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热点 04 一次函数与反比例函数
中考数学中《一次函数与反比例函数》部分主要考向分为五类：
一、一次函数图象与性质（每年1~2道，3~7分）
二、一次函数的应用（每年1道，4~8分）
三、反比例函数的性质（每年1~2题，3~7分）
四、反比例函数的应用（每年1~2题，3~14分）
五、一次函数与反比例函数的结合（每年1~2题，3~12分）
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，考察题型较为灵活。但是一张中考数
学与试卷中，单独考察一次函数的题目占比并不是很大，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合。
而反比例函数在中考中的占比会更大，常和一次函数的图象结合考察；在填空题中，对反比例函数点的坐
标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技
巧性较强，复习中需要多加注意。另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数
结合，顺带也会考察其与不等式的关系。而压轴题中也渐渐显露反比例函数的问题环境，考生在复习过程
中需要更加重视该考点。
考向一：一次函数图象与性质
【题型1】一次函数的图象与性质】
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b
(− ，0)
y=kx+b(k≠0） (0，b) k
1、一次函数 的图象是经过点 和点 的一条直线；
2、一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标；
当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。
1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数y=2x−1，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点(0,−1) B．y随x的增大而减小
1
C．当x> 时，y<0 D．它的图象经过第一、二、三象限
2
2．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数y=2x−3的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点
是（ ）
( 3 ) (3 )
A． − ,0 B． ,0 C．(0,3) D．(0,−3)
2 2
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）一次函数y=2x−3的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024·四川南充·中考真题）当2≤x≤5时，一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A．−3或0 B．0或1 C．−5或−3 D．−5或1
6．（2024·广东·中考真题）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江苏镇江·中考真题）点A(1,y )、B(2,y )在一次函数y=3x+1的图像上，则y y
1 2 1 2
（用“<”、“=”或“>”填空）．
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【题型2一次函数图象上点的坐标特征】
牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结
合的几何图形的性质。
3
1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点P(x,y)在直线y=− x+4上，坐标(x,y)是二元一次方程
4
5x−6 y=33的解，则点P的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·江苏苏州·中考真题）直线l :y=x−1与x轴交于点A，将直线l 绕点A逆时针旋转15°，得到直
1 1
线l ，则直线l 对应的函数表达式是 ．
2 2
3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数y=kx+b的图象经过A(3，6),B(0，3)两点，交x轴于
点C，则△AOC的面积为 ．
4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点(1，1)且y的值随x值增大而减小的函数的解析式
．
【题型3 一次函数与方程、不等式的关系】
1、求直线与另一直线的交点，就是在求两条直线对应解析式联立所得方程（组）的交点；
2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口
朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，
若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为 ．
1
2．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数y =ax(a≠0)和y = x+1，当x≤1时，函数y 的图象在
1 2 2 2
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函数y 的图象上方，则a的取值范围为
1
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)与y=−kx+3的图象交于点
(2,1).
(1)求k，b的值；
(2)当x>2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数
y=−kx+3的值，直接写出m的取值范围.
