文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点 06 四边形综合应用题型总结（平行四边形综合
应用、菱形综合应用、矩形综合应用、正方形综合应
用）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
本专题主要通过上一专题三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；掌握平行四边
形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形（矩形、菱形、正方
形）的特征以及彼此之间的关系。经历从平行四边形到矩形、菱形、正方形的研究过程，体验“从一般到
特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形、正方形的性质定理，感悟类比思想；
在考试中能利用它们的性质和判定进行推理和计算，提高主动探究的习惯和意识。
模型01 平行四边形综合应用
考｜向｜预｜测
平行四边形的性质与判定该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，在各类考试中得分率较
高。掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定。清楚平行四边形、特殊平行四边形
（矩形、菱形、正方形）的特征以及彼此之间的关系。能用平行四边形的判定定理和性质定理进行几
何证明和计算是考试的重点。
答｜题｜技｜巧
1. 认真分析题目，理解题意；
2. 根据题意，利用平行四边形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；
3. 注意是否引入其它知识点，例如三角形、平面直角坐标系、函数等；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
ABCD BD ∠1=56°
1．如图，将平行四边形 沿对角线 折叠，使点 A 落在点 E 处．若 ，
∠2=40°，则∠A的度数为（ ）
A．68° B．70° C．110°D．112°
1．下列四个命题中，假命题是（ ）
A．顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
B．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
C．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
2．如图所示，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ， ，若 ， ，
则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 为 的四等分点， 为 的中点．若
，则 的长是（ ）
A．8 B．10 C．14 D．16
4．如图，已知平行四边形 ．
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线 ．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)E为 上一点，设（1）中 的平分线 交 于点F，连接 ，若 ，判断四边形
的形状，并说明理由．
5．如图， 与 的边 ， 在同一条直线上， ， 且 ，求证：四
边形 是平行四边形．
6．如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，且 于 ， 于 ．
求证：
(1) ；
(2)四边形 是平行四边形．
模型02 菱形综合应用
考｜向｜预｜测
菱形的性质与判定该题型主要是在综合性大题中考试较多，一般情况下出现在与圆结合或者利用
相似求长度、类比探究题型，具有一定的综合性和难度。掌握菱形的性质与判定，菱形的面积公式，
及一些特殊的菱形是解答本题的关键。注意菱形与平行四边形的区别，菱形与正方形的联系与区别，
利用数形结合及方程的思想解题。
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
答｜题｜技｜巧
1. 理解题意；
2. 根据题意，利用菱形的判定定理和性质定理进行几何证明和计算；
3. 注意菱形面积的求解，菱形与动点问题、圆及平面直角坐标系的结合；
4. 利用相关的性质和判定进行推理和计算。
1．（2023·湖南）如图，菱形 中，连接 ，若 ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在菱形 中， 于点E， ，则菱形 的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图， 是四边形 的对角线，点 分别是 的中点，点 分别是 的中
点．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边形 一定是平行四边形
B．若 ，则四边形 是矩形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3．如图，四边形 是菱形， ， ，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在 中，F是 的中点，E是线段 的延长线上一动点，连接 ，过点C作 ，
与线段 的延长线交于点D，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ，则在点E的运动过程中，
①当 为何值时，四边形 是矩形；
②当 为何值时，四边形 是菱形．
5．（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰 中， ，点E在
边上，以 为边作正方形 ，点F在 边上，连接 ，点P为线段 的中点，连接 ．以
点P为对称中心，画出 关于点P对称的图形，并直接写出 与 的位置及大小关系_____；
（2）【类比探究】在等边 中，D、E分别是 边上一点，且 ，以 、 为邻边作
菱形 ，再将菱形 绕C点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形 如图2，连接 ，点P
为线段 的中点，连接 、 ，判断 与 的位置及大小关系，并证明你的结论；
（3）【迁移运用】在（2）的条件下，若 ， ，菱形 在旋转过程中，当 最小时，直接
写出 的值_________．
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
模型03 矩形综合应用
考｜向｜预｜测
矩形的性质与判定该题型近年主要以填空及综合性大题的形式出现，一般属于多解型问题，难度系数
较大。矩形或其它特殊平行四边形的折叠问题注意折叠前后对应边相等、对应角相等，在多解题型中，
准确画出折叠后的图形是我们解题的关键。结合矩形的相关性质及判定定理与推论和其它几何的相关
知识点进行解题。
答｜题｜技｜巧
1. 确定试题考点方向，折叠、旋转、判定等；
2. 应用矩形相关的性质与判定进行解题；
3. 注意矩形的折叠、旋转、矩形与坐标系结合等题型的解法；
4. 进行相关计算解决问题.
