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第 25 讲 特殊四边形-正方形与梯形
目 录
题型01 根据正方形的性质求角度
题型02 根据正方形的性质求线段长
题型03 根据正方形的性质求面积
题型04 根据正方形的性质求坐标
题型05 与正方形有关的折叠问题
题型06 求正方形重叠部分面积
题型07 利用正方形的性质证明
题型08 添加一个条件使四边形是正方形
题型09 证明四边形是正方形
题型10 根据正方形的性质与判定求角度
题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
题型12 根据正方形的性质与判定求面积
题型13 根据正方形的性质与判定证明
题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
题型15 与正方形有关的规律探究问题
题型16 与正方形有关的动点问题
题型17 正方形与反比例函数的综合应用
题型18 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
题型19 正方形与二次函数综合应用
题型20 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
题型21 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
题型22 利用等腰梯形的性质与判定求解
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题型 01 根据正方形的性质求角度
1．（2022·黑龙江绥化·校考模拟预测）如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，
∠PMN=30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD
交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
2．（2023·河北石家庄·统考一模）一个正方形和一个直角三角形的位置如图所示，若∠1=α，则∠2=
（ ）
A．α−45° B．α−90° C．270°−α D．180°−α
3．（2023·江苏南京·统考一模）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形
ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD,ON，则∠DON＝ °．
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题型 02 根据正方形的性质求线段长
4．（2021·山东淄博·统考二模）如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，
点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
5．（2023·山东日照·校考三模）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且
分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ．
6．（2023·内蒙古包头·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，
AE=AF,∠EAF=30°，则∠AEB= °；若△AEF的面积等于1，则AB的值是 ．
题型 03 根据正方形的性质求面积
7．（2023·云南·模拟预测）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面
积是（ ）
A．9 B．6 C．3 D．12
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8．（2021·天津津南·统考一模）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小
李将块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②），已知AB=40cm，
则图中阴影部分的面积为（ ）
100
A．25cm2 B． cm2 C．50cm2 D．75cm2
3
9．（2021·江苏苏州·统考一模）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课
上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其
中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A． B． C． D．
题型 04 根据正方形的性质求坐标
10．（2023·河南周口·校联考一模）如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点M，N分别
在OA，AB上，△CMN是等边三角形，连接AC，交MN于点G．若AM=4，则点G的坐标为（ ）
A．(3,2) B．(2√3,2) C．(2√6,2) D．(√3+2,2)
11．（2023·河南南阳·统考一模）在学习《图形与坐标》的课堂上，老师让同学们自主编题，梅英同学编
的题目是：“已知正方形ABCD（边长自定），请建立适当的平面直角坐标系，确定正方形ABCD各顶点
的坐标”．同桌魏华同学按题目要求建立了平面直角坐标系并正确的写出了正方形各顶点的坐标．若在魏
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华同学建立的平面直角坐标系中，正方形ABCD关于x轴对称，但不关于y轴对称，点A的坐标为(−3,2)，
则点C的坐标为（ ）
A．(3,−2) B．(2,−3) C．(−3,−2) D．(1,−2)
12．（2023·山东临沂·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A点坐标为(0,2)，
E是线段BC上一点，且∠AEB=60°，沿AE折叠后B点落在点F处，那么点F的坐标是 ．
13．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点
A(0,3),B(1,0)，将正方形ABCD沿x轴的负方向平移，使点D恰好落在直线AB上，则平移后点B的坐标
为 ．
题型 05 与正方形有关的折叠问题
14．（2021·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，
∠EFD=60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上点B'处，则BE的长度为（ ）
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A．1 B．√2 C．√3 D．2
15．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿
AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB=6，则DP的长度为 ．
16．（2023·广西·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为10，点G是边CD的中点，点E是边AD上一
动点，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，连接GF．当GF最小时，AE的长是 ．
17．（2022·吉林长春·统考模拟预测）【推理】
如图1，在边长为10的正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，
连接BE，CF，延长CF交AD于点G，BE与CG交于点M．
(1)求证：CE=DG．
【运用】
(2)如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H，若CE=6，求线段DH的长．
