文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.2等边三角形的性质
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2021•汇川区三模）如图，已知直线 ，将等边三角形如图放置，若 ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】过 点作直线 ，由平行线的性质可求得 ，利用平行公理可得直线 ，即可得
，根据等边三角形的性质可知 ，进而可求解．
【解析】如图，过 点作直线 ，
，
，直线 ，
直线 ，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
故选： ．
2．（2020秋•南浔区期末）已知 中， ， ，则 的周长等于
A． B．3 C．6 D．9
【分析】证明 是等边三角形，可得结论．
【解析】 ， ，
是等边三角形，
的周长为9，
故选： ．
3．（2019•玉溪模拟）如图，在等边三角形 中，点 是边 的中点，则 度．
A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形的三线合一的性质解答即可．
【解析】在等边三角形 中，点 是边 的中点，
， ， ，，
故选： ．
4．（2019•龙岩一模）三个等边三角形的摆放位置如图，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于 ，用 ， ， 表示出 各角的
度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解析】 图中是三个等边三角形， ，
， ，
，
，
，
．
故选： ．
5．（2021秋•莱西市期中）下列条件不能得到等边三角形的是
A．有一个内角是 的锐角三角形
B．有一个内角是 的等腰三角形
C．顶角和底角相等的等腰三角形
D．腰和底边相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可．
【解析】因为有一个内角是 的等腰三角形是等边三角形，所以 选项符合题意；
所以 选项不符合题意；
因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形，
所以 不符合题意；
因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形，
所以 选项不符合题意．
故选： ．
6．（2020•浙江自主招生）在等腰三角形 中， 边上的高恰好等于 边长的一半，则 等于
A． B． 或
C． 或 D． 或 或
【分析】本题要分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质来分析：①当 在三角形的内部，② 在三
角形的外部以，③ 边为等腰三角形的底边．
【解析】如下图，分三种情况：
①如图1， ， ， 在三角形的内部，
由题意知， ，
，
， ，
；
②如图2， ， ， 在三角形的外部，
由题意知， ，
，
，，
；
③如图3， ， ， 边为等腰三角形的底边，
由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点 为 的中点，
由题意知， ，
， 均为等腰直角三角形，
，
，
的度数为 或 或 ，
故选： ．
7．（2019春•文登区期末）如图， ， 平分 ，且 ．若点 ， 分别在 ，
上，且 为等边三角形，则满足上述条件的 有
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
【分析】如图在 、 上截取 ，作 ，只要证明 即可推出
是等边三角形，由此即可得结论
【解析】如图在 、 上截取 ，作 ．
平分 ，
，
，
， 是等边三角形，
， ，，
在 和 中，
，
．
， ，
是等边三角形，
只要 ， 就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选： ．
8．（2019 秋•镇赉县期末）如图是“人字形”钢架，其中斜梁 ，顶角 ，跨度
， 为支柱（即底边 的中线），两根支撑架 ， ，则 等于
A． B． C． D．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出 ，根据直角三角形 角所对的
直角边等于斜边的一半得到 ， ，两式相加，即可证明 ．
【解析】 ， ，
，
， ，垂足为 ， ，
， ，
．．
故选： ．
9．（2020•浙江自主招生）如图，在等边 中， ， ， ， 相交于点 ，则
A． B． C． D．
【分析】根据全等三角形的判定得出 与 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解析】 等边 中，
， ，
， ，
，
，
，
在 与 中
，
，
，
，
，
，
， ，
，故选： ．
10．（2020春•淄川区期末）在等边 中， 、 分别为 、 边上的动点， ，连接
，以 为边在 内作等边 ，连接 ，当 从点 向 运动（不运动到点 时，
大小的变化情况是
A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小
【 分 析 】 在 上 截 取 ， 连 接 ， 易 证 ， ， 由
， ， 得 出
，由 证得 ，得出 ， ，推出 ，求出
，即可得出结果．
【解析】在 上截取 ，连接 ，如图所示：
是等边三角形，
， ，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
在 和 中， ，
，， ，
，
，
，
，
即 ，
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2013秋•孟津县期末）有一个内角为 的等腰三角形，腰长为 ，那么这个三角形的周长为 1 8
．
【分析】依题意，已知有一个内角为 的等腰三角形为等边三角形，然后易求三角形的周长．
【解析】根据等边三角形的判定：有一个角是 的等腰三角形的三角形是等边三角形．再根据等边三角
形的三边相等，得这个三角形的周长是 ．
故答案为18．
12．（2019春•本溪期末）如图， ， ， ， ，则 的度数是
．
【分析】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得 的度数，再由平行线的性质：两直线
平行，同位角相等可得结论．
