文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 05 四边形的性质与判定
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 平行四边形
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 多边形内角和与外角和综合问题
题型02 多边形内角和/外角和的实际应用
题型03 利用平行四边形的性质与判定求解
题型04 利用平行四边形的性质与判定解决多结论问题
题型05 构建三角形中位线解决问题
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
考点二 特殊四边形
【真题研析 · 规律探寻】
题型01 利用矩形的性质与判定求解
题型02 与矩形（或正方形）有关的折叠问题
题型03 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
题型04 矩形与函数的相关问题
题型05 根据菱形的性质与判定求解
题型06 菱形与函数的相关问题
题型07 根据正方形的性质与判定求解
题型08 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型09 正方形与函数的相关问题
题型10 与特殊四边形有关的新定义问题
题型11 与特殊四边形有关的规律探究问题
题型12 梯形的相关计算
题型13 四边形的常见几何模型
【核心提炼 · 查漏补缺】
【好题必刷 · 强化落实】
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点要求 命题预测
平行四边形和特殊平行四边形在中考数学中是占比比较大的一块考点，考察内容主
平行四边形 要有各个特殊四边形的性质、判定、以及其应用:考察题型上从选择到填空再都解答题都
有，题型变化也比较多样;并且考察难度也都是中等和中等偏上，难度较大，综合性比较
强.所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定，并且会在不同的
结合问题上注意和其他考点的融合.平行四边形与特殊平行四边形的考察热点有:多边形
特殊四边形 内角和定理、平行四边形的性质与判定定理、平行四边形的综合应用;矩形、菱形、正方
形的性质与判定定理;特殊四边形的图形平移、轴对称、旋转等结合问题.
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点一 平行四边形
题型01 多边形内角和与外角和综合问题
多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误：
①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角线
n(n−3)
计算了两次，因此n边形共有 条对角线.
2
③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2.
④n边形的外角和是360°.
⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°.
⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一点
O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一顶点
A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．
1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.
3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；②已知多边形的内角和求边
数；③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．
4）任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.
（n−2）×180° 360°
5）正n边形的每个内角为为 ，每一个外角为 ．
n n
6）正n边形有n条对称轴．
7）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
1．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，
则∠2的度数为（ ）
A．14° B．16° C．24° D．26°
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2022·江苏南京·中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的3个外角∠EAB，∠FBC，
∠GCD的度数之比为1:2:4，则∠D= ．
3．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，
得到扇形BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是
．
4．（2023·新疆·中考真题）一个多边形的每个内角都是144°，这个多边形是 边形．
题型02 多边形内角和/外角和的实际应用
1．（2023·山西·中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面
图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P,Q,M均为正六边形的
顶点．若点P,Q的坐标分别为(−2√3,3),(0,−3)，则点M的坐标为（ ）
A．(3√3,−2) B．(3√3,2) C．(2,−3√3) D．(−2,−3√3)
2．（2022·河北·中考真题）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 ABC与四边形BCDE的外角和的
度数分别为α，β，则正确的是（ ）
△
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．α−β=0 B．α−β<0
C．α−β>0 D．无法比较α与β的大小
3．（2020·山东德州·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8
米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
4．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪
成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共
有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4
张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形
纸片，则还有一张多边形纸片的边数为 ．
5．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长
为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，
中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1）∠α= 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
题型03 利用平行四边形的性质与判定求解
平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分；
4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四
边形的对称中心.
