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让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：四边形综合复习--巩固练习（提高）
撰稿：赵炜 审稿：杜少波
【巩固练习】
一、选择题
1．如图，在 中， ， 是 上异于 、 的一点，则 的值
是（ ）．A．16 B．20 C．25 D．30
2. 如图1，在矩形 中，动点 从点 出发，沿 → → → 方向运动至点 处停止．设
点 运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图2所示，则当
时，点 应运动到（ ）. A． 处 B． 处 C． 处 D． 处
3．（2012•孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，
CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S = AB2其中正确的结论有
△ABD
（ ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过
任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线
将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（
）.A. 2004 B. 2005 C. 2006 D. 2007
5．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是 .若反比例函数
的图象经过点B，则此反比例函数表达式为（ ）.
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A． B． C． D．
A D
Q
M
B C
R
第5题 第6题
6. 如图,正方形ABCD的边长为2，将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果
Q点从A点出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按
B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（ ）．
A．2 B．4π C．π D．π1
二、填空题
7. 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直
时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．
第7题 第8题
8. 如图，在等腰梯形 中， ， = 4 = ， =45°．直角三角板含45°角
的顶点 在边 上移动，一直角边始终经过点 ，斜边与 交于点 ．若 为等腰三角
形，则 的长等于____________．
9.（2012•锦州）如图，正方形ABBC，ABBC，ABBC，…，ABB C，按如图所示放置，使点A、A、A、
1 1 2 1 2 2 3 2 3 3 4 3 n n n+1 n 1 2 3
A 、A 在射线OA上，点B、B、B、B 、B 在射线OB上．若∠AOB=45°，OB=1，图中阴影部分三角形的面
4、… n 1 2 3 4、… n 1
积由小到大依次记作S，S，S，…，S，则S=________________-
1 2 3 n n
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．
第9题 第10题
10.（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点
O，连接OC，已知AC=5，OC=6 ，则另一直角边BC的长为 ．
11.（2012•天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点
C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为 ．
第11题 第12题
12.（2012•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD= ，AB=6．在底边AB上取点E，在
射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是______；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是_______.
三、解答题
13.如图，在边长为4cm的正方形ABCD中，点E，F，G，H分别按A⇒B，B⇒C，C⇒D，D⇒A的方向同时出发，
以1cm/s的速度匀速运动．在运动过程中，设四边形EFGH的面积为S（cm2），运动时间为t（s）．
（1）试证明四边形EFGH是正方形；
（2）写出S关于t的函数关系式，并求运动几秒钟时，面积最小，最小值是多少？
（3）是否存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
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14.如图,在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片还原，使点D与P重合，得
折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点，再将纸片还原。
（1）当x=0时，折痕EF的长为 ；当点与E与A重合时，折痕EF的长为 ；
（2）请求出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出x=2时菱形的边长：
（3）令EF2为y，当点E在AD，点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断△EAP与
△PBF是否相似；若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。
15.如图，在梯形ABCD中， ， ， ， ，点 由B出发沿BD
方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交 于Q，连
接PE．若设运动时间为 （s）（ ）．解答下列问题：
（1）当 为何值时， ？（2）设 的面积为 （cm2），求 与 之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出此时 的值；若不存在，说明理由．
（4）连接 ，在上述运动过程中，五边形 的面积是否发生变化？说明理由．
A E D
Q
P
B C
F
16.已知 ，以AC为边在 外作等腰 ，其中AC=AD.
（1）如图1，若 ，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则 °；
（2）如图2，若 ， 是等边三角形， AB=3，BC=4.求BD的长；
（3）如图3，若 为锐角，作 于H，当 时，
是否成立？若不成立，说明你的理由，若成立，并证明你的结论.
D
D
A D
A
A
B C B C B H C
图1 图2 图3
【答案与解析】
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一．选择题
1．【答案】A．
2．【答案】C.
3．【答案】C．
【解析】①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正
确；
②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG= CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG= CG，故可得
出BG+DG=CG，即②也正确；
③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；
④S = AB•DE= AB•（ BE）= AB• AB= AB2，即④正确．综上可得①②④正确，共3个．
△ABD
4．【答案】B.
