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中考大题 05 四边形的证明与计算问题
四边形在中考数学中是占比较大，考察内容主要有各个特殊四边形的性质、判定、以及其应用:考察
题型上从选择到填空再到解答题都有，题型变化也比较多样;并且考察难度也都是中等和中等偏上，难度
较大，综合性比较强.所以需要考生在复习这块内容的时候一定要准确掌握其性质与判定，并且会在不同
的结合问题上注意和其他考点的融合.
题型一： 利用四边形的性质与判定求解
1．（2023·广东深圳·中考真题）（1）如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，
①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；
②若S =20时，则BE⋅CF=______．
矩形ABCD
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1
（2）如图，在菱形ABCD中，cosA= ，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交
3
AD于点F，若S =24时，求EF⋅BC的值．
菱形ABCD
（3）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC
上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=7√3时，请直接写出
AG的长．
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）综合与实践
【思考尝试】
（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点
F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；
【实践探究】
（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，
DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数
量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】
（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边
AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，
BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．
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3．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，
得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2(a2+b2)．
【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加
以判断，并说明理由．
a2+b2 c2
【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2= − ．
2 4
【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为
_______．
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
矩形
+一直角
+一组邻边相等
+一直角+一组邻边相等
正方形
平行四边形
+一组邻边相等 +一直角
菱形
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2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
四边形 边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 两条对角线互相平分 中心对称
轴对称、中心对
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等
称
对边平行且四条 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称、中心对
菱形 对角相等
边都相等 每一条对角线平分一组对角 称
对边平行且四条 两条对角线互相垂直平分，且 轴对称、中心对
正方形 四个角都是直角
边都相等 每一条对角线平分一组对角 称
3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
四边形 边 角 对角线
平行四边形 1）两组对边分别平行 两组对角分别相等 两组对角线互相平分
2) 两组对边分别相等
3) 一组对边平行且相等
矩形 1）平行四边形+ 一直 平行四边形+两条对角线相等
角
2）四边形+三直角
菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 平行四边形+两条对角线互相
垂直
2）四边形+四条边都相等
正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 两条对角线互相垂直平分且相
等的四边形
1．（2023·山东济南·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE=AF，
DE⊥AF于点G．
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(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
(3)如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE=AF，
∠AED=60°，AE=6，BF=2，求DE的长．
2．（2023·广东深圳·模拟预测）【问题发现】
（1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和
DG，请直接写出线段BE与DG的数量关系______ ，位置关系______ ；
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD ∽矩形
12√10
AEFG，AE=3，AG=4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若AD= ，求BE
5
的长．
【拓展延伸】
（3）若将正方形ABCD和正方形AEFG改成菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图
3
3，AD=5，AC=6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得AQ= AP，连
5
4
接PQ，QC，当tan∠PQC= 时，直接写出AP的长．
3
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3．（2023·福建龙岩·模拟预测）综合与实践：过四边形ABCD的顶点A作射线AM，P为射线AM上一点，
连接DP．将AP绕点A顺时针方向旋转至AQ，记旋转角∠PAQ=α，连接BQ．
【探究发现】如图1，数学兴趣小组探究发现，如果四边形ABCD是正方形，且α=90°，无论点P在何处，
总有BQ=DP，请证明这个结论．
【类比迁移】如图2，如果四边形ABCD是菱形，∠DAB=α=60°，∠MAD=15°，连接PQ．当
PQ⊥BQ，AB=√6+√2时，求AP的长．
【拓展应用】如图3，如果四边形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，AM平分∠DAC，α=90°．在射线
4
AQ上截取AR，使得AR= AP．当△PBR是直角三角形时，请直接写出AP的长．
3
题型二： 中点四边形
1．（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
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我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
DN DG 1
∴ = ．∵DG=GC，∴DN=NM= DM．
NM GC 2
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴
1
S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
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【模型介绍】依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.
中点四边形的性质：
已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则
1
C s s
①四边形EFGH是平行四边形 ② EFGH =AC+BD ③ EFGH = 2 ABCD
【补充】
结论一：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.
结论二：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.
结论三：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.
