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专题 02 函数及其性质
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 平面直角坐标系与函数
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
题型02 平面直角坐标系中面积问题
题型03 求平移后点的坐标
题型04 求旋转后点的坐标
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
题型06求自变量的取值范
题型07 函数图象的识别
题型08 画函数图象
题型09 动点问题的函数图象
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
【真题研析 · 规律探寻】
题型 01 正比例函数的图象与性质
题型02 求一次函数解析式
题型03一次函数的图象与性质
题型04 一次函数与方程、不等式
题型05 求反比例函数解析式
题型06反比例函数的性质
题型07 反比例函数k的几何意义
题型08 反比例函数与一次函数综合
题型09 反比例函数与几何综合
题型10 求二次函数的解析式
题型11 二次函数的图象与性质
题型12 二次函数的图象与各系数符号
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
题型14 求二次函数最值
题型15 二次函数的平移问题
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值
平面直角坐
为10分左右.预计2024年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．
标系与函数
一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用，其中，图象的性质经常
以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比
并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合.
反比例函数在中考数学中主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察，题型
一次函数、
以选择题为主;另外，在填空题中，对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐
反比例函
增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要
数、二次函
多加注意.另外解答题中还会考察反比例函数的解析式的确定，也是常和一次函数结合，顺
数的性质
带也会考察其与不等式的关系.
在中考中，二次函数的出题形式不固定，题目的难度都在中上等，也常作为中考中难度
较大的一类压轴题的问题背景，占的分值也较高.而考察的内容主要有:二次函数图象与性
质、解析式的求法、几何变化、以及函数与几何图形相关的综合应用等.
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考点一 平面直角坐标系与函数
题型01 由点在坐标系的位置确定坐标中未知数的值或取值范围
第一象限 x＞0，y＞0
第二象限 x＜0，y＞0
在象限内
第三象限 x＜0，y＜0
第四象限 x＞0，y＜0
x轴 y=0
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点P(x，y) 坐标轴上 y轴 x=0
的位置
原点 x=y=0
在角平分线上 第一、三象限 x=y
第二、四象限 x= -y
平行x轴 所有点的 纵 坐标相等
在平行坐标轴的直线上
平行y轴 所有点的 横 坐标相等
1．（2023·山东日照·统考中考真题）若点M(m+3,m−1)在第四象限，则m的取值范围是 ．
2．（2023·广东湛江·统考二模）已知点P(−12，2a+6)在x轴上，则a的值为 ．
3．（2023·四川巴中·统考中考真题）已知a为正整数，点P(4,2−a)在第一象限中，则a= ．
题型02 平面直角坐标系中面积问题
关于平面直角坐标系中面积问题，常见的4种类型：
1）直接利用面积公式求面积.（特征：当三角形的一边在x轴或y轴上时，常用这种方法.）
【方法技巧】在求几何图形面积时，线段的长度往往通过计算某些点横坐标之差的绝对值，或纵坐标之差
的绝对值去实现. (横坐标相减时最好用右边的数减左边的数，纵坐标相减时用上边的数减下边的数，这样
所得结果就是边或高的长度，就不用绝对值符号了).
2）已知三角形面积求点的坐标.
【方法技巧】已知面积求点的坐标时，应先画出图形，再看图形的面积跟哪些线段有关系，当用坐标表示
线段长度时，应取坐标的绝对值.
3）利用补形法求面积. （当所求图形的边都不在x轴或y轴上时，一般用该方法.）
【出题类型】求网格中的多边形面积.
4）利用割补法求面积.（特征：将不规则图形分割为规则图形计算面积，可根据题的特点灵活选择解法.）
【出题类型】与二次函数有关的面积问题.
【方法技巧】用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
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A
y
h C
B
a
x
O
1．（2023·广西柳州·统考三模）如图，已知△ABC的顶点分别为A(−2,2)，B(−4,5)，C(−5,1)．
(1)作出△ABC关于x轴对称的图形△A B C ．
1 1 1
(2)点P在x轴上运动，当AP+CP的值最小时，求出点P的坐标．
(3)求△ABC的面积．
2．（2023·陕西铜川·统考三模）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴
交于点C(0,8)，顶点为D，连接AC，CD，DB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)求四边形ABDC的面积；
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3
(3)P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S = S 时，求点P的坐标．
△PBC 5 △ABC
3．如图在平面直角坐标系中，已知A(a，0)，B(b，0)，M(−1.5，−2)，其中a、b满足
|a+1|+(b−3) 2=0．
(1)求△ABM的面积；
(2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等；
(3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标．
4.【知识呈现】
当三角形的三边都不与坐标轴平行时，对于三角形的面积因不易求出底边和高的长度，所以不能直接利用
三角形的面积公式来求，但可以将不规则图形运用补法或割法转化成规则的图形（如长方形，梯形），再
运用和、差关系进行求解．
【问题解答】
在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(−1,3)，B(−3,−1)，C(2,1)．
(1)如图1，分别以点A，B，C向坐标轴作垂线构造长方形BDEF，求△ABC的面积；
(2)在图1中过点A作AG∥y轴交BC于点G，如图2．
①求AG的长；
②猜想：△ABC的面积S与DE·AG的数量关系式为______．
5．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究
一种求某些三角形或四边形面积的新方法：
如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l ，l ，l ，l 之间的距离d叫做水
1 2 1 2
平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如
图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l ，l ，l ，l 之间的距离h叫做四边形的铅垂高．
3 4 3 4
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【结论提炼】
1
容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S= dh”
2
【结论应用】
为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．
已知：如图3，点A(−5,2)，B(5,0)，C(0,5)，则△ABC的水平宽为10，铅垂高为______，所以△ABC面
积的大小为______．
【再探新知】
三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着
这个问题，我们进行如下探索：
（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A(−4,2)，B(1,5)，C(4,1)，D(−2,−4)四个点，得到四边形
ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______；用其它的
1
