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专题 09 成比例线段、平行线分线段成比例
考点一 比例的性质 考点二 线段的比
考点三 成比例线段 考点四 黄金分割
考点五 由平行判断成比例的线段 考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
考点一 比例的性质
例题：（2021·江苏·南通市八一中学九年级阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用设k法，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴设a=3k，b=5k，
∴ =4，
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）已知 ，则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
2．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知 ，那么 ______．
【答案】
【分析】由题意可设 ，然后代入求解即可．
【详解】解： ，
设
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
考点二 线段的比
例题：（2022·全国·九年级专题练习）地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那
么乐山到峨眉的实际距离是（ ）
A．3800米 B．38000米 C．380000米 D．3800000米
【答案】B
【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm，利用比例尺的定义得到3.8：x=1：1000000，然后利用比例的
性质求出x，再化单位化为米即可．
【详解】解：设乐山到峨眉的实际距离为x厘米，
根据题意得3.8：x=1：1000000，
解得x=3800000，
所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·河南南阳·九年级期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 _____千米．
【答案】250
【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可．
【详解】解： （厘米）
厘米= 千米
答：两地间的实际距离是 km．
故答案为： ．
【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．
2．（2022·云南文山·九年级期末）如图，在 中，D、E分别是AB、AC的中点，则 ______．
【答案】 ##0.5
【分析】根据点D是AB中点直接得出 的值即可
【详解】解：∵点D是AB中点，
∴AB=2AD，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义．
考点三 成比例线段
例题：（2022·全国·九年级专题练习）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段
d的长为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4
【答案】A【分析】如果四条线段a、b、c、d满足 、则四条线段a、b、c、d称为比例线段．（有先后顺序，
不可颠倒），将a，b及c的值代入即可求得d．
【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，
根据比例线段的定义得： ，
代入a＝3，b＝0.6，c＝2，得： ，
解得：d＝0.4．
故线段d的长为0.4．
故选A．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的定义求解即可．
【变式训练】
1．（2020·辽宁·宽甸满族自治县第一初中九年级阶段练习）下列四组线段中，是成比例线段的是（
）
A．5cm，6cm，7cm，8cm B．3cm，6cm，2cm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．2cm，3cm，4cm，6cm
【答案】D
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，
排除错误答案．
【详解】A． ，故选项错误；
B． ，故选项错误；
C． ，故选项错误；
D． ，故选项正确，
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外
两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
2．（2022·陕西渭南·九年级期末）若长度为 ， ， ， 的四条线段是成比例线段，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据四条线段成比例的概念，得比例式 ，再根据比例的基本性质，即可求得 的值．【详解】解：∵长度为 ， ， ， 的四条线段是成比例线段，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查成比例线段的概念，比例的基本性质．掌握成比例线段的概念是解题的关键．
考点四 黄金分割
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）已知C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列结论
错误的是（ ）
A．AC2=BC·AB B．BC2=AC·AB C． D．
【答案】B
【分析】根据黄金分割的定义得出 ，从而判断各选项．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴ ，即AC2=BC•AB，故A、C选项正确，不符合题意；
∴ ，故选项D正确，不符合题意；
由 得不到 ，所以，选项B错误，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例
中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．，掌握黄金分割的定义和性质
是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·黑龙江大庆·八年级期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分
割”，如图， 为 的黄金分割点（ ），如果 的长度为 ，那么 的长度为_______ ．
（结果保留根号）【答案】5 -5
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝ AB＝ ×10＝5 ﹣5（cm），
故答案为：5 ﹣5．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例
中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割
比值是解题的关键．
2．（2022·山东淄博·八年级期末）我们把宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，已知四边形 是
黄金矩形，边 的长度为 ，则该矩形的周长为 __．
【答案】4或
【分析】根据黄金矩形的定义进行讨论，当 时，当 时，分别计算即可．
【详解】解：当 时，即 ，
此时矩形的周长为 ；
当 时，即 ，
解得 ，此时矩形的周长为 ，
综上所述，该矩形的周长为4或 ．
故答案为：4或 ．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握要注意分类讨论.
