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专题 09 期末模拟测试卷 3（拔尖卷）
考试时间：100分钟；满分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共20分)
1．(本题2分)下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A. 和 不是同类项不能合并．故该选项错误，不符合题意．
B. ．故该选项正确，符合题意．
C. ．故该选项错误，不符合题意．
D. ．故该选项错误，不符合题意．
故选B．
2．(本题2分)要使式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知： ，
∴ ．故选：A．3．(本题2分)若直线 与 轴的交点位于 轴正半轴上，则它与直线
交点的横坐标 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解： 直线 与 轴的交点位于 轴正半轴上，
．令 ，解得： ，
即 ，得 ．
①当 时，解得 ，与题设矛盾；
②当 时，解得 ，所以 ．
当直线 与直线 相交时，
，解得： ，即 ，
又 ，
，
∴0<-k<2，∴2<2-k<4， ，
， ．故选： ．
4．(本题2分)如图，在▱ABCD中，CD＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A
作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝6，则BE的长为（ ）
A．8 B．10 C．16 D．18
【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AF⊥BE，∴BE＝2BF，
∵CD＝10，∴AB＝10，
∵AF＝6，∴BF＝ ＝8，
∴BE＝2BF＝16，故选：C．
5．(本题2分)若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围是
（ ）
A．m≥﹣8 B．m≤﹣8 C．m＞﹣8 D．m＜﹣8
【答案】C
【解析】解不等式2x-m≤0可得x≤ ，解不等式-x＜4可得x＞-4，根据不等式组有解
集可知-4＜x≤ ，且 ＞-4，解得m＞-8.故选：C.
6．(本题2分)如图， 中， 的平分线 与边 的垂
直平分线 相交于D， 交 的延长线于E， 于F，现有下列结
论：① ；② ；③ 平分 ;④ ，
其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：如图所示：连接 、 ．
① 平分 ， ， ，
． ①正确．
② ， 平分 ，
． ， ．
， ，
．同理： ． ． ②正确．
③由题意可知： ．
假设 平分 ，则 ，
又 ， ． ．
是否等于 不知道， 不能判定 平分 ，
故③错误．
④ 是 的垂直平分线，
．
在 和 中 ， ．
．又 ， ，
．
故④正确．故选：C．
7．(本题2分)如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋转得到
，此时使点 的对应点 恰好在 边上，点 的对应点为 ， 与
交于点 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意可得：
，不能得 ，故A错误；
，不能得 ，故B错误；
不一定等于 ，即 不一定平行于AC，不能得 ，故C错
误；
， ，可得 ，故D正确；
故选：D．
8．(本题2分)如图，在 中， ，对角线 与 相交于点 ，
交 于 ，若 的周长为 ，则 的周长是（ ）A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴ ， ；
∵ 交 于 ；
∴ 是线段 的垂直平分线，
∴ ；
∴ ；
∴ 的周长为
∴ 的周长为 .故选：A.
9．(本题2分)如图在 中， 和 的平分线交于点 ，过点 作
交 于 ，交 于 ，过点 作 于 ，下列四个结论：其中
正确的结论有（ ）个．
① ；② ；③点 到 各边的距离相等；
④设 , ，则 ；⑤ 的周长等于 的和．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．
∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，
∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；
②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴∠GBC+∠GCB= （∠ABC+∠ACB）= （180°-∠A），
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°- （180°-∠A）=90°+ ∠A，故②错误；
③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，
∴点G也在∠BAC的平分线上，
∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；
④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：
∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，
∴GD=GM=m，
∴S = AE•GM+ AF•GD= （AE+AF）•GD= nm，故④错误．
△AEF
⑤∵BE=EG，GF=CF，
∴AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，
即△AEF的周长等于AB+AC的和，故⑤正确，故选：C．
10．(本题2分)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O．过点O
作EF∥BC交AB于E．交AC于F．过点O作OD⊥AC于D．下列五个结论：其中正
确的有（ ）
（1） EF=BE+CF； （2）∠BOC=90°+ ∠A；（3）点O到△ABC各边的距离都相
等；（4）设OD=m．若AE十AF =n，则S = mn；（5）S S ．
△AEF △AEF= △FOC
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B【解析】解： 在 中， 和 的平分线相交于点 ，
， ， ，
，
；故（2）正确；
在 中， 和 的平分线相交于点 ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
，
故（1）正确；
过点 作 于 ，作 于 ，连接 ，
在 中， 和 的平分线相交于点 ，
，
；故（3）正确，
（4）错误；
， ，
， 不一定等于 ，
不一定等于 ．故（5）错误，综上可知其中正确的结论是（1）（2）（3），
