文档内容
第 02 讲 导数与函数的单调性
目录
01 考情透视·目标导航..................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..................................................................................................................................................4
知识点1：函数的单调性与导数的关系.....................................................................................................................4
知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤.............................................................................................................4
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像............................................................................................5
题型二：求单调区间....................................................................................................................................................7
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围................................................................................8
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围............................................................................................8
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围....................................................................9
题型六：不含参数单调性讨论..................................................................................................................................10
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析......................................................................................................11
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析..................................................................................................12
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析..................................................................................13
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析..............................................................................14
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析..........................................................................................15
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性..............................................................................................................16
04真题练习·命题洞见................................................................................................................................................17
05课本典例·高考素材................................................................................................................................................17
06易错分析·答题模板................................................................................................................................................19
易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻.....................................................................19
答题模板：利用导数判断函数的单调性..................................................................................................................19考点要求 考题统计 考情分析
2023年乙卷（文）第20题，12
高考对函数单调性的考查相对稳
分
定，考查内容、频率、题型、难度均变
2023 年乙卷（理）第 16 题，5
（1）函数的单调区间 化不大．高考在本节内容上无论试题怎
分
（2）单调性与导数的关 样变化，我们只要把握好导数作为研究
2023年II卷第6题，5分
系 函数的有力工具这一点，将函数的单调
2022年甲卷第12题，5分
性本质问题利用图像直观明了地展示出
2022年I卷第7题，5分
来，其余的就是具体问题的转化了．
2021年浙江卷第7题，5分
复习目标：
（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．知识点1：函数的单调性与导数的关系
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；
如果 ，则 为减函数．
2、已知函数的单调性问题
①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递增；
②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足
，才能得出 在某个区间上单调递减．
【诊断自测】（2024·高三·上海松江·期末）函数 的图象如图所示， 为函数 的导
函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：利用导数判断函数单调性的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）如果导函数中未知正负，则需要单独讨论的部分．如果导函数恒正或恒负，则无需单独讨论；
（3）求出导数 的零点；
（4）用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间上的正负，由此得出函数 在定义域内的单调性；
（5）如果找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导；求二阶导
往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．通过二阶导正
负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段.
【诊断自测】（2024·湖南怀化·二模）已知 ，则 的单调增区间为 ．
解题方法总结
1、使 的离散点不影响函数的单调性，即当 在某个区间内离散点处为零，在其余点处均
为正（或负）时， 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在 上， ，当
时， ；当 时， ，而显然 在 上是单调递增函数．
2、若函数 在区间 上单调递增，则 （ 不恒为0），反之不成立．因为
，即 或 ，当 时，函数 在区间 上单调递增．当
时， 在这个区间为常值函数；同理，若函数 在区间 上单调递减，则 （ 不
恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分
不必要条件．于是有如下结论：
单调递增； 单调递增 ；
单调递减； 单调递减 ．
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
【典例1-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，在同
一直角坐标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
A． B．C． D．
【典例1-2】（2024·广东广州·一模）已知函数 的图像如图所示，则其导函数 的图像可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数 （导函数
等于0，只在离散点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数 （导函数等于0，
只在离散点成立，其余点满足 ）．
【变式1-1】（2024·高三·陕西西安·期中）已知函数 的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）.
A． B．C． D．
【变式1-2】（2024·北京海淀·一模）函数 是定义在 上的偶函数，其图象如图所示， .设
是 的导函数，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
题型二：求单调区间
【典例2-1】（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时，
，则当 时， 的单调递增区间为 ．
【典例2-2】函数 的严格递减区间是 .
【方法技巧】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求 的定义域
（2）求出 ．
（3）令 ，求出其全部根，把全部的根在 轴上标出．
（4）在定义域内，令 ，解出 的取值范围，得函数的增区间；令 ，解出 的取值范
围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔
开．
【变式2-1】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数 的导函数为 ，若当 时 ，且
.则 的单调增区间为 .
【变式2-2】（2024·广西·模拟预测）函数 的单调递增区间为 ．
【变式2-3】函数 在 上的单调递减区间为 .题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
【典例3-1】已知函数 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知函数 在 ， 上为增函数，在（1，2）上为减函数，则
实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解．
【变式3-1】已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·高三·广东汕头·期中）设 ，若函数 在 递增，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·陕西西安·三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2024·高三·江苏南通·期中）已知函数 的减区间为 ，则
.
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
【典例4-1】（2024·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．m>1【典例4-2】已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
【变式4-1】函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】函数 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．不存在这样的实数k
【变式4-4】函数 在R上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
【典例5-1】已知函数 在 上有增区间，则a的取值范围是 .
【典例5-2】若函数 在 存在单调递减区间，则a的取值范围为 ．
【方法技巧】
已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
【变式5-1】若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 .
