文档内容
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专题 04 三角形的性质与判定
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 三角形的基础
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 三角形的三边关系
题型02 与三角形有关线段的综合问题
题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题
题型04 三角形内角和与外角和定理的实际应用
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
考点二 特殊三角形的性质与判定
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 线段垂直平分线的性质与判定
题型02 角平分线的性质与判定
题型03 等腰三角形的性质与判定
题型04 等边三角形的性质与判定
题型05 直角三角形的性质与判定
题型06 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题
题型07 与三角形有关的折叠问题
题型08 赵爽弦图
题型09利用勾股定理解决实际问题
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
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考点要求 命题预测
三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，所以在中考中考察的几率
三角形的基础 比较大.在考察题型上，三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边
关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等.特殊三角形的性质与判定也是考
查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结
的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大.直角三角形的出题类型可以是选择
特殊三角形的性质与
填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几
判定
何背景进行拓展延伸.
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考点一 三角形的基础
题型01 三角形的三边关系
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
【解题技巧】
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
1．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则√(m−3) 2+√(m−7) 2等于（ ）
A．2m−10 B．10−2m C．10 D．4
2．（2020·甘肃天水·统考中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0
的根，则该三角形的周长为 ．
3．（2022·河北·统考中考真题）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形
（如图），则d可能是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
4．（2023·河北·中考真题）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．
当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
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题型02 与三角形有关线段的综合问题
三角形有关的线段的性质：
高（AD） 中线（AD） 角平分线（AD） 中位线（DE）
BD=CD
AD=DB AE=EC
1
∠ADB=∠ADC=90° S △ABD =S △ADC ∠BAD=∠DAC= ∠BAC
2 1
DE= BC DE∥BC
2
C −C =AC−AB
∆ACD ∆ABD
1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之
间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．
2. 常见三角形的高：
3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.
1．（2023·安徽·中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算
三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个
1( AB2−AC2 )
结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD= BC+ ．当AB=7,BC=6，AC=5时，
2 BC
CD= ．
2．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若
BD
BF=3FE，则 = ．
DC
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3．（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得
AB BD
= ，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信
AC CD
息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC
边上的中线长l的取值范围是
4．（2022·上海·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，
AD DE AE
= ，则 = ．
AB BC AC
5．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l ∥l ，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等．理由如下：
1 1
设l 与l 之间的距离为h，则S = BC⋅h，S = BC⋅h．
1 2 △ABC 2 △DBC 2
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∴S =S ．
△ABC △DBC
【探究】
S h
(1)如图②，当点D在l ，l 之间时，设点A，D到直线l 的距离分别为h，h'，则 △ABC = ．
1 2 2 S h'
△DBC
证明：∵S
△ABC
S AM
(2)如图③，当点D在l ，l 之间时，连接AD并延长交l 于点M，则 △ABC = ．
1 2 2 S DM
△DBC
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
AE AM
∴ = ．
DF DM
S
由【探究】（1）可知 △ABC = ，
S
△DBC
S AM
∴ △ABC = ．
S DM
△DBC
(3)如图④，当点D在l 下方时，连接AD交l 于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
2 2
S
△ABC
的值为 ．
S
△DBC
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题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三角形中角度计算的6种常考模型：
A字模型 8字模型 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型（一）
∠1+∠2=∠A+180° ∠A+∠B=∠C+∠D ∠C=∠A+∠B+∠D ∠A+∠O=∠1+∠2
老鹰抓小鸡模型（二） 双角平分线模型（一） 双角平分线模型（二） 双角平分线模型（三）
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∠A+∠O=∠2-∠1 1 1 1
∠D=90°+ ∠A ∠D=90°- ∠A ∠E= ∠A
2 2 2
三角形折叠模型（一） 三角形折叠模型（二） 三角形折叠模型（三）
A
C'
E
2
B F C
∠2=2∠C 1 1
2∠C=∠1+∠2或 ∠C= 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=
2 2
（∠1+∠2） （∠2-∠1）
1．（2019·辽宁铁岭·统考中考真题）如图，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，
连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．45° B．50° C．55° D．80°
2．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),
得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）
A．80° B．85° C．90° D．95°
3．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得
到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是
（用含α的代数式表示）（ ）
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1 1 3 3
A．90°+ α B．90°− α C．180°− α D． α
2 2 2 2
4．（2023·四川达州·中考真题）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°则∠B=
（ ）
A．52° B．50° C．45° D．25°
5．（2021·辽宁本溪·中考真题）一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（ ）
A．80° B．95° C．100° D．110°
6．（2020·浙江绍兴·中考真题）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺
时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则
∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
7．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，
∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将
△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线C A'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的
度数为 ．
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8．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于
点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记
∠BCD=α．
(1)如图，当P与E重合时，求α的度数．
(2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系．
题型04 三角形内角和与外角和定理的实际应用
1．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一
边的D处同时施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，则C，D两点的距离是
m．
2．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF
方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF= ．
3．（2021·河北·统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，
∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填
“增加”或“减少”） 度．
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4．（2023·四川自贡·中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正
多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2023·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠≝=120°，DE与地面平行，
∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70° B．65° C．60° D．50°
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形.