【解题技巧】
1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．
2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．
4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即AB=BE．
5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S
△BEC
=S
△ABE
+S
△CDE
．
6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD．
A
A A E D D
D
F
B
B E C C B E C
图 ① 图 ② 图 ③
平行四边形的判定定理：
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【解题技巧】
一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：
1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证明；
2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“两组对边
分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明；
3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明．
1．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边
1
分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点
2
P，连接OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若
∠AOB=60°，OP=6cm，则四边形PFOE的面积是（ ）
A．12√3cm2 B．6√3cm2 C．3√3cm2 D．2√3cm2
2．（2023·西藏·中考真题）如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知∠ABC=60°，则阴影部分
的面积是（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9 9√3
A． B．3√3 C． D．6√3
2 2
3．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，
得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2(a2+b2)．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加
以判断，并说明理由．
a2+b2 c2
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2= − ．
2 4
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为
_______．
4．（2023·贵州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，延长CB至D，使得BD=CB，过点A，D
分别作AE∥BD，DE∥BA，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若
小红：由题目的已知条件，若连接CE
连接BE，则可
，则可证明CE=DE．
证明BE⊥CD．
(1)请你选择一位同学的说法，并进行证明；
CB 2
(2)连接AD，若AD=5√2, = ，求AC的长．
AC 3
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型04 利用平行四边形的性质与判定解决多结论问题
1．（2022·山东泰安·中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中
点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列结论：①AB⊥ AC；②AD=4OE；
1
③四边形AECF是菱形；④S = S ．其中正确结论的个数是（ ）
△BOE 4 △ABC
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①
AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若MD=2AM，则S =S ；④若
△MNC △BNE
AB=MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·四川南充·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把边AB沿对角线BD平移，
点A'，B'分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点A'，B'，C，D的图形是平行四边形；②点C
到它关于直线AA'的对称点的距离为48；③A'C−B'C的最大值为15；④A'C+B'C的最小值为9√17．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其
中所有正确结论的序号是 ．
题型05 构建三角形中位线解决问题
构造三角形中位线的常用方法：
1）连接两点构造三角形中位线;
2) 已知中点，取另一条线段的中点构造中位线.
3) 利用角平分线+垂直构造三角形的中位线.
1．（2020·山东泰安·中考真题）如图，点A，B的坐标分别为A(2,0),B(0,2)，点C为坐标平面内一点，
BC=1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
1 1
A．√2+1 B．√2+ C．2√2+1 D．2√2−
2 2
2．（2023·广西·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，
N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
3．（2021·天津·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC,BD相交于点O，点E，F分别在
BC,CD的延长线上，且CE=2,DF=1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长
为 ．
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在
AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接
BF,DE．
(1)如图1，求证：DE=BF；
(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–
2)
n(n−3)
个三角形，n边形的对角线条数为
2
正多边形的相关概念
正多边形概念 各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形.
正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.
正多边形的半径 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形的中心角 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
正多边形的边心距 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
正多边形的常用公式
边长 1800
a =2R ⋅sin （R n为正多边形外接圆的半径）
n n n
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
周长 Pn=n⋅an 外角/中心角度数 360°
n
面积 1 对角线条数 n(n−3)
Sn= an⋅rn⋅n
2 2
边心距 1800 内角和 （ n-2 ）×180°.
rn=Rn⋅cos
n
内角度数 （n−2）×180° n边形的边数 （内角和÷180°）＋2
n
a 、Rn、rn的关 系 a2
n R2=r2+ n （an 、Rn、rn为构成直角三角形的三边长，已知其中两个值，第三个
n n 4
值可以借助勾股定理求解.）
【解题思路】正多边形与圆的计算问题：正n边形的外接圆半径和边心距把正n边形分成
2n个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n边形各元素间的关系，
故可以把正n边形的计算转化为解直角三角形，再利用勾股定理即可完成计算．
1．（2022·北京平谷·一模）2021年3月考古人员在山西泉阳发现目前中国规模最大、保存最完好的战国水
井，井壁由等长的柏木按原始榫卯结构相互搭接呈闭合的正九边形逐层垒砌，关于正九边形下列说法错误
的是（ ）
A．它是轴对称图形 B．它是中心对称图形
C．它的外角和是360° D．它的每个内角都是140°