故选： ．
第II卷（非选择题）
二、填空题(共14分)
11．(本题2分)分解因式： ______．
【答案】
【解析】解： ．
故答案为： ．
12．(本题2分)关于 的分式方程 的解为非负数，则 的取值范围是
______．
【答案】 且
【解析】方程两边都乘x-1，得：2x-a-3(x-1)=-1
解得：x=4-a由题意，4-a≥0∴a≤4
但当4-a=1，即a=3时，x=1是方程的增根，所以a≠3
所以a的取值范围为 且
故答案为： 且
13．(本题2分)如图，等腰 的底边BC=20，面积为120，点D在BC边上，且
CD=5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则∆CDM周长的最小
值为______．
【答案】18【解析】如图，作AH⊥BC于H，连接AM，
∵EF垂直平分线段AC，∴MA=MC，
∴DM+MC=AM+MD，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
∵等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，AH⊥BC，
∴BH=CH=10，AH= ，∴DH=CH-CD=5，
∴ ，
∴DM+MC的最小值为13，
∴△CDM周长的最小值=13+5=18，故答案为：18．
14．(本题2分)如图， ，点A是 延长线上的一点， ，动
点P从点A出发沿 以 的速度移动，动点Q从点O出发沿 以 的速
度移动，如果点 同时出发，用 表示移动的时间，当 _________s时，
是等腰三角形；当 _________s时， 是直角三角形．【答案】 或5 4或10
【解析】解：如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是等腰三角形，
， ，
当 时， ，解得 ；
如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ，
当 时， ，解得 ；如图，当 时， 是直角三角形，且 ，
， ， 当 时， ，
解得：t=10．故答案为： 或5；4或10．
15．(本题2分)一次函数 与 的图像如图所示，则以
下结论：① ；②若直线 上有两点 ，则 ；③
关于 不等式 的解集是 ；④当 时， ．其中正确结论的
序号是______．
【答案】①②④
【解析】解：①函数 的图象经过第二、三、四象限，
∴ ， ∴ ，故结论①正确；
②直线 经过一、三象限，函数值y随x的增大而增大，
∵ ∴ ，故②正确；③直线 与 交于
当 时，函数 的图象在函数 的图象下方，
∴关于 不等式 的解集是 ，故③错误；
④当 时，函数 的图象在函数 的图象上方，
∴ ，故④正确．∴正确的结论有①②④，故答案为：①②④．
16．(本题2分)前年“五•一”期间，一批大二同学包租一辆客车去蜀南花海游览，客
车的租金为500元，出发时，又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来
少分摊了5元车费，若设原来参加游览的同学一共有 人，为求 ，可列方程为
__________．
【答案】
【解析】设原来参加游览的同学一共有 人，则实际有（x+5）人，
根据题意，得 ，
故答案为： ．
17．(本题2分)如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝8，AD＝6，点M，N分别
为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，
MN的中点，则EF长度的最大值为_____．
【答案】5
【解析】解：连接DN，∵点E，F分别为DM，MN的中点，
∴EF是△MND的中位线，∴ ，
∵点M，N分别为线段BC，AB上的动点，
∴当点N与点B重合时，DN最大，此时
∴EF长度的最大值为： ，故答案为：5．
三、解答题(共86分)
18．(本题6分)分解因式：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】解：（1）
=
=
=
=
（2）
==
19．(本题6分)先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】解：
，
当 时，原式 ．
20．(本题8分)如图，已知：在平行四边形 中， ，垂足为 ，
，点 ， 分别为 ， 的中点，连接 ， 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求平行四边形 的面积．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：∵ 为平行四边形∴
又∵ ，点 ， 分别为 ， 的中点
∴ ，∵ ，
∴ ,∴ ，
又
∴ ∴ ；
（2）解：∵ ，
由（1）知
所以在 中，由勾股定理，得
又
所以平行四边形 的面积为 ．
21．(本题8分)已知，如图所示， ， ，点 、 在 上．
，连接 、 ．
求证：（1） ；
（2）四边形 是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）∵ ，∴ ．
在 和 中， ，∴ ．∴ ．
（2）∵ ．∴ ， ．
∴ ．
即 ．∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
22．(本题10分)已知：如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝x﹣4的图象相交于点A．
1 2
（1）求点A的坐标．
（2）若一次函数y 与y 的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
1 2
（3）结合图象，直接写出y≤y 时x的取值范围．
1 2
【答案】（1） ；（2）9；（3）
【解析】解：（1）联立两函数解析式可得方程组 ，
解得： ， 点 的坐标为 ；
（2）当 时， ，解得： ， ，
当 时， ，解得： ， ，
， 的面积为： ；
（3）由图象可得： 时 的取值范围是 ．
23．(本题12分)某新建火车站站前广场需要绿化的面积为35000米 ，施工队在绿化了11000米 后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化
工程．该项绿化工程原计划每天完成多少米 ？
【答案】2000平方米
【解析】解：设该项绿化工程原计划每天完成 平方米，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，x=-2000不合题意舍去
答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米．
24．(本题12分)阅读下列材料：
对于多项式 ，如果我们把 代入此多项式，发现 的值为0，这
时可以确定多项式中有因式 ：同理，可以确定多项式中有另一个因式 ，
于是我们可以得到： .