【变式5-2】若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的最大值为 ．
【变式5-3】（2024·高三·湖北襄阳·期末）函数 的导函数为 ，若在 的定义域内存在一个区
间 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减，则称区间 为函数 的一个“渐缓增区间”．若对于函数 ，区间 是其一个渐缓增区间，那么实数 的取值范围是 ．
【变式5-4】若函数 在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是 ．
题型六：不含参数单调性讨论
【典例6-1】（2024·河北保定·二模）已知函数 .若 ，讨论 的
单调性；
【典例6-2】（2024·高三·天津·开学考试）已知函数 ．当 时，求
的单调区间；
【方法技巧】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点：一是不能漏掉求函数
的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，而用“，”或“和”隔开．
【变式6-1】已知函数 ．
判断 的单调性，并说明理由；
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ，若 ，求 的单调区间.
【变式6-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．当 时，讨论函数 的单调性．
【变式6-4】函数 .当 时，求函数 的单调性；
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析
【典例7-1】已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【典例7-2】已知函数 .讨论函数 的单调性；
【方法技巧】
导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，
讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区
间．
【变式7-1】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 ，其中 .讨论 的单调性；
【变式7-2】设函数 ．讨论 的单调性；题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析
【典例8-1】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 ， 为 的导数,讨论 的单
调性；
【典例8-2】（2024·海南海口·二模）已知函数 .讨论 的单调性；
【方法技巧】
导函数的形式为含参准一次函数，首先对 定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，
结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间．
【变式8-1】已知函数 .讨论 的单调性；
【变式8-2】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .讨论 的单调性;
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析
【典例9-1】已知函数 ．讨论 的单调性；【典例9-2】已知函数 .讨论函数 的单调性；
【方法技巧】
若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义
域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式9-1】已知函数 ，讨论函数 的单调性；
【变式9-2】已知函数 （ ， 为自然对数的底数）.讨论函数
的单调性；
【变式9-3】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性．
【变式9-4】已知函数 ， ．求函数 的单调区间.题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析
【典例10-1】已知函数 ．讨论 的单调性
【典例10-2】已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【方法技巧】
若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨
论.
【变式10-1】讨论函数 ， 的单调性
【变式10-2】（2024·高三·广西·开学考试）已知函数 ．讨论 的单调性．
【变式10-3】设函数 ,求 的单调区间.题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析
【典例11-1】已知函数 ,其中 .求 的单调区间．
【典例11-2】已知函数 .讨论 的单调性；
【方法技巧】
若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再
划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性.
【变式11-1】已知函数 ， .若 ，讨论函数 的单调性；
【变式11-2】已知函数 ． 时，讨论 的单调性．
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性
【典例12-1】已知函数 （ ，且 ）求函数 的单调区间；【典例12-2】已知函数 ， .
(1)若 ，求a的取值范围；
(2)求函数 在 上的单调性；
【方法技巧】
分段讨论导函数的正负.
【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .判断函数 的单调性.
【变式12-2】（2024·高三·湖北·期中）已知函数 ， ．讨论函数 在
上的单调性．
【变式12-3】设函数 ，其中 ，讨论 的单调性.
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，若函数 在 上单调递增，
则a的取值范围是 .
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
1．判断下列函数的单调性：
（1） ；
（2）
2．证明函数 在区间 上单调递减．
3．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： ， ，
4．利用信息技术工具，根据给定的a，b，c，d的值，可以画出函数 的图象，当， ， ， 时， 的图象如图所示，改变a，b，c，d的值，观察图象的形状：
（1）你能归纳函数 图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间
吗？
（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间．
5．求函数 的单调区间．
6．作函数 的大致图象．易错点：对 “导数值符号” 与 “函数单调性” 关系理解不透彻
易错分析： 一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在这个区间上恒大
（小）于等于0，且导函数在这个区间的任意子区间上都不恒为 0．一定要注意导函数在某区间上恒大
（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件．
【易错题1】若函数 在区间 上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【易错题2】“当 时，函数 在区间 上不是单调函数”为真命题的 的一个取值是
．
答题模板：利用导数判断函数的单调性
1、模板解决思路
利用导数判断函数单调性的重点在于准确判断导数的符号，当函数 含参数时，则根据参数取值
范围进行分类讨论．
2、模板解决步骤
第一步：求 的定义域
第二步：求出 ．
第三步：令 ，求出其全部根，把全部的根在 轴上标出．
第四步：在定义域内，令 ，解出 的取值范围，得函数的增区间；令 ，解出 的取值
范围，得函数的减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”
隔开．
【典例1】已知函数 ．讨论函数的单调性；
【典例2】已知函数 ，求 的单调区间.