2．（2023·河北衡水·二模）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若a⊥b，则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2023·河南南阳·三模）如图， OABC的顶点O(0,0)，A(4,0)，点E(5,1)是边AB的中点，则对角线
AC，OB的交点D的坐标为（ ）
▱
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．(3,1) B．(4,1) C．(1,3) D．(2,1)
4．（2023·河北保定·二模）如图，在平行四边形ABCD中，按下列条件得到的四边形EFGH不一定是平
行四边形的是（ ）
EG FH
A． ， 是过对角线交点的两条线段
E F G H
B． ， ， ， 是四边形各边中点
EF⊥BC GH⊥ AD
C． ，
AF BH CH DF
D． ， ， ， 是角平分线
5．（2023·河北衡水·二模）如图，将一个平行四边形分成16个一模一样的小平行四边形．若用颜料涂满
△ABC，至少需用完1瓶颜料，则将△≝¿涂满，至少需用完颜料的瓶数是（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
6．（2022·浙江舟山·三模）如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在
△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S =S ，BC=a，BD=b，CF=c，则
四边形ADHF △HGE
a，b，c 满足的关系式为（ ）
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．a+c=2b B．b2+c2=a2 C．√b+√c=√a D．a=2√bc
7．（2023·河北石家庄·一模）如图1，将两条重合的线段绕一个公共端点沿逆时针和顺时针方向分别旋转，
旋转角为α，所得的两条新线段夹角为β，以α为内角，以图中线段为边作两个正多边形，正多边形边数为
n．如图2，当α=120°时，得到两个正六边形．
边数n 4 5 6 …
旋转角
90° 108° 120° …
α
夹角β 180° m 120° …
α β β=
（1）用含 的代数式表示 ， ；
（2）边数n，旋转角α，夹角β的部分对应值如表格所示，其中m= °；
（3）若β≤10°，则n的最小值是 ．
8．（2023·吉林长春·三模）如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图
案设计，图②是镶嵌图案中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度．
9．（2023·江苏南京·一模）如图①，有一个圆柱形的玻璃杯，底面直径AB是30cm，杯内装有一些溶液．
如图②，将玻璃杯绕点B倾斜，液面恰好到达容器顶端时，AB与水平线l的夹角为30°．则图①中液面距
离容器顶端 cm．
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2023·辽宁抚顺·二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=6，E，F分别是BC上的动点，
且EF=3，连接AE，AF，DE，DF，AE与DF相交于P，过点P作MN∥BC，交DE于M，交AF
于N，当E，F在BC上移动时，下列结论：①AP=2PE；②S =4S ；③PM=PN=2；④
△PAD △PEF
S =S ．其中正确的有 ．（填序号）
△PAF △PDE
11．（2023·陕西西安·模拟预测）定义：由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做n边形．相邻两边组
成的角叫做它的内角，一边和它邻边的延长线组成的角叫做它的外角．为了探究n边形的外角和与内角和
的度数，小华做了以下实验：取若干张纸片，分别在纸片上画出三角形、四边形、五边形等，顺次延长各
边得到各个外角，然后沿着多边形的边和延长线将它剪开，将外角拼在一起，观察图形，并进行推理．
（1）实验操作．
（2）归纳猜想．
多边
三角形 四边形 五边形 … n边形
形
外角
___________ ___________ ___________ … ___________
和
16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
内角
___________ ___________ ___________ … ___________
和
（3）理解应用．
一个多边形的内角和是外角和的1008倍，它是多少边形？
12．（2023·吉林松原·三模）知识呈现：
如图①，在▱ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E，求证：BE+BC=CD；
知识应用：
（1）如图②，在▱ABCD中，点E在CD上，AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC，若BC=2.5，BE=3，
则AE=______；
（2）如图③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为BC的中点，连接AE，作∠AEF=∠AEB，则
cos∠FEC=______．
13．（2023·陕西榆林·三模）在▱ABCD中，∠ABC=45°,BC=√2AB,E为CD上一点．
(1)如图1，连接AC，求证：∠BAC=90°；
(2)如图2，连接BE，过点C作CQ⊥BE于点Q，连接AQ．
①求∠AQB的度数；
②如图3，延长AQ交BC的延长线于点F，试判断线段BE与AF有何数量关系？并说明理由．
考点二 特殊四边形
题型01 利用矩形的性质与判定求解
17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；
2）矩形的四个角都是直角；
3）对角线互相平分且相等；
4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有
两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.
【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.
2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
矩形的判定：1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）有三个角是直角的四边形是矩形.
【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角
线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．
1. 对于矩形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.有一个角是直角.
2. 定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.
1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝2√3，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边
EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（ ）
3 3√3
A． B． C．√6 D．3
2 2
2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结
AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S ,S ，若要求出S−S −S 的值，只需知道( )
1 2 1 2
A．△ABE的面积 B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积
3．（2023·江西·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠B=60°，BC=2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α
18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（0°<α<360°）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 ．
4．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6．P为边AB上一动点，作
PD⊥BC于点D，PE⊥ AC于点E，则DE的最小值为 ．
题型02与矩形（或正方形）有关的折叠问题
矩形的折叠问题的常用解题思路：
1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相
等的边或角；
2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）．
3) 折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）.
4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过
勾股定理/相似三角形知识求解.