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【拓展】
(3)如图3，在【推理】条件下，连接AM，则线段AM的最小值为______．
题型 06 求正方形重叠部分面积
18．（2022·浙江杭州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，分别以该直角三角形的三边为边，
并在直线AB同侧作正方形ABMN，正方形BQPC，正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF
上．其中S ,S ,S ,S ,S 表示相应阴影部分面积，若S ＝1，则S +S +S +S =（ ）
1 2 3 4 5 3 1 2 4 5
3√5
A．2 B．2√3 C．3 D．
2
19．（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形
EFGO绕点O旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积（ ）
1 3
A． B． C．1 D．2
2 4
20．（2022·广东东莞·统考一模）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将
足够大的直角三角板PEF(∠P=90°,∠F=60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，
探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．
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(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的
面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在
旋转过程中，重叠部分的面积S 与S的关系为__________；
1
(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE,OP分别与正方形的边相交于点M，
N．
①如图2，当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；
②如图3，当CM=CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；
(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH（设∠GOH=α），将
∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为
S ，请直接写出S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），
2 2
√6−√2 √6+√2
（参考数据：sin15°= ,cos15°= ,tan15°=2−√3）
4 4
题型 07 利用正方形的性质证明
21．（2023·贵州铜仁·统考一模）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线
交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
(1)求证：△ABE≌△FMN；
(2)若AB=8，AE=6，求ON的长．
22．（2023·云南曲靖·统考一模）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且
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∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．
（1）求证：△AEM≌△ANM．
（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．
23．（2022·北京东城·统考一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（AE>CE），连接
BE，DE．
(1)求证：BE=DE；
(2)过点E作EF⊥AC交BC于点F，延长BC至点G，使得CG=BF，连接DG．
①依题意补全图形；
②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
24．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交
BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
(1)求证：FB2=FE⋅FG；
(2)若AB=6．求FB和EG的长．
题型 08 添加一个条件使四边形是正方形
25．（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交O，添加下列条件不能判
定矩形ABCD是正方形的是（ ）
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A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．∠1=∠2
26．（2022·河南南阳·统考三模）在 ▱ABCD中，已知AC、BD为对角线，现有以下四个条件：①
∠ABC=90°；②AC=BD；③AC⊥BD；④AB=BC．从中选取两个条件，可以判定 ▱ABCD为正方
形的是 ．（写出一组即可）
27．（2020·广东阳江·统考二模）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于
点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需添加的一个条件是 ．
题型 09 证明四边形是正方形
28．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在 ▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的
点，且△ACE是等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
29．（2021·河南南阳·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，BC为⊙O的直径，D为⊙O上任意一
点，连接AD交BC于点F，过A作EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
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（1）求证：BE=CD
（2）填空：①当∠EAB=_______°时，四边形ABDC是正方形
②若四边形ABDC的面积为6，则AD的长为________．
30．（2023·山东青岛·校联考一模）如图，延长平行四边形ABCD的边DC到E，使CE=CD，连结AE交
BC于点F．
(1)求证：△ABF≌△ECF；
(2)若AE=AD，连接BE，当线段OF与BD满足怎样的关系时，四边形ABEC是正方形？请说明理由．
31．（2022·浙江杭州·统考一模）已知：如图，边长为4的菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若
∠CAD=∠DBC．
(1)求证：四边形ABCD是正方形．
(2)E是OB上一点，BE=1，且DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求线段OF的长．
题型 10 根据正方形的性质与判定求角度
32．（2022·山东济南·统考模拟预测）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则
∠CAE的度数为 °．
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33．（2018·陕西·陕西师大附中校考二模）如图，P为正方形ABCD内一点，PA：PB：PC=1：2：3，则
∠APB= .