速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.
1．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E、F、G、H分别
是AB、BC、CD、DA边中点，连接EF、FG、GH、HE，分别交两条对角线于点P、点Q、点R、点S，
且AC=BD．
(1)如图1，求证：四边形EFGH是菱形；
(2)如图2，若AC垂直平分BD，在不添加任何字母及辅助线的情况下，请直接写出图中锐角∠α，使∠α
正弦值等于PR与AB的比值．
2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、
小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识．
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如图①，菱形纸片ABCD中，AB=4,∠A=60°．
(1)活动一：
如图②，折叠菱形纸片ABCD，使点A落在点B处，则折痕的长为_________；菱形纸片ABCD的面积是
_________；
(2)活动二：
如图③，E,F,G,H分别是菱形纸片ABCD各边的中点，分别沿着EF,FG,GH,HE折叠并展开．猜想
四边形EFGH是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
(3)活动三：如图④，先将菱形纸片ABCD沿AC折叠再展开，点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上
且EF∥AC，再分别沿着EF,FG,GH,HE折叠再展开，若四边形EFGH是正方形，则AE=_________；
(4)活动四：如图⑤，折叠菱形纸片ABCD，使点A落在BC边的中点F处，则折痕MN的长为_________．
题型三： 十字架模型
1．（2022·四川乐山·中考真题）华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
2．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：CE=DF．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCF=90°，BC=CD．∴
∠BCE+∠DCE=90°．
∵CE⊥DF，∴∠COD=90°．∴∠CDF+∠DCE=90°．
∴∠CDF=∠BCE．∴△CBE≌△DFC．
∴CE=DF．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、DA上，且
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EG
EG⊥FH．试猜想 的值，并证明你的猜想．
FH
(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、CD、
EG
DA上，且EG⊥FH．则 = ______．
FH
(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E、F分别在线
CE
段AB、AD上，且CE⊥BF．求 的值．
BF
【模型介绍】如图，在正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF=MN
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A M D A E D A E D
P
F
E M
P
P
F N
B N C B C B C
基础 变形1 变形2
【易错点】正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，十字架就相等.
1．（2023·贵州黔东南·一模）如图，四边形ABCD是正方形．
(1)问题解决：如图①，若E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．求证：△ABE≌△BCF；
(2)类比探究：如图②，若点E，F，G，H分别在BC，CD，DA，AB上，且EG⊥HF，求证：EG=H
F．
(3)迁移应用：如图③，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是BC的中点，点E是AC上一点，且
AD⊥BE，求AE：EC的值．
2．（2024·山东菏泽·一模）琅琊中学九年级一班同学利用工具，对几种四边形进行探究．
【初步认识】同学们所用的工具由两条互相垂直的直线构成，垂足为O．如图1，同学们将该工具放入正
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方形ABCD中，该工具与正方形四条边的交点分别为E、F、G、H．
（1）若点O在边长为1的正方形ABCD的中心，直接写出OE+OH+OG+OF的最大值和最小值．
EG
（2）试猜想 的值，并证明你的猜想．
FH
【知识迁移】如图2，同学们又将该工具放入矩形ABCD中，该工具与矩形四条边的交点分别为E、F、
EG
G、H．若AB=m，BC=n，则 = ．（直接写出答案）
FH
【拓展运用】如图3，同学们将工具放入四边形ABCD中，使其经过C、B两点，并与AB边交于点E，与
CE
AD边交于点F．已知∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC．求 的值．
BF
3．（2024·广东阳江·一模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下
探究：
【观察猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，ED⊥CF，则
DE
的值为__________．
CF
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，
CE
则 的值为__________；
BD
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交
ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD．
【拓展延伸】
1
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB= ，将△ABD沿BD翻折，点A落
3
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DE
在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．求 的值．
CF
题型四： 正方形半角模型
1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角
尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两
边CM，CN始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．
【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：
∠CNM=∠CNH；
【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．
EF
连接AC交BD于点O，求 的值．
NM
2．（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点
B，C重合），且∠EAF=45°．
(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；
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(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GH⊥AE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE．若
DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长．
【模型介绍】正方形半角模型分为“正方形内含型半角模型”和“正方形外延型半角模型”，其中前者较
为常见.