19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型解读 图形 已知 结论
A'
沿着矩形的对角 D E C 已知矩形 ABCD 中，以 1)∆ABD≌∆A'BD
线所在直线进行 对角线BD为折痕，折叠 2)折痕BD垂直平分AA'
翻折 ABD，点A的对应点为A' 3)∆BDE为等腰直角三角形
A B
D E C
1)∆BCE≌∆BC'E
C' 2)折痕BE垂直平分CC'
A B
D A' C
沿着矩形的一个 1)∆ABE≌∆A'BE
E 已知矩形 ABCD 中，以
顶点和一边上的 2)折痕BE垂直平分AA'
BE为折痕，点A的对应
点的线段所在直
A B 点为A'
线进行翻折
D'
D E C(A')
1)四边形AFED≌四边形
A'FED'
2)折痕BE垂直平分AA'
A F B
D E C
F 1)∆EFC≌∆EFC'
C' 2)折痕EF垂直平分CC'
A B
D'
D F C 1)四边形AEFD≌四边形
已知矩形 ABCD 中，以
G
沿着矩形边上的 A'EFD'
点E,F为折痕，点A的对
任意两点所在直 A' 2)折痕EF垂直平分AA'
应点为A'，点C的对应
线进行翻折
点为C'
A E B
D E C
1)四边形BFEC≌四边形
B'FEC'
C'
2)折痕EF垂直平分CC'
A G F B 3)∆GB'F为直角三角形
B'
1．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操
作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB=8，AD=12，则线段BM的长是（ ）
A．3 B．√5 C．2 D．1
2．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=√6，BC=6．点E为边BC的中点，
点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'，过点B'作
B'H⊥BC于点H，若B'H=2√2，则FD的长是 ．
3．（2022·河南·中考真题）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说
明理由．
21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
4．（2023·江苏·中考真题）综合与实践
√22n+1−1
定义：将宽与长的比值为 （n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．
2n
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长
(CD)的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边
AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长
与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
题型03 根据矩形的性质与判定解决多结论问题
1．（2021·山东泰安·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①
AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若MD=2AM，则S =S ；④若
△MNC △BNE
AB=MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为（ ）
22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·北京·中考真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC
同侧，AB√a2+b2；③√2(a+b)>c；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分
别在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F．若OE=3，EF=1．以下结论正确的个数是
（ ）
①OA=3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(−4,−√2)；④BD=6√3；⑤矩形ABCD的面积为
24√2．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2021·四川雅安·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点B作BF⊥ AC于点
M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形
NEMF为平行四边形，②DN2=MC⋅NC；③△DNF为等边三角形；④当AO=AD时，四边形DEBF是
菱形．正确结论的序号 ．
23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
题型04 矩形与函数的相关问题
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内
部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数
y=(x−2) 2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数
1
y= x2+bx+c(0≤x≤3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．
4
2．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC=60°，
OC的长是一元二次方程x2−4x−12=0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别
交x轴和y轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点
F以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)求直线AD的解析式．
(2)连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式．
(3)点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q．使得以A，C，N，Q为项点的四边形是矩形．若
存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
k
3．（2023·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y= (x>0)
x
的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E，且点D为AB的中点．
24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
k
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y= (x>0)的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之
x
间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围．
4．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点
C，连接BC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图2，直线l：y=kx+3经过点A，点P为直线l上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物线上
的一个动点，当PQ// y轴时，作QM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ，QM为
邻边构造矩形PQMN，求该矩形周长的最小值；
（3）如图3，设抛物线的顶点为D，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否
存在点F，使得∠CBF= ∠DQM？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
题型05 根据菱形的性质与判定求解
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角.
25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱
形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心.
菱形的判定：
1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2）一组邻边相等的平行四边形是菱形.
3）四条边相等的四边形是菱形.
【解题思路】判定一个四边形是菱形时，可先说明它是平行四边形，再说明它的一组邻边相等或它的对角
线互相垂直，也可直接说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．
菱形的面积公式：S=ah=对角线乘积的一半（其中a为边长，h为高）.
菱形的周长公式：周长l=4a（其中a为边长）.
1. 对于菱形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.一组邻边相等.
2. 定义说有一组邻边相等的平行四边形才是菱形,不要错误地理解为有一组邻边相等的四边形是菱形.
3. 菱形的面积S=对角线乘积的一半，适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算.
4. 在求菱形面积时,要根据图形特点及已知条体灵活选择面积公式来解决问题，
1
5. 在利用对角线长求菱形的面积时,要特别注意不要漏掉计算公式中的 .