34．（2022·江西南昌·统考一模）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．
(1)如图1，连接BG、CF，
CF
①求 的值；
BG
②求∠BHC的度数．
(2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN，猜想MN
与BE的数量关系与位置关系，并说明理由．
题型 11 根据正方形的性质与判定求线段长
35．（2022·广东广州·统考二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边
AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则 BPQ周长的最小值是（ ）
△
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A．6√2+2 B．2√19+2 C．8 D．4√5+2
36．（2022·天津东丽·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆
时针方向旋转90°得到 ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝ ．
△
37．（2022·安徽合肥·统考二模）已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，且∠BAD=90°，连接AC、
BD交于点O．
OD
①若AB＝BC，则 = ；
OB
OD
②若AB＝AC，则 = ．
OB
38．（2022·北京·二模）如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠B=90°，过点D作DE⊥AB于E，若
DE=BE．
（1）求证：DA=DC；
（2）连接AC交DE于点F，若∠ADE=30°,AD=6，求DF的长．
题型 12 根据正方形的性质与判定求面积
39．（2020·河北唐山·统考模拟预测）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块B型瓷砖（黑色三角
形）不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为（
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）
A．√2:1 B．3:2 C．√3:1 D．√2:2
40．（2022·浙江舟山·校考一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形
ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点
M，MN分别交BE，DG于点H、P，若NP=HP，NF=1，则四边形ABMN的面积为（ ）
A．3 B．2.5 C．3.5 D．√5
41．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点P是BC上一点，BD⊥AP
交AP延长线于点D，连接CD．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，S −S =32），则
△ACP △PBD
CD= ．
42．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知正方形ABCD的边长为4，E是CD上一个动点，以点E为直角顶点，
在正方形外侧等腰直角三角形CEF，连结BF、BD、FD．
（1）BD与CF的位置关系是__________．
（2）①如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为_________．
②如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF的面积为________．
③如图3，当CE=3时，△BDF的面积为_______．
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（3）如图4，根据上述计算的结果，当E是CD上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的
面积之间关系的猜想，并证明你的猜想．
题型 13 根据正方形的性质与判定证明
43．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上， BEF是以E为直角顶
点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的△延长线于点G．连接
DF，请完成下列问题：
（1）∠FDG= °；
（2）若DE=1，DF=2√2，则MN= ．
44．（2020·河南南阳·统考一模）（1）在正方形ABCD中，G是CD边上的一个动点（不与C、D重合），
以CG为边在正方形ABCD外作一个正方形CEFG，连结BG、DE，如图①．直接写出线段BG、DE的关
系 ；
（2）将图①中的正方形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度α，如图②，试判断（1）中的结论是否
成立？若成立，直接写出结论，若不成立，说明理由；
（3）将（1）中的正方形都改为矩形，如图③，再将矩形CEFG绕点C按顺时针方向旋转任意角度α，如
图④，若AB=a，BC=b；CE =ka，CG=kb，(a≠b)试判断（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
45．（2021·江苏盐城·统考二模）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB' ，记旋转角为α．连
接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB',CE，
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BB'
(1)如图1，当α=60°时，ΔDEB'的形状为 ，连接BD，可求出 的值为 ；
CE
(2)当0°<α<360°且α≠90°时，
①(1)中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
BE
②当以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出 的值．
B'E
46．（2022·湖南长沙·校考一模）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝
90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，
DN，将Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为____________________；
（2）如图2，当0°<α<45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明
理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5√2时，
连结GN，请直接写出GN的长．
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题型 14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
47．（2022·广东河源·统考二模）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点O是对角线AC的中点，点Q是
线段OA上的动点（点Q不与点O，A重合），连接BQ，并延长交边AD于点E，过点Q作FQ⊥BQ交
CD于点F，分别连接BF与EF，BF交对角线AC于点G．过点C作CH∥QF交BE于点H，连接AH．有
以下四个结论：①BF=√2BQ；②△DEF的周长为12；③线段AH的最小值为2；④2S =S ．其
△BQG △BEF
中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
48．（2023·湖北孝感·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点(点E不与A、
C重合)，过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段GF，连接GA，
GB，GC，下列结论：①EB=EF；②AC⊥GC；③CE+CG=√2CB；④GA+GB的最小值为2√5，
其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
49．（2023·山东德州·统考一模）在边长为4的正方形ABCD中，E是AD边上一动点(不与端点重合)，将
△ABE沿BE翻折，点A落在点H处，直线EH交CD于点F，连接BF，BE，BF分别与AC交于点P、
Q，连接PD，PF．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．
①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=AP+QC；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若连接DH，则
DH的最小值为4√2−4．
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题型 15 与正方形有关的规律探究问题
50．（2023·四川德阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得
到正方形OA B C ，依此方式，绕点O连续旋转2023次得到正方形OA B C ，如果点A的坐标
1 1 1 2023 2023 2023
为(1，0)，那么点B 的坐标为（ ）
2023
A．(1，−1) B．(0，√2) C．(√2，0) D．(−1，1)
51．（2021·广东广州·统考二模）将5个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A ，A ，……，A 分别
1 2 5
是正方形的中心，则这5个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是 ；若按此规律摆放n个这样