三角形的表示：用符号“Δ”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.
三角形的分类：
1 ） 三 角 形 按 边 分 类 ： 三 角 形
{三 边 都 不 相 等 的 三 角 形
{等边三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的 等腰三 角 形
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{直角三角形
2）三角形按角分类：三角形 {锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.
1. 三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排.
即 ∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形.
2. 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形.
3. 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边
形就具有稳定性了.
一、单选题
1．（2022·河北保定·校考一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）在△ABC中，AC=7，BC=4，M是AB上的一点，若△ACM的周
长比△BCM的周长大3，根据下列尺规作图痕迹可以得到符合条件的CM的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，已知△ABC中，根据尺规作图痕迹及图上数据，则线段BC的长可
能为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．10
4．（2021·山西吕梁·统考二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下
四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）
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A． B． C． D．
5．（2022·河北邢台·统考二模）老师布置的作业中有这么一道题：
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC=3，AD=4．则AB的长不可能是
（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误．乙同学认为
可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决．丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需
构造一个特殊四边形，就可以解决关于三位同学的思考过程，你认为正确的是…（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=26°
，则∠DAC的大小是（ ）
A．20° B．22° C．24° D．26°
7．（2023·山东德州·统考二模）已知a，b，c是三角形的三条边，则|c−a−b|+|c+b−a|的化简结果为
（ ）
A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b−2c
8．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不
在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD=∠A+∠B+∠D；
②若AB=AD,BC=CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB=CD,AD=BC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
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A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题
9．（2023·河北衡水·二模）如图，在△ABC中，点D在BC边上，沿AD将△ABC折叠，使点C与BC边上
的点C'重合，展开后得到折痕a．
（1）折痕a是△ABC的 ；（填“角平分线”“中线”或“高”）
（2）若∠BAC'=15°，则∠C比∠B的度数大 °．
10．（2022·河北邢台·校考三模）如图，AB，BC，CD是某正多边形相邻的三条边，延长AB，DC交于
点P，∠P=120°．
（1）∠PBC的度数为 ；
（2）该多边形为正 边形．
三、解答题
11．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考三模）已知三角形的两边长分别是1、2，第三边为整数
且为不等式组¿的解，求这个三角形的周长．
12．（2022·陕西渭南·统考三模）如图，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，请用尺规作图法在AC上求
作一点D，使得∠ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）
13．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=2α，BD平分∠ABC交AC
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于点E，点F是ED上一点且∠EAF=α．
(1)求∠AFB的大小（用含α的式子表示）；
(2)连接FC，用等式表示线段FC与FA的数量关系，并证明．
14．（2023·江西上饶·统考模拟预测）如图，在下列10×10的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C均
在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，在AB边上找一点P，连接PC，使S =S ；
△APC △BPC
2
(2)在图2中，在边AB上找一点Q，连接QC，使S = S ．
△AQC 5 △BQC
考点二 特殊三角形的性质与判定
题型01 线段垂直平分线的性质与判定
垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的
中垂线）.
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
1
1．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC长为半径
2
画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，
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BC=6，则△ABD的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是
（ ）
1
A．AF=BF B．AE= AC
2
C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC
3．（2020·江西·统考中考真题）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若
∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为 ．
4．（2020·湖南·中考真题）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作
Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC
与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
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题型02角平分线的性质与判定
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不
能得到线段相等.
