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专题 1.1-2 等腰三角形与直角三角形
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要
求的）
1．（2021·山东泰安市·七年级期末）A、B、C三个小区在一个三角形的三个顶点的位置上，要求在它们中
间建造一座公园，为使三个小区到公园距离相等，则公园最适当的建造位置是在△ABC的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】B
【详解】解： 三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，
建造一座公园，且三个小区到公园距离相等，
则公园最适当的建造位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点处．
故选：
2．（2021·湖南邵阳市·八年级期末）如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于 AD的长为
半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长
=15cm，则△ABD的周长是（ ）
A．35cm B．30cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【详解】解：∵MN垂直平分线段AD，
∴AC=DC，AE+ED=AD=10cm，
∵AB+BC+AC=15cm，
∴AB+BC+DC=15cm，
∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，
故选：C．
3．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图所示的是A、B、C三点，按如下步骤作图：①先分别以A、B两
点为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线 ；②再分别以B、C两点
为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线 ， 与 交于点P，若，则 等于（ ）
A．100° B．120° C．132° D．140°
【答案】C
【详解】解:如图，连接 、 、 、 、 、 ，
由作法可知 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
4．（2021·广东深圳市·深圳外国语学校八年级期末）如图，在 中， 的平分线
交 于点 是 中点，且 ，那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵BD平分 ，
∴ ，∵ ，E是BC中点，
∴DB=DC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
5．（2021·山东临沂市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，分别
交x、y轴于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点
，则a与b的数量关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，
∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，
又∵点P（a，b）第二象限内，
∴ ，
故选：B．
6．（2021·广西百色市·）如图，在 中， ，AD平分 ，DE垂直平分AC，若
的面积等于2，则 的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【详解】解：由题意：
中， ，AD平分 ，DE垂直平分AC，可得：在 与 中，
， ，AD=AD
∴ ≌
在 与 中
AD=CD，AE=CE，DE=DE
∴ ≌
∵ 的面积等于2
∴ 的面积等于1
∴ 的面积为3
故选：B
7．（2021·北京大兴区·八年级期末）如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点
D在边OB上，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】C
【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，
∴∠AOP=∠POB=15°，
∵OD=DP=2，
∴∠OPD=∠POB=15°，
∴∠PDE=30°，
∴PE= PD=1，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE=1，
故选：C．
8．（2020·河南省直辖县级行政单位·八年级月考）如图为三条两两相交的公路，某石化公司拟建立一个加
油站，计划使得该加油站到三条公路的距离相等，则加油站的可选位置有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：根据角平分线上的点到角两边距离相等可知，
三角形内心（即三角形内角角平分线的交点）为1个位置，
另外两外角平分线的交点，到三条公路的距离也相等，可找到3个，
但因为有1个在深水湖泊，
所以，有3个，
故选：C．
9．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC
的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【答案】C
【详解】解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，利用作法得AE=AF，AM=AN，则可判断△AMF≌△ANE，所以∠AMD=∠AND，
再根据ME=AM-AE=AN-AF=FN，∠MDE=∠NDF可判断△MDE≌△NDF，根据三角形面积公式则可判定
D点到AM和AN的距离相等，则可判断AD平分∠BAC．
故选：C．
10．（2021·全国八年级）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG的周长为16，且GE＝
1，则AC的长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】C
【详解】解：∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EB＝EA，