方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“S= dh”这一方法对求图4中四边形的面积
2
______．（填“适合”或“不适合”）
（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A(−5,2)，B(1,5)，C(4,2)，D(−2,−3)四个点，得到了四边
形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是______，用其它
1
的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“S= dh”这一方法对求图5中四边形的面积
2
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______．（“适合”或“不适合”）
（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A(−4,2)，B(1,5)，C(5,1)，D(−1,−5)四个点，得到了四边
1
形ABCD．通过计算发现：用“S= dh”这一方法对求图6中四边形的面积______．（填“适合”或
2
“不适合”）
【归纳总结】
我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“
1 1
S= dh”来求面积．那么，可以用“S= dh”来求面积的四边形应满足的条件是：______．
2 2
题型03 求平移后点的坐标
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
点P(x，y) 平移变换
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
简单记为“点的平移右加左减，上加下减”
1．（2022·广东·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点(1,1)向右平移2个单位后，得到的点的坐标是
（ ）
A．(3,1) B．(−1,1) C．(1,3) D．(1,−1)
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2．（2022·海南·统考中考真题）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若
∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（ ）
A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)
3．（2021·浙江丽水·统考中考真题）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，
(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（
）
A．将B向左平移4.5个单位 B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
4．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△ABC 的位置．若顶点
1 1 1
A（﹣3，4）的对应点是A（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B 的坐标是 ．
1 1
题型04 求旋转后点的坐标
点P(x，y) 具体变换过程 变换后的坐标
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绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
旋转变换
绕原点顺时针旋转180° (-x，-y)
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点逆时针旋转180° (-x，-y)
1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2√7，将△AOB绕原点
O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2） B．（2√3，﹣4）或（﹣2√3，4）
C．（﹣2√3，2）或（2√3，﹣2） D．（2，﹣2√3）或（﹣2，2√3）
2．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，将 ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转
90°，得到 A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（ ）
△
△
A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3）
3．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，将△ABC先向右平移3个单位，再绕原点O旋转180°，得到
△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）
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A．(2,0) B．(−2,−3) C．(−1,−3) D．(−3,−1)
4．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(−1,1)，B(−4,0)，C(−2,2)．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A B C ．
1 1 1
(1)请写出A 、B 、C 三点的坐标：A _________，B _________，C _________
1 1 1 1 1 1
(2)求点B旋转到点B 的弧长．
1
题型05 求关于坐标轴对称后点的坐标
点P(x，y) 具体变换过程 变换后的坐标
关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
对称变换
关于原点对称 (-x，-y)
简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变”
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关于x=m对称 (2m-x，y)
关于y=n对称 (x，2n-y)
1．（2022·江苏常州·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A与点A 关于x轴对称，点A与点A 关
1 2
于y轴对称．已知点A (1,2)，则点A 的坐标是（ ）
1 2
A．(−2,1) B．(−2,−1) C．(−1,2) D．(−1,−2)
2．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，两个灯笼的位置A,B的坐标分别是(−3,3),(1,2)，将点B向右
平移2个单位，再向上平移1个单位得到点B'，则关于点A,B'的位置描述正确是（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点O对称 D．关于直线y=x对称
3．（2022·广西贵港·中考真题）若点A(a,−1)与点B(2,b)关于y轴对称，则a−b的值是（ ）
A．−1 B．−3 C．1 D．2
题型06求自变量的取值范
函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：
①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；
②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．
注意：实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
1
1．（2020·湖北黄石·中考真题）函数y= +√x−2的自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A．x≥2，且x≠3 B．x≥2 C．x≠3 D．x>2，且x≠3
√x+1
2．（2022·湖北恩施·统考中考真题）函数y= 的自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A．x≠3 B．x≥3
C．x≥−1且x≠3 D．x≥−1
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1
3．（2022·湖南娄底·统考中考真题）函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
√x−1
题型07 函数图象的识别
1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知点M(−4,a−2),N(−2,a),P(2,a)在同一个函数图象上，则这
个函数图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·青海·统考中考真题）2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.