1．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以点B为圆心，适
1
当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，
2
两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为 ．
2．（2022·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//
AB，交AC于点E，DF⊥ AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9
3（2022·江苏无锡·中考真题）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，
∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
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A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
4．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分
线交AC于点F，作DE⊥ AC，则△≝¿周长为 ．
5．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知
角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在OA
和OB上分别取点C和D，使得OC=OD，连接CD，以CD为边作等边三角形CDE，则OE就是∠AOB的
平分线．
请写出OE平分∠AOB的依据：____________；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：△CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可．他查阅资料：
我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动
角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC是∠AOB的平分线，请说明
此做法的理由；
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拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路AB和AC，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要
在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的
距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对
应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
题型03 等腰三角形的性质与判定
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等
边”）.
1. 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶
角还是底角，需要分类讨论.
2. 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45°.
3. 等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴．
4. 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．
b
5. 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 0)的图象上，点B在x轴正半轴上，若
x
△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为 ．
3．（2023·北京·统考中考真题）在△ABC中、∠B=∠C=α(0°<α<45°)，AM⊥BC于点M，D是线
段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
(1)如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
(2)如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出
∠AEF的大小，并证明．
4．（2022·新疆·中考真题）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是
线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接BE．
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(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
5．（2022·安徽·中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点
E，连接DE．
(1)如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
题型04 等边三角形的性质与判定
等边三角形的性质：1）等边三角形的三条边相等.
2）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
等边三角形的判定：1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形.
2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1. 等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
2. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．
4. 在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．
5. 等腰(等边)三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高重合．
√3
6. 等边三角形面积的求解方法：S 正三角形 = 边长2
4
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1．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，已知∠ABC=60°，点D为BA边上一点，BD=10，点O为线
段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则BE的长是（ ）
A．5 B．5√2 C．5√3 D．5√5
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以
看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若
AB=27厘米，则这个正六边形的周长为 厘米．
3．（2022·黑龙江·统考中考真题）△ABC和△ADE都是等边三角形．
(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有
PA+PB=PC（或PA+PC=PB）成立；请证明．
(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之
间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之
间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
4．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线
BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
【问题解决】
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（1）如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；
【类比探究】
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明
理由．
5．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，延长BC
AF
至点E，使DE=DB，延长ED交AB于点F，探究 的值．
AB
AF
(1)先将问题特殊化．如图（2），当∠BAC=60°时，直接写出 的值；
AB
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
CG 1
问题拓展：如图（3），在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，G是边BC上一点， = (n<2)，延
BC n
AF
长BC至点E，使DE=DG，延长ED交AB于点F．直接写出 的值（用含n的式子表示）．
AB
6．（2022·山东临沂·中考真题）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长
线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．
(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
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题型05 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形.
1 1
面积公式：S= ab= cm (其中：c为斜边上的高，m为斜边长)
2 2
m
b
c
a
1．（2022·浙江金华·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把
△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
2．（2023·山东·中考真题）△ABC的三边长a，b，c满足(a−b) 2+√2a−b−3+|c−3√2|=0，则
△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2023·河北·中考真题）在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B'=30°，AB=A'B'=6，AC=A'C'=4．
已知∠C=n°，则∠C'=（ ）
A．30° B．n° C．n°或180°−n° D．30°或150°
4．（2022·甘肃兰州·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接
OE，∠ABC=60°，BD=4√3，则OE=（ ）
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A．4 B．2√3 C．2 D．√3
5．（2020·广东·中考真题）已知关于x，y的方程组¿与¿的解相同．
（1）求a，b的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b=0的解．试判断该三
角形的形状，并说明理由．
题型06 勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题
1）因为正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之
间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1,然后应用勾股定理来进行计算.
2）网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形(或
正方形)的面积减去直角三角形面积.
1．（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在
格点上，AC与BD相交于点E，连接AB,CD，则△ABE与△CDE的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
2．（2022·四川广元·中考真题）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都
在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（ ）
√3 2√5 2 √5
A． B． C． D．
5 5 5 5
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3．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及∠DPF的
一边上的点E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段EF的长等于 ；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD,PF上，满足∠MBN=90°且BM=BN．请用无刻度的直尺，在如图所
示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．
4．（2023·广东·中考真题）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
(1)直接写出纸板上∠ABC与纸盒上∠A B C 的大小关系；
1 1 1
(2)证明（1）中你发现的结论．
5．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线
段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、
直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
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题型07 与三角形有关的折叠问题
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：
1）运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；
2）在图形中找到一个直角三角形（选不以折痕为边的直角三角形），然后设图形中某一线段的长为x，将
此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；
3）利用勾股定理列方程求出x；
4）进行相关计算解决问题.