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB＝GC，
∵△BEG的周长为16，
∴GB+GE+EB＝16，
∴AE+GE+GC＝16，
∴AC+GE+GE＝16，
∵GE＝1，
∴AC＝16﹣2＝14，
故选：C．
11．（2021·山东济宁市·八年级期末）如图，在 中， ，以 为圆心，任意长
为半径画弧分别交 于点 和 ，再分别以 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧
交于点 ，连接 ，并延长交 于点 ，则下列说法中正确的个数是（ ）
① 是 的平分线；② ；③点 在 的垂直平分线上﹔④若 ，则点 到
的距离是 ，
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由作法得，AD平分∠BAC，所以①正确；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠CAD= ×60°=30°，
∴∠ADC=90°-∠CAD=60°，所以②正确；
∵∠B=∠BAD，
∴DA=DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
在直角△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD= AD，
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD， ．
∴ ，
∴ ，故④错误．
所以，正确的结论有3个
故选：B．
12．（2021·山东滨州市·八年级期末）如图， 中， ， 于D，BE平分
，且 于E，与CD相交于点F， 于H，交BE于G，下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
△
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
在Rt BEA和Rt BEC中
∵BE平分∠ABC，
△ △
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt BEA≌Rt BEC．
△ △
∴CE＝AE＝ AC．
在Rt DFB和Rt DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
△ △
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，
∴CE＝ AC＝ BF，
∴2CE＝BF；
故③正确；
由③可得△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④正确；
故选：B．
13．（2021·河南洛阳市·八年级期末）在 中， ， ， ，三个
内角的平分线交于点 ，则点 到 的距离 为（ ）A．1cm B．2cm C． cm D． cm
【答案】B
【详解】解：在 中， ， ， ，
是 中三个内角的平分线的交点，
过点 ，分别作 三边的垂线段，如图，
在 与 中，
同理得， ，
又故选：B．
14．（2020·余干县第三中学八年级月考）如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，则下
列结论：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S ﹣2S ＝S ；其中正确结论
ACE BCE ADC
的个数是（ ） △ △ △
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①在AE取点F，使EF＝BE，
∵AB＝AD+2BE＝AF+EF+BE，EF＝BE，
∴AB＝AD+2BE＝AF+2BE，
∴AD＝AF，
∴AB+AD＝AF+EF+BE+AD＝2AF+2EF＝2（AF+EF）＝2AE ，
∴AE＝ （AB+AD），故①正确；
②在AB上取点F，使BE＝EF，连接CF．
在△ACD与△ACF中，∵AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACF，
∴∠ADC＝∠AFC．
∵CE垂直平分BF，∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠B．
又∵∠AFC+∠CFB＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠DAB+∠DCB＝360﹣（∠ADC+∠B）＝180°，故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，∴CD＝CF，
又∵CF＝CB，
∴CD＝CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB，
所以S ﹣S ＝S ﹣S ＝S ，
ACE BCE ACE FCE ACF
又∵△△ACD≌△△ACF△， △ △
∴S ＝S ，
ACF ADC
∴S△ ﹣S△ ＝S ，故④错误；
ACE BCE ADC
即正△确的有△3个，△
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交
AC于点D，交BC于点E，∠C＝35°，则∠BAE＝_____．
△
【答案】20°
【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C＝35°，
在Rt ABC中，∠B＝90°，
∴∠BAC＝90°−∠C＝55°，
△
∴∠BAE＝∠BAC−∠EAC＝20°．
故答案为：20°．
16．（2021·宁夏石嘴山市·八年级期末）如图，在 中， ，以顶点 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，再分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧交于点 ，作射线 交边 于点 ，若 ， 的面积是 ，则 的长为__________
【答案】4
【详解】解：如图，过点 作 的垂线交 于点 ，
由题意可得： 平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 的面积为 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