正方形内含型半角模型结论：
已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：
C
①EF=BE+DF ②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE ③ ∆CEF=2倍正方形边长
④S ∆ABE +S ∆ADF =S ∆AEF ⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）
⑥OP2=OB2+OD2 ⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点
⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA ⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、
OECFP五点共圆
⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形 (11) EF=√2OP
(12) S ∆AEF=2S ∆APO (13)AB2=BP×OD
(14)CE•CF=2BE•DF (15) ∆EPC为等腰三角形
(16) PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)
1．（2023·吉林白城·模拟预测）下面是小明同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．求证：
EF=AE+CF．
证明：如图，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM，则
DE=DM,∠A=∠DCM,∠ADE=∠MDC．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠EDM=∠EDC+∠MDC=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°．
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∵∠EDF=45°,∴∠MDF=∠EDF=45°．
又∵∠A=∠DCM=∠DCB=90°，∴点B，F，C，M在一条直线上．
∵DF=DF,∴△EDF≌＿＿＿，∴EF=MF=CM+CF=＿＿＿+CF．
【探究】（1）在图①中，若正方形ABCD的边长为3，AE=1，其他条件不变，求EF的长．
解：∵正方形ABCD的边长为3，∵AE=1,∴BE=2,CM=1．
设EF=x，则FM=EF=x,FC=FM−CM=x−1,∴BF=3−(x−1)=4−x．
在Rt△BEF中，由22+(4−x) 2=x2，解得x=＿＿＿，即EF=＿＿＿．
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°,AB=AD=6,BC=4，E是AB边上的点，且
∠CDE=45°，则CE=＿＿＿．
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°，AD为BC边上的高．若BD=2,CD=3，则AD的长为＿＿＿．
2．（2024·湖北随州·一模）【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，从而可得：
DM+BN=MN．
(1)【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是___________．
1
(2)如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，∠MAN=45°，若tan∠BAN= ，求
3
证：M是CD的中点．
(3)【拓展】如图③，在矩形ABCD，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，
BN=4，则DM的长是 ___________．
题型五： 四边形对角互补模型
1．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，
点O又是正方形A B C O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A B C O绕点O怎样
1 1 1 1 1 1
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1
转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 .想一想，这是为什么？（此问题不需要作
4
答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点
PA
P落在线段OC上， =k（k为常数）．
PC
【特例证明】
（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N.
①填空：k=______；
②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可
过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说
明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，
BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
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(1)填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B=45°，m=5√2，则n=_____________，S=_____________；
②如图2，若∠B=60°，m=4√3，则n=_____________，S=_____________；
(2)如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．
类型一 90°对角互补模型
如图，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC，则
1
①AD = CD ②AB+BC=√2BD ③ S △ABD +S △BDC= 2 BD2
E D
D
A A
B C B F C
类型一 120°对角互补模型
如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB，则
√3
S S OC2
①CD=CE ②OD+OE=OC ③ △DCO+ △COE=
4
A
A C
C
D M
D
O E B O N E B
1．（2024·贵州黔南·一模）小红在学习了三角形的相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，如图，在
Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D，E分别在边AB，AC上（不同时在点A），连接DE．
(1)问题解决：如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，
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连接AF，AF与BC的位置关系是_________，数量关系是________．
(2)问题探究：如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得到线段FE，
连接AF,AF与BC的位置关系是怎样的？请说明理由．
(3)拓展延伸：如图3，当点E不与点C重合，且D为AB的中点时，将线段DE绕点E顺时针旋转90°，得
AE
到线段FE，点G是点C关于直线AB的对称点，若点G，D，F在一条直线上，求 的值．
EC
2．（2023·吉林长春·二模）【问题呈现】如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，
∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．小聪同学延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，
可证△ABE≌△ADG，进而得到△AEF≌△AGF，从而得出BE、EF、FD之间的数量关系为______ .(
不需要证明)．
【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在
边BC、CD上，请回答当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有【问题呈现】中BE、EF、FD之间的
数量关系，并给出证明．
【探究应用】如图③，在四边形ABCD中，AB=AD=60，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，
点E、F分别在线段BC、CD上，且AE⊥AD，DF=30√3−30，直接写出线段EF的长．
题型六： 正方形对称模型
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点（与点B,D不重合），
¿⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足．连接EF,AG，并延长AG交EF于点H．
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(1)求证：∠DAG=∠EGH．
(2)判断AH与EF是否垂直，并说明理由．
口诀：正方形对角线，连接条件对称现.
