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专题 15 四边形
课标要求 考点 考向
①了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与
多边形 考向一 多边形的内角和
对角线;探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
及其内
②理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，
角和 考向二 多边形的外角和
以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性。
③探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相
考向一 平行四边形的性质
等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形
考向二 平行四边形的判定
的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两
平行四
组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的 考向三 平行四边形的性质好判
边形
四边形是平行四边形。 定综合
④探究并证明三角形中位线定理。
考向四 三角形的中位线
⑤探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直
角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探
考向一 矩形
索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是
特殊的
矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形
平行四
是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既 考向二 菱形
边形
是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关
考向三 正方形
系。
考点一 多边形及其内角和
►考向一 多边形的内角和
1．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形 的边 分别相交于点M，N，如图所示，则
（ ）
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A． B． C． D．
2．（2024·云南·中考真题）一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五
边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形 和正方
形 中， ， 的延长线分别交 ， 于点M，N，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山西·中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形 ，其中
，则这个五边形的内角 的度数为 ．
►考向二 多边形的外角和
6．（2024·西藏·中考真题）已知正多边形的一个外角为 ，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东·中考真题）如图，已知 ， ， 是正 边形的三条边，在同一平面内，以 为边
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在该正 边形的外部作正方形 ．若 ，则 的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
9．（2024·青海·中考真题）正十边形一个外角的度数是 ．
10．（2010·江苏徐州·中考真题）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 .
考点二 平行四边形
►考向一 平行四边形的性质
11．（2024·海南·中考真题）如图，在 中， ，以点D为圆心作弧，交 于点M、N，分别
以点M、N为圆心，大于 为半径作弧，两弧交于点F，作直线 交 于点E，若
，则四边形 的周长是（ ）
A．22 B．21 C．20 D．18
12．（2024·贵州·中考真题）如图， 的对角线 与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·河南·中考真题）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点，
交 于点F．若 ，则 的长为（ ）
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A． B．1 C． D．2
14．（2024·山东·中考真题）如图，点 为 的对角线 上一点， ， ，连接 并延
长至点 ，使得 ，连接 ，则 为（ ）
A． B．3 C． D．4
15．（2024·浙江·中考真题）如图，在 中， 相交于点O， ．过点A作
的垂线交 于点E，记 长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的
是（ ）
A． B． C． D．
►考向二 平行四边形的判定
16．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ，则
重合部分构成的四边形 的周长为 ．
17．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
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已知：如图， 中， ， 平分 的外角 ，点 是 的中点，连接 并延长交
于点 ，连接 ．
求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴①______．
又∵ ， ，
∴ （②______）．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
18．（2024·四川乐山·中考真题）下列条件中，不能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形 中， ，点E在边 上， ．请从“①
；② ， ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再
解决下列问题：
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， ， ，求线段 的长．
►考向三 平行四边形的性质好判定综合
20．（2024·浙江·中考真题）如图，在正方形 中， 分别是边 上的点，
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且 分别在边 上，且 与 交于点O，记 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
21．（2024·辽宁·中考真题）如图， 的对角线 ， 相交于点 ， ， ，若
， ，则四边形 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
22．（2024·新疆·中考真题）如图，抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段CD在抛
物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且 ．当 的值最小时，点C的坐标为
．
23．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
