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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题1.4等边三角形的判定
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•罗湖区校级期末）下列推理中，不能判断 是等边三角形的是
A． B． ，
C． ， D． ，且
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【解析】 、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故本选项不符合
题意．
、由“有一个角是 的等腰三角形是等边三角形”可以判断 是等边三角形，故本选项不符合题
意．
、由“ ， ”可以得到“ ”，则由“三个角都相等的三角形是等边
三角形”可以判断 是等边三角形，故本选项不符合题意．
、由“ ，且 ”只能判定 是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选： ．
2．（2019秋•尚志市期末）若 的三条边长分别是 、 、 ，且 ，则这个三角形
是
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】利用非负数的性质得到 且 ，即 ，然后根据等边三角形的判定方法进行判
断．
【解析】 ，
且 ，，
为等边三角形．
故选： ．
3．（2021秋•天津期中）下列条件不能得到等边三角形的是
A．有两个内角是 的三角形
B．有一个角是 的等腰三角形
C．腰和底相等的等腰三角形
D．有两个角相等的等腰三角形
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为 且两边相等或有两个内角为 中任
意一个条件的三角形都是等边三角形．
【解析】 、有两个内角是 的三角形是等边三角形，不符合题意；
、有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
、腰和底相等的等腰三角形是等边三角形，不符合题意；
、有两个角相等的等腰三角形可能不是等边三角形，符合题意；
故选： ．
4．（2021秋•蒙阴县期中）已知：在 中， ，如要判定 是等边三角形，
还需添加一个条件．现有下面三种说法：
①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；
②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；
③如果添加条件“边 、 上的高相等”，那么 是等边三角形．
上述说法中，正确的有
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】利用有一个角为 的等腰三角形为等边三角形可判断①正确；由 ，
，利用三角形的内角和定理得到 ，即三个内角相等，可得出三角形 为等边三角形，判断②正确；由 判定出直角三角形 与直角三角形 全
等，由全等三角形的对应角相等得到 ，再利用三角形的内角和定理得
到第三个角也为 ，即三内角相等，可得出三角形 为等边三角形，判断③正确．
【解析】①若添加的条件为 ，由 ，
利用有一个角为 的等腰三角形为等边三角形可得出 为等边三角形；
②若添加条件为 ，
又 ，
，
，
则 为等边三角形；
③若添加的条件为边 、 上的高相等，如图所示：
已知： ， ， ，且 ，
求证： 为等边三角形．
证明： ， ，
，在 和 中，
，
，
，
，
，即 为等边三角形，
综上，正确的说法有3个．
故选： ．
5．（2019春•福山区期末）在下列结论中：
（1）有一个外角是 的等腰三角形是等边三角形
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形
其中正确的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据等边三角形的性质和定义，可得：有一个角为 的等腰三角形是等边三角形；三个内角都
相等的三角形为等边三角形；再由中线的性质和三角形内角和的定义可解答本题．
【解析】（1）：因为外角和与其对应的内角的和是 ，已知有一个外角是 ，即是有一个内角是
，有一个内角为 的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该
三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形
是等边三角形．该结论错误．
（4）：三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确；
故选： ．6．（2020秋•仓山区校级月考）等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是
A．有一个内角是
B．有一个外角是
C．其中一个角是另一个角的3倍
D．腰与底边相等
【分析】（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．
【解析】 、有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故本判定不符合题意；
、有一个外角是 ，则该等腰三角形的一个内角是 ，根据“有一个角是 的等腰三角形是等边
三角形”推知，有一外角为 的等腰三角形是等边三角形，故本判定不符合题意；