最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的
前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）
的函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东滨州·统考中考真题）由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液
呈碱性，当pH<7时溶液呈酸性．若将给定的NaOH溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映NaOH溶
液的pH与所加水的体积V之间对应关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川·统考中考真题）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的
函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
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题型08 画函数图象
【解题技巧】此类题型考查利用列表法画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象
获取信息是解题的关键．
1．（2022·山东临沂·统考中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力
臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点
O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的
质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；
若0<y<48，求x的取值范围．
(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重
物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……
y/cm …… ……
2．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，
通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R =2Ω）亮度的实验（如图），已
L
U
知串联电路中，电流与电阻R、R 之间关系为I= ，通过实验得出如下数据：
L R+R
L
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R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
a= b=
(1) _______， _______；
12 12
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y= (x≥0)，结合表格信息，探究函数y= (x≥0)的图象
x+2 x+2
与性质．
12
①在平面直角坐标系中画出对应函数y= (x≥0)的图象；
x+2
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．
12 3
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时， ≥− x+6的解集为________．
x+2 2
3．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，M
为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距
离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．
小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
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(1)列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，得到了y与x的几组对应
值：
x/cm 0 0.5 1 1.5 1.8 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
y/cm 4 3.96 3.79 3.47 a 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33 0
请你通过计算，补全表格：a=______；
(2)描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点(x,y)，并画出函数y关于x的图像；
(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：______．
(4)解决问题：当BN=2AM时，AM的长度大约是______cm．（结果保留两位小数）
4．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察
6
分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y= −|x|的图象，并探究该函数
|x|
性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
﹣
x …… ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 1 2 3 4 5 ……
1
﹣
y …… ﹣3.8 ﹣2.5 ﹣1 1 5 5 a ﹣2.5 ﹣3.8 ……
1
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
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6
(2)探究函数性质，请写出函数y＝ -|x|的一条性质： ；
|x|
(3)运用函数图象及性质
6
①写出方程 -|x|＝5的解 ；
|x|
6
②写出不等式 -|x|≤1的解集 ．
|x|
题型09 动点问题的函数图象
类型一 动点与函数图象判断的解题策略
方法一：趋势判断法. 根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减
变化趋势；
方法二：解析式计算法. 根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；
方法三：定点求值法. 结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行
排除；
方法四：范围排除法. 根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．
类型二 动点与函数图象计算的解题策略
一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；
二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；
三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；
四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．
1．（2023·河北·统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依
次在同一直线上，且AM=CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小
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相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，
两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线
AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函
数图象如图2所示，则AB的长为（ ）
A．√3 B．2√3 C．3√3 D．4√3
3．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，
速度为2单位/s，其中BP长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（ ）
15√5
A． B．√427 C．17 D．5√3
2
4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，
AB=DE=2,DG=3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开
始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的
函数关系的图象为（ ）
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A． B． C． D．
5．（2021·山东聊城·统考中考真题）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，
在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，
△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图， ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边
BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x， DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是
△
（ ）
△
A． B． C． D．
一、点的坐标特征及变化
1）点的坐标特征
第一象限 x＞0，y＞0
第二象限 x＜0，y＞0
在象限内
第三象限 x＜0，y＜0
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第四象限 x＞0，y＜0
x轴 y=0
坐标轴上
点P(x，y) y轴 x=0
的位置
原点 x=y=0
在角平分线上 第一、三象限 x=y
第二、四象限 x= -y
平行x轴 所有点的 纵 坐标相等
在平行坐标轴的直线上
平行y轴 所有点的 横 坐标相等
2）点的坐标变化
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
平移变换
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
点P(x，y)
简单记为“点的平移右加左减，上加下减”
关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
对称变换
关于原点对称 (-x，-y)
简单记为“关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变”
关于x=m对称 (2m-x，y)
关于y=n对称 (x，2n-y)
绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点顺时针旋转180° (-x，-y)
旋转变换
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点逆时针旋转180° (-x，-y)
3）点到坐标轴的距离
y
在平面直角坐标系中，已知点P(a,b)， 则 a
P（a,b）
1）点P到x轴的距离为|b|；
b
21
O x关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2）点P到y轴的距离为|a|；
3）点P到原点O的距离为P＝ √a2+b2.
4）坐标系内点与点之间的距离
点M（x，y）与点N（x，y）之间的直线距离（线段长度）：|MN|=√（x −x ) 2+(y −y ) 2
1 1 2 2 2 1 2 1
若AB∥x轴，则A(x ,y),B(x ,y)的距离为|x −x |；
A B A B
若AB∥y轴，则A(x,y ),B(x,y )的距离为|y −y |；
A B A B
二、函数的知识
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围.
确定函数取值范围的方法： 1）函数解析式为整式时，字母取值范围为全体实数；
2）函数解析式含有分式时，分式的分母不能为零；
3）函数解析式含有二次根式时，被开方数大于等于零；
4）函数解析式中含有指数为零的式子时，底数不能为零；
5）实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义.
函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：
1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在.
2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解.
函数的三种表示法及其优缺点
解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示
法叫做解析法.
列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法.
图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法.