2
1．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知四边形 是平行四边形，点 在对角线 上，点 在边
上，连接 ， ， ．
(1)如图①，求证 ；
(2)如图②，若 ，过点 作 交 于点 ，在不添加任何轴助线的情况下，请
直接写出图②中四个角（ 除外），使写出的每个角都与 相等．
2．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合
的部分构成一个四边形 ．转动其中一张纸条，发现四边形 总是平行四边形其中判定的依据是
__________．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条 和 （ ， ），其中
， ，将它们按图②放置， 落在边 上， 与边 分别交于点M，N．求
证： 是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条 不动，将平行四边形纸条 沿 或 平移，且
26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
始终在边 上．当 时，延长 交于点P，得到图③．若四边形 的周长为40，
（ 为锐角），则四边形 的面积为_________．
3．（2023·安徽·中考真题）在 中， 是斜边 的中点，将线段 绕点 旋转至 位置，点
在直线 外，连接 ．
(1)如图1，求 的大小；
(2)已知点 和边 上的点 满足 ．
（ⅰ）如图2，连接 ，求证： ；
（ⅱ）如图3，连接 ，若 ，求 的值．
题型06菱形与函数的相关问题
k
1．（2022·广西玉林·中考真题）如图，点A在双曲线y= (k>0,x>0)上，点B在直线
x
y=mx−2b(m>0,b>0)上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有
以下结论：
①A(b,√3b) ②当b=2时，k=4√3
√3
③m= ④S =2b2
3 四边形AOCB
则所有正确结论的序号是 ．
27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶
点A的坐标为(2,2√3)，点D是边OC上的动点，过点D作DE ⊥ OB交边OA于点E，作DF∥OB交边
BC于点F，连接EF．设OD=x,△≝¿的面积为S．
(1)求S关于x的函数解析式；
(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．
3．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合）， 点F在边AD上，且BE=√3DF，
①当CE丄AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？如果是，求CE+√3CF的最小值；如
果不是，请说明理由．
4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两
点，与y轴交于点C．
28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使△ACD为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
题型07 根据正方形的性质与判定求解
正方形的性质：
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
3）正方形对边平行且相等.
4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
【补充】正方形对角线与边的夹角为45°.
正方形的判定：
1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；
2）矩形+一组邻边相等；
3）矩形+对角线互相垂直；
4）菱形+一个角是直角；
5）菱形+对角线相等.
【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；
或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行
四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等．
正方形的面积公式： a2＝对角线乘积的一半=2S =4S .
△ABC △AOB
正方形的周长公式：周长= 4a
29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A D
O
B a C
1．（2022·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上， BEF是以E为直角顶点的
等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G．连接DF，
△
请完成下列问题：
（1）∠FDG= °；
（2）若DE=1，DF=2√2，则MN= ．
2．（2023·江苏扬州·中考真题）【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角
板分别记作△ADB和△A'D'C,∠ADB=∠A'D'C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A'D'C的边AD、A'D'重合，再将△A'D'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角
为α(0°≤α≤360°)，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
(1)当α=60°时，BC=________；当BC=2√2时，α=________°；
(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取BC的中点F，将△A'D'C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
3．（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的
一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几
何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下
面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd
公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
公式③：(a−b) 2=a2−2ab+b2
公式④：(a+b) 2=a2+2ab+b2
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的方法，如图5，请写出
证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点
重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记
△BFG与△CEG的面积之和为S ，△ABD与△AEH的面积之和为S ．
1 2
S
1
①若E为边AC的中点，则 的值为_______；
S
2
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理
由．
31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2022·浙江台州·中考真题）图1中有四条优美的“螺旋折线”，它们是怎样画出来的呢？如图2，在
4
正方形ABCD各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使AB =BC =CD =DA = AB，依次连接它们，
1 1 1 1 1 1 1 1 5
得到四边形A B C D ；再在四边形A B C D 各边上分别取点B ，C ，D ，A ，使
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
4
A B =B C =C D =D A = A B ，依次连接它们，得到四边形A B C D ；…如此继续下去，得到
1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 1 2 2 2 2
四条螺旋折线．
图1
(1)求证：四边形A B C D 是正方形；
1 1 1 1
A B
(2)求 1 1的值；
AB
(3)请研究螺旋折线BB B B …中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明．
1 2 3
题型08 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
1．（2021·湖北黄石·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且
∠EAF=45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 ．
（2）下列结论：①BM2+DN2=M N2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF=2；③连接MF，则
△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 （把你认为所有正确的都填上）．
2．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点
A重合），且AM＜AB， CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
△
32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝√2HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
