ；
∴k的取值范围为
∴k可以取4．
故答案为：4（答案不唯一，满足 均可）．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数的解析式，确定边界点的k的值是解答本题的关键．
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题型二反比例函数中K的几何意义
38．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比
例函数 图像上的一点，过点A分别作 轴于点M， 轴于直N，
若四边形 的面积为2．则k的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】证明四边形 是矩形，根据反比例函数的 值的几何意义，即可解答．
【详解】解： 轴于点M， 轴于直N， ，
四边形 是矩形，
四边形 的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的 值的几何意义，熟知在一个反比例函数
图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为 是解题
的关键．
39．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分
别为 与 关于直线 对称，反比例函数
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的图象与 交于点 ．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点B作 轴，根据题意得出 ，再由特殊角的三角函数及等
腰三角形的判定和性质得出 ， ，利用各角之间的关系
，确定 ，B，O三点共线，结合图形确定 ，然后代入反比
例函数解析式即可．
【详解】解：如图所示，过点B作 轴，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ 与 关于直线 对称，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，B，O三点共线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
将其代入 得： ，
故选：A．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，
理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
40．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，反比例函数 的图象与过点
的直线 相交于 、 两点．已知点 的坐标为 ，点 为 轴上任意一点．如果
，那么点 的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】反比例函数 的图象过点 ，可得 ，进而求得直线 的解析式
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为 ，得出 点的坐标，设 ，根据 ，解方程即
可求解．
【详解】解：∵反比例函数 的图象过点
∴
∴
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ,
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
解得： 或 ，
∴ 的坐标为 或 ，
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故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点 的坐
标是解题的关键．
41．（2023·湖南·统考中考真题）如图，矩形 的顶点 和正方形 的顶点 都
在反比例函数 的图像上，点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 经过 确定解析式为 ，设正方形的边长为x，则点
，代入解析式计算即可．
【详解】∵ 经过 ，
∴解析式为 ，
设正方形的边长为x，则点 ，
∴ ，
解得 （舍去），
故点 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，正方形的性质，解方程，熟练掌握反比例函数
的性质是解题的关键．
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42．（2023·广西·统考中考真题）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的
平行线交 的图象于B，D两点，以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四
个小矩形，面积分别记为 ， ， ， ，若 ，则 的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设 ，则 ， ， ，根据坐标求得 ，
，推得 ，即可求得．
【详解】设 ，则 ， ，
∵点A在 的图象上
则 ，
同理∵B，D两点在 的图象上，
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则
故 ，
又∵ ，
即 ，
故 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质
是解题的关键．
43．（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数 和
的图象的四个分支上，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点 在 上，证明 ，根据 的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为
，点 在 上，
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∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ 点在第二象限，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的 的几何意义，熟练掌握以上知识是解
题的关键．
44．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，矩形 的顶点A，C分别在y轴、x轴
的正半轴上，点D在 上，且 ，反比例函数 的图象经过点D及矩
形 的对称中心M，连接 ．若 的面积为3，则k的值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】设 点的坐标为 ，根据矩形对称中心的性质得出延长 恰好经过点B，
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，确定 ，然后结合图形及反比例函数的意义，得出
，代入求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 点的坐标为 ，
∵矩形 的对称中心M，
∴延长 恰好经过点B， ，
∵点D在 上，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ 在反比例函数的图象上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：C．
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【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，
熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
45．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图， 是等腰三角形， 过原点 ，底边
轴，双曲线 过 两点，过点 作 轴交双曲线于点 ，若 ，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，根据反比例函数的中心对称性可得 ，然后过点A作
于E，求出 ，点D的横坐标为 ，再根据 列式求出 ，进而
可得点D的纵坐标，将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出 的值．
【详解】解：由题意，设 ，
∵ 过原点 ，
∴ ，
过点A作 于E，