优点 缺点
解析法 准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系 求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实
际问题中有的函数值不一定能用解析式表示
列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 所列对应数值个数有限，不容易看出自变量
与函数值的对应关系，有局限性
图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
1
1．（2023·江苏盐城·景山中学校考模拟预测）函数y=− −√x的图象位于（ ）
√x
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
2．（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，将线段AB先向右平移5个单位，再将所得线段绕原点按顺
时针方向旋转90°，则点B的对应点B'的坐标是（ ）
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A．(−4,1) B．(−1,2) C．(4,−1) D．(1,−2)
3．（2023·河北石家庄·校联考模拟预测）平面直角坐标系中，点A(−3,2)，B(1,4)，C(x,y)，若AC∥x
轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（ ）
A．2,(1,2) B．6,(−3,4) C．4,(1,0) D．1,(0,4)
4．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图所示平面直角坐标系，Rt△OAB 中，
AO=2，∠A=90°，∠ABO=30°． 将Rt△OAB绕着AB的中点M旋转180°，则点O的对应点的坐
标为（ ）
A．(4,√3) B．(4+√2,√3) C．(5,√3) D．(5−√2,√2)
5．（2023·河北石家庄·校联考二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如
图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海
里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（ ）
A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里
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6．（2023·广东肇庆·统考三模）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人
数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图
（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．
给出下列四种说法：
①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；
②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；
③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变：
④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．
其中，正确的说法是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
7．（2023·广东东莞·校联考二模）如图，⊙O的半径为2，弦CD垂直直径AB于点E，且E是OA的中点，
点P从点E出发（点P与点E不重合），沿E→D→B的路线运动，设AP=x，sin∠APC= y，那么y
与x之间的关系图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°,AB=2，正方形DEFG的边
长为1，且AB与DE在同一条直线上，△ABC从点B与点D重合开始，沿直线DE向右平移，直至点A与点
E完全重合时停止．设BD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与
x之间的函数图像大致是（ ）
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A． B． C． D．
9．（2023·广东湛江·统考一模）已知点P(−m,m−3)，当m=−1时，点P在第 象限，当点P在x轴上
时，m= ．
10．（2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐标系内有一点M(x,y)，已知x，y满足
√4x+3+(5 y−2) 2=0，则点M关于y轴对称的点N在第 象限．
11．（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）中国象棋是一种古老的棋类游戏，大约有两千
年的历史，是中华文明非物质文化经典产物．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点
(−1,−2)，“马”位于点(3,−2)，则“兵”位于点 ．
12．（2023·广西钦州·校考模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)、B(2,0)、C(4,3)．
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的△A B C
1 1 1
(2)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4．求点P的坐标．
13．（2023·广东茂名·统考三模）已知函数y= y + y ，其中y =(4−a)xa2−4a−1是反比例函数，y 与x−5
1 2 1 2
1
成正比例，函数的自变量x的取值范围是x≥ ，且当x=2时，y=−1．
2
(1)解析式探究，根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为：
(2)下表是y与x的几组对应值
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1
x 1 2 3 4 5 6 7 8
2
2 4 18 7
y m 0 −1 − 0 n
3 5 7 2
表中表中m= ，n=
(3)根据表中数据，在平面直角坐标系中，描点并画出该函数的图象；
(4)结合画出的函数图象，解决问题：
估计y + y =−x+5时，x的值约为 （精确到0.1）．
1 2
考点二 一次函数、反比例函数、二次函数的性质
题型01 正比例函数的图象与性质
图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）.
b
一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0）
k
k>0 k<0
增减性 从左向右看图像呈上升趋势， 从左向右看图像呈下降趋势，
y随x的增大而增大 y随x的增大而减少
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y y y y y y
x x x
x x x
O O O
O O O
图象
b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
与y轴 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上
交点位置
2
1．（2021·湖南益阳·统考中考真题）正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象或性质的共有特征之一
x
是（ ）
A．函数值y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点 D．图象经过点(2,1)
2．（2023·甘肃武威·统考中考真题）若直线y=kx（k是常数，k≠0）经过第一、第三象限，则k的值可为
（ ）
1
A．−2 B．−1 C．− D．2
2
3．（2021·四川成都模拟预测）在正比例函数y=kx中，y的值随着x值的增大而减小，则点P(3,k)在第
象限．
4．（2023·山东·统考中考真题）一个函数过点(1,3)，且y随x增大而增大，请写出一个符合上述条件的函
数解析式 ．
题型02 求一次函数解析式
确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法.
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：
1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；
2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组；
3）解方程或方程组求出k，b的值；
4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式.
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1．（2023·江苏苏州·统考中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(−1,2)，则k2−b2=
．
1
2．（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，点A关于y轴的对称点为A′，
2
经过点A′和y轴上的点B（0，2）的直线设为y＝kx+b．
(1)求点A′的坐标；
(2)确定直线A′B对应的函数表达式．
5
3．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=2x− 上，过点A的
2
直线交y轴于点B(0,3)．
(1)求m的值和直线AB的函数表达式．
5
(2)若点P(t,y )在线段AB上，点Q(t−1,y )在直线y=2x− 上，求y −y 的最大值．
1 2 2 1 2
题型03一次函数的图象与性质
b b
一、在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=− ，即直线y=kx+b与x轴交于(− ,0)
k k
令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b)
b
1）当− > 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．
k
b
2）当− = 0，即b=0时，直线经过原点．
k
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b
3）当− < 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．
k
二、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系：
1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合；
2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行；
3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）；
4）当k1•k2=-1时，两直线垂直；
5）当k1≠k2时，两直线相交.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到：
一次函数图
象与正比例 当b>0时，向上平移b个单位长度；
函数图象的
当b<0时，向下平移|b|个单位长度
关系
平移口诀：左加有减，上加下减
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两
点即可，
一次函数图
象确定方法 b
1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(− ，0)两点；
k
2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可.