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如图1，点E是 边 上一点（不包含A，D），连接 ．用尺规作 ，F是边 上一点．
小明：如图2．以C为圆心， 长为半径作弧，交 于点F，连接 ，则 ．
小丽：以点A为圆心， 长为半径作弧，交 于点F，连接 ，则 ．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明 ；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
►考向四 三角形的中位线
24．（2024·湖南·中考真题）如图，在 中，点 分别为边 的中点．下列结论中，错误的
是（ ）
A． B． C． D．
25．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在
外取一点C，然后步测出 的中点D，E，并步测出 的长约为 ，由此估测A，B之间的距离约
为（ ）
A． B． C． D．
26．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是 边 ， 的中点，连接 ， ．若
，则 的长为
27．（2024·天津·中考真题）如图，正方形 的边长为 ，对角线 相交于点 ，点 在
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的延长线上， ，连接 ．
（1）线段 的长为 ；
（2）若 为 的中点，则线段 的长为 ．
28．（2024·青海·中考真题）综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学
兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形 中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、 、CD、 的中点，
∴ 、 分别是 和 的中位线，
∴ ， （____①____）
∴ ．
同理可得： ．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据①________
【探究二】
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原四边形对角线关
中点四边形形状
系
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②________
（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
【归纳总结】
（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
中点四边形形状
原四边形对角线关系
③________ ④________
结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．
考点三 特殊的平行四边形
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►考向一 矩形
29．（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形 中，点 在 上，当 是等边三角形时， 为
（ ）
A． B． C． D．
30.．（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点C的坐标为(0,2)．以
为边作矩形 ，若将矩形 绕点O顺时针旋转 ，得到矩形 ，则点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
31．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特
征值”．如图，矩形 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小
的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
32．（2024·西藏·中考真题）如图，在 中， ， ， ，点P是边 上任意一
点，过点P作 ， ，垂足分别为点D，E，连接 ，则 的最小值是（ ）
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A． B． C． D．
33．（2024·新疆·中考真题）如图，在正方形 中，若面积 ，周长 ，则
．
34．（2024·新疆·中考真题）如图， 的中线 ， 交于点O，点F，G分别是 ， 的中点．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 时，求证： 是矩形．
►考向二 菱形
35．（2024·浙江·中考真题）如图，已知菱形 的面积是24，E，F分别是菱形 的边 的
中点，连结 与 交于点G，则 的面积为（ ）
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A． B． C．3 D．9
36．（2024·海南·中考真题）如图，菱形 的边长为2， ，边 在数轴上，将 绕点A
顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（ ）
A．1 B． C．0 D．
37．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 在 轴负半轴上，顶
点 在直线 上，若点 的横坐标是8，为点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
38．（2024·上海·中考真题）四边形 为矩形，过 作对角线 的垂线，过 作对角线 的
垂线，如果四个垂线拼成一个四边形，那这个四边形为（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
39．（2024·四川·中考真题）如图，在菱形 中， ，则菱形 的周长为 ．
40．（2024·广东·中考真题）如图，菱形 的面积为24，点E是 的中点，点F是 上的动点．若
的面积为4，则图中阴影部分的面积为 ．
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41．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形 中，点 、 、 、 分别是各边的中点，且
， ，四边形 是矩形．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若矩形 的周长为22，四边形 的面积为10，求 的长．
►考向三 正方形
42．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形 的顶点G在正方形 的边 上， 与 交于点
H，若 ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
43．（2024·重庆·中考真题）如图，在边长为4的正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线
上一点，连接 ， ， 平分 ．交 于点 ．若 ，则 的长度为（ ）
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A．2 B． C． D．
44．（2024·广西·中考真题）如图，边长为5的正方形 ，E，F，G，H分别为各边中点，连接 ，
， ， ，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形 的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
45．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形 的对角线 相交于点O，点E是 的中点，点F
是 上一点．连接 ．若 ，则 的值为 ．