∵ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ，点D的横坐标为 ，
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∵底边 轴， 轴，
∴ ，
∴ ，
∴点D的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知
识，设出点B坐标，正确表示出点D的坐标是解题的关键．
46．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，
平行于x轴，点B，C的横坐标都是3， ，点D在 上，且其横坐标为1，若
反比例函数 （ ）的图像经过点B，D，则k的值是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C
【分析】设 ，则 根据反比例函数的性质，列出等式计算即可．
【详解】设 ，
∵点B，C的横坐标都是3， ， 平行于x轴，点D在 上，且其横坐标为1，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是
解题的关键．
47．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，点A在反比例函数 图像的
一支上，点B在反比例函数 图像的一支上，点C，D在x轴上，若四边形 是
面积为9的正方形，则实数k的值为______．
【答案】
【分析】如图：由题意可得 ，再根据 进行
计算即可解答．
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【详解】解：如图：
∵点A在反比例函数 图像的一支上，点B在反比例函数 图像的一支上，
∴
∵四边形 是面积为9的正方形，
∴ ，即 ，解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数图像线上任意一点作x
轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为k的绝对值．
48.（2023·广东深圳·统考中考真题）如图， 与 位于平面直角坐标系中，
， ， ，若 ，反比例函数 恰好经
过点C，则 ______．
【答案】
【分析】过点C作 轴于点D，由题意易得 ，然后根据
含30度直角三角形的性质可进行求解．
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【详解】解：过点C作 轴于点D，如图所示：
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反
比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
题型三反比例函数与一次函数
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49．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，反比例函数 与一次函数
的图象交于点 ， 轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图
象于点B，C．
(1)求反比例函数 与一次函数 的表达式；
(2)当 时，求线段 的长．
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ；一次函数的表达式为 ；(2)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线 的表达式为 ，再分别求得 的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
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∴直线 的表达式为 ，
∵ 时， ，
解得 ，则 ，
∵ 时， ，
解得 ，则 ，
∴ ．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析
式的基本方法．
50．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函
数 的图象交于点 和点 ．已知点 的横坐标是2，点 的纵坐标是 ．
(1)求 的值．
(2)过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第二象限交于点 ；过点 作 轴的垂
线，过点 作 轴的垂线，在第四象限交于点 ．求证：直线 经过原点．
【答案】(1) ， ；(2)见解析
【分析】（1）首先将点 的横坐标代入 求出点A的坐标，然后代入
求出 ，然后将点 的纵坐标代入 求出 ，然后代入
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即可求出 ；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出
所在直线的表达式，进而求解即可．
【详解】（1）∵点 的横坐标是2，
∴将 代入
∴ ，
∴将 代入 得， ，
∴ ，
∵点 的纵坐标是 ，
∴将 代入 得， ，
∴ ，
∴将 代入 得， ，
∴解得 ，
∴ ；
（2）如图所示，
由题意可得， ， ，
∴设 所在直线的表达式为 ，
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∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴直线 经过原点．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
51．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数 与反比例函数
相交于点A和点 ．
(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当 时，求x的取值范围．
【答案】(1) ， ；(2) 或
【分析】（1）根据一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 、
B两点可得 的值，进而可求反比例函数的表达式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】（1）将点 代入 得：
解得：
将 代入 得：
∴
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（2）由 得： ，解得
所以 的坐标分别为
由图形可得：当 或 时，
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函
数与一次函数的性质．
52．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线 与反比例函数 的图象
交于点 ，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数 的图象于
点C．
(1)求直线 和反比例函数图象的表达式；
(2)求 的面积．
【答案】(1)直线 的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ；(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据 轴，可得点C的纵坐标为1，再
利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ， ，即 ，
∴直线 的表达式为 ，反比例函数的表达式为 ．
（2）解：∵直线 的图象与y轴交于点B，
∴当 时， ，
∴ ，
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∵ 轴，直线 与反比例函数 的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数
的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
53．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数 （ 为常数， ）与正比
例函数 （ 为常数， ）的图像交于 两点．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式；
(2)若y轴上有一点 的面积为4，求点 的坐标．
【答案】(1) ； ；(2) 或