17．（2021·江苏扬州市·八年级期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半
径作弧，交AB于D，交BC于E；②分别以D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．如果AB＝8，BC＝10，△ABG的面积为16，则△CBG的面积为_________．
【答案】20【详解】解：如图，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥BC于N．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GM⊥AB，GN⊥BC，
∴GM=GN，
∵S = ×AB×GM=16，
ABG
△
∴GM=4，
∴GN=GM=4，
∴S = •BC•GN= ×10×4=20，
CBG
△
故答案为20．
18．（2021·陕西安康市·八年级期末）如图，在 中， 平分 点 分别是 上的
动点．若 则 的最小值是______________．
【答案】
【详解】作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，连接AE，
则此时，AE＋EF的值最小，AE＋EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G ，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，∴S ＝ AC•HF＝ CH•AG，
ACH
△
∴HF＝AG＝4，
∴AE＋EF的最小值是4，
故答案是：4．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2021·江苏镇江市·八年级期末）如图，在 中，边 的垂直平分线 与边 的垂直平
分线 交于点 这两条垂直平分线分别交 于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）已知 的周长 ，分别连接 ，若 的周长为 ，求 的长．
【答案】（1）40°；（2）8cm
【详解】
解：
是线段 的垂直平分线，
，
同理，
连接 ，的周长
，
；
的周长为
垂直平分
同理，
20．（2021·福建福州市·八年级期末）如图，已知 ．
（1）尺规作图：在 边上求作一点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中延长 到 ，使 ，连接 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）法一：法二：
法三：
如图所示， 即为所求．
（2）如图所示：
，
∴PB=PC，
，
，
，，
，
．
21．（2021·江苏泰州市·八年级期末）已知：如图， 中， ， ，点 是 的
中点，点 是直线 上的一个动点，连接 ，过点 作 交直线 于点 ．
（1）如图，当点 、 分别在线段 、 上时（点 与点 、 不重合），过点 作 的平行线
交 的延长线于点 ，连接 、 ．
①求证： ；
②若 ， ，设 ， ，求 关于 的函数表达式．
（2）当点 在线段 的延长线上时，依据题意补全下图，用等式表示线段 、 、 之间的数量
关系，并说明理由．
【答案】（1）①见解析；② ；（2）图见解析， ，理由见解析
【详解】
解：（1）① ，
，
，
，，
又 ，
；
AQ=BG，
， ， ， ，
AQ=BG=9-y，PC=12-x，
在 中， ，
在 中，
，
，
，
整理，得 ；
（2）依据题意画出图形，当点 在线段 的延长线上时， ，理由如下：
过点B作 交QD的延长线于点E，连接PE，
，
，
又 ，
，
EB=AQ，ED=DQ，
，
，
在 中， ，
．22．（2021·山东日照市·八年级期末）如图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．
（1）如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D、E分别在边AB、AC上，沿AF画一条
射线AP，交BC于点P．则AP就是∠BAC的平分线吗？请给出判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的前提下，过点P作PQ⊥AB于点Q，已知PQ=4，AC=7，△ABC的面积是32，求
AB的长．
【答案】（1）AP是∠BAC的平分线，理由见解析；（2）AB=9
【详解】
解：（1）AP是∠BAC的平分线，理由如下：
在△ADF和△AEF中，
，
∴△ADF≌△AEF（SSS），
∴∠DAF=∠EAF，
即AP平分∠BAC；
（2）过点P作PG⊥AC于点G，∵AP平分∠BAC，PQ⊥AB，PG⊥AC，
∴PG=PQ=4，
∵
∴ ，
∴AB=9．
23．（2020·福建福州市·八年级期中）如图，等边△ABC中，点D为AB边上的一动点（D不与A、B重
合）．过点D作DE∥BC交AC于点E．把△ADE沿直线DE折叠，点A的对应点为P．
（1）求证：△ADE为等边三角形；
（2）连接AP，点D在运动过程中线段AP与线段DE是否存在一定的位置关系？证明你的结论；
（3）若等边△ABC的边长为3，当△BDP为直角三角形时，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）点D在运动过程中线段AP与线段DE互相垂直平分，见解析；（3）
或
【详解】解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°
又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠C=60°，
∴∠ADE=∠AED=∠BAC=60° ，
∴△ADE为等边三角形．
（2）点D在运动过程中线段AP与线段DE互相垂直平分
证明：∵△ADE与△PDE关于直线DE成轴对称，
∴DE垂直平分AP，
∵△ADE为等边三角形，AP⊥DE,∴AP平分DE,
∴ AP、DE互相垂直平分
（3）由于∠BDP=60°，所以，分∠BPD=90°或∠DBP=90°两种情况
① 当∠BPD=90°时，∵∠BDP=60°,∴∠PBD=30°,∴ ．
∵AD=PD, ∴ 即
②当∠DBP=90°时， 同理可得
即，
综上所述，当△BDP是直角三角形时，当 或 ．
24．（2021·湖北十堰市·八年级期末）如图1，已知A（0，a），B（b，0），a，b满足
．
（1）求a，b的值；
（2）如图2，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，求证：射线OC是∠AOB的平分线；