【解析】如图，延长 交 于点 ，， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
13 ． （ 2018 秋 • 西 城 区 校 级 期 末 ） 已 知 ： 如 图 ， 、 是 边 上 两 点 ， 且
， 6 0 度， 度， 度．
【分析】由题可知 是等边三角形，然后根据其三个角均为 和已知条件求解．
【解析】
．
，
．
故填60、30、120．
14．（2020•厦门模拟）如图， ， ， ，则 的度数是 ．【分析】根据平行线的性质得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，代入求出即可．
【解析】 ， ，
，
，
，
故答案为： ．
15．（2021•宁波模拟）如图， 为正三角形， 是角平分线，点 在线段 上移动，直线 与
交于点 ，连接 ，当 时， 2 0 度．
【分析】根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和即可得到结论．
【解析】 为正三角形， 是角平分线，
， ，
， ，
，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，
，故答案为：20．
16．（2008秋•江岸区期中）如图，在等边 的边 上任取一点 ，作 ， 交 的
外角平分线于 ，则 是 等边 三角形．
【分析】由题意知 ，可得 ，即可证明 是等边三角形．
【解析】过 作 的平行线交 于
为等边三角形， ，
，
为 的外角，
而
，
在 和 中，
，
，
是等边三角形．
故答案为：等边．17．（2016秋•临城县期末）如图已知 ， 是射线 上一动点， ，当 时，
为等边三角形．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
【解析】 ，
当 时， 为等边三角形．
故答案是： ．
18．（2020春•成都期末）如图，在 中， ， 为线段 上一动点（不与点 、 重合），
连接 ，作 ，且 ，连接 ．
（1）如图1，当 时，若 ，则 度；
（2）如图2，设 ，在点 运动过程中，当 时， ．（用含
的式子表示）
【分析】（1）根据已知条件得到 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据平行线
的性质得到 ，推出 是等边三角形，得到 ，求得
是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到 ，根据全等三角形的性质得到，求得 ，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】（1） ，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
故答案为：25；
（2）连接 ，
， ，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，．
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•玄武区期中）如图，等边 中， 是边 上的高，延长 到点 ，使 ，
求证： ．
【分析】由等边三角形的性质得出 ， ，证出 ，则可
得出结论．
【解析】证明： 等边 中， 是边 上的高，
， ，
，
，
，
．
20．（2020秋•建邺区期末）如图，在 中， ， 和 都是等边三角形，和 交于点 ，求证： ．
【分析】由等边三角形的性质可得出 ，求出 ，由三角形内角和定理得出
，则可得出结论．
【解析】证明： 和 都是等边三角形，
，
，
，
在 中， ，
．
21．（2019秋•岱岳区期中）在等边三角形 中，点 、 分别在边 、 上，且 ，过点
作 ，交 的延长线于点 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得 ，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证 是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
【解析】（1） 是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2） ， ，
是等边三角形．
，
， ，
．
22．（2020秋•相城区校级月考）如图， 是等边三角形， ，垂足为 ，点 在 的延长
线上，且 ．若 ，求 的长．
【分析】由 是等边三角形， 可得 ， ，由三角形外角的性质及
可推出 ，即可得出 ．
【解析】 是等边三角形，
，
，
，
是 的外角，
，
，
，
，
，，
．
23．（2018秋•邻水县期末）如图， 是等边三角形， 是中线，延长 至 ， ，
（1）求证： ．
（2）在图中过 作 交 于 ，若 ，求 的周长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 ， ，再根据角之间的关系求得
，根据等角对等边即可得到 ．
（2）由 的长可求出 ，进而可求出 的长，则 的周长即可求出．
【解析】（1）证明： 是等边三角形， 是中线，
．
（等腰三角形三线合一）．
又 ，
．
又 ，
．
．
（等角对等边）；
（2） ，
，
，
，
，
，
的周长 ．24．（2021•罗湖区校级模拟）如图1，点 、 分别是等边 边 、 上的动点（端点除外），
点 从顶点 、点 从顶点 同时出发，且它们的运动速度相同，连接 、 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）当点 、 分别在 、 边上运动时， 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它
的度数．
（3）如图2，若点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动，直线 、 交点为 ，则
变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用 证明 ；
（2）由 根据全等三角形的性质可得 ，从而得到 ；
（3）由 根据全等三角形的性质可得 ，从而得到 ．
【解析】（1）证明： 是等边三角形
， ，又 点 、 运动速度相同，
，
在 与 中，
，
；
（2）解：点 、 在运动的过程中， 不变．
理由： ，
，
，
（6分）
（3）解：点 、 在运动到终点后继续在射线 、 上运动时， 不变．（7分）
理由： ，
，
，
．