根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于
是，剪过k次后，可得(k＋1)个多边形，这些多边形的内角和为(k＋1)×360°．
因为这(k＋1)个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×(62－
2)×180°=34×60×180°，其余多边形有(k＋1)－34= k－33(个)，而这些多边形的内角和不少于(k
－33) ×180°．
所以(k＋1)×360°≥34×60×180°＋(k－33)×180°，解得k≥2005．
当我们按如下方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个
三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪
了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到
33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34个六十二边
形和33×58个三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005（刀）．
5．【答案】C.
【解析】提示：可得A(1,1)，B(1+ ,1).
6．【答案】B.
【解析】根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，
以1为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
而正方形ABCD的面积为2×2=4，4个扇形的面积为4× =π，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4 -π．
二．填空题
7．【答案】17.
【解析】提示：当两张矩形纸条的对角线重合时，矩形纸条的一条对角线也是菱形的对角线，菱形的对角
线有最大值，那么菱形的边长也有最大值。菱形的边长就成为不重叠的两个全等直角三角形的斜边，
此时重叠部分的菱形有最大值.
设菱形边长为x,根据勾股定理，x²=2²+（8-x）², 解得：X=4.25，所以，周长为4×4.25=17.
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8．【答案】 .
9．【答案】 .
【解析】根据正方形性质和等腰直角三角形性质得出 OB=AB=1，求出AC=AC=1，AC=AC=2，
1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2
AC=AC=4，根据三角形的面积公式求出S= ×20×20，S= ×21×21,S= ×22×22，推出S=
3 3 4 3 1 2 3 n
×2n-1×2n-1，求出即可．
10．【答案】7.
【解析】如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6 ，∴CM=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
11.【答案】 ﹣1．
【解析】解：连接AE，BE，DF，CF．
∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，
∴AB=AE=BE，∴△AEB是等边三角形，∴边AB上的高线为： ，
同理：CD边上的高线为： ，
延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，
∵AE=BE，∴点E在AB的垂直平分线上，
同理：点F在DC的垂直平分线上，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴MN⊥AB，MN⊥DC，
设F到AB到距离为x，E到DC的距离为x′，EF=y，
由题意可知：x=x′，则x+y+x=1，
∵x+y= ，∴x=1﹣ ，∴EF=1﹣2x= ﹣1．
12．【答案】6；2或5．
【解析】（1）过E点作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG=3，再根据∠DEG=60°得出∠DEF=
120°，由tan60°= 即可求出GF的长，进而得出结论；
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（2）过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CM⊥AB于F，则BH=AD= ，再由锐角三角函数的定
义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出
△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．
三.综合题
13．【解析】 （1）∵点E，F，G，H在四条边上的运动速度相同，
∴AE=BF=CG=DH，
在正方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
且AB=BC=CD=DA，
∴EB=FC=GD=HA，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=HG（全等三角形的对应边相等），
∠AEH=∠BFE（全等三角形的对应角相等），
∴四边形EFGH是菱形．（四条边相等的四边形是菱形），
又∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠FEH=180°-（∠BEF+∠AEH）=90°，
∴四边形EFGH为正方形．（有一个角是直角的菱形是正方形）．
