文档内容
让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：特殊的四边形—知识讲解（提高）
撰稿：赵炜 审稿：杜少波
【考纲要求】
1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；
2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．
3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、几种特殊四边形性质、判定
性 质 判 定
四边形
边 角 对角线
1、有一个角是直角的平行四边形是 中
矩形 对边平行 四个角是直 相等且互相平 矩形； 心、
且相等 角 分 2、有三个角是直角的四边形是矩形； 轴
3、对角线相等的平行四边形是 对
矩形 称
图
形
垂直且互相平 1、有一组邻边相等的平行四边形是 中
菱形 四条边相 对角相等， 分，每一条对角 菱形； 心
等 邻角互补 线平分一组对 2、四条边都相等的四边形是菱形； 对
角 3、对角线互相垂直的平行四边形是 称
菱形 . 图
形
相等、垂直、平 1、邻边相等的矩形是正方形 中
四条边相 四个角是直 分，并且每一条 2、对角线垂直的矩形是正方形 心、
正方形 等 角 对角线平分一 3、有一个角是直角的菱形是正方形 轴
组对角 4、对角线相等的菱形是正方形 对
称
图
形
1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 轴
等腰梯形 两底平 同一底上的 相等 2、在同一底上的两个角相等的梯形 对
行，两腰 两个角相等 是等腰梯形； 称
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相等 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 图
形
【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.
考点二、中点四边形相关问题
1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；
若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；
若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．
【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．
考点三、重心
1.线段的中点是线段的重心；
三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中
点的距离的2倍.
平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
【典型例题】
类型一、特殊的平行四边形的应用
1.（2012•湛江）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、
再以对角线AE为边作笫三个正方形AEGH，如此下去…．若正方形ABCD的边长记为a，按上述方法所作的
1
正方形的边长依次为a，a，a，…，a，则a=___________．
2 3 4 n n
【思路点拨】求a 的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a、a．由求出的a=
2 3 4 2
a，a= a…，a= a =（ ）n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
1 3 2 n n-1
【答案】（ ）n-1.
【解析】∵a=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
2
∴a= a= ，同理a= a=2，,
2 1 3 2
a= a=2 ，…
4 3
由此可知：a= a =（ ）n-1
n n-1
故答案为：（ ）n-1.
【总结升华】考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题
中找到a 的规律是解题的关键．
n
举一反三：
【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例4】
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1
【变式】(2011德州)长为1，宽为a的矩形纸片（ a1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度
2
的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正
方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．
当n=3时，a的值为________．
第一次操作 第二次操作
【答案】 或 .
2．O是△ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接，
如果DEFG能构成四边形，
(1)如图，当O点在△ABC内部时，判断四边形DEFG是什么特殊的四边形，并证明．
(2)若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．
(3)若四边形DEFG为菱形，O点所在位置应满足什么条件？画出图形并说明理由．
【思路点拨】（2）分析：四边形DEFG是平行四边形．若要四边形DEFG为矩形，需要EF⊥FG．
（3）分析：四边形DEFG是平行四边形．若要四边形DEFG为菱形，需要EF=FG．
【答案与解析】（1）四边形DEFG是平行四边形．
证明： ∵D、G分别是AB、AC的中点，
∴ ，且 ．
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同理， ，且 ．
∴ ，且 ．
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）
解：当AO⊥BC时，四边形DEFG是矩形．
连接OA，易知 ， ．
所以AO⊥BC时，EF⊥FG，此时平行四边形DEFG为矩形．
（3）
解：当AO=BC时，四边形DEFG是菱形．
连接OA，可知 ， ．
所以当AO=BC时，EF=FG，此时平行四边形DEFG是菱形．
【总结升华】重点考查了特殊平行四边形的判定.
类型二、梯形的应用
3．（2011•资阳）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取
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一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．
（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；
（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．
【思路点拨】（1）先证明四边形ABED为矩形，CE=BC-AD，继而即可求出答案；
（2）设AF=CE=x，则HE=x-3，BF=7-x，再通过证明△BEF∽△HDE，根据对应边成比例，然后代入求解即可；
（3）综合（1）（2）两种情况，然后代入求出解析式即可．
【答案与解析】（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，∴DE⊥BC，
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．
（2）作DH⊥BC于H，则DH=AB=7，CH=3．
设AF=CE=x，
∵F在线段AB上，
∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE
∴ = ，
∴ = ，
整理得x2-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去．
∴x=CE=5．
（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12， CE=x，BF=y，
∴则HE=x-3，BF=y，
当3≤x≤12时，
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易证△BEF∽△HDE，
∴ = ，
∴y=- x2+ x- ，
当0≤x＜3，
易证△BEF∽△HDE，
则HE=3-x，BF=y，
∴ = ，
∴y= x2－ x＋ ．
【总结升华】本题考查直角梯形的知识，同时考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是一道
小的综合题，注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用．
举一反三：
【变式】（2011•台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，
且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为（ ）.