（3）以（2）中的点C为直角顶点作∠DCE，交x轴于点D，交y轴于点E，设D（m，0），E（0，n），
当∠DCE绕点C任意旋转时，m+n的值是否改变？若不改变，请求出m+n的值；若改变，请说明理由．
【答案】（1）a=3，b=1；（2）证明见解析；（3）不改变，m+n=4．
【详解】解：（1）∵ ，∴（a-3）2+ =0，
得a=3，b=1；
（2）过点C作CG⊥x轴于点G，CH⊥y轴于点H，
∵∠ACB=∠AOB=90°，
∴∠CBO+∠OAC=360°-∠ACB-∠AOB=180°．
∵∠CBO+∠CBG=180°，
∴∠OAC=∠CBG，
在△ACH和△BCG中
，
∴△ACH≌△BCG，
∴CG=CH，
∴OC是∠AOB的平分线；
（3）不改变．
由（2）得C（2，2），分以下三种情况讨论：
①如图a，当D在x正半轴上，当E在y正半轴上时．
∵∠ECH+∠DCH=90°=∠DCH+∠DCG，∴∠ECH=∠DCG，
在△ECH和△DCG中
，
∴△ECH≌△DCG，
∴EH=DG，∴m+n=OE+OD=EH+OH+（OG-DG）=OH+OG=2+2=4；
②如图b，当D在x负半轴上，当E在y正半轴上时，
同上可得：EH=DG，∴m+n=OE-OD=EH+OH-（DG-OG）=OH+OG=2+2=4；
③如图c，当D在x正半轴上，当E在y负半轴上时，
同理可得m+n=OD-OE=OG+DG-（EH-OH）=OG+OH=2+2=4．
综上所述：m+n是定值为4．25．（2021·广东广州市·绿翠现代实验学校八年级期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，
点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB．
（1）直接写出∠ADE的度数 ；
（2）求证：DE＝AD＋DC；
（3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，（如图2），若EF＝3，求BP的长．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）
【详解】
解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB= ，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直线垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD= ∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；
故答案为：
（2）如图1，在线段DE上截取DM=AD，连接AM，∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等边三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，
，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME，
∵DE=DM+ME，
∴DE=AD+CD；
（3）延长EF交BA的延长线与点N，
由（2）及图1得△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形，
，EF⊥BP，
∴∠ABF=∠NEA， 又AB=AE，
∴Rt ANE≌Rt APB（AAS），
∴BP=EN，
△ △
∵BF既是△BEN的角平分线又是高，
∴BF是△BEN的中线，
即：
26．（2021·福建泉州市·八年级期末）阅读材料：如图所示，将两个含 角的三角尺摆放在一起，可以
证得 是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角
边等于斜边的一半．即“在 中， ， ，则 ” ．
你可以利用以上这个结论解决问题．
（1）如图①， 平分 ，点 在射线 上， ， ，垂足分别是点 、 ，若
，请直接写出 的长；
（2）如图②，在 中， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 相交于
点 ，求证： ；
（3）如图③，在 中， ， 、 的角平分线相交于点 ，把三角板上
的顶点放在点 处，角的两边分别与边 、 相交于点 、 ，连结 、 ， ，求
的周长．【答案】（1） ；（2）见详解；（3）2
【详解】
（1）∵ 平分 ，点 在射线 上， ， ，
∴ = ；
（2）过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，如图②，
∴∠DMF＝∠ENF＝90°，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF＝FN，
∵在 中， ，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴∠FAC+∠FCA＝ (∠BAC+∠BCA)＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴∠EFD=∠AFC＝120°，
∴∠NEF+∠BDF=360°-60°-120°=180°，∵∠BDF+∠MDF=180°，
∴∠NEF=∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴ ；
（3）过点F分别作FP⊥AB于点P，作FQ⊥BC于点Q，如图③，
由（2）知FP=FQ，
在PA上截取PR=NQ，
在∆FPR和∆FQN中，
∵FP=FQ，∠FPR=∠FQN=90°，PR=QN，
∴∆FPR ∆FQN，
∴∠PFR=∠QFN，FR=FN，
≅
∵∠PFQ=360°-60°-90°-90°=120°，
∴∠PFN+∠QFN=120°，
∴∠PFN+∠PFR =120°，即：∠RFN=120°，
又∵∠MFN=60°，
∴∠RFM=120°-60°=60°，
∴∠MFN=∠RFM，
在∆RFM和∆NFM中，
∵FR=FN，∠MFN=∠RFM，FM=FM，
∴∆RFM ∆NFM，
∴MR=MN，即：MN=MP+PR，
≅
∴MN=MP+NQ，∴ 的周长=BM+BN+MN= BM+BN+ MP+NQ= (BM+ MP)+( BN +NQ)=BP+BQ，
∵BF=BF，PF=PQ，
∴Rt∆BPF Rt ∆BQF，
∴∠PBF=∠QBF=30°，BP=BQ，
≅
∴FQ= ，
∴BQ= ，
∴ 的周长= BP+BQ= + =2 ．