【分析】（1）把 分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到 ，设 ，根据
，列式计算即可．
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【详解】（1）∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数，
）的图像交于 两点，
∴ ，
解得 ，
故反比例函数的表达式为 ，正比例函数的表达式 ．
（2）∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）
的图像交于 两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴ ，设 ，
根据题意，得 ，
∴ ，
解得 或 ，
故点C的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形
面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对
称性是解题的关键．
54．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，直线 为常数 与双曲线 （
为常数）相交于 ， 两点．
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(1)求直线 的解析式；
(2)在双曲线 上任取两点 和 ，若 ，试确定 和 的大小关
系，并写出判断过程；
(3)请直接写出关于 的不等式 的解集．
【答案】(1) ；(2)当 或 时， ；当 时， ；
(3) 或
【分析】（1）将点 代入反比例函数 ，求得 ，将点 代入 ，得出
，进而待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而
增大，进而分类讨论即可求解；
（3）根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：将点 代入反比例函数 ，
∴ ，
∴
将点 代入
∴ ，
将 ， 代入 ，得
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解得： ，
∴
（2）∵ ， ，
∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内， 随 的增大而增大，
∴当 或 时， ，
当 时，根据图象可得 ，
综上所述，当 或 时， ；当 时， ，
（3）根据图象可知， ， ，当 时， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定
系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是
解题的关键．
55．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 ，与x轴交于点B， 与y轴交于点 ．
(1)求m的值和一次函数的表达式；
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(2)已知P为反比例函数 图象上的一点， ，求点P的坐标．
【答案】(1) ；(2) 或
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，进而求出点A的坐标，
再把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）先求出 ， ，过点A作 轴于点H，过点P作 轴于点D，
如图所示，根据 可得 ，求出 ，则点P的纵
坐标为2或 ，由此即可得到答案．
【详解】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
，
，
又 点 ， 都在一次函数 的图象上，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ．
（2）解：对于 ，当 时， ，
∴ ，
，
∵ ，
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过点A作 轴于点H，过点P作 轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得 ．
点P的纵坐标为2或 ．
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
∴点 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的
关键．
56．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C
为 中点，将 绕着点B逆时针旋转 得到 ．
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(1)反比例函数 的图像经过点 ，求该反比例函数的表达式；
(2)一次函数图像经过A、 两点，求该一次函数的表达式．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）由点B的坐标是 ，点C为 中点，可得 ， ，由旋
转可得： ， ，可得 ，可得 ，从而可得答案；
（2）如图，过 作 于 ，则 ，而 ， ，
证明 ，可得 ， ， ，设直线 为
，再建立方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵点B的坐标是 ，点C为 中点，
∴ ， ，
由旋转可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ；
（2）如图，过 作 于 ，
则 ，而 ， ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 为 ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，
全等三角形的判定与性质，熟练的求解 是解本题的关键．
56．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，点 在反比例函数 图象上．一次
函数 的图象经过点A，分别交x轴，y轴于点B，C，且 与 的面积比
为 ．
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(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)请直接写出 时，x的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 或 ；(2)当
一次函数解析式为 时，x的取值范围为 或 ；当一次函数解析式为
时x的取值范围为 或
【分析】（1）将 代入 得， ，解得 ，可得反比例函数解析式为
；当 ， ，则 ， ，当 ， ，则 ，
，由 与 的面积比为 ，可得 ，整理得 ，即 ，
解得 或 ，当 时，将 代入 得， ，解得 ，则
；当 时，将 代入 得， ，解得 ，则
；
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（2）由一次函数解析式不同分两种情况求解：①当一次函数解析式为 时，如图
1，联立 ，解得 或 ，根据函数图象判断x的取值范围即可；②
当一次函数解析式为 时，如图2，联立 ，解得 或 ，根
据函数图象判断x的取值范围即可．
【详解】（1）解：将 代入 得， ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ；
当 ， ，则 ， ，
当 ， ，则 ， ，
∵ 与 的面积比为 ，
∴ ，整理得 ，即 ，解得 或 ，
当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；
当 时，将 代入 得， ，解得 ，则 ；
综上，一次函数解析式为 或 ；
∴反比例函数解析式为 ，一次函数解析式为 或 ；
（2）解：由题意知，由一次函数解析式不同分两种情况求解：
①当一次函数解析式为 时，如图1，
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联立 ，解得 或 ，
由函数图象可知， 时，x的取值范围为 或 ；
②当一次函数解析式为 时，如图2，
联立 ，解得 或 ，
由函数图象可知， 时，x的取值范围为 或 ；
综上，当一次函数解析式为 时，x的取值范围为 或 ；当一次函数
解析式为 时x的取值范围为 或 ．
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【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，一次函数与几何综合，反比例