考点五 由平行判断成比例的线段
例题：（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）如图，在 ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边
上，DE∥BC，EF∥AB，则下列结论正确的是（ ） △
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理，在两组平行线里面，通过 ， ，逐项判断，得
出结论．
【详解】∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题，解题的关键是找准对应线段，准确列出
比例式，推理论证．
【变式训练】
1．（2021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）如图 ，直线AC与DF交于点O，且与 ， ，
分别交于点A，B，C，D，E，F，则下列比例式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平行线分线段成比例定理的内容是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例，根据以上
内容判断即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，结果正确，故本选项不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，结果正确，故本选项不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，结果正确，故本选项不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，结果错误，故本选项符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是：一组平行线截两条直线，所截的线段对应
成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知 ，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”进行判断即可．
【详解】解：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
∵BC和AD对应，CE和DF对应，BE和AF对应，
∴ ， ，
故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，确定出对应线段是解题的关
键．
考点六 由平行截线求相关线段的长或比值
例题：（2022·黑龙江·大庆市庆新中学八年级期中）如图，点 ， 分别在 ， 上， ，
，若 ，则 的长为________________
【答案】16
【分析】根据平行线分线段成比例，可得 ，从而得到 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为：16
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·八年级期中）如图，已知在 中，点D、E、F分别是边 上的点，
，且 ，那么 等于___________．
【答案】 ##
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DE BC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到
CE：CA=5：8，然后利用EF AB可得到CF：CB=5：8．
【详解】解：∵DE BC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EF AB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
即 ．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所
得的对应线段成比例．
2．（2022·山东烟台·八年级期中）图， ，直线 、 与 、 、 分别相交于点A、 、 和点 、、 ．若 ， ， ，则 ______．
【答案】4
【分析】由题意易得BC=10，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为4．
【点睛】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键．
一、选择题
1．（2022·山东烟台·八年级期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12
【答案】D
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答
案．【详解】解：A、∵3×7 4×6，∴四条线段不成比例；
B、∵5×8 6×7，∴四条线段不成比例；
C、∵2×8 4×6，∴四条线段不成比例；
D、∵8×15 = 10×12，∴四条线段成比例．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大
的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．（2022·山东·东营市垦利区郝家镇中学八年级期中）如果 ，那么下列比例式中正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质，“若 ，则ad=bc”，逐个判断即可得出答案．
【详解】解：由比例的性质可得：
A. ，3x=2y；
B. ，xy=6；
C. ，2x=3y；
D. ，3x=2y．
故选：C．
【点睛】本题考查比例的性质，掌握“若 ，则ad=bc”是本题的解题关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图， ，直线l，l 与这三条平行线分别交于点A，B，C
1 2
和点D，E，F．已知AB＝1，DE＝1.2，BC=2，则EF的长为（ ）A．2.4 B．3.6 C．4 D．0.6
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∵AB=1，DE=1.2，BC=2，
∴ ，
解得：EF=2.4，
故选：A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
4．（2022·山东烟台·八年级期末）我们把宽与长的比等于 的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形
ABCD（ ）的边BC上取一点E，使得 ，连接AE，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设BC=a，
∵矩形ABCD为黄金矩形，
∴AB= a，
∴BE=a- a= a，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为 是解题的关键．
5．（2022·湖北襄阳·九年级期末）如图，在 中，点D、E、F分别在 边上，连接
，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行判
断即可．
【详解】解： 、 ，
∴ ，故选项A正确；、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选项B正确；
、∵ ，
∴ ，
∵ 与 的大小关系不能确定，
∴ ，故选项C错误；
、∵ ，
∴ ，
∴ ，故选项D正确，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，正确
应用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·湖南·岳阳市第十九中学九年级期末）若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据 可得 ，把a，c，e代入所求代数式中，约分后即可求得
结果．
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的性质，比的性质，求代数式的值，根据分式的性质变形是关键．
7．（2022·广西·西林县民族初中九年级期末）在比例尺为1:100000的地图上，量得A、B两地的距离为
8cm，则A、B两地的实际距离是______千米．
【答案】8
【分析】根据比例尺=图上距离∶实际距离求解即可．
【详解】解：由题意可知：A、B两地的图上距离为8cm，
则A、B两地的实际距离为： ，
∵800000厘米=8千米，
∴A、B两地的实际距离是8千米．
故答案为：8
【点睛】本题考查了比例尺公式，比例尺就是图上距离与实际距离的比，熟练掌握比例尺公式，注意单位
的换算是解题关键．
8．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，已知D、E分别为AB、AC上的两点，且DE BC，AE=3CE，
AB=8，则AD的长为____________．
【答案】6