、一个角是另一个角的3倍，则这个三角形的三角不相等，不是等边三角形，故本判定符合题意；
、腰与底边相等的等腰三角形的三条边相等，所以腰与底边相等的等腰三角形是等边三角形，故本判定
不符合题意；
故选： ．
7．（2021•西陵区二模）如图，在 中， ，尺规作图：（1）分别以 ， 为圆心， 长为
半径作弧，两弧交于点 ；（2）作射线 ，连接 ， ．则下列结论中错误的是
A． B． 是等边三角形
C． 垂直平分 D．
【分析】根据作图方法可得 ，进而可得 等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法
可得 垂直平分 ，利用等腰三角形的性质可得 ，利用面积公式可计算四边形
的面积．【解析】根据作图方法可得 ，
，
点 在 的垂直平分线上，
，
点 在 的垂直平分线上，
是 的垂直平分线，故 结论正确；
为 中点，
是 的中线，
，
，故 结论正确；
，
是等边三角形，故 结论正确；
四边形 的面积 ，故 选项错误，
故选： ．
8．（2018秋•思明区校级期中）如图1是一张 纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个
正三角形如图2，那么在 中，若 ，则
A．3 B． C．12 D．9【分析】根据正三角形的性质解答即可．
【解析】 纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，
，
故选： ．
9．（2019秋•辛集市期末）如图，在钝角三角形 中， 为钝角，以点 为圆心， 长为半径画
弧；再以点 为圆心， 长为半径画弧；两弧交于点 ，连接 ， 的延长线交 于点 ．下列结
论错误的是
A． 垂直平分 B． 平分
C． 是等腰三角形 D． 是等边三角形
【分析】依据作图可得 ， ，即可得到 是 的垂直平分线，依据线段垂直平分线的性
质以及三角形内角和定理，即可得到结论．
【解析】由题可得， ， ，
是 的垂直平分线，
即 垂直平分 ，故 选项正确；
， ，
，
即 平分 ，故 选项正确；
，
是等腰三角形，故 选项正确；
与 不一定相等，
不一定是等边三角形，故 选项错误；
故选： ．
10．（2021•商河县校级模拟）如图， 是等边 中 边上的点， ， ，则 的
形状是A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
【分析】先证得 ，可得 ， ，即可证明 是等边三角形．
【解析】 为等边三角形
，
，
是等边三角形．
故选： ．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2019秋•河西区期中）有一角为 的等腰三角形是 等边三角形 ．
【分析】可根据三角形的内角和定理分别求得若该角为顶角，若该角为底角时，其余两个角的度数，即可
判断．
【解析】若该角为顶角，则其它两底角相等且均为 ，则这个三角形是等边三角形；
若该角为底角，则另一个底角也为 ，则顶角为 ，则这个三角形为等边三角形．
所以有一个角为 的等腰三角形是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
12．（2019秋•长春期中）下列三角形中：①有两个角等于 的三角形；②有一个角等于 的等腰三角
形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有 ①②③④ （填序号）．
【分析】根据等边三角形的定义即可判断．
【解析】①有两个角等于 的三角形是等边三角形．
②有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形．
③三个角都相等的三角形是等边三角形
④三边都相等的三角形是等边三角形，
故答案为①②③④．13．（2021春•邛崃市期中）已知 、 、 是 的三边的长，且满足 ，则
此三角形的形状为 等边三角形 ．
【分析】利用三角形三边关系判断三角形的形状，根据已知条件得出三角形三个边的关系式从而判断三角
形的形状．
【解析】由已知条件 化简得，
，
即 ，
故答案为等边三角形．
14．（2019•金山区二模）在 中， ，请你再添加一个条件使得 成为等边三角形，这个
条件可以是 （只要写出一个即可）．
【分析】根据有一个角是 的等腰三角形是等边三角形可得答案．
【解析】在 中， ，再添加 可得 是等边三角形，
故答案为： ．
15．（2021•乐平市一模）如图，在正 中，点 在边 上，点 在边 上，将 折叠，使点
落在 边上的点 处，则 ．
【分析】先由正三角形的性质得 ，再由折叠，得 ，再根据三角形内
角和及“一线三等角”可得结论．
【解析】 为正三角形
折叠，
，
故答案为： ．
16．（2008秋•江岸区期中）如图，在等边 的边 上任取一点 ，作 ， 交 的
外角平分线于 ，则 是 等边 三角形．
【分析】由题意知 ，可得 ，即可证明 是等边三角形．
【解析】过 作 的平行线交 于
为等边三角形， ，
，
为 的外角，
而
，
在 和 中，
，
，
是等边三角形．
故答案为：等边．17．（2018秋•襄州区期中）如图，用圆规以直角顶点 为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于 ，
两点，若再以 为圆心，以 为半径画弧，与弧 交于点 ，则 的形状为 等边三角形 ．
【分析】根据已知条件得出 ，根据等边三角形的判定得出即可．
【解析】 以直角顶点 为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于 ， 两点，