又如：对于多项式 ，发现当 时， 的值为0，则多项式
有一个因式 ，我们可以设 ，解得
， ，于是我们可以得到： .
请你根据以上材料，解答以下问题：
（1）当 时，多项式 的值为0，所以多项式 有因式
，从而因式分解 .
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝
试用试根法分解多项式：① ；② .（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想：
代数式 有因式 ， ， ，
所以分解因式 .
【答案】（1） ； ， ；（2）① ②
；（3） ，
【解析】（1）当x=1是，多项式 =0，
则 ，
解得m=6，n=5，∴ ；
（2）①当x=﹣1时，多项式 =0，
则 ，
解得m=2，n=3，∴ ；
②当x=1或2时，多项式 =0，
则 ，
解得m=1，n=3，∴ ；
（3）由题意可得当x=2或y=2或x=y时，多项式 =0，
则 有因式 ，
∵ ，
，
∴ .25．(本题12分)如图1，已知 是 的一个外角，我们容易证明
，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究；
（1）如图2， 与 分别为 的两个外角，则
______ （选填“ ”“ ”或“ ”），并说明理由；
初步应用：
（2）如图3，在 纸片中剪去 ，得到四边形 ， ，
，则 ______；（直接写出答案）
拓展延伸：
（3）如图4，在 中， ， 分别平分外角 ， ， 与
有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：______；
解决问题：
（4）如图5，在四边形 中， ， 分别平分外角 ， ，请利
用上面的结论探究 与 ， 的数量关系．
【答案】（1） ，理由见解析；（2）55°；（3） ；（4）
．【解析】解：（1） = ，理由是：
∵ ， ， ．
∴ ；
故答案为：=；
（2）由（1）题的结论可得： = ，
∴135°+100°= ，∴∠C=55°，故答案为：55°．
（3）∵ ， 分别平分 ， ，
∴∠PBC= ∠DBC，∠PCB= ∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB= (∠DBC+∠ECB)，
∵ = ，
∴∠PBC+∠PCB= ，
∴ ．
故答案为： ；（4） ．
理由：如图，∵ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在四边形 中， ，
又∵在 中， ，
∴ ．
26．(本题12分)（1）如图1，已知：在△ABC中，AB=AC=10，BD平分∠ABC，CD
平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有
__________个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是__________，△AEF的周
长是__________；
（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB=AC=10”该为“若△ABC为不等边三角形，
AB=8，AC=10”其余条件不变，则图中共有__________个等腰三角形；EF与BE、CF
之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长；（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB>AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的
外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之
间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．
【答案】（1）5；BE+CF=EF；20； （2）2；BE+CF=EF，证明见解析；△AEF的周
长=18；（3）BE-CF=EF，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两
直线平行，内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出
∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答
即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，再根据两直线平行，
内错角相等可得∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，然后求出∠EBD=∠EDB，
∠FDC=∠BCD，再根据等角对等边可得BE=DE，CF=DF，然后解答即可；
（3）由（2）知BE=ED，CF=DF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的
数量关系．
试题解析：解：（1）BE+CF=EF．理由如下：
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，∴∠DBC=∠DCB，∴DB=DC．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，AE=AF，∴等腰三角形有
△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5个，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF，△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20．
故答案为5；BE+CF=EF；20；
（2）BE+CF=EF．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠CBD，
∠FCD=∠BCD．∵EF∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠BCD，∴BE=DE，CF=DF，∴等腰三角形有△BDE，
△CFD，∴BE+CF=DE+DF=EF，即BE+CF=EF．△AEF的周长
=AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+EB+CF+AF=AB+AC=8+10=18．
此时有两个等腰三角形，EF＝BE＋CF，C ＝18．
△AEF
（3）BE﹣CF=EF．由（1）知BE=ED．∵EF∥BC，∴∠EDC=∠DCG=∠ACD，
∴CF=DF．
又∵ED﹣DF=EF，∴BE﹣CF=EF．
