文档内容
让更多的孩子得到更好的教育
中考总复习：特殊的四边形-知识讲解（基础）
撰稿：赵炜 审稿：杜少波
【考纲要求】
1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；
2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．
3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、几种特殊四边形性质、判定
性 质 判 定
四边形
边 角 对角线
1、有一个角是直角的平行四边形是 中
矩形 对边平行 四个角是直 相等且互相平 矩形； 心、
且相等 角 分 2、有三个角是直角的四边形是矩形； 轴
3、对角线相等的平行四边形是 对
矩形 称
图
形
垂直且互相平 1、有一组邻边相等的平行四边形是 中
菱形 四条边相 对角相等， 分，每一条对角 菱形； 心
等 邻角互补 线平分一组对 2、四条边都相等的四边形是菱形； 对
角 3、对角线互相垂直的平行四边形是 称
菱形 . 图
形
相等、垂直、平 1、邻边相等的矩形是正方形 中
四条边相 四个角是直 分，并且每一条 2、对角线垂直的矩形是正方形 心、
正方形 等 角 对角线平分一 3、有一个角是直角的菱形是正方形 轴
组对角 4、对角线相等的菱形是正方形 对
称
图
形
1、两腰相等的梯形是等腰梯形； 轴
等腰梯形 两底平 同一底上的 相等 2、在同一底上的两个角相等的梯形 对
行，两腰 两个角相等 是等腰梯形； 称
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相等 3、对角线相等的梯形是等腰梯形. 图
形
【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.
考点二、梯形
1．解决梯形问题常用的方法：
（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；
（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；
（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；
（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；
（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形
（图5）．
图1 图2 图3 图4 图5
【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的
平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容
很有帮助．
2.特殊的梯形
1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．
（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．
2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
考点三、中点四边形相关问题
1. 中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
2. 若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；
若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；
若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．
【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．
【典型例题】
类型一、特殊的平行四边形的应用
【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例2】
1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、
G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.
（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；
（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是 ；
（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是 ；
（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.
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【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．
【答案与解析】
（1）四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；
∴EO=FO，GO=HO；
∴四边形EGFH是平行四边形；
（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）
（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））
（4）四边形EGFH是正方形；
证明：∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF=90°；
∴∠BOG=∠COF；
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG=OF，∴GH=EF；
由（3）知四边形EGFH是菱形，
又EF=GH，
∴四边形EGFH是正方形．
【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和
性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．
2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点
的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB的方法
得到菱形AECF（见方案二）．
（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？
（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？
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【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．
（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．
【答案与解析】
（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，
小明的理由：∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，则∠DAC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB，
∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB，
∴AE=EC=CF=FA，
∴四边形AECF是菱形．
（2）方案一：
S =S -4S =12×5-4× ×6× =30（cm）2，
菱形 矩形 △AEH
方案二：
设BE=x，则CE=12-x，
∴AE= =
由AECF是菱形，则AE2=CE2∴x2+25=（12-x）2，
∴x= ，
S =S -2S =12×5-2× ×5× ≈35.21（cm）2，
菱形 矩形 △ABE
比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．
【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．
举一反三：
【高清课堂: 多边形与特殊平行四边形 例6】
【变式】如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折
痕CE的长为 （ ）.
A.2 B. C. D.6
【答案】A.
类型二、梯形的应用
3.如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别
是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A，B重合），连接DE，得到
四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（ ）.
A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.始终不变 D.先增大后变小
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【思路点拨】此四边形为直角梯形，AB的长度一定，那么直角梯形的高为AB的长度的一半，上下底的和也
一定，所以面积不变．
【答案】C.
【解析】当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动时，
根据等边三角形的性质，等边△ACD和△BCE的高DM和EN的和不会改变，
即DM+EN= MC+ CN= AC+ CB= AB，
而且MN的长度也不会改变，即MN= AC+ CB= AB．
∴四边形DMNE面积= AB2，
∴面积不会改变．故选C．
【总结升华】考查等边三角形的性质和梯形的面积公式．
举一反三：
【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，
AB=6，则CE的长为（ ）.
A. B. C. 2.5 D.2.3
【答案】D.
类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用
4.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．
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【思路点拨】（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=0B=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH，
即：OE=OF=OG=OH，∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：∵G是OC的中点，
∴GO=GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO=∠DGC=90°，
又∵DG=DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD=OD，
∵F是BO中点，OF=2cm，
∴BO=4cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO=BO=4cm，
∴DC=4cm，DB=8cm，
∴CB= =4 ，
∴矩形ABCD的面积=4×4 =16 cm2．
【总结升华】主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
5．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作
ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以
∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出
CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于
点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，
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根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．
【答案与解析】
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）证明：
如图，∵F为边BC的中点，
∴BF=CF= BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵ ，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵ ，
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∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全
等三角形是解题的关键．
6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)． 是点B关于直线AC的对称点，
是点C关于直线AB的对称点．连结 、 、 、 ．
(1)猜想线段 与 '的数量关系，并证明你的结论；
(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形 为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进
行描述；(不用证明)
(3)当点A在线段BC的垂直平分线 (BC的中点及到BC的距离为 的点除外)上运动时，判断以
点B、C、 、 为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)
【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，
认识图形之间的内在联系．
【答案与解析】
（1）猜想：BC′=CB′
∵B′是点B关于直线AC的对称点
∴AC垂直平分B B′
∴BC= CB′
同理BC= BC′
∴B C′=C B′
（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分
∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点
∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,
∴B B′、C C′应该同时过A点
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∴∠BAC=90°
∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.
（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；
当A到BC的距离为 BC时,
∵ 是BC的垂直平分线,
∴∠ACB=∠ABC=30°,
∴∠BAC=120°,
∴∠BOC=60°,
∴BC=C B′= B′C′=B C′.
∴BC B′C′为菱形,
当BC的中点及到BC的距离为 BC的点除外时,
∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,
∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,
∴BC∥B′C′.
∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,
四边形BC B′ C′为等腰梯形．
【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．
举一反三：
【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点
F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
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∴AB=ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG= ，
∴S =EC•AG=2× =2 .
菱形AECD
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