Ａ． Ｂ． Ｃ．10- Ｄ．10+
【答案】B.
类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用
【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例7】
B BC
4. 如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片， 为CD边上的点， =3．将纸片沿某条直线折叠，
使点B落在点B处，点A的对应点为A，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．
（1）求BN的长；（2）求四边形ABNM的面积.
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【思路点拨】（1）根据折叠的性质得出AM=A′M，BN=B′N，BN=B′N=x，则CN=9-x，再利用勾股定理
求出即可；（2）首先求出NC的长，即可得出BN，利用角相等三角函数值就相等，即可求出AM，即可
得出答案．
【答案与解析】
如图．（1）由题意，点A与点A′，点B与点B′分别关于直线MN对称，
∴AM=A′M，BN=B′N．
设BN=B′N=x，则CN=9-x．
∵正方形ABCD，∴∠C=90°．
∴CN2+B′C2=B′N2．
∵B′C=3，
∴（9-x）2+32=x2．
解得x=5,∴BN=5．
（2）∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，∠A=90°．
∵点M，N分别在AD，BC边上，
∴四边形ABNM是直角梯形．
∵BN=B′N=5，BC=9，
∴NC=4．
∴sin∠1= ，tan∠1= ．
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1．
∴sin∠3=sin∠1= ，
在Rt△DB′P中，
∵∠D=90°，DB′=DC-B′C=6，sin∠3= = ，
∴PB′= ，
∵A′B′=AB=9，
∴A′P=A′B′-PB′= ，
∵∠4=∠3，
∴tan∠4=tan∠3= ，
在Rt△A′MP中，∵∠A′=∠A=90°，A′P= ，tan∠4= = ，
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∴A'M=2．
∴S = （AM+BN）×AB= ×（2+5）×9= ．
梯形ABNM
【总结升华】此题主要考查了折叠问题与解直角三角形以及正方形的知识，解题过程中应注意折叠是一种
对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，以及解直角三角形时相
等的角三角函数值相等．
5．（2012•自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱
形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这
个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【思路点拨】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证
△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）根据△ABE≌△ACF 可得 = ,故根据 S = + = + =
四边形AECF
即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变
化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据 =S - ，则△CEF的面积就会
四边形AECF
最大．
【答案与解析】（1）证明：连接AC，如下图所示，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
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∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；
（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S =S ，
△ABE △ACF
故S =S +S =S +S =S ，是定值，
四边形AECF △AEC △ACF △AEC △ABE △ABC
作AH⊥BC于H点，则BH=2，
S =S = BC•AH= BC• = ，
四边形AECF △ABC
由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．
故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，
又S =S -S ，则此时△CEF的面积就会最大．
△CEF 四边形AECF △AEF
∴S =S -S = - × × = ．
△CEF 四边形AECF △AEF
【总结升华】考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证△ABE≌△ACF是解题
的关键，有一定难度．
6.（2012•苏州）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速
度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点
A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的
长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S，△CDG的面积为S．试说明S-S 是常数；
1 2 1 2
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．
【思路点拨】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．
（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S、S，然后作差即可．
1 2
（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP
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中，解直角三角形可得出PD的长度．
【答案与解析】（1）∵CG∥AP，∴△GCD∽△APG，
∴ = ，
∵GF=4，CD=DA=1，AF= ，
∴GD=3- ，AG=4- ，
∴ = ，即y= ，
∴y关于x的函数关系式为y= ，
当y=3时， =3，解得x=2.5，
经检验的x=2.5是分式方程的根．故x的值为2.5；
（2）∵S= GP•GD= • •（3- ）= ，
1
S= GD•CD= （3-x）×1= ，
2
∴S-S= - =
1 2
即为常数；
（3）延长PD交AC于点Q．
∵正方形ABCD中，AC为对角线，
∴∠CAD=45°，
∵PQ⊥AC，
∴∠ADQ=45°，
∴∠GDP=∠ADQ=45°．
∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，
∴3-x= ，
化简得：x2-5x+5=0．
解得：x= ，
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∵0≤x≤2.5，
∴x= ，
在Rt△DGP中，PD= = （3-x）= ．
【总结升华】此题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形的知识，解答本题的关键是用
移动的时间表示出有关线段的长度，然后运用所学知识进行求解．
举一反三：
【变式】如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；
（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？
【答案】（1）AD=2AB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD；
∵E是BC的中点，
∴AB=BE=EC=CD；
则△ABE、△DCE是等腰Rt△；
∴∠AEB=∠DEC=45°；
∴∠AED=90°；
四边形PFEH中，∠PFE=∠FEH=∠EHP=90°，故四边形PFEH是矩形；
（2）点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形；理由如下：
由（1）可得∠BAE=∠CDE=45°；
∴∠FAP=∠HDP=45°；
又∵∠AFP=∠PHD=90°，AP=PD，
∴Rt△AFP≌Rt△DHP；
∴PF=PH；
在矩形PFEH中，PF=PH，故PFEH是正方形．.
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