【分析】利用平行线分线段成比例定理得到 ，然后根据比例性质求出DA．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴ ，∴ ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
9．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，有一块纸质直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D是AC的中点，现
从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，点G在AB上．若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则纸条GD
的长为 _____．
【答案】6.5cm
【分析】设GD=xcm，根据D是AC的中点，得到AD=CD，根据矩形DEFG中，EF=GD=xcm，GD∥EF，
推出AG=BG，BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，推出GD= BC，得到x= (x+6.5)，得到
GD=6.5cm．
【详解】设GD=xcm，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD，
∵矩形DEFG中， DG∥EF，
∴
∴AG=BG，
∵EF=DG=xcm，BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴BC=BF+EF+CF=4.5cm+xcm+2cm=(x+6.5)cm，
∴DG= BC，
∴x= (x+6.5)，
∴x==6.5，∴DG=6.5cm．
故答案为：6.5cm．
【点睛】本题主要考查了矩形，三角形中位线，平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是熟练掌握矩
形的边是性质，三角形中位线的性质．
10．（2022·全国·九年级课时练习）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特意将汽车倒车镜设计在整个
车身黄金分割点的位置（如图所示），若车头与倒车镜的水平距离为2米，则该车车身总长约为 _____米．
（倒车镜到车尾部分较长，结果保留根号）
【答案】 3##
【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根
据题意列方程x x＝2，然后解方程即可．
【详解】解：设该车车身总长为xm，
∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，
∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为 x，
∴x x＝2，解得x 3，
即该车车身总长为（ 3）米．
故答案为： 3．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比
例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
三、解答题
11．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，l l l，且AB＝2BC，DF＝5 cm，AG＝4 cm．求GF，
1 2 3AF，EF的长．
【答案】2 cm、6cm、 cm
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】解：∵l∥l，
2 3
∴ ＝ ．
而AG＝4 cm，AB＝2BC，
∴ ＝2．
∴GF＝2 cm．
∴AF＝AG＋GF＝4＋2＝6（cm）．
∵l∥l∥l，
1 2 3
∴ ＝ ，即 ，
∴EF＝ cm．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，三条平行线被两条直线所截得的对应线段成比例．
12．（2021·广西·梧州市第十中学九年级期中）若 都是不为零的实数，且 ，求
的值．
【答案】2或－1．
【分析】分a+b+c≠0与a+b+c=0两种情况讨论，前一种情况利用等比性质求解，后一种情况用整体代入求
解．
【详解】当a+b+c≠0时，由 ，
得 ，
∴ ，即k=2；
当a+b+c=0时，则a+b=－c，
∴ ，
综上所述，k的值是2或－1．
【点睛】本题考查比例的性质，运用等比性质运算是解题的关键．特别注意别漏掉a+b+c=0的情况．等比
性质的内容是：若 ，则 ．此处用其推广形式：若
，则 ．
13．（2022·全国·九年级专题练习）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项．
（2）已知x：y＝4：3，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两
外项之积即可得出答案．
（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．
【详解】解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝ （负值舍去）．
∴线段a，b的比例中项是3 ．
（2）设x＝4k，y＝3k，
∴ ＝ ＝ ．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
14．（2022·全国·九年级课时练习）已知线段a、b、c满足 且 ．
(1)求线段a、b、c的长；(2)若线段x是线段a、b的比例中项（ ），求线段x的长．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）设 ，则 ， ， ，再代入 解方程求出 的值，由此
即可得；
（2）根据比例中项的定义可得一个关于 的方程，解方程即可得．
（1）解：设 ，则 ， ， ， ， ，解得 ，
则 ， ， ．
（2）解： 线段 是线段 、 的比例中项，且 ， ， ，解得 或 （舍
去），经检验， 是所列分式方程的解，即线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了比例的性质、比例中项、解分式方程的应用，熟练掌握比例的性质是解题关键．
15．（2022·全国·九年级专题练习）如图所示，有矩形ABCD和矩形 ，AB＝8cm，BC＝12cm，
＝4cm， ＝6cm．
(1)求 和 ；
(2)线段 ，AB， ，BC是成比例线段吗？
【答案】(1) ，
(2)线段 ，AB， ，BC是成比例线段．【分析】（1）根据已知条件，代入 和 ，即可求得结果；
（2）根据 和 的值相等，即可判断线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
(1)
∵AB＝8cm，BC＝12cm，A′B′＝4cm，B′C′＝6cm．
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝
(2)
由（1）知 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ；
∴ ＝ ，
∴线段A′B′，AB，B′C′，BC是成比例线段．
【点睛】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．
16．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中， ，AB＝15，AE＝6，EC
＝4．
（1）求AD的长．
（2）试说明 成立．
【答案】（1）AD=9；（2）见解析
【分析】（1）利用 和比例性质直接计算出AD；
（2）根据比例的性质由 得到 ，然后再利用比例性质即可得到 ．
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∴AD=9；
（2）∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比
例的性质．
17．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，EF CD，DE BC．
（1）求证：AF：FD＝AD：DB；
（2）若AB＝30，AD：BD＝2：1，请直接写出DF的长．
【答案】（1）见详解；（2） ．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，由EF CD得到AF：FD=AE：EC，由DE BC得到AE：
EC=AD：DB，再进行等量代换即可求解；
（2）根据比例的性质得到 ，根据（1）结论得到AF：FD=2:1，即可求出DF．
【详解】解：（1）证明：∵EF CD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DE BC，
∴AE：EC=AD：DB，
∴AF：FD＝AD：DB；
（2）∵AB＝30，AD：BD＝2：1，
∴ ，∵AF：FD＝AD：DB，
∴AF：FD=2:1，
∴
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理“两直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例”是解题关键．