（2）∵运动时间为t（s），运动速度为1cm/s，
∴AE=tcm，AH=（4-t）cm，
由（1）知四边形EFGH为正方形，
∴S=EH2=AE2+AH2=t2+（4-t）2
即S=2t2-8t+16=2（t-2）2+8，
当t=2秒时，S有最小值，最小值是8cm2；
（3）存在某一时刻t，使四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积比是5：8．
∵S= S ，
正方形ABCD
∴2（t-2）2+8= ×16，∴t=1，t=3；
1 2
当t=1或3时，
四边形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比是5：8．
14．【解析】 （1）∵纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF，
当AP=x=0时，点D与点P重合，即为A，D重合，B，C重合，那么EF=AB=CD=3；
当点E与点A重合时，
∵点D与点P重合是已知条件，
∴∠DEF=∠FEP=45°，
∴∠DFE=45°，
即：ED=DF=1，
利用勾股定理得出EF=
∴折痕EF的长为 ；
（2）∵要使四边形EPFD为菱形，
∴DE=EP=FP=DF，
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只有点E与点A重合时，EF最长为 ，此时x=1，
当EF最短时，即EF=BC，此时x=3，
∴探索出1≤x≤3
当x=2时，如图，连接DE、PF．
∵EF是折痕，
∴DE=PE，设PE=m，则AE=2-m
∵在△ADE中，∠DAE=90°，
∴AD2+AE2=DE2，即12+（2-m）2=m2
解得m= ，此时菱形EPFD的边长为 ．
（3）过E作EH⊥BC；
∵∠OED+∠DOE=90°，∠FEO+∠EOD=90°，
∴∠ODE=∠FEO，
∴△EFH∽△DPA，
∴ ，
∴FH=3x；
∴y=EF2=EH2+FH2=9+9x2；
当F与点C重合时，如图，连接PF；
∵PF=DF=3，
∴PB= =2 ，
∴0≤x≤3-2 ．
15．【解析】 （1）∵PE∥AB，
∴ ．
而DE=t，DP=10-t，
∴ ，
∴t= ，
∴当t= （s），PE∥AB．
（2）∵线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，
∴EF平行且等于CD，
∴四边形CDEF是平行四边形．
∴∠DEQ=∠C，∠DQE=∠BDC．
∵BC=BD=10，
∴△DEQ∽△BCD．
∴ ．
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．
∴EQ= t．
过B作BM⊥CD，交CD于M，过P作PN⊥EF，交EF于N，
∵BC=BD，BM⊥CD，CD=4cm，
∴CM= CD=2cm，
∴BM= = cm，
∵EF∥CD，
∴∠BQF=∠BDC，∠BFG=∠BCD，
又∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BQF=∠BFG，
∵ED∥BC，
∴∠DEQ=∠QFB，
又∵∠EQD=∠BQF，
∴∠DEQ=∠DQE，
∴DE=DQ，
∴ED=DQ=BP=t，
∴PQ=10-2t．
又∵△PNQ∽△BMD，
∴ ．
∴ ．
∴PN=4 (1- )．
∴S = EQ•PN= × t× (1- )= .
△PEQ
（3）S = CD•BM= ×4×4 =8 ，
△BCD
若S = S ，
△PEQ △BCD
则有 = ×8 ，
解得t=1，t=4．
1 2
（4）在△PDE和△FBP中，
∵DE=BP=t，PD=BF=10-t，∠PDE=∠FBP，
∴△PDE≌△FBP（SAS）．
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D
D
A
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E
∴S =S +S S K+S =SA =8 ． B C
五边形PFCDE △PDE 四边形PFCD= △FBP 四边形PFCD △BCD
图2
∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．
B H C
16. 【解析】（1）45；
图3
（2）如图2，以A为顶点AB为边在 外作 =60°，并在AE上取AE=AB，连结BE和CE.
∵ 是等边三角形,
∴AD=AC， =60°.
∵ =60°,
∴ + = + .
即 = .
∴ ≌ .
∴EC=BD.
∵ =60°，AE=AB=3,
∴ 是等边三角形，
∴ =60°, EB= 3，
∵ ,
∴ .
∵ ，EB=3，BC=4,
∴EC=5.
∴BD=5.
（3） =2 成立.
以下证明：
如图３，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连结EA，EC. 并取BE的中点K，连结AK.
∵ 于H，
∴ .
∵BE∥AH,
∴ .
∵ ，BE=2AH,
∴ .
∵ ,
∴EC=BD.
∵K为BE的中点，BE=2AH,
∴BK=AH.
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形.
又∵ ,
∴四边形AKBH为矩形.
∴ .
∴AK是BE的垂直平分线.
∴AB=AE.
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∵AB=AE，EC=BD，AC=AD,
∴ ≌ .
∴ .
∴ .
即 .
∵ ， 为锐角,
∴ .
∵AB=AE,
∴ .
∴ .
∴ =2 .
∴ =2 .
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