，
以 为圆心，以 为半径画弧，与弧 交于点 ，
，
，
的形状是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
18．（2016秋•临城县期末）如图已知 ， 是射线 上一动点， ，当 时，
为等边三角形．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
【解析】 ，
当 时， 为等边三角形．
故答案是： ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2021秋•宽城区校级期中）如图，在 中， ，点 在 上， ， ，
是 延长线上一点， ．（1）求 的度数；
（2）求证 为等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和外角的性质进行解答即可；
（2）因为 ， ，所以可求得 ，又因为 ，则 ，
，故 是等边三角形．
【解析】（1） ，
，
．
，
．
．
又 ，
．
，
，
，
．
（2）证明 ，
，
．
，
．
．
又 ，
．
， ，．
是等边三角形．
20．（2018秋•威海期末）如图，在 中， ， 平分 ， 于点 ，交
于点 ， 平分 ，交 于点 ，交 于点 ．
（1）判断直线 与线段 之间的关系，并说明理由；
（2）若 ，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据余角的性质即可得到 ；由 平分 ，得到 ，根据三角形的外角
的性质得到 ，推出 是等腰三角形，于是得到结论．
（2）根据 ， ，可得 是等边三角形；依据 ，即可得到
是等边三角形．
【解析】（1） 垂直平分 ，理由：
，
，
，
，
；
平分 ，
，
， ， ，
，
是等腰三角形，
又 ，
垂直平分 ．
（2） 、 是等边三角形．理由：垂直平分 ，
，
又 ， ，
，
是等边三角形．
中， ，
又 中， ，
，
是等边三角形．
21．（2018秋•越秀区校级期中）如图，已知 是边长为 的等边三角形，动点 、 同时从 ，
两点出发，分别沿 、 匀速运动，其中点 运动的速度是 ，点 运动的速度是 ，当
点 到达点 时， 、 两点都停止运动．设运动时间为： ，当 时，判断 的形状，并说明
理由．
【分析】当 时，可分别计算出 、 的长，再根据 对 的形状进行判断即可．
【解析】 是等边三角形，
当 时， ， ，
，
，
又 ，
是等边三角形．22．（2020 秋•赣榆区期中）如图，在 中， ， ，点 、 在 上，且
．
（1）求 的度数；
（2）若点 为线段 的中点，求证： 是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和是 ，可以求得 的度数；
（2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定，可以得到结论成立．
【解析】（1） ， ，
，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）方法一：证明：由（1）知， ，
，
，
，
点 为线段 的中点，
，
，
又 ，
，
，
，
是等边三角形．
方法二：证明：由（1）知， ，
，， ，
，
点 为 的中点，
，
，
是等边三角形．
23．（2020秋•惠州期中）已知：如图，在 中， ， 为 的中点， ， ，
垂足分别为 ， ，且 ．
求证：（1） ；
（2） 是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由 ，可以得到 ；
（2）先证明 和 全等，从而可以得到 ，再根据（1）中的结论，即可得到
，从而可以得到结论成立．
【解析】（1）证明： ，
；
（2） 为 的中点， ， ，
， ，
在 和 中，，
，
，
由（1）知， ，
，
是等边三角形．
24．（2021秋•香洲区期中）如图，在等边 中， ，点 从点 出发沿 边向点 点以
的速度移动，点 从 点出发沿 边向 点以 速度移动． 、 两点同时出发，它们移动
的时间为 秒钟．
（1）你能用 表示 和 的长度吗？请你表示出来．
（2）请问几秒钟后， 为等边三角形？
（3）若 、 两点分别从 、 两点同时出发，并且都按顺时针方向沿 三边运动，请问经过几秒
钟后点 与点 第一次在 的哪条边上相遇？
【分析】（1）由三角形 为等边三角形，根据等边三角形的三边相等得到 ，由 的速
度和时间 表示出 走过的路程 的长，然后用边长 减去 即可表示出 ；由 的速度及时间 ，
即可表示出 走过的路程 ；（2）若 为等边三角形，根据等边三角形的边长相等则有 ，由（1）表示出的代数式代入即
可列出关于 的方程，求出方程的解即可得到满足题意的 的值；
（3）同时出发，要相遇其实是一个追及问题，由于 的速度大于 的速度，即 要追及上 ，题意可知
两点相距 即两个边长长，第一次相遇即为 比 多走两个三角形边长，设出第一次相遇所需的时
间，根据 运动的路程 运动的路程 列出关于 的方程，求出方程的解即可求出满足题意的 的值，
然后由求出 的值计算出 运动的路程，确定出路程的范围，进而判断出 的位置即为第一次相遇的位置．
【解析】（1） 是等边三角形，
，
点 的速度为 ，时间为 ，
，
则 ；
点 的速度为 ，时间为 ，
；
（2）若 为等边三角形，
则有 ，即 ，
解得 ，
所以当 时， 为等边三角形；
（3）设 时， 与 第一次相遇，
根据题意得： ，
解得 ，则 时，两点第一次相遇．
当 时， 走过得路程为 ，
而 ，即此时 在 边上，
则两点在 上第一次相遇．