3．（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB,BC上的两个动点，且
正方形ABCD的周长是△BEF周长的2倍，连接DE,DF分别与对角线AC交于点M，N．给出如下几个结
论：①若AE=2,CF=3，则EF=4；②∠EFN+∠EMN=180°；③若AM=2,CN=3，则MN=4；④
MN
若 =2,BE=3，则EF=4．其中正确结论的序号为 ．
AM
4．（2022·四川达州·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动
点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持
∠EBF=45°，连接EF，PF，PD．以下结论：①PB=PD；②∠EFD=2∠FBC；③PQ=PA+CQ；
④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为2√2−2．
其中所有正确结论的序号是 ．
题型09 正方形与函数的相关问题
1．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点A(m，0)，B(m−a，0)(a>m>0)的位
33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
m m−a
置和函数y = (x>0)、y = (x<0)的图像如图所示．以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD
1 x 2 x
边与函数y 的图像相交于点E，CD边与函数y 、y 的图像分别相交于点G、H，一次函数y 的图像经过点
1 1 2 3
E、G，与y轴相交于点P，连接PH．
(1)m=2，a=4，求函数y 的表达式及△PGH的面积；
3
(2)当a、m在满足a>m>0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由；
(3)试判断直线PH与BC边的交点是否在函数y 的图像上？并说明理由．
2
8
2．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y= (x>0)的图像
x
交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为
点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
1
3．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线y=− x2+bx+c与x轴交于点A和点B(4，0)，与y轴交于点
2
C(0，4)，点E在抛物线上．
34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的
左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；
(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．
4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线y =ax2+bx+c的图象经过A(−6,0)，B(−2,0)，
1
C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．
(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，
F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线y =ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y ，此抛物线的图象与x轴交于M，
1 2
N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y 上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过
2
1
点P作PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+ PD有最大值，最大值是多少？
2
题型10 与特殊四边形有关的新定义问题
1．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等
四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为
邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作
BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
2．（2020·湖南益阳·中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直
角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形ABCD中，E是CD上的点，将ΔBCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对
应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5，CD=1，AD>AB，点B到直线AD
的距离为BE．
①求BE的长．
②若M、N分别是AB、AD边上的动点，求ΔMNC周长的最小值．
3．（2020·湖北咸宁·中考真题）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．
理解：
（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为______；
证明：
（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A,B,C在⊙O上，AM，CN相交于点D．
求证：四边形ABCD是对余四边形；
36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
探究：
（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的
数量关系？写出猜想，并说明理由．
题型11 与特殊四边形有关的规律探究问题
1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以
CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2√2）5 B．（2√2）6 C．（√2）5 D．（√2）6
2．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=√3x−√3与x轴交于点A ，以
1
OA 为边作正方形A B C O点C 在y轴上，延长C B 交直线l于点A ，以C A 为边作正方形
1 1 1 1 1 1 1 2 1 2
A B C C ，点C 在y轴上，以同样的方式依次作正方形A B C C ，…，正方形A B C C ，
2 2 2 1 2 3 3 3 2 2023 2023 2023 2022
则点B 的横坐标是 ．
2023
37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．（2022·辽宁·中考真题）如图，A 为射线ON上一点，B 为射线OM上一点，
1 1
∠B A O=60°,OA =3,B A =1．以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∠B A D =60°,C D 与射线OM交于点B ，得△C B B ；延长B D 交射线ON于点A ，以B A 为边
1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2
在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D =60°,C D 与射线OM交于点B ，得△C B B ；延长B D
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 3 2
交射线ON于点A ，以B A 为边在其右侧作菱形A B C D ，且∠B A D =60°,C D 与射线OM交
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
于点B ，得△C B B ；…，按此规律进行下去，则△C B B 的面积 ．
4 3 3 4 2022 2022 2023
4．（2020·辽宁丹东·中考真题）如图，在矩形OA A B中，OA=3，A A =2，连接OA ，以OA 为边，
1 1 1 1
2
作矩形OA A B 使A A = OA ，连接OA 交A B于点C；以OA 为边，作矩形OA A B ，使
1 2 1 1 2 3 1 2 1 2 2 3 2
2 2
A A = OA ，连接OA 交A B 于点C ；以OA 为边，作矩形OA A B ，使A A = OA ，连接
2 3 3 2 3 2 1 1 3 3 4 3 3 4 3 3
OA 交A B 于点C ；…按照这个规律进行下去，则ΔC C A 的面积为 ．
4 3 2 2 2019 2020 2022
题型12 梯形的相关计算
等腰梯形性质：1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；
2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；
3）等腰梯形的两条对角线相等；
4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）.