1．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D，E
分别在AB，BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点B'恰好落在AB上，连接CB'，若CB'=BB'，
则AD的长为 ．
3．（2021·四川凉山·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°,AC=8,BC=6，将△ADE沿DE翻折，
使点A与点B重合，则CE的长为（ ）
19 25 7
A． B．2 C． D．
8 4 4
3．（2021·河南·中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1．第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在A'处，
如图2，第二步，将纸片沿C A'折叠，点D落在D'处，如图3．当点D'恰好在原直角三角形纸片的边上时，
线段A'D'的长为 ．
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4．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2√2，AC=6，点E在线段
AC上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形
FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF= ．
题型08 赵爽弦图
A E D
赵爽弦图的几何意义：
c
1）证明勾股定理：c2=a2+b2 b L
I H
2) IJ=b-a F
a
K
J
3）S正方形EFGH = c2 = a2+b2 , S正方形IJKL=(b-a) 2
B G C
4）S阴影 = S正方形EFGH - S正方形IJKL =2ab
1．（2022·四川宜宾·中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方
形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方
形的面积为 ．
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2．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵
爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，
b2 a2
连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则 + = ．
a2 b2
3．（2023·湖北鄂州·中考真题）2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的
第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽
弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（Rt△AHB≌Rt△BEC≌Rt△CFD≌Rt△DGA）拼成“赵爽
弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接AC和EG，AC与DF、EG、BH分别相交于点P、
OP
O、Q，若BE:EQ=3:2，则 的值是 ．
OE
4．（2021·贵州贵阳·中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国
古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，
作FG⊥HP，将它分成4份．所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若
AC=12,BC=5，求EF的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向
外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形
A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d．已知∠1=∠2=∠3=α，当角α(0°<α<90°)变化时，探究b与c的
关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．
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5．（2020·湖北孝感·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，
这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条
线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S ，空白部分的面积为S ，大正方形的边长为m，小正方形
1 2
n
的边长为n，若S =S ，则 的值为 ．
1 2 m
6．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a−3ab−4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=(2a−3ab)−(4−6b)=a(2−3b)−2(2−3b)=(2−3b)(a−2)
解法二：原式=(2a−4)−(3ab−6b)=2(a−2)−3b(a−2)=(a−2)(2−3b)
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等
的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和
b(a>b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，
再求值．
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题型09利用勾股定理解决实际问题
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1)将实际问题转化为数学问题；
2)明确已知条件及结论；
3)利用勾股定理解答，并确定实际问题的答案.
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的
底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一
条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
v
A．30 cm B．30√3 cm C．60 cm D．20π cm
2．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底
4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，
则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）
3．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方
向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
4．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC−A B C 中，
1 1 1
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AB=2√3,A A =2，点M为AC的中点，一只小虫从B 沿三棱柱ABC−A B C 的表面爬行到M处，则
1 1 1 1 1
小虫爬行的最短路程等于 ．
5．（2021·广西玉林·中考真题）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各
自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，
且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行．
6（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点A是数轴上表示实数a的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的√2的点P；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较√2和a的大小，并说明理由．
勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
变式：a2=c2−b2，b2=c2−a2，c=√a2+b2,a=√c2−b2,b=√c2−b2.
勾股定理的证明方法（常见）：
1
方法一（图一）：4S +S =S ，4× ab+(b−a) 2=c2 ，化简可证．
Δ 正 方形EF正GH 方 形ABCD 2
方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
1
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4× ab+c2=2ab+c2
2
大正方形面积为S=(a+b) 2=a2+2ab+b2，所以a2+b2=c2
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1 1 1
方法三（图三）：S = (a+b)⋅(a+b)，S =2S +S =2⋅ ab+ c2 ，化简得证a2+b2=c2
梯形 2 梯形 ΔADE ΔABE 2 2
D b a A a
C D
a
H
c
c b b
c
E
G
F c
b c c E
b a a a
A c B a b B b C
图一 图二 图三
勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数
时，称a，b，c为一组勾股数.