的正方形，则这n个正方形两两重叠（阴影）部分的面积之和是 ．
52．（2022·湖南株洲·校考二模）正方形A B C O，A B C C ，A B C C ，…按如图的方式放置．
1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2
点A ，A ，A ，…和点C ，C ，C ，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B 的坐标是 ．
1 2 3 1 2 3 2020
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题型 16 与正方形有关的动点问题
53．（2024·上海杨浦·统考一模）如图，已知正方形ABCD，点P是边BC上的一个动点（不与点B、C重
合），点E在DP上，满足AE=AB，延长BE交CD于点F．
(1)求证：∠BED=135∘；
(2)连接CE．
BP
①当CE⊥BF时，求 的值；
PC
②如果△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求∠FBC的正切值．
54．（2023·广东深圳·校考模拟预测）在正方形ABCD中，点E在边BC上，连AE．
√10
(1)如图1，若sin∠EAC= ，AB=4，求EC长；
10
(2)如图2，点F在对角线AC上，满足AF=AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上（不与
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端点重合），连接AH．若∠EAH=45°，求证：BE=DG−HG；
(3)如图3，在（1）的条件下，点G是AD中点，点H是射线CD上的一动点，连GH，将△DGH沿着GH
BP
翻折得到△PGH，连PB交AE于Q，连PA、PD，当 最小时，请直接写出△PAD的面积．
PQ
55．（2023·浙江·一模）如图1，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E是边BC上一动点（不与点B、C
重合）连结DE，点C关于直线DE的对称点为C'，连结AC'并延长交直线DE于点P、F是AC'的中点，
连结DC'、DF．
(1)填空：DC'=________；∠FDP=________．
(2)如图2，将题中条件“∠B=60°”改成“∠B=90°”，其余条件均不变，连结BP，猜想AP、BP、
DP这三条线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．
(3)在（2）的条件下，连结AC．
①若动点E运动到边BC的中点处时，求△ACC'的面积；
②在动点E的整个运动过程中，求△ACC'面积的最大值．
题型 17 正方形与反比例函数的综合应用
56．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y
轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点D的反比例函数的解析式
6
是y=− ，则图像经过点C的反比例函数的解析式是 ．
x
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m n
57．（2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考三模）如图．已知反比例y= 与y= (x>0,00)个单位长度，使过点E的双曲线y= 3与AB交于点P．
x
当△AEP是以AE为腰的等腰三角形时，求m的值．
题型 18 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
60．（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，1），B（0，﹣2），以AB
k
为边在y轴右侧作正方形ABCD，反比例函数y= （k＜0）的图象恰好经过点C．
x
(1)求点C的坐标及反比例函数的表达式；
k
(2)设直线AC与反比例函数y= （k＜0）的图象的另一个交点为M，且点M的横坐标为﹣2．连接MB，求
x
△MBC的面积．
61．（2023·江西上饶·校联考二模）如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点E(0,2)，与反比例函数
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m
y= 的图象交于点A，B(n−2,6)，以线段AB为边在直线AB的右侧作矩形ABCD，使得顶点
x
m
C(12,n−3)恰好落到反比例函数y= (x>0)的图象上．
x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式．
(2)求证：四边形ABCD是正方形．
1 k
62．（2023·山东济南·统考一模）如图，一次函数y= x+1的图象与反比例函数y= (x>0)的图象交于
2 x
点A(a,3)，与y轴交于点B．
(1)求a，k的值；
(2)直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC=AD，连接CB．求△ABC的面积；
(3)以线段AB为对角线做正方形AEBF（如图），点G是线段BF（不与点B、F重合）上的一动点，M是
EG的中点，MN⊥EG交AB于N，当点G在BF上运动时，请直接写出线段MN长度的取值范围．
题型 19 正方形与二次函数综合应用
1
63．（2022·江苏苏州·统考一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=2x2−(1+2c)x+c（c> ，c是常
2
数）的图像与x轴分别交于点A，点B（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接BC．
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(1)证明： BOC是等腰直角三角形；
(2)抛物线△顶点为D，BC与抛物线对称轴交于点E，当四边形AEBD为正方形时，求c的值．
1 5
64．（2020·甘肃兰州·统考一模）如图1，二次函数y=− x2+bx+c的图象过A(5，0)和B(0， )两点，射线
2 2
CE绕点C(0，5)旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．
1
（1）求二次函数y=− x2+bx+c的表达式；
2
（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE的面积；
（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E和点A重合时，正方
形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．
①求点M的坐标；
②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒√2个单位长度平移．设运动时间为t秒．
直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t(0≤t≤4)的函数表达式．
1
65．（2020·江苏常州·统考模拟预测）如图，已知二次函数y= x2+bx的图像经过点A(−4,0)，顶点为B
2
1
一次函数 y= x+2的图像交y轴于点M,P是抛物线上-一点，点M关于直线AP的对称点N恰好落在抛物
2
线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点H）．
（1）求二次函数的表达式；
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（2）求点P的坐标；
（3）若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接OG，点F是线段OG
上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐标．
题型 20 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
66．（2023·广东梅州·校考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
67．（2023·浙江·一模）下列说法正确的是（ ）
A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形
68．（2023·上海杨浦·二模）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
题型 21 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
69．（2023·江苏南通·校考三模）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将
△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到
△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求FG的长．
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（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°．将△ADE沿AE
翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
70．（2023·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）（1）【探究发现】如图①，已知四边形ABCD
是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线
与BC的延长线交于点F，连接BD'，D'E．
①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充
完整．
证明：延长BE交DF于点G．
②进一步探究发现，当点D'与点F重合时，∠CDF= ．
（2）【类比迁移】如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称