1. 如图，在正方形ABCD中，E是射线CD上一动点（E不与D重合），连AE交射线BD于F点，过F作
FG⊥AE交在射线BC于G．
(1)当点E在线段CD上时，求证：AF＝FG．
(2)若BC＝10，BG＝4，求BF的长；
(3)连EG，当E在射线CD上移动时，探究线段BG、EG、DE之间的数量关系，并说明理由．
题型七： 与正方形有关的三垂直模型
1．（2022·辽宁阜新·中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，△≝¿绕点D旋转（DE<AB），
∠EDF=90°，DE=DF，连接AE，CF．
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(1)如图1，求证：△ADE≌△CDF；
(2)直线AE与CF相交于点G．
①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；
②如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在△≝¿旋转的过程中，线段BG长度的最小值．
2．（2022·江苏镇江·中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上．
(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；
(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_________关系时，四边形EFGH是矩形；
(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为
20，当△OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．
已知（一线三垂直） 图示 结论（性质）
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如图AB⊥BC， ∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC
AB=BC，CE⊥DE，
AD⊥DE
如图AB⊥BC， ∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC
AB=BC，CE⊥DE，
AD⊥DE
已知∠AOC ∆ADB≌∆DEC
=∠ADB=∠CED=90°，
AB=DC
延长DE交AC于点F， ∆ABC≌∆DBE
已知∠DBE
=∠ABC=∠EFC=90°，
AC=DE
1. 综合运用
（1）如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．易证：
△AED∽△BFE．（不需要证明）
（2）如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交BC于点F．
①求证：△AED∽△BFE．
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②若AB=10，AD=6，E为AB的中点，求BF的长．
（3）如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=4，E为AB边上一点（点E不与点A、B重
合），连结CE，过点E作∠CEF=45°交BC于点F，当△CEF为等腰三用形时，BE的长为多少？
2. 【模型引入】
我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候
很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．
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【模型探究】
如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CB于点F．
（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．
【模型应用】
（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH⊥AE于F，过
H作HG⊥BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②∠HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确
的结论有 个．
（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交线段BC于点F，交
线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；②√2DE＝CF；③S AEM
△
＝S MCF；④BE＝DE+√2BF；正确的结论有 个．
△
【模型变式】
（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一
点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，交∠CBE的平分线与点N，求证：
MD＝MN
（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则∠FMN和∠NMB之间有怎样的数
量关系？请给出证明．
【拓展延伸】
（7）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞
OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若
∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；
如果变化，请说明理由．
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（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于
点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB
边的中点，则△EDM的面积是 ．
题型八： 四边形翻折模型
1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD=√2AB，小天用该A4纸玩折
纸游戏．
游戏1 折出对角线BD，将点B翻折到BD上的点E处，折痕AF交BD于点G．展开后得到图①，发现点
F恰为BC的中点．
游戏2 在游戏1的基础上，将点C翻折到BD上，折痕为BP；展开后将点B沿过点F的直线翻折到BP上
的点H处；再展开并连接GH后得到图②，发现∠AGH是一个特定的角．
(1)请你证明游戏1中发现的结论；
(2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说明理由．
2．（2023·四川达州·中考真题）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，
AE
使点A落在BC上A'处，若AB=6,BC=10，求 的值；
EB
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上
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B'处，若BC⋅CE=24,AB=6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，垂足为点D,AD=10,AE=6，过点E作
5
EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE=2∠DAC，直接写出BD+ EF的值．