函数与一次函数综合．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
57．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点
， ，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若 ，求点M的坐标．
【答案】(1)反比例函数解析式为 ，一次函数的解析式为 ；(2)M点的坐标
为 或
【分析】（1）设反比例函数解析式为 ，将 代入 ，根据待定系数法，
即可得到反比例函数解析式，将 代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B
点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）求出点C的坐标，根据 求出 ，分两种情况：M在O点左侧；
M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为 ，
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将 代入 ，可得 ，解得 ，
反比例函数的解析式为 ，
把 代入 ，可得 ，
解得 ，
经检验， 是方程的解，
，
设一次函数的解析式为 ，
将 ， 代入 ，
可得 ，
解得 ，
一次函数的解析式为 ；
（2）解：当 时，可得 ，
解得 ，
，
，
，
，
，
，
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M在O点左侧时， ；
M点在O点右侧时， ，
综上，M点的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，
熟练求出 是解题的关键．
58．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x
轴交于点 ，与y轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点
．
(1)求反比例函数的表达式：
(2)当 时，直接写出x的取值范围；
(3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 或
【分析】（1）将 ， 代入 ,求得一次函数表达式，进而可得点C的
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坐标，再将点C的坐标代入反比例函数即可；
（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；
（3）过点A作 交y轴于点M，勾股定理得出点M的坐标，在求出直线AP的表达
式，与反比例函数联立方程组即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 中得： ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴ ，
把 代入 中得： ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式 ；
（2）解：联立 ，解得 或 ，
∴一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为 ，
∴由函数图象可知，当 或 时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴当 时， 或 ；
（3）解：如图所示，设直线 交y轴于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
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∵ 是以点A为直角顶点的直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
同理可得直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，正确利用待定系数法求
出对应的函数解析式是解题的关键．
题型四反比例函数的应用
59.（2020·广东省·中考模拟）某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用
了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显
k
示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y= x 对应曲线EF表
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示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系
（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是
__________；
（2）求反比例函数y=_____的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据
时对应x的值．
【解析】（1）当0≤x≤40时，设y与x之间的函数关系式为y=ax+b，
（10，35）和（30，65）在y=ax+b的图象上，把（10，35）和（30，65）代入y=ax+b，得
10ab35 a 1.5
30ab65，得 b20 ，∴y=1.5x+20，
当x=0时，y=1.5×0+20=20，故答案为：20；
（2）将x=40代入y=1.5x+20，得y=80，∴点E（40，80），
k k 3200
∵点E在反比例函数y= x 的图象上，∴80=40 ，得k=3200，即反比例函数y= x ，
3200
当y=20时，20= x ，得x=160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x
的值是160．
60．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量 （毫
克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据
图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求一般成人喝半斤低度白酒后，y与 之间的两个函数关系式及相应的自变量 取值
范围；
（2）依据人的生理数据显示，当 时，肝部正被严重损伤，请问喝半斤低度白酒后，
肝部被严重损伤持续多少小时？
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【答案】（1） （2）2.0125小时
【分析】
1）直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案；
（2）根据题意得出y=80时x的值进而得出答案．
【详解】
解：（1）由题意可得：当0≤x≤1.5时，设函数关系式为：y=kx，
则150=1.5k，
解得：k=100，
故y=100x，
当1.5≤x时，设函数关系式为：
则a=150×1.5=225，
解得：a=225，
故
综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：
（2）当y=80时，80=100x，解得x=0.8，
当y=80时， ，解得x=2.8125，
由图象可知，肝部被严重损伤持续时间=2.8125-0.8=2.0125（小时）
【点睛】
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本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活掌握待定系数法
确定函数解析式，学会利用函数解决实际问题．
61．（2020·广西玉林·中考真题）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设，玉林辆隧道是全
线控制性隧道，首期打通共有土石方总量600千立方米，总需要时间y天，且完成首期工
程限定时间不超过600天．设每天打通土石方x千立方米．（1）求y与x之间的函数关系
式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划
多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工
程？
600
y
【答案】（1） x （0