点D，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD，CD，DE．当CD⊥DF，AB=2，BC=3时，
求CD'的长；
（3）【拓展应用】如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD=2√3，AC＝4，点F为线段BD上一动点，
将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果
DF=EF，请直接写出此时OF的长．
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71．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）综合与实践：过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上
一点，连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ=α，连接BQ．
【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α=90°，无论点P在何处，
总有BQ=DP，请证明这个结论．
【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB=α=60°，∠MAD=15°，连接PQ．当
PQ⊥BQ，AB=√6+√2时，求AP的长．
【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，AM平分∠DAC，α=90°．在射线
4
AQ上截取AR，使得AR= AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．
3
72．（2023·山西吕梁·统考三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是矩形，分别以AD，CD为边，在矩形
ABCD外侧作正方形ADEF和CDMN（点B，A，F在同一直线上，点B，C，N在同一直线上）．连接
FN，取FN的中点P，连接BP．
1
求证：BP⊥FN，BP= FN．
2
解决问题：
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(1)请你解答老师提出的问题．
数学思考：
(2)受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形ABCD是平行四边形
(∠DAB≠90°)，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．
(3)“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形ABCD是菱形，分别以AD，CD为边，在菱形外侧作正方形
ADEF和CDMN．连接BD并延长，交FN于点P．若∠DAB=30°，FN=6，求BD的长．请你思考该问
题，并直接写出结果．
题型 22 利用等腰梯形的性质与判定求解
73．（2022·上海杨浦·统考二模）已知：如图，矩形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，点E、F
分别是线段OC、OD的中点，联结AF、BE．
(1)求证：四边形ABEF是等腰梯形；
(2)过点O作OM⊥AB，垂足为点M，联结ME，如果∠OME=∠BAC，求证：四边形AMEF是菱形．
74．（2022·广东广州·广州大学附属中学校考一模）如图，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝
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4，BC＝6，AD＝8．点P、Q同时从A点出发，分别做匀速运动．其中点P沿AB、BC向终点C运动，速
度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个位、当这两点中有一个点到达自己的终点
时，另一个点也停止运动，设这两点从出发运动了t秒．
(1)当点P，S分别为AB和CD中点时（如图一），连接PS，称PS为梯形的中位线．试判断PS与BC，AD
的关系，并证明．
(2)当0＜t＜2时，求证：以PQ为直径的圆与AD相切（如图二）；
(3)以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明由．
75．（2022·上海金山·统考二模）如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，
2
tan∠DCE= ．
3
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
76．（2021·上海崇明·统考二模）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E在下底BC上，
∠AED＝∠B．
（1）求证：CE•AD＝DE2；
CE AB2
（2）求证： = ．
AD AE2
77．（2022·吉林四平·统考二模）【阅读理解】如图1，l //l ，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？
1 2
为什么？
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解：相等，在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l ，DF⊥l ，垂足分别为E，F．
2 2
∴∠AEF=∠DFC=90°，
∴AE//DF．
∵l //l ，
1 2
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF．
1 1
又S = BC⋅AE，S = BC⋅DF，
△ABC 2 △DBC 2
∴S =S ．
△ABC △DBC
【类比探究】问题①，如图2，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求
△ADE的面积．
解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．
请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】问题②，如图3，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，
AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．
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一、单选题
1．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，
EF，∠EAF=45°．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ）
A．2α B．90°−2α C．45°−α D．90°−α
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4，动点M，N分别从点A，
B同时出发，沿射线AB，射线BC的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M
运动的路程为x(0≤x≤4)，△DMN的面积为S，下列图像中能反映S与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点，延长CB至点F，使
BF=DE，连结AE,AF,EF，EF交AB于点K，过点A作AG⊥EF，垂足为点H，交CF于点G，连结
HD，HC．下列四个结论：①AH=HC；②HD=CD；③∠FAB=∠DHE；④AK⋅HD=√2H E2．
其中正确结论的个数为（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边在AB的同侧作
S
三个正方形，点F在GH上，CG与EF交于点P，CM与BE交于点Q．若HF=FG，则 四边形PCQE 的值是
S
正方形ABEF
（ ）
1 1 √3 6
A． B． C． D．
4 5 12 25
1
5．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是边长为 的正方形，曲线DA B C D A ⋯
2 1 1 1 1 2
是由多段90°的圆心角的圆心为C，半径为CB ；C ´D 的圆心为D，半径为
1 1 1
⏜
DC ⋯,D´A 、A´B 、B´C 、C ´D ⋯的圆心依次为A、B、C、D循环，则A B 的长是
1 1 1 1 1 1 1 1
2023 2023
（ ）
4045π 2023π
A． B．2023π C． D．2022π
2 4
6．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,BC上的动点，且
AF⊥DE，垂足为G，将△ABF沿AF翻折，得到△AMF,AM交DE于点P，对角线BD交AF于点H，
连接HM,CM,DM,BM，下列结论正确的是：①AF=DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，则四边形
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BHMF是菱形；④当点E运动到AB的中点，tan∠BHF=2√2；⑤EP⋅DH=2AG⋅BH．（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
7．（2023·上海·统考中考真题）已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB=a,CD=b．
下列两个说法：
√2 √2
①AC= (a+b)；②AD= √a2+b2
2 2
则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
8．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE
一边作正方形DEFG.设DE=d，点F、G与点C的距离分别为d，d，则d＋d＋d 的最小值为( )
1 2 3 1 2 3
A．√2 B．2 C．2√2 D．4
二、填空题