3
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模型解读 图形 已知 结论
A'
沿着矩形的对角
D E C
已知矩形 ABCD 中，以 1)∆ABD≌∆A'BD
线所在直线进行 对角线BD为折痕，折叠 2)折痕BD垂直平分AA'
翻折 ABD，点A的对应点为A' 3)∆BDE为等腰直角三角形
A B
D E C
1)∆BCE≌∆BC'E
C' 2)折痕BE垂直平分CC'
A B
D A' C
沿着矩形的一个 1)∆ABE≌∆A'BE
E 已知矩形 ABCD 中，以
顶点和一边上的 2)折痕BE垂直平分AA'
BE为折痕，点A的对应
点的线段所在直
A B 点为A'
线进行翻折
D'
D E C(A')
1)四边形AFED≌四边形
A'FED'
2)折痕BE垂直平分AA'
A F B
D E C
F 1)∆EFC≌∆EFC'
C' 2)折痕EF垂直平分CC'
A B
D'
D F C 1)四边形AEFD≌四边形
已知矩形 ABCD 中，以
G
沿着矩形边上的 A'EFD'
点E,F为折痕，点A的对
任意两点所在直 A' 2)折痕EF垂直平分AA'
应点为A'，点C的对应
线进行翻折
点为C'
A E B
D E C
1)四边形BFEC≌四边形
B'FEC'
C'
2)折痕EF垂直平分CC'
A G F B 3)∆GB'F为直角三角形
B'
1．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在边长为m的正方形ABCD中，点E，F分别为CD，AB边上的点，
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将正方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点为H，点C恰好落在AD边的点G处．
(1)【问题解决】
如图①，连接CG，则CG与折痕EF的位置关系是______，CG与EF的数量关系是______；
(2)【问题探究】
如图②，连接CH，在翻折过程中，GC平分∠DGH，试探究△CGH的面积是否为定值，若为定值，请
求出△CGH的面积；若不是定值，请说明理由；
(3)【拓展延伸】若m=3，求出CH+CG的最小值．
1
2．（2023·吉林松原·模拟预测）【感知】如图①，Rt△ABC中，∠C=90°,AC= AB，则∠B的度数为
2
______；
【探究】如图②，四边形ABCD是一张边长为4的正方形纸片，E，F分别为AB，CD的中点，沿过点D
的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，折痕交AE于点G，试求∠ADG的度数和AG的长；
【拓展】若矩形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，B，D两点恰好重合于对角线AC的中点O(如图④)，
则四边形AECF为______；当AB=9a时，则四边形AECF的面积为______．（用含a的代数式表示）
题型九： 与四边形有关的新定义问题
1．（2023·江苏·中考真题）综合与实践
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√22n+1−1
定义：将宽与长的比值为 （n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．
2n
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长
(CD)的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边
AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长
与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等
四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
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(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为
邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作
BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
1．（2023·吉林松原·模拟预测）【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【问题探究】：
（1）如图①，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD____（填“一定”或“不一定”）是
正方形；
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=4，动点M、N分别在AD、CD上（不含端点），
若∠MBN=60°，试判断四边形BMDN是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；
如果不是，请说明理由；并直接写出四边形BMDN的周长的最小值；
【尝试应用】：
（3）现有一个平行四边形材料ABCD，如图③，在 ▱ABCD中，AB=√17，BC=6，tanB=4，点E在
BC上，且BE=4，在 ▱ABCD边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时
AP的长．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形ABCD中，点F是矩形边上一动点，将线段BF绕点F顺
时针旋转一定的角度，使得BF与矩形的边交于点E（含端点），连接BE，把△BEF定义为“转角三角
形”．
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(1)由“转角三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“转角△BEF”一定是一个___三角形；
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当点F与点C重合时，画出这个“转角△BEF″，并求出
点E的坐标；
(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，当“转角△BEF″面积最大时，求点F的坐标．
1．（2023柳州市二模）如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，QM交
AD于E．
(1)猜想：ME与MF的数量关系为 ___________；
(2)如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠NMQ=∠ABC，直接写出：线段ME与线段MF
的数量关系为 ___________；
(3)如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB:BC=1:2，探索线段ME与线段MF的数量关
系，并说明理由；
(4)如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠NMQ=∠ABC，AB:BC=m其它条件不变，
直接写出ME：MF的值 ___________．
2．（2023·河南平顶山·一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC，CD上．连接