46．（2024·内蒙古·中考真题）如图， ， 平分 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)过点B作 于点G，若 ，请直接写出四边形 的形状．
一、单选题
1．（2024·山西·模拟预测）如图，O是菱形 的对角线 的中点，以O为原点，建立如图平面直角
坐标系，若 轴， ， ，点C的坐标是（ ）
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A． B． C． D．
2．（2024·广东·模拟预测）将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，等腰梯形 （ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
4．（2024·湖北·模拟预测）类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和
6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形
的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东·模拟预测）如图，D，E分别是 的边 ， 的中点，若 的周长为6，则
的周长为（ ）
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A． B．3 C．12 D．36
6．（2024·安徽·模拟预测）如图，矩形 中，点 在 边上， 平分 ， ， 分别是 ，
的中点， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
7．（2024·河北·模拟预测）在 中， ， 是 的中点，求证： ．
证明：如图，延长 至点 ，使 ，连接 ， ．
……
，
．
下面是“……”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形 是平行四边形；②∵ ；③∵
， ；④∴四边形 是矩形，则正确的顺序是（ ）．
A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④
8．（2024·广东·模拟预测）若一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，则该多边形的边数为（ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
9．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片 沿 折叠，得到 ，点C的对应点为点
， 的延长线交 于点F，若 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
10．（2024·广东·模拟预测）下列说法中，错误的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．等角对等边
C．四条边相等的四边形是正方形
D．圆的切线垂直于过切点的半径
11．（2024·河北·模拟预测）如图，在 中， ，点 分别是
的中点，顺次连接 ，在 从 逐渐增大到 的过程中，四边形
形状的变化依次是（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
12．（2024·安徽·模拟预测）如图，正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，
分别交 ， 于点 ， ，以点A为圆心， 长为半径画弧 下列结论：① ；②
；③ ；④ 与 相切；⑤ ．其中正确结论的个数是
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题
13．（2024·上海·模拟预测）如图1是一款可升降篮球架，支架 ， ， 的长度固定，A，D，G为
立柱 上的点， 地面，篮板 地面， ， 米， 米，若改变伸缩
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臂 的长度，则 ，CD可绕点A，D旋转来调整篮筐的高低．如图2，当 时，可测得篮筐
的固定点C距离地面为2.9米，则支架CD的长为 米．降低篮筐高度如图3，连结 交CD于点O，
平分 ， ，此时篮筐的固定点C离地面的距离为 米．
14．（2024·陕西·模拟预测）如图，在矩形 中， ， 在边 上， ，连接
，则线段 的最小长度为 ．
15．（2024·湖南·模拟预测）已知四边形 的对角线 垂直平分对角线 于点 ，要使四边形
为菱形，则可添加的条件是 （添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
16．（2024·广东·模拟预测）如图，将一张长方形纸片 沿 折叠，使点A，B分别落在点 ， 的
位置．若 ，则 ．
17．（2024·浙江·一模）如图，正方形 的边长为 ，以AB边上的动点 为圆心， 为半径作圆，
将 沿 翻折至 ，若 过 一边上的中点，则 的半径为 ．
18．（2024·重庆·一模）如图，在 中，E为 边中点．以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点
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A．以C为圆心，CE为半径画弧，与AD相切于点F．若 ，则阴影部分的面积为 ．（结果保
留π）
19．（2024·上海·模拟预测）如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片 不动，将矩形纸片 按如
图2方式缠绕：先将点 与点 重合，再依次沿 、 对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，
最后 边刚好经过点G．
若 ， ，则 长为
三、解答题
20．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭
湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出
如下项目报告：
课题 测量慈氏塔的高度
测量
测角仪、无人机等
工具
测量
示意
图
测量 如图②，测量小组使无人机在点 处以 的速度竖直上升 后，飞行至点 处，在点 处测
过程
得塔顶 的俯角为 ，然后沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处测得塔顶 和点 的俯角均
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为
点 均在同一竖直平面内，且点 在同一水平线上， ．结果精确到 ．参考
说明
数据：
(1)求无人机从点 到点 处的飞行距离；
(2)求慈氏塔 的高度．
21．（2024·广东·模拟预测）如图， 是 的角平分线，过点D分别作 和 的平行线，交
于点E，交 于点F．试判断四边形 的形状，并给出证明．
22．（2024·湖南·模拟预测）如图，在 中， 交于点 ，点 在 上， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 求证：四边形 是菱形．
23．（2024·山东·模拟预测）如图，在 中， ， ，延长 至点 ，使 ，连接
，交 于点 ，连接 ， ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)求 的面积．
24．（2024·浙江·模拟预测）如图，在正五边形 中，连结 交 于点F
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(1)求 的度数．
(2)已知 ，求 的长．
25．（2024·安徽·模拟预测）在正方形 中，点 是 边上的一动点，连接 ．以 为边在直线
右侧作正方形 ．
(1)如图1，若 与 交于点 ，且 ，求 的度数；
(2)如图2，连接 ，求证： 三点共线；
(3)如图3，若点 是 边的中点， ，连接 ，求线段 的长．
21