等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3）对角线相等的梯形是等腰梯形.
38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解题思路】判定一个四边形是等腰梯形,必须先判定四边形是梯形,再证明同一底边上的两个角相等或两
腰相等或两条对角线相等.
1
梯形的面积公式：S= ×（上底+下底）×高
2
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
2）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.
3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形.
4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并
且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.
5）平移腰.过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形.
6）过上底中点平移两腰.构造两个平行四边形和一个三角形.
1．（2023·上海·中考真题）已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB=a,CD=b．下
列两个说法：
√2 √2
①AC= (a+b)；②AD= √a2+b2
2 2
则下列说法正确的是（ ）
A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
2．（2021·广东·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，AB≠CD，∠ABC=90°，点E、F
分别在线段BC、AD上，且EF//CD，AB=AF，CD=DF．
（1）求证：CF⊥FB；
（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；
（3）若EF=2，∠DFE=120°，求△ADE的面积．
3．（2021·四川攀枝花·中考真题）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12，BC=14，
39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AD=9，线段BC上的点P从点B运动到点C，∠ADP的角平分线DQ交以DP为直径的圆M于点Q，连
接PQ．
(1)当点P不与点B重合时，求证：PQ平分∠BPD；
(2)当圆M与直角梯形ABCD的边相切时，请直接写出此时BP的长度；
(3)动点P从点B出发，运动到点C停止，求点Q所经过的路程．
题型13 四边形的常见几何模型
1）垂美四边形
【模型介绍】对角线互相垂直的四边形为垂美四边形.
1
2 2 2 2
【性质】四边形中AC⊥BD，则①S
垂美四边形ABCD
=
2
AC•BD ②AB +DC =AD +BC
2）中点四边形
【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
中点四边形的性质：
已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则
1
C s s
①四边形EFGH是平行四边形 ② EFGH =AC+BD ③ EFGH = 2 ABCD
④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.
⑤顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.
⑥顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.
速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.
3）十字架模型
【模型介绍】如图，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF=MN
40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A M D A E D A E D
P
E F M
P
P
F N
B N C B C B C
图图 形 1 形 2
【易错点】正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.
4）对角线互补模型
类型一 90°对角互补模型
如图，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，则
1
①AD = CD ②AB+BC=√2BD ③ S △ABD +S △BDC= 2 BD2
E D
D
A A
B C B F C
类型一 120°对角互补模型
如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则
√3
S S OC2
①CD=CE ②OD+OE=OC ③ △DCO+ △COE=
4
A
A C
C
D M
D
O E B O N E B
5）正方形半角模型
【模型介绍】从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成
的基本平面几何模型.