1.（2023•安徽）如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：AF＝
CE．
1．如图，矩形 中， 为 中点，连接 ．点 为点 关于 的对称点，连接 ， ，
．设 ， 的面积为 ，则 与 的函数图象大致为（ ）
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
2．如图，矩形 中， 是 边上一动点， ， ，若 ，那么 的长
度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形 中， ，点 分别在边 上，将矩形 沿 折叠，
得到四边形 ，且点 恰好为边 的中点，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，矩形 中，点 为 边上一点．
(1)如图1，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，当 ，且 时，求 的度数；
(2)如图2，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，连接 ， ，若 ，且 平分
，判断 的形状，并证明；
(3)如图3， 点为 上一点，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，若 ， ，且
，直接写出 的最短距离．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5．如图，在 中，过点D作 于点E，点F在边 上， ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)已知 ， 平分 ，若 ，求 的长度．
模型04 正方形综合应用
考｜向｜预｜测
正方形的性质与判定该题型主要以解答题的形式出现，综合性较强，有一定难度，本专题重点分析正
方形与平面直角坐标系相结合、正方形的折叠等题型。结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合
经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题
能力。
答｜题｜技｜巧
1. 确定正方形所考查知识点；
2. 利用正方形的特殊性分析题目信息，根据已知条件得出相关结论；
3. 结合各类模型中解题技巧和方法，综合运用；
4. 结合其它几何的相关知识点进行解题；
1．（2023•湖南）如图，点 、 为正方形 边的点， ，点 、 分别为
线段 、 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
1．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形 ，其
中 ，连结 ，若 ，则正方形 的
边长是（ ）
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B．2 C． D．
2．如图，点 是正方形 的边 上一点，把 绕点 顺时针旋转 到 的位置．若四边
形 的面积为 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B． C．8 D．
3．小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形 ，
点E、F、G、H分别在边 上，若 ，则 ．”为了解决这个问题，经过
思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点A作 交 于点M，过点B作 交 于点N；
方案二：过点A作 交 于点M，过点A作 交边 的延长线于点N．…
(1)对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））．
(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设 （如图（2）），试探究 之间
有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(3)如果把条件中的“ ”改为“ 与 的夹角为 ”，并假设正方形 的边长为2，
的长为 （如图（3）），试求 的长度．
4．点 是正方形 所在平面内一点．
(1)如图 ，若 为 边上一点， 为 延长线上一点，且 ，判断 与 之间的关系，说明理
由；
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)如图 ，若点 在边 下方，当 时，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，猜想线段
， ， 之间的数量关系，并证明；
(3)在（ ）的条件下，连接 ，延长 交 于点 .当 ， 时，求 的面积．
5．已知正方形 中， ，点 是正方形 内动点，且始终保持 ．
(1)如图1， 绕 顺时针旋转 得 ，请在图中画出 并求 的长；
(2)在（1）的条件下，如图2，当 、 、 三点共线时，求 的度数及 的长；
(3)在（1）的条件下，是否存在某时刻使得 ，请求出 的长；若不存在，请说明理由．
1．如图，在平行四边形 中， ， ．按下列步骤作图：
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
①以点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点 ；
②分别以点 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点 ；
