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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（基础）
撰稿：赵炜 审稿：杜少波
【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法中，正确的是( )．
A．等腰梯形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线相等
C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形的对角线互相垂直且相等
2．如图，在 中， 于 且 是一元二次方程x2+x-2=0
的根，则 的周长为（ ）.
A． 4+ B．4+ C．8+ D．2+
3.如图（1），把一个长为 、宽为 的长方形（ ）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角
去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）.
A． B． C． D．
4.（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂
直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图
形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形
镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有( ).
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④都可以
6. （2012•通辽）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上
的点A′处，若∠A′BC＝15°，则∠A′BD的度数为（ ）．
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
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第6题
二、填空题
7.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状，并使面积为矩形面积的一半，则这个平行四
边形的一个最小内角是______度.
8. 矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为_________平方单位．
9.（2012•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若
△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．
10.如图，点 ， 是正方形 的两个顶点，以它的对角线 为一边作正方形 ，
以正方形 的对角线 为一边作正方形 ，以正方形 的对角线 为一边作
正方形 ，…，依次进行下去，则点 的坐标是__________________.
11.如图，若△ABC的边AB=3，AC=2，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示以AB、AC、BC为边的正方形，则图中三个阴影部分
面积之和的最大值为________.
12.如图,菱形ABCD的对角线的长分别为 2和5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且
PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是________________.
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三、解答题
13. 如图，过正方形ABCD的顶点作 ，且作 ，又 ．
求证： ．
14. (2012•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交
BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．
15.（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD
于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
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16（2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随
着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出
结论不必证明）；
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如
果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时
PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】D．
2．【答案】B.
【解析】解方程x2+x-2=0得：x=-2，x=1，
1 2
∵AE=EB=EC=a，a是一元二次方程x2+x-2=0的一个根，
∴a=1，
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即AE=BE=CE=1，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴由勾股定理得：AB= ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD= ，AD=BC=1+1=2，
∴平行四边形ABCD的周长是2（2+ ）=4+2 ，故选B．
3．【答案】A.
4．【答案】B．
【解析】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边
形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），
故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，
故该命题正确；
④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；所以正确的命题个数为2个，
故选B．
5．【答案】C.
6．【答案】D.
【解析】∵梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，
∴∠C=90°，∵∠A′BC=15°，
∴∠DA′B=∠A′BC+∠C=15°+90°=105°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DA′B=105°，∠ABD=∠A′BD，
∵AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠A=75°，∴∠A′BD= 30°．
二．填空题
7．【答案】30.
8．【答案】64.
9．【答案】20.
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．
故答案为：20．
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10．【答案】 .
11.【答案】9.
【解析】把△CFH绕点C顺时针旋转90°，使CF与BC重合，H旋转到H'的位置，根据旋转的性质和正方
形的性质有A、C、H'在一直线上，且BC为△ABH'的中线，得到S =S '=S ，
△CHF △BCH △ABC
同理：S =S =S ，所以S =3S =3× AB×AC×sin∠BAC，即当AB⊥AC时，
△BDG △AEM △ABC 阴影部分面积 △ABC
S 最大值为： ×2×3=3，即可得到三个阴影部分的面积之和的最大值．
△ABC
12．【答案】2.5
【解析】易证四边形AEPF也是菱形，△PEF与△AEP同底等高，所以，S =S ，S =S =菱形面积
△PEF △AEP 阴影 △ABC
的一半，菱形面积=对角线乘积的一半= =5，所以S =2.5.
阴影
三.综合题
13．【解析】提示：易证菱形AEFC，∠AEB=∠ACF,
设正方形边长为1，则 ， ，
做CG⊥AC,BG∥AC，即得等腰Rt△CBG,
等腰Rt△CBG中 ，故∠CFG=30°
∴ ∠ACF=30°，∠FCB=15°
∴
14．【解析】 （1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；
又∵AM丄BC（已知），
∴AM⊥AD；
∵CN丄AD（已知），
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），
在△ADE和△CBF中，
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，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分，
∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），
∴AC与BD互相垂直平分，
∴ ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），
▱
∴AB=BC（菱形的邻边相等）；
∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），
∴△ABM≌△CAM，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；
在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF= ，
又∵AE=CF，AB=BC，
∴AB：AE= ．
15.【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）证明：如图，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF= BC，
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∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵ ，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵ ，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．
16.【解析】（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．
（2）解：（1）中的结论成立．
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又 PC=PC，
∴△PDC≌△PBC，∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC=∠PBC．（7分）
又∵PE=PD，∴∠PDE=∠PED．
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，
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∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，
∴PE⊥PB．
（3）解：如图所示：
结论：①PE=PB，②PE⊥PB．
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