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专题 1.4 线段的垂直平分线
求角度
【例1】如图，在 中， ， 边的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 ，连接 ， 将 分成两个角，且 ，则 的度数
是
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在 中， 、 分别是线段 、 的垂直平分线，若
，则 的度数是
A． B． C． D．
【变式训练2】如图， 中， 平分 ， 是 的中点，过点 作 的垂线
交 于点 ，连接 ，若 ， ，则 的度数为
A． B． C． D．求线段长度
【例2】如图， 中， 是 的垂直平分线，与 交于点 ， ， ，
则 的长度为
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练1】如图，在 中， ，垂足为 ， 垂直平分 ，交 于点
，交 于点 ， ，若 的周长为 ， ，则 的长为
．
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练2】如图所示，在 中， ， 垂直平分 ，交 于点 ，垂
足为点 ， ， ，则 等于
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ．若 ，
，则 的长度 的取值范围为 ．与三角形周长有关
【例3】如图，直线 是 边 的垂直平分线，且与 相交于点 ，与 相交
于点 ，连接 ，已知 ， ，则 的周长为
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在 中， 是 的垂直平分线， ， 的周长为
，则 的周长为
A． B． C． D．
【变式训练2】如图， ， 的垂直平分线 交 于点 ， ，
，则 的周长是A． B． C． D．
【变式训练3】如图， 中， ，边 的垂直平分线和边 的垂直平分线相
交于点 ，且与边 分别相交于点 、 ，连接 、 ，则 的周长
A．14 B．10 C．18 D．不能确定
【变式训练4】如图，在 中， 和 的垂直平分线分别交 于点 ， ，且点
在点 的左侧， ，则 的周长是
A． B． C． D．
证明题
【例4】如图，在 中， ， ， ， 是 的垂直平分线．
（1）求 的周长；
（2）求线段 的长．【变式训练1】如图，在 中， ， ，点 是 边的中点，
交 于点 ，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）求证： ．
【变式训练2】如图，直线 与 分别是 边 和 的垂直平分线， 与 分别交边
于点 和点 ．
（1）若 ，则 的周长是多少？为什么？
（2）若 ，求 的度数．垂直平分线的判定
【例5】如图，在 中， 、 的垂直平分线 、 相交于点 ．
（1）求证：点 在 的垂直平分线上：
（2）若 ， ，则 ．
【变式训练1】如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，
的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， 与 相交于点 ， 的周长为
10，请你解答下列问题：
（1）求 的长；
（2）试判断点 是否在边 的垂直平分线上，并说明理由．【变式训练2】如图，在 中，边 、 的垂直平分线分别交 于 、 ．
（1）若 ，求 的周长；
（2）设直线 、 交于点 ．
①试判断点 是否在 的垂直平分线上，并说明理由；
②若 ，求 的度数．
【变式训练3】已知：如图，在 中， ， 的垂直平分线 、 相交于点 ．求
证：点 在 的垂直平分线上．实际应用
【例6】甲、乙、丙三地如图所示，若想建立一个货物中转仓，使其到甲、乙、丙三地的距
离相等，则中转仓的位置应选在
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边中线的交点 D．三边上高的交点
【变式训练1】到 的三个顶点距离相等的点是
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【变式训练2】如图，兔子的三个洞口 、 、 构成 ，猎狗想捕捉兔子，必须到
三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在
A．三个角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点
【变式训练3】如图，有 、 、 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物
超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在
A． 、 两内角的平分线的交点处
B． 、 两边高线的交点处
C． 、 两边中线的交点处
D． 、 两边垂直平分线的交点处尺规作图
【例7】如图，在 中， ， ．
（1）尺规作图：①作边 的垂直平分线交 于点 ；
②连接 ，作 的平分线交 于点 ；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求 的度数．
【变式训练1】党和政府十分关心四川灾后重建工作，准备为三个村庄 、 、 （其位
置如图所示）修建一口水井，要求水井到三个村庄的距离相等，水井应该修在什么地方呢
你能找到吗？
（写出作法，并保留作图痕迹）【变式训练2】作图题：
（1）如图，一个三角形状的水池，现要在水池内安装一个喷水头，且喷水头到池边的距离
都要相等，请用尺规找出喷水池的位置点 ．
【变式训练3】如图，直线 表示一条公路， 、 表示两所大学．要在公路旁修建一个
车站 使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点 ．