1．（2023·山东临沂·统考中考真题）对于某个一次函数y=kx+b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结
论，错误的是（ ）
1
A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=− b
2
2．（2022·安徽·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+a2与y=a2x+a的图像可能是
（ ）
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A． B． C． D．
3．（2023·江苏无锡·统考中考真题）将函数y=2x+1的图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数
表达式是（ ）
A．y=2x−1 B．y=2x+3 C．y=4x−3 D．y=4x+5
(3 )
4．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知点A(√2,m)，B ,n 在一次函数y=2x+1的图像上，则m与n
2
的大小关系是（ ）
A．m>n B．m=n C．m<n D．无法确定
5．（2022·内蒙古包头·中考真题）在一次函数y=−5ax+b(a≠0)中，y的值随x值的增大而增大，且
ab>0，则点A(a,b)在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
6．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，一次函数y=x+√2的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直
线AB绕点B顺时针旋转30°交x轴于点C，则线段AC长为（ ）
A．√6+√2 B．3√2 C．2+√3 D．√3+√2
7．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点
2 3
A，B，则 + 的值是 ．
OA OB
8．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知(x ，y )，(x ，y )，(x ，y )为直线y=−2x+3上的三个
1 1 2 2 3 3
点，且x <x <x ，则以下判断正确的是（ ）．
1 2 3
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A．若x x >0，则y y >0 B．若x x <0，则y y >0
1 2 1 3 1 3 1 2
C．若x x >0，则y y >0 D．若x x <0，则y y >0
2 3 1 3 2 3 1 2
题型04 一次函数与方程、不等式
一、一次函数与一元一次方程
思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为 ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程
可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值.
从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值
从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标.
二、一次函数与二元一次方程组
思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常
数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所
以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应
两条直线.
从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数
值是何值；
从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程
组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标.
三、一次函数与一元一次不等式
思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上
(下)方的图象所对应的x的取值范围.
从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量
的取值范围；
从函数图象的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件.
1．（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+b与直线y=−3x+6相交
于点A，则关于x，y的二元一次方程组¿的解是（ ）
¿ ¿ ¿ ¿
A． B． C． D．
2．（2023·宁夏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数
y =ax+b(a≠0)与y =mx+n(m≠0)的图象如图所示，则下列结论 错
1 2
误的是（ ）
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A．y 随x的增大而增大
1
B．b<n
C．当x<2时，y >y
1 2
D．关于x，y的方程组¿的解为¿
3．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与
y=mx+n(a<m<0)的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y=mx+n的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
y−ax=b x=−3
②方程组{ 的解为{ ；
y−mx=n y=2
③方程mx+n=0的解为x=2；
④当x=0时，ax+b=−1．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型05 求反比例函数解析式
待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
k
1）设反比例函数的解析式为y= （k为常数，k≠0）；
x
2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；
3）解方程求出待定系数k；
4）将所求的k值代入所设解析式中.
【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即
可求出k的值，从而确定其解析式．
k
1．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，若函数y= (k≠0)的图象经过点A(−3,2)和
x
B(m,−2)，则m的值为 ．
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k
2．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点A(3,3),B(3,1)，反比例函数y= (k≠0)图像的一支与线
x
段AB有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．
k
3．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数y =−x+m与反比例函数y = 相交于点A和点
1 2 x
B(3,−1)．
(1)求m的值和反比例函数解析式；
(2)当y >y 时，求x的取值范围．
1 2
题型06反比例函数的性质
1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的
两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
图象特征 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为
原点．
表达 k
y= （k为常数，k≠0）
x
式
图象
性
k>0 k<0
质
经过 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号）
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象限
增减
在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大
性
①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上;
对称 ②图象关于直线y=x 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上;
性 ③图象关于直线y=−x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支
上.
即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称.
1）反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这
个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y
随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．
2）反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函
数的增减性，也可以推断出k的符号.