已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：
C
①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③ ∆CEF=2倍正方形边长
④S ∆ABE +S ∆ADF =S ∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）
⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点
41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆
⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=√2OP
(12) S ∆AEF=2S ∆APO (13)AB2=BP×OD
(14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形
(16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)
1．（2023·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，
∠EAF=45°．若∠BAE=α，则∠FEC一定等于（ ）
A．2α B．90°−2α C．45°−α D．90°−α
2．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=12，点E，F分别在边BC，CD上，AE
与BF相交于点G，若BE=CF=5，则BG的长为 ．
3．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与
AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥ AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DN DG 1
∴ = ．∵DG=GC，∴DN=NM= DM．
NM GC 2
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
5．（2023·山东·中考真题）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，
垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使
CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，
求CF的长．
6．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，
44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
BA=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．
探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，
连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFC≌△BFE，可得出结论，他的结论就是
_______________；
探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD=90°，BA=BC，∠ABC=2∠MBN，
∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直
接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．
探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC=2∠MBN，
∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．
实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心
南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小
时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到
甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距
离．
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
形
+一角
+一边
+一角 +一边
方形
四边形
+一边 +一角
形
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
四边形 边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称
45关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 轴对称、中心对称
菱形 对边平行且四条 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每 轴对称、中心对称
边都相等 一条对角线平分一组对角
正方形 对边平行且四条 四个角都是直角 两条对角线互相垂直平分，且每 轴对称、中心对称
边都相等 一条对角线平分一组对角
3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
四边形 边 角 对角线
平行四边形 1）两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分
2) 两组对边分别相等
3) 一组对边平行且相等
矩形 1）平行四边形+ 一直角 平行四边形+两条对角线相等
2）四边形+三直角
菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相垂
直
2）四边形+四条边都相等
正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相等
的四边形
1．（2023·陕西西安·二模）已知四边形 为菱形，点E、F、G、H分别 、 、 、 边的中
点，依次连接E、F、G、H得到四边形 ，则四边形 为（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．（2023·河南驻马店·二模）如图，已知矩形 的邻边长分别为a、b，进行如下操作：第一次，顺次
连接矩形 各边的中点，得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到
1 1 1 1 1 1 1 1
四边形 …则第2023次操作后，得到四边形 的面积是（ ）
46关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
3．（2023·山西吕梁·三模）如图，在矩形纸片 中， ， ，点 是 上一点，点 是
上一点，将矩形沿 折叠，使点 的对应点 正好落在 的中点处，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
4．（2023·安徽宣城·模拟预测）在矩形 中， ， ，动点P点A的距离 ，连接 ，
M为 的中点，连接 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
5．（2023·湖北恩施·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于A，B
两点，以 为边在第二象限作正方形 ，点D在双曲线 上，将正方形 沿x轴正方向平移
a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·河北沧州·模拟预测）图1所示的教具是用钉子将四根木条钉成的平行四边形框架 ，在
与 ， 与 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定．老师推动框架至 如图2所示，下列判断一定
正确的是（ ）
47关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．在图2中， B．在图2中，
C．四边形 的周长变大 D．四边形 的面积不变
7．（2023·山西忻州·模拟预测）如图， 是一个等腰直角三角形纸板， ，在此三角形内部
作一个正方形 ，使 在 边上，点 ， 分别在 ， 边上．将一个飞镖随机投掷到这个纸
板上，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川遂宁·一模）如图，已知正方形 中， ，连接 与 ， 分别交于 ，
点，则下列结论正确的有 个．
①点 到 的距离等于正方形的边长；② ；③ 、 都为等腰直角三角形；
④ ．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023·吉林白山·一模）如图，▱ABCD的边 与矩形 的边 相交于点H．若
度．
10．（2023·浙江杭州·二模）如图在四边形 中， 且 ， ， ，
，则 ．
48关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
11．（2023·河北保定·一模）如图，在矩形 中，对角线 交于点O， ，点M在线
段 上，且 ．点P为线段 上的一个动点．
（1） °；
（2） 的最小值为 ．
12．（2024·陕西西安·一模）【问题提出】
（1）如图1，已知在边长为5的等边 中，点D在边 上， ，连接 ，则 的面积为 ；
【问题探究】
（2）如图2，已知在边长为6的正方形 中，点E在边 上，点F在边 上，且 ，若
，求 的面积；
【问题解决】
（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在 米， 米的矩形 区域内
开挖一个 的工作面，其中B、F分别在 边上（不与B、C、D重合），且 ，为了
减少对该路段的拥堵影响，要求 面积最小，那么是否存在一个面积最小的 ？若存在，请求
出 面积的最小值；若不存在，请说明理由．
13．（2024·江苏淮安·模拟预测）【概念学习】
如果四边形的一条对角线是其中两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为
“亮线”，如图1，四边形 中， 满足 ，四边形 是闪亮四边形，
是亮线．
49关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【概念理解】
(1)菱形是闪亮四边形，则它的较小的一个内角是 °.
【概念应用】
(2)如图2，四边形ABCD中， ， ， 判断哪一条线段是
四边形 的亮线?请你作出判断并说明理由．
(3)如图3， 是闪亮四边形 的唯一亮线， 请求线段 的
长．
14．（2023·北京海淀·一模）如图，正方形 中，点 分别在 上， 交于
点 ；
(1) _______．
(2)在线段 上截取 ，连接 的角平分线交 于点 ．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明．
15．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部
近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米， 米，窑洞的最高点 (抛物线的
顶点)高地面 的距离为 米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
50关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户 ，使得点 在矩形 的边 上，点
在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？
51