9．（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，
M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
10．（2023·天津·统考中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰三角形ADE，
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5
EA=ED= ．
2
（1）△ADE的面积为 ；
（2）若F为BE的中点，连接AF并延长，与CD相交于点G，则AG的长为 ．
11．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC
上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比
为3∶5，那么线段FC的长为 ．
12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC
AP
上的动点，当PE+PF取得最小值时， 的值是 ．
PC
13．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别
绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则b−a=
．
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14．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=√3x−√3与x轴交于点A ，
1
以OA 为边作正方形A B C O点C 在y轴上，延长C B 交直线l于点A ，以C A 为边作正方形
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
A B C C ，点C 在y轴上，以同样的方式依次作正方形A B C C ，…，正方形A B C C ，
2 2 2 1 2 3 3 3 2 2023 2023 2023 2022
则点B 的横坐标是 ．
2023
15．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方
k
形OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
16．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，
使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是 （写出一个条件即可）．
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17．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、
△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：
①四边形ADFE是平行四边形；
②当∠BAC=150°时，四边形ADFE是矩形；
③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形；
④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形．
其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）．
三、解答题
18．（2023·山东·统考中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，
AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使
CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，
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求CF的长．
19．（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活
动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B
顺时针旋转．
特例感知：
（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发
现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，
请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，
△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
20．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不
重合），¿⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足．连接EF,AG，并延长AG交EF于点H．
(1)求证：∠DAG=∠EGH．
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
21．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图， ▱ABCD的对角线AC,BD交于点O，分别以点B,C为圆心，
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1 1
AC, BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP,CP．
2 2
(1)试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
(2)请说明当 ▱ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
22．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点
F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，
DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数
量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边
AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，
BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
23．（2022·河南·统考中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
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(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说
明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
24．（2022·浙江台州·统考中考真题）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图
4
2，在正方形ABCD各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使AB =BC =CD =DA = AB，依次连接它
1 1 1 1 1 1 1 1 5
们，得到四边形A B C D ；再在四边形A B C D 各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4
A B =B C =C D =D A = A B ，依次连接它们，得到四边形A B C D ；…如此继续下去，得到
1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 1 2 2 2 2
四条螺旋折线．
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图1
(1)求证：四边形A B C D 是正方形；
1 1 1 1
A B
(2)求 1 1的值；
AB
(3)请研究螺旋折线BB B B …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
1 2 3
25．（2022·湖北随州·统考中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发
展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，
利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下
面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd
公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
公式③：(a−b) 2=a2−2ab+b2
公式④：(a+b) 2=a2+2ab+b2
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的方法，如图5，请写出
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证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点
重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记
△BFG与△CEG的面积之和为S ，△ABD与△AEH的面积之和为S ．
1 2
S
1
①若E为边AC的中点，则 的值为_______；
S
2
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理
由．
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