3）双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的
两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．
k
1．（2021·贵州遵义·统考中考真题）已知反比例函数y= （k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx+2
x
的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
5
2．（2021·贵州黔西·中考真题）对于反比例函数y＝﹣ ，下列说法错误的是（ ）
x
A．图象经过点（1，﹣5）
B．图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
4
3．（2022·广东·统考中考真题）点(1,y )，(2,y )，(3,y )，(4,y )在反比例函数y= 图象上，则y ，
1 2 3 4 x 1
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y ，y ，y 中最小的是（ ）
2 3 4
A．y B．y C．y D．y
1 2 3 4
m−2
4．（2022·四川成都·统考中考真题）若反比例函数y＝ 的图像经过第二、四象限，则m的取值范围
x
是 ．
k
5．（2020·广东广州·统考中考真题）已知反比例函数y= 的图象分别位于第二、第四象限，化简：
x
k2 16
− +√(k+1) 2−4k．
k−4 k−4
题型07 反比例函数k的几何意义
2 3
1．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数y= (x>0)的图象上，点B在函数y= (x>0)的
x x
图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2
2．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，在函数y= (x>0)的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线
x
8
交函数y=− (x<0)的图像于点B，连接OA，OB，则△AOB的面积是（ ）
x
A．3 B．5 C．6 D．10
3 n
3．（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y= 和y= 的图象的四
x x
个分支上，则实数n的值为（ ）
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1 1
A．−3 B．− C． D．3
3 3
4．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方
k
形OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥ y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
( 5) ( 5) k
5．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，点A a, 和B b, 在反比例函数y= (k>0)的图象上，
a b x
15 a
其中a>b>0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为 ，则 =
4 b
．
k
6．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （k为大于0的常数，
x
x>0）图象上的两点A(x ,y ),B(x ,y )，满足x =2x ．△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若
1 1 2 2 2 1
△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．
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题型08 反比例函数与一次函数综合
1.涉及自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对 y1>y2时
自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如
x>x x <x<0 0<x<x
下图，当y1>y2时，x的取值范围为 A或 B ；同理，当y1<y2时，x的取值范围为 A或
x<x
B．
2.求一次函数与反比例函数的交点坐标
1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定．
①k值同号，两个函数必有两个交点；
②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；
2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．
解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．
a
1．（2022·四川德阳·统考中考真题）一次函数y=ax+1与反比例函数y=− 在同一坐标系中的大致图象
x
是（ ）
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A． B． C． D．
k
2．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正比例函数y=k x与反比例函数y= 2的图像交于A(1,m)、
1 x
k
B两点，当k x≤ 2时，x的取值范围是（ ）
1 x
A．−1≤x<0或x≥1 B．x≤−1或0<x≤1
C．x≤−1或x≥1 D．−1≤x<0或0<x≤1
k
3．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，一次函数y=k x+b的图像与反比例函数y= 2的图像交于
1 x
A(−4，1)，B(m，4)两点．（k ，k ，b为常数）
1 2
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
k
(2)根据图像直接写出不等式k x+b> 2的解集；
1 x
(3)P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．
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题型09 反比例函数与几何综合
解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知
数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母
系数的当成（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值.这类型的题
目主要包括反比例函数与三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形）的综合、反比
例函数与正方形的综合、反比例函数与圆的综合等四种题型.
2
1．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，点A在反比例函数y= (x>0)的图像上，以OA为一边作等腰
x
直角三角形OAB，其中∠OAB=90°，AO=AB，则线段OB长的最小值是（ ）
A．1 B．√2 C．2√2 D．4
12
2．（2022·江西·统考中考真题）已知点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B在x轴正半轴上，若
x
△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 ．
3．（2023·安徽·统考中考真题）如图，O是坐标原点，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，
k
AB=2,∠AOB=30°，反比例函数y= (k>0)的图象经过斜边OB的中点C．
x
（1）k= ；
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（2）D为该反比例函数图象上的一点，若DB∥AC，则OB2−BD2的值为 ．
a
4．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，点A，B分别在函数y= (a>0)图象的两支上（A在第一象
x
b
限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数y= (b<0,x<0)图象上，AE∥x轴，BD∥y轴，连接
x
DE,BE．若AC=2BC，△ABE的面积为9，四边形ABDE的面积为14，则a−b的值为 ，a
的值为 ．
5．（2021·河南·统考中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分
k
别与坐标轴平行，反比例函数y= 的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B．
x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积．
题型10 求二次函数的解析式
求二次函数解析式的一般方法：
1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c，就可以写出二次
函数的解析式.
2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求
出a的值，从而写出二次函数的解析式.
3）交点式y=a(x-x)(x-x).当抛物线与x轴的两个交点为(x,0)、(x,0)时，可设y=a(x-x)(x-x)，再将
1 2 1 2 1 2
另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.
1．（2023·江苏泰州·统考中考真题）函数y与自变量x的部分对应值如表所示，则下列函数表达式中，符
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合表中对应关系的可能是（ ）
x 1 2 4
y 4 2 1
a
A．y=ax+b(a<0) B．y= (a<0)
x
C．y=ax2+bx+c(a>0) D．y=ax2+bx+c(a<0)
2．（2021·广东广州·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)、(3,0)，且与y轴交于点(0,−5)，
则当x=2时，y的值为（ ）
A．−5 B．−3 C．−1 D．5
3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
题型11 二次函数的图象与性质
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，
图象特征
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
y y y y
y
h>0,k>0
图
a>0 k>0
象 h<0 h>0
x x x x x
O O O O h<0,k<0 O
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y
y y
y y h<0,k>0
x x x x
O O
a<0 O k<0 h<0 O h>0
h>0,k<0
x
O
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
b 4ac−b2
(− ，
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) 2a 4a
)
a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
最 a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
值
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或 ）.