AM，AN，MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易
证：△ANM≌△ANE，从而可得：线段DM，BN与MN的关系：______．（请直接写出结论，不必说明
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理由）
（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N分别在边DC，BC上，连接AM，AN，MN，
1 1
∠MAN=45°，若tan∠BAN= ，求证：tan∠DAM= ．
3 2
（3）如图3，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M，N分别在边DC，BC上，连接AM，AN，
已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是______．
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）正方形ABCD中，P是对角线BD所在直线上一点．若P在对角线BD上
(如图1)，连接PC，过点P作PQ⊥CP交AB于点Q．若PD=2√2，AB=6，则BQ的长为 ；
若P在BD的延长线上(如图2)，连接AP，过点P作PE⊥AP交BC延长线于点E，连接DE，若CE=8，
△DPE的面积是20，则PE的长为 ．
4．（2023·广东云浮·三模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，
∠DAE=45°．若BD=3，CE=1，求DE的长．
小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图2），由图形旋转的性
质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE=45°，可证△FAE≌△DAE，得FE=DE．解△FCE，可求得
FE（即DE）的长．
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(1)请回答：在图2中，∠FCE= ，DE= ；
(2)参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
①已知：如图3，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连接
MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，则该三角形的形状是 ．
②如图4，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD．猜想线段BE、EF、DF之间的数量关系并说明理由．
2
1．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与
AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形
ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在
正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针
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旋转．
特例感知：
（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发
现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②，根据小红发现的结论，
请判断△APE的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，
△APE的形状是否发生改变？请说明理由．
AB k
3．（2022·湖北襄阳·中考真题）矩形ABCD中， ＝ （k＞1），点E是边BC的中点，连接AE，过点
BC 2
E作AE的垂线EF，与矩形的外角平分线CF交于点F．
(1)【特例证明】如图（1），当k＝2时，求证：AE＝EF；
小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．
证明：如图，在BA上截取BH＝BE，连接EH．
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∵k＝2，
∴AB＝BC．
∵∠B＝90°，BH＝BE，
∴∠1＝∠2＝45°，
∴∠AHE＝180°-∠1＝135°．
∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，
1
∴∠3＝ ∠DCG＝45°．
2
∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．
∴……
（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）
AE
(2)【类比探究】如图（2），当k≠2时，求 的值（用含k的式子表示）；
EF
(3)【拓展运用】如图（3），当k＝3时，P为边CD上一点，连接AP，PF，∠PAE＝45°，PF=√5，求BC
的长．
4．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点
1
B,C为圆心，以大于 BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；
2
②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．
【问题提出】
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在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，求线段CQ的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；
方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ的长．
请你任选其中一种方案求线段CQ的长．
5．（2023·江苏·中考真题）对于平面内的一个四边形，若存在点O，使得该四边形的一条对角线绕点O旋
转一定角度后能与另一条对角线重合，则称该四边形为“可旋四边形”，点O是该四边形的一个“旋点”．
例如，在矩形MNPQ中，对角线MP、NQ相交于点T，则点T是矩形MNPQ的一个“旋点”．
(1)若菱形ABCD为“可旋四边形”，其面积是4，则菱形ABCD的边长是_______；
(2)如图1，四边形ABCD为“可旋四边形”，边AB的中点O是四边形ABCD的一个“旋点”．求∠ACB
的度数；
(3)如图2，在四边形ABCD中，AC=BD，AD与BC不平行．四边形ABCD是否为“可旋四边形”？请
说明理由．
6．（2023·山东东营·中考真题）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点，求证：
∠PMN=∠PNM．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F，求证：
∠AEM=∠F．
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（3）用数学的语言表达．
如图，在△ABC中，AC<AB，点D在AC上，AD=BC，M是AB的中点，N是DC的中点，连接MN并
延长，与BC的延长线交于点G，连接GD，若∠ANM=60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．
36
