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培优冲刺 02 二次函数与几何的综合
1、二次函数与特殊四变形的综合
2、二次函数与最值的综合
3、二次函数与相似的综合
4、二次函数与新定义的综合
题型一：二次函数与特殊四边形的综合
此类问题都是在抛物线的基础之上与平行四边形、特殊平行四边形结合，考察特殊平行四边形的性质
或者存在性问题；做题时需要将二者的性质结合思考，共同应用。
【中考真题练】
1．（2023•扬州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上．
（1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为
常数，且a≠0）的图象上．
①a＝ ；
②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长；
③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在
点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果
不是，请说明理由．
（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D
的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．
2．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，
点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；
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（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为 的抛物线经过B，C
两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物
线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若 ，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此
时m的值；若不存在，请说明理由．
【中考模拟练】
1．（2024•新沂市模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于A（﹣1，
0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，点P在线段OB上，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D，交直
线BC于点E．
（1）a＝ ，b＝ ；
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（2）在点P运动过程中，若△CDE是直角三角形，求点P的坐标；
（3）在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F
的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二：二次函数与最值的综合
1、二次函数本身可以转化成顶点式求最值；
2、抛物线上不规则三角形求面积最大值，常用“水平宽×铅垂高÷2”来计算
【中考真题练】
1．（2023•荆州）已知：y关于x的函数y＝（a﹣2）x2+（a+1）x+b．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且a＝4b，则a的值是 ；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有两个公共点A（﹣2，0），B（4，0），并与动直线l：x
＝m（0＜m＜4）交于点P，连接PA，PB，PC，BC，其中PA交y轴于点D，交BC于点E．设△PBE的
面积为S ，△CDE的面积为S ．
1 2
①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的面积；
②探究直线l在运动过程中，S ﹣S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
1 2
2．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣
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1，0），B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线
BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移 个单位长度，点
M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是
菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【中考模拟练】
1．（2024•东平县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB＝OC
＝3，OA＝OD＝1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点
M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点N，使得△ANC的周长最小，若存在，请求出点N的坐标，若不
存在，请说明理由；
（3）点E是直线AM上一动点，点P为抛物线上直线AM下方一动点，EP∥y轴，当线段PE的长度最
大时，请求出点E的坐标和△AMP面积的最大值．
题型三：二次函数与相似的综合
【中考真题练】
1．（2023•乐至县）如图，直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线 经过
A、B两点．
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（1）求抛物线的表达式；
（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大
值；
（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在
点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣2，0），B
（4，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M（m，0），交BC
于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S ，△BCM的面积记为S ，当S ＝S 时，求m的值；
1 2 1 2
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，
请直接写出点Q的坐标．
【中考模拟练】
1．（2024•东莞市一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，
与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
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（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，
△CDE的面积为S ，△ACE的面积为S ．当 时，求点D的坐标；
1 2
（3）在（2）的条件下，且点D的横坐标小于2，是否在数轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的
三角形与△BCD相似，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型四：二次函数与新定义的综合
【中考真题练】
1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其
中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2
级变换点”．
（1）函数y＝﹣ 的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，
说明理由；
（2）动点A（t， t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l ，l 上，在l ，l 上分别取点（m2，y ），
1 2 1 2 1
（m2，y ）．若k≤﹣2，求证：y ﹣y ≥2；
2 1 2
（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都
在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．
2．（2023•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图
1所示，该类型图象上任意一点P到定点F（0， ）的距离PF，始终等于它到定直线l：y＝﹣ 的
距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣ 叫做
抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝ ．例如，抛物
线y＝2x2，其焦点坐标为F（0， ），准线方程为l：y＝﹣ ，其中PF＝PN，FH＝2OF＝ ．
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【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝ x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ；
【技能训练】
（2）如图2，已知抛物线y＝ x2上一点P（x ，y ）（x ＞0）到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，
0 0 0
求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3，已知抛物线y＝ x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y＝ x﹣3交y轴于点C，抛物线
上动点P到x轴的距离为d ，到直线m的距离为d ，请直接写出d +d 的最小值；
1 2 1 2
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线y＝ax2（a＞0）平移至y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．抛物线y＝
a（x﹣h）2+k（a＞0）内有一定点F（h，k+ ），直线l过点M（h，k﹣ ）且与x轴平行．当动点
P在该抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．
1
例如：抛物线y＝2（x﹣1）2+3上的动点P到点F（1， ）的距离等于点P到直线l：y＝ 的距离．
请阅读上面的材料，探究下题：
（4）如图4，点D（﹣1， ）是第二象限内一定点，点P是抛物线y＝ x2﹣1上一动点．当PO+PD
取最小值时，请求出△POD的面积．
【中考模拟练】
1．（2024•新吴区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）顶点的纵坐标为﹣4，且与x轴交于点A
（4，0）．作出该抛物线位于x轴下方的图象关于x轴对称的图象，位于x轴上方的图象保持不变，就
得到y＝|ax2+bx|的图象，直线y＝kx（k＞0）与y＝|ax2+bx|的图象交于O、B、C三点．
（1）求a、b的值；
（2）新定义：点M（x ，y ）与点N（x ，y ）的“折线距离”为 （M，N）＝|x ﹣x |+|y ﹣y |．已知
m m n n m n m n
（O，B）＝ （B，C）．
ρ
①求k的值；
ρ ρ
②以点B为圆心、OB长为半径的 B交∠AOC的平分线于点D（异于点O），交x轴点E（异于点
O），求 （D，E）的值．
⊙
ρ
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2．（2024•宝安区二模）在平面直角坐标系中，有如下定义：若某图形W上的所有点都在一个矩形的内部
或边界上（该矩形的一条边平行于x轴），这些矩形中面积最小的矩形叫图形W的“美好矩形”．
例如：如图1，已知△ABC，矩形ADEF，AD∥x轴，点B在DE上，点C在EF上，则矩形ADEF为
△ABC的美好矩形．
（1）如图2，矩形ABCD是函数y＝2x（﹣1≤x≤1）图象的美好矩形，求出矩形ABCD的面积；
（2）如图3，点A的坐标为（1，4），点B是函数 图象上一点，且横坐标为m，若函数
图象在A、B之间的图形的美好矩形面积为9，求m的值；
（3）对于实数a，当 时，函数 图象的美好矩形恰好是面积为3，且一边在
x轴上的正方形，请直接写出b的值．
8