4a
增 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
减
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
性
1．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（ ）
A．−2 B．−1 C．0 D．2
2．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数y=−3(x−2) 2−3，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为x=−2 B．顶点坐标为(2,3) C．函数的最大值是－3D．函数的最小值是－3
3．（2023·四川甘孜·统考中考真题）下列关于二次函数y=(x−2) 2−3的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与x轴没有交点
C．当x<2时，y随x增大而增大 D．图象的顶点坐标是(2,−3)
4．（2022·湖北荆门·统考中考真题）抛物线y＝x2+3上有两点A（x，y），B（x，y），若y＜y，则下
1 1 2 2 1 2
列结论正确的是( )
A．0≤x＜x B．x＜x≤0
1 2 2 1
C．x＜x≤0或0≤x＜x D．以上都不对
2 1 1 2
题型12 二次函数的图象与各系数符号
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一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系
符号 图象特征 备注
a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开
口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．
a<0 开口向下
b=0 坐标轴是y轴
b
ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异
ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧
c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论
自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论
x轴的上方 4a-2b+c >0
-2 4a-2b+c
x轴上 4a-2b+c =0
x轴的下方 4a-2b+c <0
x轴的上方 a-b+c >0
-1 a-b+c
x轴上 a-b+c =0
x轴的下方 a-b+c <0
x轴的上方 a+b+c >0
1 a+b+c
x轴上 a+b+c =0
x轴的下方 a+b+c <0
x轴的上方 4a+2b+c >0
2 4a+2b+c
x轴上 4a+2b+c =0
x轴的下方 4a+2b+c <0
1．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两
点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（ ）
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A．a>0 B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4,0) D．4a+2b+c>0
2．（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①
abc<0；②4a−2b+c>0；③a−b>m(am+b)（m为任意实数）；④若点(−3,y )和点(3,y )在该图象
1 2
上，则y >y ．其中正确的结论是（ ）
1 2
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
3．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图
象与x轴交于点A(−3,0),B(1,0)．有下列结论：①abc>0；②若点(−2,y )和(−0.5,y )均在抛物线上，
1 2
则y <y ；③5a−b+c=0；④4a+c>0．其中正确的有（ ）
1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）关于直线x=1对称．
下列五个结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0．其中正确
的有（ ）
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A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型13 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
1．（2021·广东深圳·统考中考真题）二次函数y=ax2+bx+1的图象与一次函数y=2ax+b在同一平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图
所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比例函数
a
y= 与一次函数y=bx+c的图象大致是（ ）
x
A． B． C． D．
b
4．（2021·山东青岛·统考中考真题）已知反比例函数y= 的图象如图所示，则一次函数y=cx+a和二次
x
函数y=ax2+bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
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A． B． C． D．
题型14 求二次函数最值
自变量取值范围 图象 最大值 最小值
b
y 当 x=− 时，二次函
2a
x
a>0 4ac−b2
O 数取得最小值
4a
全体实数
b
y 当 x=− 时，二次函
2a
a<0 4ac−b2
x 数取得最大值
4a
O
当x=x2时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y2
y
2
x
4ac−b2
数取得最小值
x O x 4a
1 2
当x=x1时，二次函数取 b
y 当 x=− 时，二次函
2a
得最大值y1
y
1
x 4ac−b2
x1≤x≤x2 a>0 x x 数取得最小值
1 2 4a
y
2
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当x=x2时，二次函数取 当x=x1时，二次函数取
y
得最大值y2 得最小值y1
x
1 x
O x
2
y
2
y
1
备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.
y
y
y
x
1 x
x
O x x 1 x
2
x O x O x
1 2 2
y
1
y y
y 2 2
1
y
2
y
1
1. 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是
不对的，必须附加一定的自变量x 取值范围.
2. 抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
3. 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式 y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上
加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
1．（2023·山东泰安·统考中考真题）二次函数y=−x2−3x+4的最大值是 ．
2．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像
经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
15 15
A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值
4 4
3．（2022·内蒙古包头·中考真题）已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），
（﹣6，﹣3）．
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(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
题型15 二次函数的平移问题
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
1．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1) 2+3的图象向右平移2个
单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=(x+3) 2+2 B．y=(x−1) 2+2 C．y=(x−1) 2+4 D．y=(x+3) 2+4
2．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右
平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．−5或2 B．−5 C．2 D．−2
3．（2021·广东·统考中考真题）把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为 ．
一、一次函数
正比例函数 一次函数
一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）
图象 经过原点的一条直线 一条直线
区别
k，b符号 k的符号决定其增减性， k的符号决定其增减性；
的作用 同时决定直线所经过的象限 b的符号决定直线与y轴的交点位置；
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k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置
求解析式 只需要一对x，y的对应值
需要两对x，y的对应值或两个点的坐标
的条件 或一个点的坐标
1）正比例函数是特殊的一次函数．
2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个
不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．
3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）
联系 或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx
（k≠0）平行．
4）一次函数与正比例函数有着共同的性质：
①当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
②当k<0时，y的值随x值的增大而减小．
二、反比例系数k的几何意义
1.一点一垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面
1
积为 |k|.
2
y y y y
x x x x
O O O O
y y y y
x x x x
O O O O
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC)
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y y
y
A A
A
C
C E
E
x x
x
C
O B D O B D O B
|k|
结论：S
△AOB
=S
△COD
S
△AOE
=S四边形CEBD S
△AOC
=
2.一点两垂线
【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为|k|.