③连接 并延长交 于点 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点 是平行四边形 内一点， 与 轴平行， 与 轴平行 ， ，
．若反比例函数 的图象经过 、 两点，则 的值是（ ）
A．3 B．6 C． D．12
3．如图，将菱形纸片 折叠，使点 落在 边的点 处，折痕为 ，若 ， 为 的中点，
，则四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图（1），在正方形 中，点 是对角线 上 一动点，点 是 上的点，且 ． 设
， ，已知 与 之间的函数关系图象如图（2）所示，点 是图象的最低点，
那么 的值为 （ ）
11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A． B． C． D．
5．如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点D在 上， ，过点D作 的切线并交
的延长线于点E，且 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2) ，求 的长．
6．如图，在正方形 中， 为对角线 上一点（不与 、 重合），连接 ，过点 作
交边 于点 ，连接 、 ．
(1)判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，直接写出 的取值范围是________；
(3)延长 交射线 于点 ，请将图形补充完整，猜想线段 和线段 的数量关系，并说明理由．
7．综合与实践
在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的
研究：
12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形， ，点D是 的中点，作正方形 ，使点A，C
分别在 和 上，连接 ， ．
(1)试猜想线段 与 的关系为 ；
(2)将正方形 绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于 ，小于或等于 ）．如图2，在旋
转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若 ， ．
①将正方形 绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G
之间，求 的长；
②在图2中，若 ，过点G作 中 边的高线，与 的延长线交于点P，请直接写出
的长．
1．如图，矩形 的对角线相交于点 ，点 分别是边 上的点，且 ．若 ，
，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 是矩形 的对角线， 是 边上的中点，连接 ， 于点 ，连接 ，分
析下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论有
（ ）
13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在正方形 中，E，F是对角线 上两点， ， 的延长线分别交
于点G，H，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在边长为3的正方形 的外侧，作等腰三角形 ， ．若F为 的中点，连
接 并延长，与 相交于点G，则 的长为（ ）
A． B．4 C． D．
4．【问题初探】
（1）李老师给出如下问题：如图1，在平行四边形 中， ，且 ，点E是 的中点，
点F为对角线 上的点，且 ，连接线段 ，若 ，求 的长．
小鹏同学考虑到点E是 的中点，从中点的角度思考，想办法构造另一个中点，从而形成中位线，所以
想到连接 ，与 交于点O．请你利用李老师的提示，帮助小鹏同学解决这个问题．
【类比拓展】李老师为了帮助学生更好地感悟中点的解题策略，李老师提出了下面问题，请你解答．
（2）如图2，在 中， 平分 ，过点A作 延长线的垂线，垂足为点D， ，求证：
．
14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【学以致用】
（3）如图3，在 中， ，点D在 上， ，点E，F分别是 ， 的中点，连接
并延长，与 的延长线交于点G，连接 ，若 ，求证： ．
5．如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ， 的中点为 ，连接 并延长至点 ，使得
，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求菱形 的面积．
6．如图，菱形 的边长为5， ， ，垂足分别为点 ，连接 ，已知 ．
(1)求证： ；
(2)求 的长；
(3)连接 ，与 相交于点 ，将图1中的 绕点 旋转，当点 落在线段 上时，如图2，点
15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在线段 上，连接 ，与 相交于点 ， ，求 的值．
6．【特例感知】
（1）如图1，在正方形 中，点E是 边上一点，将 E沿 翻折，点 的对应点为 ，延长
交 边于点 ，连接 ．求证： ．
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形 中， ，点 是 边上一点，将 沿 翻折，点 的对应点
恰好落在 边上，求 的度数．
【拓展应用】
（3）在菱形 中， ，边长为 ，点 是 边上一点，点 是 边上一点，将 沿
翻折，点 的对应点 恰好落在菱形 的一条边上，且 ．
①如图3，当点 落在 边上时，求 的长；
②当点 落在 边上时，请直接写出 的长．
16