常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等.
判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c；
2）确定最大的数c；
3）计算较小的两个数的平方a2+b2是否等于c2.
1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定
理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.
2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解
时必须进行分类讨论，以免漏解．
3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆 a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系
式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．
4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数.
勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中
c为斜边.
1. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定
三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2+b2与较长边的平方c2作比较，若它们相
等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2+b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形
2. 定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足
a2+c2=b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边.
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一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点
上，AD为△ABC的高，则AD的长为（ ）
14√10 14√10 7√10 7√10
A． B． C． D．
20 10 20 10
2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将两个相同的含30°角的直角三角形摆放在一起，借助这个图形，
探究Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系，给出下列两种解法：
嘉嘉： 琪琪：
解：∵两个含30°角的直角三角尺相同， 解：∵通过测量可得
∴AB=AD，BC=CD，∴△ABD是等腰三角形， BC=4cm，AB=8cm
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°， BC 4 1
∴ = = ，
∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB， AB 8 2
1 1 1
∵BC= BD，∴BC= AB ∴BC= AB.
2 2 2
下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉的解法对，琪琪的解法不对 B．嘉嘉的解法不对，琪琪的解法对
C．嘉嘉、琪琪的解法都对 D．嘉嘉、琪琪的解法都不对
3．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l与BC交
于点P，且点P到AB的距离为3cm，点Q为AC上任意一点，则PQ的最小值为（ ）
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A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm
4．（2022·湖北荆州·三模）如图，在▱ABCD中，AD=4，BD=8．分别以点A，B为圆心，以大于
1
AB的长为半径画弧，两弧交于点E和点F；作直线EF，交BD于点G，连接GA．若GA与AD恰好垂直，
2
则GA的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
1 AP
5．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，BC⊥ AB,BC= AB,试求 的小数部分（ ）．
2 AB
A．0.118 B．√5−0.5 C．√1.5−0.5√5 D．0.618
6．（2023·湖南株洲·三模）如图，一幅三角板的直角顶点A重合，等腰三角板的腰AD⊥BC于D，则
∠α=（ ）
A．40° B．45° C．60° D．75°
二、填空题
7．（2023·吉林松原·三模）如图，点P为直线l外一点，点A在直线l上，连接PA，以点P为圆心，
PA=bcm长为半径画弧，交直线l于点B．已知线段AB=2cm，上述作法中PA满足的条件为b 1．
（填“>”“<”或“=”）
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8．（2022·广东湛江·三模）如图，OA⊥OB，C，D分别是射线OA，OB上的动点，CD的长始终为8，
点E为CD的中点，则点E的运动路径长为
9．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，点O为△ABC的外心，过点O分别作AB、AC的垂线l 、l ，交BC
1 2
于D、E两点．
（1）若∠DAE=50o，则∠BAC的度数为 ；
（2）过点O作OF⊥BC于点F，BF=5cm，则△ADE的周长为 ．
10．（2023·福建泉州·模拟预测）如图1，第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为
基础进行设计的．现假设可在如图2的弦图区域内随机取点，若正方形ABCD中，AF=4,BF=3，则这
个点落在阴影部分的概率为 ．
11．（2023·河南驻马店·三模）如图，在等边三角形ABC中，AC=4，E为AB的中点，在CB延长线上截
取BD=BE，将△DEB沿BC向右平移，点B的对应点为G，当平移后的△DEG和△ABC重叠部分的面积
1
是△DEG面积的 时，△DEB平移的距离为 ．
4
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三、解答题
12．（2022·厦门市·二模）回顾：用数学的思维思考
(1)如图1，在△ABC中，AB＝AC．
①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．
②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
（从①②两题中选择一题加以证明）
(2)猜想：用数学的眼光观察
经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于
点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：
若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：
如图2，在 ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的
字母），使得BD＝CE，并证明．
△
(3)探究：用数学的语言表达
如图3，在 ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延
长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．
△
13．（2022·辽宁本溪市·二模）综合与实践
问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角
顶点D放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，
AC交于点M，N，猜想证明：
（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理
由；
问题解决：
（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；
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（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．
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