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专题 1.2 等边三角形
等边三角形的性质
【例1】下列说法错误的是
A．有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
B．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合
C．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【变式训练1】下列说法：
①两个图形全等只与形状、大小有关，而与它们的位置无关；
②全等三角形的对应边相等、对应角相等；
③全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形；
④所有的等边三角形都是全等图形．
其中正确的说法为
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【变式训练2】下列说法正确的是
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
B．角平分线是角的对称轴
C．等腰三角形的角平分线与高互相重合
D．有一个角为 的等腰三角形是等边三角形
【变式训练3】以下叙述中不正确的是
A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线
B．有一内角为 的等腰三角形是等边三角形
C．等腰三角形一定是锐角三角形
D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两
个角不相等，那么它们所对的边也不相等求角度
【例2】如图， 是等边三角形，点 在 边上， ，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，点 在等边 的边 的延长线上，点 在线段 上，连接
， ，若 ，且 ，那么 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图， 是等边 的一条中线，若在边 上取一点 ，使得
，则 的度数为
A． B． C． D．
【变式训练3】如图， 为等边三角形， 为中线，延长 至 ，使 ，则
的度数为A． B． C． D．
求长度
【例3】如图，在等边三角形 中 ， 是 边上的高，延长 至点 ，使
，则 的长为 ．
【变式训练1】一个等腰三角形的腰长是 ，一个外角是 ，则它的底边长是
．
【变式训练2】如图， 是等边三角形，点 在 的延长线上，点 是 的中点，
连接 并延长交 于点 ，且 ，若 ，则 的长为
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练3】如图，等边 中， ，点 是 边上一点，则 的最小值是
A．3 B．4 C．5 D．
等边三角形的判定
【例4】下列对三角形 的判断，错误的是A．若 ，则 是直角三角形
B．若 ， ，则 是等边三角形
C．若 ， ，则 是等腰三角形
D．若 ， ，则
【变式训练1】下列三角形中，不是等边三角形的是
A．有一个角为 的等腰三角形
B．有两个外角相等的等腰三角形
C．三个外角都相等的三角形
D．腰上的高也是这条腰上的中线的等腰三角形
【变式训练2】在 中， ，则 的形状是
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【变式训练3】下列推理中，不能判断 是等边三角形的是
A． B． ，
C． ， D． ，且
常见的证明题
【例5】如图，在 中， 是 边上的高， 平分 交 边于 ，两线相
交于 点．
（1）若 ， ，求 的大小；
（2）若 是 的中点， ，求证： 是等边三角形．【变式训练1】如图，在 中， ， ， 于 ， 的
平分线分别交 ， 于点 ， ，求证： 是等边三角形．
【例6】如图，已知 和 均为等边三角形，且点 、 、 在同一条直线上，
连接 、 ，交 和 分别于 、 点，连接 ．
（1）请说出 的理由；
（2）试说出 的理由；
（3）试猜想： 是什么特殊的三角形，并加以说明．【变式训练1】如图，已知点 、 、 在同一条直线上， 和 都是等边三角
形． 交 于 ， 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
【变式训练2】如图， 、 、 三点在同一直线上，分别以 、 为边，在直线
的同侧作等边 和等边 ，连接 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接
得 ．
（1）求证： ．
（2）试判断 的形状，并说明理由．【变式训练3】图1、图2中，点 为线段 上一点， 与 都是等边三角形．
（1）如图1，线段 与线段 是否相等？证明你的结论；
（2）如图2， 与 交于点 ， 与 交于点 ，探究 的形状，并证明你
的结论．
【例7】如图， 是等边三角形，点 、 、 分别是边 、 、 上的点，且
，
求证： 是等边三角形．【变式训练1】证明题：如图： 是等边三角形，点 、 、 分别在 、 、
边延长线上，且 ．
求证： 是等边三角形．
【变式训练2】如图， 、 、 分别是等边 各边上的点，且 ，
．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若 ，求等边 的周长．【例8】如图， 和 均是边长为2的等边三角形， 、 分别是 、 上的
两个动点，且满足 ．
（1）求证： ；
（2）判断 的形状，并说明理由．
【变式训练1】如图，点 是等边 内一点， ， ．将 绕
点 按顺时针方向旋转 得 ，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？【变式训练2】如图， 为等边 内的一点， ， ， ，将
绕 点逆时针旋转 得到 ，连接 ，判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1） 是等边三角形；
（2） 是直角三角形．