考向二：一次函数的应用
【题型4 一次函数与行程类问题】
y=kx+b(k≠0）
1、行程问题中，一次函数 中|k|通常对应行程问题中的速度
2、准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速
度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲
无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、
乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成
后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行
的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
(1)a= ______米/秒，t= ______秒；
(2)求线段MN所在直线的函数解析式；
(3)两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可)
2．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km，文化
广场离家1.5km．张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min，之后匀速骑行
了6min到文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家．下面图中x表示时间，
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y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间
1 4 13 30
/min
张华离家的距离/km 0.6
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km/min；
③当0≤x≤25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社
到文化广场的途中(0.60时，00)上，将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位长度，
x
点D恰好落在双曲线上，则k的值为（ ）
A．4√3 B．3√3 C．2√3 D．3
2．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，点B在反比例函数
k
y= (x>0)的图像上，BC⊥x轴于点C，∠BAC=30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D
x
落在该反比例函数的图像上，则k的值为 ．
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(5,0)，(2,6)，
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k
过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD=2AD．反比例函数y= (x>0)
x
的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是 ．
k
4．（2024·四川广元·中考真题）已知y=√3x与y= (x>0)的图象交于点A(2,m)，点B为y轴上一点，
x
k
将△OAB沿OA翻折，使点B恰好落在y= (x>0)上点C处，则B点坐标为 ．
x
考向四：反比例函数的应用
【题型8 反比例函数系数K的几何意义】
这类问题通常是由几何图形的面积求k且常与相似三角形等考查，所以，重点掌握对应几何图形的面积
的转化是解这类题的关键，如：
k
1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=
x
的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE=2AE，若四边形ODAF的面积为
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2，则k的值是（ ）
2 3 4 8
A． B． C． D．
5 5 5 5
k
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线y = (x>0)上，连接AO并延长，交双曲线
1 x
k
y = (x<0)于点B，点C为x轴上一点，且AO=AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值
2 4x
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数y=− (x<0)图象上的一点，连接AO，过点O
x
4 AO
作OA的垂线与反比例y= (x>0)的图象交于点B，则 的值为（ ）
x BO
1 1 √3 1
A． B． C． D．
2 4 3 3
k
4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数y= (x>0)的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，
x
垂足为点C，延长AC至点B，使BC=2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的
面积是6，则k= ．
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5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形
k
OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点
x
M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为
．
【题型9 与其他学科结合类应用】
因为反比例函数的比例关系和物理中的几个公式一样，所以在出反比例函数的应用时，常和物理中的这
几个公式结合，题型主要有：①根据题意求解析式、②根据图象求对应点的坐标等
1．（2024·山西·中考真题）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度
v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m=60kg时，它的最快
移动速度v=6m/s；当其载重后总质量m=90kg时，它的最快移动速度v= m/s．
2．（2024·海南·中考真题）某型号蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：
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U
A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，即I= ，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为
R
（V）．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别
为1600N和0.5m，动力为F(N)，动力臂为l(m)．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 ．
4．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体
中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬
浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm．
(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm，求该液体的密度ρ．
考向五：一次函数与反比例函数综合
【题型10 反比例函数与一次函数的图象存在问题】
求两函数图象存在性的方法：①假设其中一个函数的图象正确，得到对应参数字母的范围；②以假设所
得参数字母的范围验证另一个函数图象是否成立；
k
1．（2023·湖北襄阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx+k与反比例函数y= 的图象
x
可能是（ ）
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A． B． C． D．
k
2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）在同一直角坐标系中，函数y=−kx+k与y= (k≠0)的大致图象
x
可能为（ ）
A． B． C． D．
【题型11 求反比例函数与一次函数的交点】
1.求一次函数与反比例函数的交点，就是联立两个函数的解析式，得到的方程的解即为交点的横纵坐
标；
2.不解不等式，直接根据函数图象写出不等式的解集时：
①根据不等号确定谁的函数图象应该在上方，
②求交点的横坐标，
③根据符合题意的范围写出比变量x的取值范围；（没有其他要求时，解集一般有两部分，且其中一部
分肯定和0有关）
3
1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，一次函数y =x−2与反比例函数y = 的图象交
1 2 x
于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．当x>3时，y y D．当−10)的图象与正比例函数y=3x(x≥0)的图象交
x
于点A(2,a)，点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
(1)求反比例函数的表达式；
k
(2)如图1，过点B作y轴的垂线l,l与y= (x>0)的图象交于点D，当线段BD=3时，求点B的坐标；
x
k
(3)如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y= (x>0)的图象上时，求点E
x
的坐标．
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（建议用时：30分钟）
5
1．（2024·天津·中考真题）若点A(x ,−1),B(x ,1),C(x ,5)都在反比例函数y= 的图象上，则
1 2 3 x
x ,x ,x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x