y
A
x
O B
【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】
y
y y
A
A E A
E D
C
C F
F G
G
x x x
O B D O B D O C E B
S =S S =S S ▱ =|k|
结论： 矩形ABOE 矩形CDOF 矩形AEFG 矩形CGBD ABCD
3.两点一垂线
【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|
k|，
y y
A
B A
O x x
B O
C C
结论： S = 2S = |k|
△ABC △ABO
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【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分
的两个三角形面积之和．
k
如左图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，
x
1 1 1
S =S +S = co•|y |+ co•|y |= co(|y |+|y |)
则 △AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
y y
A A
C
C x x
O O
B B
k
如右图，已知一次函数与反比例函数y= 交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，
x
1 1 1
S =S +S = co•|x |+ co•|x |= co(|x |+|x |)
则 △AOB △AOC △BOC 2 A 2 B 2 A B
4.两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于 2|
k|
y y y y
x x x x
O O O O
5.两点和原点
y y y
C C
A A C A D
B B B
M
x x x
O D O E F D O F
法一 法二 法三
S ＝S －S －S ．
方法一： △AOB △COD △AOC △BOD 【分割】
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S ＝S S ＝S
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而 △OAM 四边形MEFB，则 △AOB 直
角梯形AEFB．
S ＝S －S －S
方法三： △AOB 四边形COFD △AOC △BOF. 【补形】
1
S ＝S －S ＝ OD•（|y |-|y |）
方法四： △AOB △AOD △BOD 2 A B
1
S ＝S －S ＝ OC•（|x |-|x |）
方法五： △AOB △BOC △AOC 2 B A
【拓展】
y
C A D
B
M
x
O E F
方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S
四边形OADB
＝m|k|．
方法二：作AE⊥x轴于E，则S
△OAB
＝S
直角梯形AEFB
（类型一）．
6.两曲一平行
【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点
围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解．
类型一 两条双曲线的k值符号相同
y y = k2/x y y = k2/x y y = k2/x
y = k1/x y = k1/x y = k1/x
x x x
O O O
1 1
结论：S
阴影
＝|k1|-|k2| S
阴影
＝
2
|k1|-
2
|k2|
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y y = k2/x y y = k2/x
D B
y = k1/x C y = k1/x
F
x x
O O E A
S
结论：S
阴影
＝|k1|-|k2| S
阴影
＝|k1|-|k2|-
直角梯形AFDE
类型二 两条双曲线的k值符号相同
y = k2/x y = k2/x
y = k2/x y y
y
A B A
A B D
y =k1/x y =k1/x
y =k1/x
x x
x
D O C B O C
C O
1
S ＝S ＝ ( S ＝
结论： △AOB △ACB 2 |k1|+|k2|) 阴影 |k1|+|k2|
三、二次函数
1. 二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
2）二次函数图象的翻折与旋转
变换前 变换方式 变换后 口诀
绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变
y=a(x-h)²+k
绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号
沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变
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沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号
2. 二次函数的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在：
1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；
2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对
x +x
称轴可表示为直线x= 1 2 .
2
解题技巧：
b
1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=− 的差的绝对值相等；
2a
b
2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=− 对称；
2a
3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的
图象于x轴对称.
k
1．（2023·海南三亚·统考二模）若点(−1,4)在反比例函数y= 的图象上，则下列各点在此函数图象上的
x
是（ ）
( 1 ) (1 )
A． − ,1 B．(−4,−1) C． ,2 D．(−4,1)
4 4
2．（2023·山东青岛·校考模拟预测）函数y=2(x+3) 2+5的图像是由y=2x2（ ）得到
A．先向下平移5个单位，再向右平移3个单位 B．先向上平移5个单位，再向左平移3个单位
C．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位 D．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位
3．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得
不等式ax+b<kx的解集是（ ）
A．x>−4 B．x<−4 C．−4≤x<0 D．x<−2
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4．（2023·安徽·模拟预测）已知一次函数y=2x+3的图象经过点P(k,b)，则关于x的一次函数y=kx+b
（k,b为常数，且k≠0）的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·吉林长春·校考模拟预测）一块直角三角尺ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0,√3)，直角顶
k
点C的坐标为(−4,0)，∠B=30°，反比例函数y= 过点B，则k的值为（ ）
x
A．−4√3 B．−7√3 C．−21√3 D．−28√3
6．（2023·四川成都·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，与y
1 1
轴交于点C，OA=OC，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②a+ b+ c=0；③
2 4
ac+b+1=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·广东清远·统考三模）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−2，抛物线与x轴的一个交点
在点(−4，0)和点(−3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论①4a−b=0；②a−b+c>0；③关于
x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根；④当x>−2时，y随x增大而增大；⑤abc>0；⑥y的最小
值为3．其中正确的个数是（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（2023·广东茂名·统考二模）已知函数y=x2−2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的
取值范围是（ ）
A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≤2
9．（2023·四川广安·统考一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，已知关于x的方程
ax2+bx+c=0的一个根为x =7，则另一个根x 为 ．
1 2
10．（2023·四川广安·统考一模）已知二次函数y=x2−2tx+3的图象上两点A(m,h)，B(n,h)，且满足
1
−8≤m+n≤−6．当−4≤x≤−2时，该函数的最大值为2t+ ，则t的值为 ．
2
11．（2023·广东佛山·佛山市南海区里水镇里水初级中学校考三模）如图，以平行四边形ABCO的顶点O
为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是(2,4),(3,0)，过点A的反
k
比例函数y= 的图象交BC于D．
x
(1)点B的坐标为______．
(2)点D是BC的中点吗？请说明理由；
(3)连接AD，求四边形AOCD的面积．
12．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点
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A(0,3)，点B(−1,1)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当−3≤x≤3时，求二次函数y=−x2+bx+c的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为−3m−2．已知
点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而增大．
①求m的取值范围；
②当PQ<14时，直接写出线段PQ与二次函数y=−x2+bx+c ( − 1 ≤x<3 ) 的图象交点个数及对应的m的
2
取值范围．
57
